Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 29 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
29
Dung lượng
384,07 KB
Nội dung
HỘI TOÁN BẮC NAM THÁNG MỘT CHỦ ĐỀCHUYÊNĐỀLƯỢNGGIÁC BUÔN MA THUỘT, 12/2016 Chuyênđềlượnggiác MỞ ĐẦU Lượnggiác đóng vai trò quan trọng xuyên suốt chương trình toán phổ thông ứng dụng nhiều thực tế, đặc biệt lĩnh vực nghiên cứu thiên văn Đây vấn đề quan trọng kì thi THPT quốc gia 2018, chương trình 10 11 đưa vào đềthi Trong chủ đề tháng 12/2016 Hội Toán Bắc Nam xin trình bày số vấn đềlượnggiác Chủ đềlượnggiác chia làm ba phần: Phần 1: Cơ sở lí thuyết cung liên kết, công thức lượng giác, đẳng thức lượng giác, hàm số lượnggiác Phần 2: Các dạng phương trình lượnggiác thường gặp Phần 3: Một số toán lượnggiác điển hình có liên quan Chuyênđề chủ yếu xoay quanh toán THPT, hi vọng giúp ích phần cho bạn đọc, đặc biệt bạn học sinh THPT Sẽ không tránh khỏi thiếu sót biên tập, mong nhận đóng góp từ quý bạn đọc đểchuyênđề ngày hoàn thiện Mọi ý kiến đóng góp, quý bạn đọc vui lòng gửi địa email: phamthithuhien117@gmail.com gửi trực tiếp cho Hội Toán Bắc Nam Buôn Ma Thuột, ngày 15 tháng 12 năm 2016 Phạm Thị Thu Hiền Facebook: Hội toán Bắc Nam Mục lục Mở đầu CƠ SỞ LÝ THUYẾT 1.1 Cung liên kết 1.2 Công thức lượnggiác 1.3 Hằng đẳng thức thường dùng 1.4 Hàm số lượnggiác PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNGGIÁC 2.1 Phương trình lượnggiác 2.2 Phương trình bậc hai hàm số lượnggiác 2.3 Phương trình bậc theo sinx cosx 2.4 Phương trình 11 2.5 Phương trình đối xứng 14 2.6 Phương trình không mẫu mực 16 MỘT SỐ VẤN ĐỀ KHÁC 19 3.1 GTLN-GTNN 19 3.2 NHẬN DẠNG TAM GIÁC 21 3.3 ĐÁNH GIÁ HAI VẾ 23 3.4 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNGGIÁC CHỨA THAM SỐ 26 Chương CƠ SỞ LÝ THUYẾT 1.1 Cung liên kết Cung đối: cos ♣✁xq ✏ cos x; sin ♣✁xq ✏ ✁ sin x; tan ♣✁xq ✏ ✁ tan x; cot ♣✁xq ✏ ✁ cot x Cung bù: cos ♣π ✁ xq ✏ ✁ cos x; sin ♣π ✁ xq ✏ sin x; tan ♣π ✁ xq ✏ ✁ tan x; cot ♣π ✁ xq ✏ ✁ cot x Cung phụ: ✁π ✠ ✁π ✁ x ✏ sin x; sin 2 ✁π π tan♣ ✁ xq ✏ cot x; cot 2 Cung π: cos ✠ ✁ x ✏ cos