Bất đẳng thức liên quan đến nhiều tam giác (LV thạc sĩ)

Bất đẳng thức liên quan đến nhiều tam giácBất đẳng thức liên quan đến nhiều tam giácBất đẳng thức liên quan đến nhiều tam giácBất đẳng thức liên quan đến nhiều tam giácBất đẳng thức liên quan đến nhiều tam giácBất đẳng thức liên quan đến nhiều tam giácBất đẳng thức liên quan đến nhiều tam giácBất đẳng thức liên quan đến nhiều tam giácBất đẳng thức liên quan đến nhiều tam giácBất đẳng thức liên quan đến nhiều tam giácBất đẳng thức liên quan đến nhiều tam giácBất đẳng thức liên quan đến nhiều tam giácBất đẳng thức liên quan đến nhiều tam giácBất đẳng thức liên quan đến nhiều tam giácBất đẳng thức liên quan đến nhiều tam giácBất đẳng thức liên quan đến nhiều tam giácBất đẳng thức liên quan đến nhiều tam giácBất đẳng thức liên quan đến nhiều tam giácBất đẳng thức liên quan đến nhiều tam giácBất đẳng thức liên quan đến nhiều tam giácBất đẳng thức liên quan đến nhiều tam giác

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TRẦN HUY THỤY BẤT ĐẲNG THỨC LIÊN QUAN ĐẾN NHIỀU TAM GIÁC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2016 S hóa bi Trung tâm Hc liu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TRẦN HUY THỤY BẤT ĐẲNG THỨC LIÊN QUAN ĐẾN NHIỀU TAM GIÁC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60 46 01 13 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS NGUYỄN VĂN NGỌC Thái Nguyên - 2016 S hóa bi Trung tâm Hc liu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn i Mục lục Danh mục ký hiệu iii Mở đầu Chương Bất đẳng thức hai tam giác liên quan 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 Kiến thức bổ trợ 1.1.1 Các bất đẳng thức 1.1.2 Các đại lượng định lý thông dụng tam giác Bất đẳng thức Neuberg-Pedoe 12 1.2.1 Giới thiệu Daniel Pedoe 12 1.2.2 Bất đẳng thức Neuberg-Pedoe 12 1.2.3 Bất đẳng thức Neuberg-Pedoe mở rộng 14 Tam giác trực tâm 21 1.3.1 Mô tả toán 21 1.3.2 Các kết 21 Tam giác trung tuyến 24 1.4.1 Mô tả toán 24 1.4.2 Các kết 24 Các bất đẳng thức Barrow-Tomescu-Klamkin 28 1.5.1 Bất đẳng thức cạnh góc tam giác 28 1.5.2 Một số hệ 29 Chương Các bất đẳng thức liên quan đến nhiều tam giác 2.1 36 Dãy tam giác 36 S hóa bi Trung tâm Hc liu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn ii 2.2 2.3 2.1.1 Phát biểu toán 36 2.1.2 Các kết 37 Bất đẳng thức Oppenheim nhiều tam giác 38 2.2.1 Giới thiệu 38 2.2.2 Các kết 39 Bất đẳng thức tam giác với nhiều tam giác liên quan 41 2.3.1 Bất đẳng thức diện tích cho hai tam giác có quan hệ với 41 2.3.2 Bất đẳng thức diện tích cho n tam giác 43 2.3.3 Bất đẳng thức cho góc dãy n tam giác 44 2.3.4 Bất đẳng thức bao gồm bán kính đường tròn ngoại tiếp bán kính đường tròn nội tiếp 44 2.3.5 Bất đẳng thức bao gồm nửa chu vi bán kính đường tròn ngoại tiếp 45 2.3.6 Bất