x; ✠ ✁ x ✏ tan x cos ♣π xq ✏ ✁ cos x; sin ♣π xq ✏ ✁ sin x; tan ♣π xq ✏ tan x; cot ♣π xq ✏ cot x 1.2 Công thức lượnggiác Công thức cộng cos ♣a bq ✏ cos a cos b ✁ sin a sin b Chuyênđềlượnggiác sin♣a bq ✏ sin a cos b cos a sin b tan♣a bq ✏ cot♣a bq ✏ tan a tan b ✁ tan a tan b cot a cot b ✁ cot a cot b Công thức nhân đôi sin 2a ✏ sin a cos a cos 2a ✏ cos2 a ✁ sin2 a ✏ 2cos2a ✁ ✏ ✁ 2sin2a tan 2a ✏ tan a ✁ tan2 a Công thức nhân ba sin 3a ✏ sin a ✁ 4sin3 a cos 3a ✏ 4cos3 a ✁ cos a Công thức hạ bậc ✁ cos 2a cos 2a ; cos2 a ✏ 2 sin a ✁ sin 3a cos a cos 3a ; cos3 a ✏ 4 sin2 a ✏ sin3 a ✏ Công thức tổng thành tích a b a✁b cos 2 a b a✁b cos a ✁ cos b ✏ ✁2 sin sin 2 a b a✁b sin a sin b ✏ sin cos 2 a b a✁b sin a ✁ sin b ✏ cos sin 2 cos a cos b ✏ cos Phạm Thị Thu Hiền Facebook: Hội toán Bắc Nam Chuyênđềlượnggiác Công thức tích thành tổng rcos♣a bq cos♣a ✁ bqs ✁1 rcos♣a bq ✁ cos♣a ✁ bqs sin a sin b ✏ sin a cos b ✏ rsin♣a bq sin♣a ✁ bqs cos a cos b ✏ 1.3 Hằng đẳng thức thường dùng sin2 a cos2 a ✏ 1; sin4 a cos4 a ✏ ✁ sin2 2a ; sin6 a cos6 a ✏ ✁ sin2 2a 1 2 ; 1+cot a ✏ tan2 a ✏ ; ✟ sin 2a ✏ ♣sin a ✟ cos aq cos a sin a 1.4 Hàm số lượnggiác Hàm số Tập xác định Tập giá trị Tính chẵn lẻ Chu kỳ y ✏ sin x D=R T=[-1,1] hàm lẻ T0 ✏ 2π y ✏ cos x D=R T=[-1,1] hàm chẵn T0 ✏ 2π y ✏ tan x T=R hàm lẻ T0 ✏π y ✏ cot x T=R hàm lẻ T0 ✏π R③ ✦π ✮ kπ, k Z R③ tkπ, k Z✉ Bảng 1.1: * Phạm Thị Thu Hiền Facebook: Hội toán Bắc Nam Chương PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNGGIÁC 2.1 Phương trình lượnggiác Phương trình sin x ✏ a • Nếu |a| > : Phương trình vô nghiệm ↕ : Phương trình có nghiệm x ✏ α k2π x ✏ π ✁ α k2π với sin α ✏ a • Nếu |a| Các trường hợp đặc biệt: sin x ✏ ô x ✏ kπ ♣k Zq π sin x ✏ ô x ✏ k2π ♣k Zq π sin x ✏ ✁1 ô x ✏ ✁ k2π ♣k Zq π sin x ✏ ✟1 ô sin x ✏ ô cos2 x ✏ ô cos x ✏ ô x ✏ kπ ♣k Zq Phương trình cos x ✏ a • Nếu |a| > : Phương trình vô nghiệm ↕ : Phương trình có nghiệm x ✏ α k2π x ✏ ✁α k2π với cos α ✏ a • Nếu |a| Các trường hợp đặc biệt: π cos x ✏ ô x ✏ kπ ♣k Zq cos x ✏ ô x ✏ k2π ♣k Zq cos x ✏ ✁1 ô x ✏ π k2π ♣k Zq