đẳng thức bao gồm diện tích bán kính đường tròn ngoại tiếp 46 2.3.7 Các trường hợp đặc biệt 46 Kết luận 49 Tài liệu tham khảo 50 S hóa bi Trung tâm Hc liu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn iii Danh mục ký hiệu ABC Tam giác ABC a, b, c Độ dài cạnh BC, CA, AB ∆ Diện tích tam giác s Nửa chu vi tam giác ma , mb , mc Độ dài trung tuyến ứng với cạnh a, b, c wa , wb , wc Độ dài phân giác ứng với cạnh a, b, c , hb , hc Độ dài đường cao ứng với cạnh a, b, c r, R Bán kính đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp , rb , rc Bán kính đường tròn bàng tiếp ứng với cạnh a, b, c a Tổng a + b + c a2 Tổng a2 + b2 + c2 (a2 a ) Tổng a2 a + b2 b + c2 c cot A Tổng cot A + cot B + cot C {E} "Đẳng thức xảy tam giác ABC tam giác đều" {Sn } "Đẳng thức xảy n tam giác đồng dạng" S hóa bi Trung tâm Hc liu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn Mở đầu Bất đẳng thức liên quan đến hai hay nhiều tam giác, dãy tam giác cho biết mối quan hệ mật thiết đại lượng tam giác Các bất đẳng thức thuộc loại khó có số lượng khiêm tốn so với bất đẳng thức tam giác Cho tam giác ABC , với a, b, c cạnh, s, R, r ∆ nửa chu vi, bán kính đường tròn ngoại tiếp, bán kính đường tròn nội tiếp, diện tích wa , wb , wc phân giác góc, , hb , hc chiều cao Tương tự, tam giác A B C , độ dài cạnh đại lượng khác ký hiệu a , b , c , Đã có thời gian dài học giả nghiên cứu bất đẳng thức hai tam giác Hai bất đẳng thức tiếng bất đẳng thức Neuberg–Pedoe [5] a (b2 + c2 − a2 ) + b (c2 + a2 − b2 ) + c (a2 + b2 − c2 ) ≥ 16∆∆ bất đẳng thức Klamkin [2] a + b + c ≥ (−1)n+1 (2a b cos nC + 2b c cos nA + 2c a cos nB) Gần đây, học giả Trung Quốc tìm thêm số bất đẳng thức liên quan hai tam giác (xem [5]) Chẳng hạn như, Zhang Gao chứng minh bất đẳng thức sau a2 a + b2 b + c2 c ≥ 16∆∆ , a (b + c − a) + b (c + a − b) + c (a + b − c) ≥ S hóa bi Trung tâm Hc liu ĐHTN √ 48∆∆ http://www.lrc.tnu.edu.vn Mục đích đề tài luận văn tìm hiểu học tập bất đẳng thức liên quan đến nhiều tam giác, từ hình thành số chuyên đề phục vụ cho công tác giảng dạy bồi dưỡng Toán cho học sinh bậc THPT Trong luận văn này, tên gọi chương, mục tiểu mục tự đặt phù hợp với nội dung tương ứng Luận văn có bố cục: Mở đầu, hai chương, Kết luận Tài liệu tham khảo Chương 1: Bất đẳng thức hai tam giác trình bày bất đẳng thức hai tam giác có liên quan đặc biệt (tam giác Trực tâm, tam giác Trung tuyến), bất đẳng thức liên quan đến đại lượng độ dài, diện tích góc hai tam giác (các bất đẳng thức Barrow-Tomescu-Klamkin, Pedoe, ) Chương 2: Các bất đẳng thức liên quan đến nhiều tam giác trình bày bất đẳng thức liên quan đến nhiều tam giác Các vấn đề trình bày chương tóm lược sau Trước hết bất đẳng thức liên quan đến dãy tam giác Bắt đầu với tam giác ABC , liên tục xây dựng dãy tam giác (An Bn Cn )n∈N , với A0 B0 C0 = ABC số đo góc độ đo cạnh định nghĩa cách đệ quy An+1 = π − An π − Bn π − Cn , Bn+1 = , Cn+1 = , 2 an+1 = an (bn + cn − an ), bn+1 = cn+1 = cn (an + bn − cn ) bn (cn + an − bn ), Tiếp đó, giả sử Ai , Bi , Ci (i = 0, 1, , n − 1) n tam giác với độ dài cạnh , bi , ci Xét tam giác An Bn Cn , có cạnh an , bn , cn định nghĩa phương trình n−1 a2n n−1 a2i , = S hóa bi Trung tâm Hc liu ĐHTN b2n n−1 b2i , = c2n c2i = http://www.lrc.tnu.edu.vn Sau cùng, xét bất đẳng thức tam giác ABC n tam giác Ai Bi Ci liên quan với theo hệ thức a= w i , b = i wi bi , c = i w i ci , i A= wi A i , B = i wi Bi , C = i wi số dương cho trước với w i Ci , i i wi = Trong suốt trình học tập làm luận văn, bên cạnh nỗ lực học tập, nghiên cứu thân hướng dẫn tận tình Thầy hướng dẫn: TS Nguyễn Văn Ngọc, Trường Đại học Thăng Long Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy Em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban Giám hiệu, Phòng Đào tạo, Khoa Toán - Tin Trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên, thầy, cô giảng dạy lớp cao học toán K8YB trang bị kiến thức, tạo điều kiện thuận lợi suốt trình em học tập Trường trình làm luận văn Em xin cảm ơn thầy, cô Ban giám hiệu, đồng nghiệp trường Trung học Phổ thông trường THPT Mù Cang Chải, Yên Bái nơi mà em công tác tạo điều kiện giúp đỡ động viên Xin cảm ơn bạn bè học viên lớp cao học toán K8YB quan tâm, động viên, giúp đỡ em suốt thời gian học tập trình làm luận văn Sự quan tâm, động viên khích lệ gia đình nguồn động viên lớn để em hoàn thành khóa luận Thái Nguyên, tháng năm 2016 Tác giả Trần Huy Thụy S hóa bi Trung tâm Hc liu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn Chương Bất đẳng thức hai tam giác liên quan Chương trình bày số kiến thức bổ trợ bất đẳng thức dãy số tam giác, bất đẳng thức hai tam giác có liên quan đặc biệt (tam giác trực tâm, tam giác trung tuyến), bất đẳng thức liên quan đến đại lượng độ dài, diện tích góc hai tam giác (Các bất đẳng thức Barrow-Tomescu-Klamkin, Pedoe, Nội dung Chương hình thành chủ yếu từ tài liệu [3-5] 1.1 1.1.1 Kiến thức bổ trợ Các bất đẳng thức Các bất đẳng thức đại số ứng dụng sâu rộng chứng minh bất đẳng thức hình học Trong luận văn xin trình bày lại số bất đẳng thức đại số bất đẳng thức AM − GM (Arithmetic Mean - Geometric Mean), bất đẳng thức Cauchy - Schawrz, bất đẳng thức Chebyshev Định lý 1.1 (Bất đẳng thức AM −GM ).Với n số thực không âm a1 , a2 , , an , ta có bất đẳng thức a1 + a2 + + an n √ n a1 a2 an Đẳng thức xảy a1 = a2 = = an S hóa bi Trung tâm Hc liu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn Hệ 1.1 (Bất đẳng thức GM − HM ).Với số dương ta có √ n n a1 a2 an 1 + + + a1 a2 an Đẳng thức xảy a1 = a2 = = an Hệ 1.2 Với số dương a1 , a2 , , an ta có n