Chuyênđềlượnggiác cos x ✏ ✟1 ô cos2 x ✏ ô sin2 x ✏ ô sin x ✏ ô x ✏ kπ ♣k Zq Phương trình tan x ✏ a Điều kiện cos x ✘ hay x ✘ π kπ, k Z Nghiệm phương trình x ✏ α kπ, k Z với tan α ✏ a Các trường hợp đặc biệt: tan x ✏ ô x ✏ kπ ♣k Zq tan x ✏ ✟1 ô x ✏ π4 kπ♣k Zq Phương trình cot x ✏ a Điều kiện sin x ✘ hay x ✘ kπ, k Z Nghiệm phương trình x ✏ α kπ, k Z với cot α ✏ a Các trường hợp đặc biệt: π cot x ✏ ô x ✏ kπ ♣k Zq cot x ✏ ✟1 ô x ✏ π4 kπ♣k Zq BÀI TẬP Bài 1: Giải phương trình sau: sin x ✏ sin sin x ✏ π sin 2x ✏ ✁ 4 sin x ✁ sin x π✠ ❄ 3✏0 π✠ ❄ 3✏0 ✟ sin 900 ✁ 2x sin x ✏ 4sin2 x 400 ✟ 1✏0 ✁1✏0 sin 3x ✁ cos 2x ✏ 10 sin 4x cos 5x ✏ Phạm Thị Thu Hiền Facebook: Hội toán Bắc Nam Chuyênđềlượnggiác Bài 2: Giải phương trình sau cos x ✏ 2 cos♣3x 1q ✏ cos♣x ✁ 2q sin♣x ✁ 1200 q cos 2x ✏ cos 3x cos 4x ✏ cos 2x sin 3x ✏ cos♣2x 1q ✁ ✏ cos♣2x 1q ✁ cos♣x cos♣x ✁ π q✏0 π q 1✏0 cos2 x cos x ✏ 10 cos 2x cos 4x cos 6x ✏ Bài 3: Giải phương trình sau tan 7x ✁ cot 9x ✏ tan2 ♣x ✁ π q✏3 tan 3x cot x ✏ tan♣2x ✁ ⑤cos x⑤ ✏ π q✁5✏0 cos 3x tan 5x ✏ sin 7x tan 5x tan 2x ✏ ⑤sin x⑤ cos 3x ✏ cot♣2x ✁ π π q ✏ cot♣x q Phạm Thị Thu Hiền Facebook: Hội toán Bắc Nam Chuyênđềlượnggiác 10 cot♣3x 100 q ✏ ❄ ❄3 11 cos♣x 450 q ✏ ✁ π 12 sin2 ♣x ✁ q ✏ cos2 x Bài 4: Giải phương trình sau ❄ tan♣x ✁ 500 q ✁ ✏ với x r✁1800 , 2700 s cot♣x ✁ ❄ π π q ✏ 0, x r✁ ; 2π s 3 sin2 x cos2 3x ✏ cos 2x cos 4x cos 6x ✏ cos x cos 2x cos 3x cos 4x ✏ cos x cos 7x ✏ cos 3x cos 5x sin2 x sin2 2x ✏ sin2 3x sin2 4x cos 5x sin 4x ✏ cos 3x sin 2x cos2 x cos2 2x cos2 3x ✏ 10 sin♣cos♣x ✁ 2.2 π qq ✏ Phương trình bậc hai hàm số lượnggiác Dạng asin2 x b sin x c ✏ Đặt t ✏ sin x điều kiên ✁1 ↕ t ↕ acos2 x b cos x c ✏ Đặt t ✏ cos x điều kiên ✁1 ↕ t ↕ atan2 x b tan x c ✏ Phạm Thị Thu Hiền Facebook: Hội toán Bắc Nam Chuyênđềlượnggiác ♣1q ô ✁ tan x 2tan3x ✏ ô 2tan3x ✁ tan x ✏ ✟ ô ♣tan x ✁ 1q 2tan2x tan x ✁ ✏ ✔ ✔ π x ✏ kπ tan x ✏ ✖ ✖ ❄✡ ✂ ❄ ✖✖ ✖ ✁ kπ ô ✖✖✖ tan x ✏ ✁1 2 ô ✖✖✖ x ✏ arctan ❄ ✖ ❄✡ ✂ ✕ ✁ 1✁ ✕ ✁ 1✁ tan x ✏ x ✏ arctan kπ 2 Ví dụ 2.5 Giải phương trình sin x ✁ 2cos3 x ✏ sin 2x cos x♣1q Giải Xét cos