a1 + a2 + + an 1 1 + + + n a1 a2 an Đẳng thức xảy a1 = a2 = = an Hệ 1.3 Với số không âm a1 , a2 , , an m = 1, 2, ta có m m am + a2 + + an n a1 + a2 + · · · + an n m Định lý 1.2 (Bất đẳng thức Cauchy - Schawrz) Xét hai số thực tùy ý a1 , a2 , · · · , an b1 , b2 , · · · , bn Khi ta có (a1 b1 + a2 b2 + · · · + an bn )2 Đẳng thức xảy (a21 + a22 + · · · + a2n )(b21 + b22 + · · · + b2n ) a1 a2 an = = ··· = , (với quy ước mẫu b1 b2 bn tử 0) Định lý 1.3 (Bất đẳng thức Chebyshev) Nếu (a1 , a2 , , an ) (b1 , b2 , , bn ) hai dãy số đồng dạng (cùng đơn điệu tăng đơn điệu giảm) a1 b1 + a2 b2 + + an bn ≥ n a1 + a2 + + an n b1 + b2 + + bn n (1.1) Nếu (a1 , a2 , , an ) (b1 , b2 , , bn ) hai dãy ngược (một dãy đơn điệu tăng, dãy đơn điệu giảm) a1 b1 + a2 b2 + + an bn ≤ n S hóa bi Trung tâm Hc liu a1 + a2 + + an n ĐHTN b1 + b2 + + bn n http://www.lrc.tnu.edu.vn (1.2) 36 Chương Các bất đẳng thức liên quan đến nhiều tam giác Chương trình bày bất đẳng thức liên quan đến nhiều tam giác, có dãy tam giác Nội dung chương hình thành chủ yếu từ tài liệu [1, 2] 2.1 Dãy tam giác 2.1.1 Phát biểu toán Bắt đầu với tam giác ABC , xây dựng để đạt dãy tam giác (An Bn Cn )n∈N , với A0 B0 C0 = ABC số đo góc độ đo cạnh định nghĩa cách đệ quy An+1 = π − An π − Bn π − Cn , Bn+1 = , Cn+1 = , 2 an+1 = an (bn + cn − an ), bn+1 = cn+1 = cn (an + bn − cn ) bn (cn + an − bn ), Gọi sn , Rn , rn , ∆n nửa chu vi, bán kính đường tròn ngoại tiếp, bán kính đường tròn nội tiếp, diện tích tam giác An Bn Cn Lưu ý ∆n = ∆ với n Bổ đề 2.1 Cho dãy (An )n∈N , (Bn )n∈N , (Cn )n∈N dãy hội tụ lim An = lim Bn = lim Cn = n→∞ S hóa bi Trung tâm Hc liu n→∞ ĐHTN n→∞ π http://www.lrc.tnu.edu.vn 37 Chứng minh Không tính tổng quát ta xét dãy (An )n∈N Ta có An+1 = π − An π π ⇔ An+1 − = − (An − ) 3 π dãy hình học với tỷ số chung − Nó hội tụ n∈N π đến 0, lim An = x→∞ Cho nên dãy An − 2.1.2 Các kết Mệnh đề 2.1 Dãy (Rn )n∈N dãy hội tụ lim Rn = x→∞ √ 3.∆ Chứng minh Từ Rn = an b n c n 8Rn3 sin An sin Bn sin Cn = , 4n 4∆n ta có Rn2 = ∆ sin An sin Bn sin Cn Kết suy ta từ Bổ đề 2.1 Mệnh đề 2.2 Các dãy (an )n∈N , (bn )n∈N , (cn )n∈N hội tụ lim an = lim bn = lim cn = x→∞ x→∞ x→∞ ∆ √ Chứng minh Ta có an = 2Rn sin An , nên theo Bổ đề 2.1 2.1 ta có lim an = lim bn = lim cn = x→∞ x→∞ x→∞ ∆ √ Từ kết nhận số dãy hội tụ thú vị Trong trường hợp, tính chất tăng giảm cách rõ ràng từ Mệnh đề 1.2 tổng kết Bảng 2.1 Các tính chất tăng hay giảm dãy này, với giới hạn chúng số bất đẳng thức hình học tiếng khác cho Định lý S hóa bi Trung tâm Hc liu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 38 Bảng 2.1: (a) Dãy số ∆n số (b) sin An + sin Bn + sin Cn Tăng (c) (d) (e) Rn sn rn Rn rn a2n + b2n + c2n a2n + b2n + c2n − (bn − cn )2 −(cn − an )2 − (an − bn )2 Giảm Giảm Tăng (f) (g) (h) Giới hạn ∆ √ 3 √ 3∆ √ 3.