x ✏ ô x ✏ π kπ, k Zcó thỏa mãn không? Xét cos x ✘ 0, chia vế (1) cho cos3 x sin x 10 sin x ♣1q ô 6cos ✁ ✏ 3x cos x ✂ ô tan x cos12x ✡ ✁ ✏ 10 tan x ✟ ô tan x tan2x ✁ ✏ 10 tan x ô 6tan3x ✁ tan x ✁ ✏ ô ♣tan x ✁ 1q♣6tan2x tan x 2q ✏ ✔ tan x ✁ ✏ ô ✖✕ 6tan x tan x ✏ 0♣V N q ô tan x ✏ ô x ✏ π4 kπ Bài tập Giải phương trình sau Phạm Thị Thu Hiền 13 Facebook: Hội toán Bắc Nam Chuyênđềlượnggiác sin 2x ✁ 3cos2 x sin x cos x ✁ ✏ 2sin2 x sin x cos x ✁ 3cos2 x ✏ ❄ ✟ 3sin2 x sin 2x ✁ cos2 x ✏ ❄ 3cos3 x ✁ 5sin3 x sin x ✁ sin x ✁ 2cos3 x ✏ ❄8 cos x ✏ sin 4x cos x cos 2x 3sin2 x ✁ sin 2x cos2 x ✏ cos3 x sin3 x ✁ sin x ✏ cos3 x sin3 x ✁ sin x ✁ sin2 x cos x ✏ 3♣cos3 x ✁ sin3 xq ✏ ♣4 sin 2xq cos x 10 4♣cos3 x sin3 xq ✏ sin x cos x 2.5 Phương trình đối xứng Dạng 1: a ♣sin x cos xq b sin x cos x c ✏ ✁ ❄ ❄ π✠ ; ⑤t⑤ ↕ Đặt t ✏ sin x cos x ✏ sin x ñ t2 ✏ sin x cos x ñ sin x cos x ✏ t ✁2 Thay vào phương trình cho ta phương trình bậc hai theo t Giải phương trình tìm t thỏa điều kiện ⑤t⑤ ↕ ❄ từ suy x Pt a ♣sin x ✁ cos xq b sin x cos x c ✏ tương tự Dạng 2: a ⑤sin x cos x⑤ b sin x cos x c ✏ ❄ ✞✞ ✁ π ✠✞✞ ❄ t ✏ ⑤sin x cos x⑤ ✏ ✞sin x ✞;0 ↕ t ↕ ñ sin x cos x ✏ t ✁2 Pt a ⑤sin x ✁ cos x⑤ b sin x cos x c ✏ tương tự Dạng : Phương trình đối xứng theo tan cot π Đặt t ✏ tan x cot x; x ✘ k , ⑤t⑤ ➙ 2 Phạm Thị Thu Hiền 14 Facebook: Hội toán Bắc Nam Chuyênđềlượnggiác Ví dụ 2.6 Giải phương trình ♣sin x cos xq sin 2x ✏ Giải ♣sin x cos xq sin 2x ✏ ô ♣sin x cos xq sin x cos x ✏ Đặt t ✏ sin x cos x; ⑤t⑤ ↕ t2 ✁ ñ sin x cos x ✏ ñ 3t 2t2 ✁ ✏ ❄ ô ✔2t2 3t ✏✔0 sin x cos x ✏ ✁1 ♣1q t ✏ ✁1 ✖ ✖ ô✕ 1 ô✕ sin x cos x ✏ ✁ ♣2q t✏✁ ❄ ✁ π✠ ♣1q ô cos x ✁ ✏ ✁1 ❄ ✁ π✠ ♣2q ô cos x ✁ ✏ ✁ ✁ π ✠ ✁1 ✁ ô cos x ✁ ✏ ❄ π✠ ✁❄1 ô cos x ✁ ✏ ✁ 2 π✠ ô cos x ✁ ✏ cos 3π4 π ✁1 ô x ✁ ✏ ✟ arccos ❄ k2π 2 ô x ✁ π4 ✏ ✟ 3π4 k2π Ví dụ 2.7 Giải phương trình ♣cos x ✁ sin xq sin x cos x ✏ ✁6 (1) Giải Đặt t ✏ cos x ✁ sin x; ⑤t⑤ ↕ ❄ ñ sin x cos x ✏ 1✁2t thay vào (1) ✁ t2 6t ✏ ✁6 ô 12t ✁ t2 ✏ ✁12 ✔ t ✏ ✁1 ♣N q ô t2 ✁ 12t ✁ 13 ✏ ô ✖✕ t ✏ 13 ♣Lq Phạm Thị Thu Hiền 15 Facebook: Hội toán Bắc Nam Chuyênđềlượnggiác t ✏ ✁1 ô ✁ ❄ ✁ cos x π✠ ✏ ✁1 π✠ ô cos x ✏ ✁ ❄1 ✔ 3π π k2π x ✏ ✖ 4 ô ✕ π 3π x ✏ ✁ k2π 4 Bài tập: ✔ k2π ô✕ x ✏ π k2π x✏ ✖ π Bài 1: Giải phương trình sau: ♣sin x cos xq sin 2x ✏ sin x cos x ✏ ♣sin x ✁ cos x ✁ 1q ❄ ✁ π✠ sin 2x sin x ✁ ✏1 ❄ tan x ✁ 2 sin x ✏ sin3 x cos3 x ✏ cos3 x ✁ sin3 x ✏ cos 2x sin3 x cos3 x ♣sin x cos xq ✁ sin 2x ✏ ✁ π✠ sin x ✏ tan x cot x ♣sin x cos xq4 ✁ sin 2x ✁ ✏ 1 10 sin x cos x tan x cot x sin x cos x 1 11 sin x cos x tan x cot x sin✟x cos x 12 9♣tan x cot xq ✏ 48 tan x cot2 x 96 13 ♣tan x ✁ cot xq tan2 x cot2 x ✏ 1 14 sin x cos x tan x cot x sin ✟ x cos x 2 15 3♣tan x cot xq ✁ tan x cot x ✏ 21 2.6 ✏0 ✏0 ✏0 Phương trình không mẫu mực A Phương pháp đưa phương trình tích Mình hay nói vui phương pháp chia để trị Phạm Thị Thu Hiền 16 Facebook: Hội toán Bắc Nam Chuyênđềlượnggiác Dạng: ✔ A.B ✏ ô ✖✕ A✏0 B ✏0 Ví dụ 2.8 Giải phương trình sin x♣1 cos 2xq sin 2x ✏ cos x Giải sin x♣1 cos 2xq sin 2x ✏ cos x ô sin x♣1 cos2 x ✁ 1q sin x cos x ✏ cos x ô sin x cos2 x sin x cos x ✏ cos x ô sin 2x♣1 cos xq ✏ cos x ô ✔♣1 cos xq♣sin 2x ✁ 1q ✏ cos x ✏ ô ✖✕ sin 2x ✁ ✏ Bài tập Giải phương trình lượnggiác sau ♣2 cos x ✁ 1q♣2 sin x cos xq ✏ sin 2x ✁ sin x 2 cos3 x cos 2x sin x ✏ sin x cos 3x sin 2x ✏ sin 4x ♣1 ✁ cot xq sin3 x ♣cos x ✁ sin xq cos2 x ✏ cos x sin x ♣1 ✁ cos xq cot x cos 2x sin x ✏ sin 2x sin x cos x ✏ ♣1 cos xq cot x ♣2 sin x 1q♣3 cos 4x sin x ✁ 4q cos2 x ✏ cos 3x cos 2x ✁ cos x ✁ ✏ sin 3x ✏ cos x cos 2x♣tan2 x tan 2xq Phạm Thị Thu Hiền 17 Facebook: Hội toán Bắc Nam Chuyênđềlượnggiác 10 sin♣x π q tan x cot x ✏ cot 2x 11 sin x ✁ ✏ 3♣1 ✁ sin xq.tan2 x 12 cos 10x ✁ cos 8x ✁ cos 6x ✏ B.Nhóm phương trình lượnggiác có cung phức tạp ✂ ✡ ✂ 3π ✡ ✏ sin 7π4 ✁ x sin x ✁ ✁ π✠ ♣1 s inx cos2xq sin x ❄ ✏ cos x t anx sin x 3π ✏2 tan♣ ✁ xq cos x 1 sin x ❄ 10 π π sin♣2x ✁ q ✏ sin♣x ✁ q 4 π π sin♣x q ✁ sin♣2x ✁ q ✏ x x π sin2 ♣ ✁ q tan2 x ✁ cos2 ✏ ❄ 5x π 3x x π sin♣ ✁ q ✁ cos♣ ✁ q ✏ cos 4 x π sin x cos x ✏ cos♣ ✁ q ❄ π tan x ✏ 2 sin♣x q π π sin x sin♣x q sin 4x ✏ sin♣2x ✁ q 3 Phạm Thị Thu Hiền 18 Facebook: Hội