∆ √ 3.∆ Giảm Giảm Giảm √ 3∆ √ 3∆ Trích dẫn Bổ đề 1.1c) Mệnh đề 1.2d), Bổ đề 2.1 Mệnh đề 1.2e), 2.1 Mệnh đề 1.2c), 2.1 Mệnh đề 1.2f) Mệnh đề 1.2b), 2.2 Mệnh đề 1.2a) b), 2.2 Định lý 2.1 Trong tam giác ABC có bất đẳng thức sau a) √ 3 sin A + sin B + sin C ≤ , R ≥ 2r ( Bất đẳng thức Euler), √ c) a2 + b2 + c2 ≥ 3∆ (Bất đẳng thức Weizenbock), √ d) a2 + b2 + c2 ≥ 3∆ + (a − b)2 + (b − c)2 + (c − a)2 b) (Bất đẳng thức Hadwiger-Finsler) 2.2 2.2.1 Bất đẳng thức Oppenheim nhiều tam giác Giới thiệu Bốn bất đẳng thức Oppenheim liên quan tới yếu tố hai tam giác mở rộng tới yếu tố n tam giác Trong ghi này, đưa mở rộng bốn bất đẳng thức tam giác Oppenheim xuất Bài toán 5092 (Amer, Math Month, 71 (1964), 444-445) S hóa bi Trung tâm Hc liu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 39 2.2.2 Các kết Định lý 2.2 Giả sử Ai , Bi , Ci (i = 0, 1, , n − 1) n tam giác với cạnh , bi , ci , diện tích ∆i , chiều cao hi Nếu an , bn , cn số dương định nghĩa phương trình n−1 a2n n−1 a2i , b2n = n−1 b2i , c2n = 0 c2i , = (i) an , bn , cn cạnh tam giác, (ii) h2n ≥ n−1 h2i Dấu đẳng thức xảy bất đẳng thức n tam giác đầu đồng dạng, n−1 (iii) ∆ ≤ ∆i , đẳng thức xảy n tam giác đồng dạng, (iv) ∆ ≤ nn n−1 ∆i , đẳng thức xảy n tam giác đồng dạng Chứng minh (i) từ bất đẳng thức Minkowski 1 m m m m m m m (xm + x2 + + xn ) + (y1 + y2 + + yn ) ≥ {(x1 + y1 )m + (x2 + y2 )m + + (xn + yn )m } m , đó, xi , yi ≥ 0, m > (ii) Từ định lý cosin, nhận n−1 cn an cos Bn = ci cos Bi Bình phương hai vế áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có n−1 c2n cos2 Bn ≤ n−1 a2i a2n c2i cos2 Bi Bởi vì, n−1 c2n sin2 Bn S hóa bi Trung tâm Hc liu ĐHTN ≥ c2i sin2 Bi http://www.lrc.tnu.edu.vn 40 vì, n−1 p2n p2i tương tự choqn2 vàrn2 ≥ Đẳng thức cho p2n ci cos Bi =k (i = 0, 1, , n − 1) Do đẳng thức cho đường cao, đồng dạng điều kiện đủ điều kiện cần Đẳng thức cho hai ba đường cao n tam giác ban đầu đồng dạng (iii) Ta có n−1 n−1 p i ∆i = 0 n−1 p2i ≤ n−1 a2i 0 ≤ pn an = 2∆n Mặt khác, dấu đẳng thức xảy n tam giác đầu dồng dạng (iv) Ta có ∆n ≥ ∆0 + ∆1 + + ∆n−1 ≥ n(∆0 ∆1 ∆n−1 ) n n−1 ∆nn n ≥n ∆i Đẳng thức xảy n tam giác đầu đồng dạng Nó từ (i) m , bi m , ci m (m > 1) cạnh tam giác S hóa bi Trung tâm Hc liu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 41 2.3 Bất đẳng thức tam giác với nhiều tam giác liên quan Trong mục trình bày bất đẳng thức liên quan tới thành phần tam giác liên hợp với n tam giác cho trước Hai số bất đẳng thức trường hợp đặc biệt cặp tam giác liên hợp Cho tam giác ABC , ta có bất đẳng thức sau [[3], tr.12] abc ≥ (a + b − c)(b + c − a)(c + a − b) {E} (2.1) Bằng chứng minh đơn giản mục cho bất đẳng thức dạng a2 ≥ a2 − (b − c)2 , b2 ≥ b2 − (a − c)2 , c2 ≥ c2 − (b − a)2 Bởi (2.1), dẫn tới vấn đề tổng quát việc xét trung