toán Bắc Nam Chương MỘT SỐ VẤN ĐỀ KHÁC 3.1 GTLN-GTNN Những điểm cần ý: Phương trình a sin x b cos x ✏ c có nghiệm ô a2 b2 BĐT Bunhiacopxki ⑤a.x b.y ⑤ ↕ ❛ ♣a2 b2q ♣x2 y2q Ví dụ 3.1 Tìm GTLN, GTNN hàm số ✏ cos2 x ✁ cos x Đặt t ✏ cos x, y ✏ t2 ✁ t y BBT t ✁1 5 y 11 ✏ t ✏ ✁1 ô cos x ✏ ✁1 ô x ✏ π k2π 11 1 π t ✏ ô cos x ✏ ô x ✏ ✟ k2π M iny ✏ 2 Ví dụ❄3.2 Tìm GTLN-GTNN hàm số cos x y✏ (1) sin x M axy Giải TXĐ: D ✏R 19 ➙ c2 Chuyênđềlượnggiác (1)ô 2y y sin x ✏ ❄ ❄ cos x cos x ✁ y sin x ✏ 2y(2) Phương trình (2) có nghiệm ô ♣✁yq2 ➙ ♣2yq2 ô y2 ➙ 4y2 ô ➙ 3y2 ô y2 ↕ ô ✁1 ↕ y ↕ Vậy M axy ✏ M iny ✏ ✁1 Bài tập: Bài Tìm GTLN-GTNN hàm số sau: y ✏ cos 2x sin x y ✏ ♣4 cos xq♣4 sin xq ✏ sin x cos x ✁ sin 2x ✁ cos x ✁ sin x y ✏ sin x cos x ✁ cos 3x sin 3x y ✏ cos 3x ✁ sin x cos x y ✏ sin x cos x sin x cos x cos2 x y ✏ sin x cos x y y y ✏ 12 cos x s sin x ✏ ❝ ✁ ✁ cos 2x ✁ Phạm Thị Thu Hiền π✠ 2 20 Facebook: Hội toán Bắc Nam Chuyênđềlượnggiác 3.2 NHẬN DẠNG TAM GIÁC Những điểm cần lưu ý sin ♣A B q ✏ sin C cos ♣A B q ✏ ✁ cos C A B A B cos sin ✏ cos C2 ✏ sin C2 Định lí côsin ✏ b2 c2 ✁ 2bc cos A b c ✁ a2 ñ cos A ✏ a2 2bc Định lí sin: a sin A ✏ sinb B ✏ sinc C ✏ 2R Ví dụ 3.3 Tam giác ABC có tính chất nếu: sin A sin B sin C ✏ 2(1) ♣1q ô sin A ✏ sin B sin C ô sin ♣B C q ✏ sin B cos C ô sin B cos C cos B sin C ✏ sin B cos C ô sin B cos C ✁ cos B sin C ✏ ô sin ♣B ✁ C q ✏ ô B ✁ C ✏ kπ Vì B, C góc tam giác nên k ✏ ô B ✏ C Vậy tam giác ABC cân A Ví dụ 3.4 Chứng minh cos A cos B cos C ✏ ABC Chứng minh Phạm Thị Thu Hiền 21 Facebook: Hội toán Bắc Nam tam giácChuyênđềlượnggiác ♣1q ô cos A cos B cos C ✏ ô cos A 12 rcos ♣B C q cos ♣B ✁ C qs ✏ ô cos A r✁ cos A cos ♣B ✁ C qs ✏ ô ✁4cos2A cos A cos ♣B ✁ C q ✏ ô 4cos2A ✁ cos A cos ♣B ✁ C q ✏ ô 4cos2A ✁ cos A cos ♣B ✁ C q cos2 ♣B ✁ C q sin2 ♣B ✁ C q ✏ ô r2 cos A ✁ cos ♣B ✁ C qs2 sin2 ♣B ✁ C q ✏ ✩ ✬ ✫ cos A ✁ cos ♣B ✁ C q ✏ ô✬ ✪ sin ♣B ✁ C q ✏ ✩ ✩ ✩ ✬ ✬ ✬ ✫ cos A ✏ ✫ cos A ✏ ✫ cos A ✏ cos ♣B ✁ C q ô✬ ô✬ ô✬ ✪B ✏ C ✪B ✏ C ✪ B ✁ C ✏ kπ ✩ ✩ π π ✬ ✬ ✫ A ✏ ✟ k2π ✫A ✏ 3 ôA✏B✏C✏ π ô✬ ô✬ ✪B ✏ C ✪B ✏ C Vậy tam giác ABC tam giác Bài tập Bài 1: Chứng tam giác ABC vuông biết: a) cos2 A cos2 B cos2 C ✏1 B C A B C A cos cos ✁ sin sin sin 2 2 2 sin A cos B c) ✏ tan A sin B cos A sin B sin C d) ✏ sin A cos B cos C b c e) cos B cos C ✏ a B a c f ) cot ✏ b b) cos g) sin 2A sin 2B Phạm Thị Thu Hiền ✏ 12 ✏ sin A sin B 22 Facebook: Hội toán Bắc Nam Chuyênđềlượnggiác Bài 2:Chứng tam giác ABC cân biết: sin C ✏ cos A sin B sin A sin B sin C b) sin A sin B ✁ sin C a) ✏ cot A2 cot C2 c) tan A tan B ✏ cot C2 b✁c B✁C d) ✏ tan b c A B e) a tan A b tan B ✏ ♣a bq tan cos B 2a c ❄ f) ✏ sin B 4a2 ✁ c2 Bài 3:Chứng tam giác ABC biết: a) cot A cot B cot C ✏ tan A2 tan B2 tan C2 b) cos A cos B cos C ✏ sin A2 sin B2 sin C2 c) sin2 A sin2 B sin2 C ✏ 49 d) sin A B C sin sin 2 ✩ ✬ ✫ sin A ✏ 81 sin C ✏ sin B e) A B ✬ ✪ tan tan ❄ ✏ 2 3.3 ĐÁNH GIÁ HAI VẾ Những điểm cần lưu ý 2 i) ✁✩1 ↕ sin x ↕ 1; ✁1 ↕ ✩cos x ↕ 1; ↕ sin x ↕ 1; ↕ cos x ↕ ✫A ✏ ➙ 0; B ➙ ✬ ii) ô✬ ✬ ✪A B ✏ ✪B ✏ ✩ ✬ ✫A ✏ 2 iii) A B ✏ ô ✬ ✪B ✏ ✬ ✫A Phạm Thị Thu Hiền 23 Facebook: Hội toán Bắc Nam Chuyênđềlượnggiác ✩ ✬ ✫ A ✩ ✬ ✫A ⑤ ⑤ ↕ 1, ⑤B ⑤ ↕ ✏1 ô✬ ✬ ✪A B ✏ ✪B ✏ ✩ ✬ ✬ A➙M ✬ ✬ ✫ iv) B ↕ M ô A ✏ B ✏ M ✬ ✬ ✬ ✬ ✪A ✏ B Ví dụ 3.5 cos x cos 2x cos 4x ✏ (1) Ta có ✁1 ↕ cos ✩ 4x ↕ với x ✩x ↕ 1; ✁1 ↕ cos✩2x ↕ 1; ✁1 ↕ cos ✬ ✬ ✬ x ✏ k2π ✬ ✬ ✬ x ✏ k2π cos x ✏ ✬ ✬ ✬ ✬ ✬ ✬ ✫ ✫ ✫ Do ♣1q ô cos 2x ✏ ô 2x ✏ k2π ô x ✏ kπ ô x ✏ k2π ✬ ✬ ✬ ✬ ✬ ✬ ✬ ✬ ✬ ✬ ✬ ✬ ✪ cos 4x ✏ ✪ x ✏ kπ ✪ 4x ✏ k2π Ví dụ 3.6 sin x sin 5x ✏ Ta có ✁1 ↕ sin x ↕ 1; ✁1 ↕ sin 5x ↕ với x Do ♣1q ô ✔ ✔✩ ✬ ✫ sin x ✖ ✖ ✖✬ ✖ ✪ sin 5x ✖✩ ✖✬ ✖ ✫ sin x ✖ ✕ ✬ ✪ ✏✁ sin 5x ✏ ✁1 ô ✏ ✏ ✏✁ ✏ ✁2 ô ✔✩ ✬ ✫x ✖ ✖ ✖✬ ✖ ✪x ✖ ✖✩ ✖✬ ✖ ✫x ✖ ✕ ✬ ✪x k2π π ô ô x ✏ x ✏ kπ π x ✏ ✁ k2π Ví dụ 3.7 sin99 x cos100 x ✏ Ta có ✁1 ↕ sin x ↕ 1; ✁1 ↕ cos x ↕ ✖ ✕ x✏ ✏ ✏ ✔✩ π ✬ ✫x k2π ✖ ✖ π ✖✬ ✖ ✪ 5x k2π ✖ ✖✩ π ✖✬ k2π ✖ ✫x ✖ ✕✬ π ✪ 5x k2π π Suy ✩ ✬ ✫ sin99 x ↕ sin2x ✬ ✪ cos100 x ↕ cos2 x Phạm Thị Thu Hiền 24 Facebook: Hội toán Bắc Nam ✏ π2 k2π π ✏ 10 k2π π ✏ k2π π ✏ ✁ 10 k2π Chuyênđềlượnggiác ñ sin99x cos100x ↕ sin2x cos2x ✏ ✩ ✩ ✟ ✬ ✬ ✫ sin99 x ✏ sin2 x ✫ sin2 x sin97 x ✁ ✏ ô ✬ 100 ô ✬ 98 ✟ ✪ cos x ✏ cos x ✪ cos x cos x ✁ ✏ ô ô ✩✔ ✬ ✬ sin2 x ✬ ✖ ✬ ✬ ✕ ✬ ✬ ✬ ✫ sin97 x ✔ ✬ ✬ ✬ ✬ ✖ cos x ✬ ✬ ✕ ✬ ✬ ✪ cos98 x ✩✔ ✬ ✬ ✬ ✖ x kπ ✬ ✬ ✕ ✬ π ✬ ✬ ✫ x ✔ π ✬ ✬ x ✬ ✬ ✖ ✬ ✬ ✕ ✬ ✬ ✪ x kπ ✏0 ✁1✏0 ✏0 ✁1✏0 ✏ ✏ k2π ✏ kπ ✏ ô ✩✔ ✬ ✬ ✬ ✖ sin x ✬ ✬ ✕ ✬ ✬ ✬ ✫ sin x ✔ ✬ ✬ ✬ ✬ ✖ cos x ✬ ✬ ✕ ✬ ✬ ✪ cos x ✔ x✏ ✖ ô✕ π ✏0 ✏1 ✏0 ✏ ✟1 ô ✩✔ ✬ ✬ ✬ ✖ sin x ✬ ✬ ✕ ✬ ✬ ✬ ✫ sin x ✔ ✬ ✬ ✬ ✬ ✖ cos x ✬ ✬ ✕ ✬ ✬ ✪ sin x k2π x ✏ kπ Bài tập cos7 x sin4 x ✏ sin4 x cos1 5x ✏ sin3 x cos3 x ✏ ✁ sin4 x sin100 x cos10 x ✏ sin x cos 4x sin 5x ✏ cos x cos 8x ✁ ✏ sin 2x sin 8x ✏ sin2 x sin 3x ✏ sin x sin2 3x sin5 x ✁ cos2 x ✏ 10 sin3 x cos3 x ✏ Phạm Thị Thu Hiền 25 Facebook: Hội toán Bắc Nam ✏0 ✏1 ✏0 ✏0 Chuyênđềlượnggiác 11 sin x cos x ✏ 3.4 ❄ 2♣2 ✁ sin 3xq PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNGGIÁC CHỨA THAM SỐ Ví dụ 3.8 Tìm m để phương trình sau có nghiệm sin2 x ✁ sin x ✁ m ✏ 0(1) Đặt t ✏ sin x, t r✁1; 1s Khi (1) trở thành t2 ✁ t ✁ m ✏ ô t2 ✁ t ✏ m Xét hàm số y ✏ t2 ✁ t BBT t ✁1 y 11 Dựa vào BBT, phương trình có nghiệm 11 Bài tập Bài 1: Tìm m để phương trình sau có nghiệm cos 2x cos x m ✁ ✏ ♣2 sin xq♣2 cos xq ✏ m HD đặt t ✏ sin x cos x sin x cos x ✏ 6♣sin x cos x mq tan2 x cot2 x ✏ m♣tan x ✁ cot xq ❄ sin2 x ✏m ♣m 1q sin x cos x ✏ sin 2x ✁ ♣2m 1q sinx m ✏ Bài 2: Giải biện luận phương trình ♣m ✁ 1q cos x m ✏ Phạm Thị Thu Hiền 26 Facebook: Hội toán Bắc Nam ↕m↕5 Chuyênđềlượnggiác ❄m tan x m ✁ ✏ sin m cos 2x ✏ Phạm Thị Thu Hiền 27 Facebook: Hội toán Bắc Nam ... đưa vào đề thi Trong chủ đề tháng 12/2016 Hội Toán Bắc Nam xin trình bày số vấn đề lượng giác Chủ đề lượng giác chia làm ba phần: Phần 1: Cơ sở lí thuyết cung liên kết, công thức lượng giác, đẳng... thức lượng giác, đẳng thức lượng giác, hàm số lượng giác Phần 2: Các dạng phương trình lượng giác thường gặp Phần 3: Một số toán lượng giác điển hình có liên quan Chuyên đề chủ yếu xoay quanh toán... C góc tam giác nên k ✏ ô B ✏ C Vậy tam giác ABC cân A Ví dụ 3.4 Chứng minh cos A cos B cos C ✏ ABC Chứng minh Phạm Thị Thu Hiền 21 Facebook: Hội toán Bắc Nam tam giác Chuyên đề lượng giác ♣1q