bình cạnh tam giác Một đối ngẫu bất đẳng thức xét trung bình góc tam giác 2.3.1 Bất đẳng thức diện tích cho hai tam giác có quan hệ với Trong mục đề cập tới bất đẳng thức diện tích cho hai tam giác có cạnh tam giác trung bình cộng hai cạnh tam giác lại Cụ thể xét tam giác khác A B C a = b+c , b = c+a , c = a+b Do đó, s = s ∆A B C "gần với" tam giác ∆ABC , kỳ vọng ∆ ≥ ∆ {E} Vì đây, ∆ = (abcs) , bất đẳng thức tương đương với (2.1) S hóa bi Trung tâm Hc liu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 42 Tổng quát hơn, nên kỳ vọng bất đẳng thức tương tự cho biến đổi trung bình hợp lý mà làm cho ∆A B C "đều hơn" ∆ABC Chính xác hơn, a = ua + vb + wc, b = va + wb + uc, c = wa + ub + vc, đó, u + v + w = 1, u, v, w ≥ 0, s = s ∆ ≥ ∆ {E} (2.2) Bất đẳng thức tam giác tương đương với (xa + yb + zc)(ya + zb + xc)(za + xb + yc) ≥ (a + b − c)(c + a − b)(b + c − a), (2.3) đó, x + y + z = 1, −1 ≤ x, y, z ≤ Mở rộng sử dụng ab = s2 + 4Rr + r2 , abc = 4Rrs, a = 2s, công thức (2.3) viết lại sau (1 + xyz)(2s3 − 6sr2 ) + 12Rrs(5xyz − ≥(1 − x2 y) a2 b + (1 − xy ) xy) (2.4) ab2 Với trường hợp đặc biệt x − = y = z = tương ứng với (2.1), (2.4) rút gọn tới bất đẳng thức biết R ≥ 2r Một chứng minh (2.2) mục S hóa bi Trung tâm Hc liu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 43 Bất đẳng thức diện tích cho n tam giác 2.3.2 Trong mục trình bày số bất đẳng thức mối quan hệ diện tích cho dãy n tam giác Nội dung tham khảo [2] Cho , bi , ci ký hiệu cạnh n tam giác Ai Bi Ci (i = 1, 2, , n) Khi ba số a= w i , b = w i bi , c = w i ci , wi = 1, wi ≥ 0, độ dài cạnh tam giác ABC Khi đó, s= wi si i ∆2 = w i si i i wi (si − ) i wi (si − bi ) i wi (si − ci ) Sử dụng hai lần bất đẳng thức Cauchy ta có, √ ∆≥ wi {Sn } ∆i i (2.5) đó, ký hiệu {Sn } thay cho "đẳng thức xảy n tam giác đồng dạng" Vì r2 s = (s − a)(s − b)(s − c) 4R∆ = abc, nên áp dụng bất đẳng thức Holder ta có bất đẳng thức sau 1 (r2 s) ≥ wi (r2 si ) i {Sn } (2.6) {Sn } (2.7) (∆R) ≥ wi (∆i Ri ) i Nếu cho n = 3, (a2 , b2 , c2 ) = (a1 , b1 , c1 ), (a3 , b3 , c3 ) = (a1 , b1 , c1 ), S hóa bi Trung tâm Hc liu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn (2.8) 44 (2.5) rút gọn thành (2.2), (2.6) rút gọn thành r ≥ r1 (2.7) rút gọn thành ∆R ≥ ∆1 R1 tương đương với Rr ≥ R1 r1 (tất {E}) Bất đẳng thức cho góc dãy n tam giác 2.3.3 Trong mục trình bày bất đẳng thức mối quan hệ góc dãy n tam giác Cụ thể xét biến đổi trung bình góc n tam giác Ai Bi Ci với i = 1, 2, , n Cho góc ∆ABC cho A= wi A i , B = wi Bi , C = i i w i Ci , i wi = 1, wi ≥ Vì ∆ABC "đều hơn" tam giác tập n tam giác Ai Bi Ci nên kỳ vọng vài bất đẳng thức đẳng cấu với tỉ số s2 Cụ thể hơn, ∆ s2 ≤ ∆ Chứng minh Thật vậy, Vì cot s2 = cot ∆ wi i wi i s2i {Sn } ∆i (2.9) θ hàm lồi ≤ θ ≤ π Ai + cot wi i Bi + cot wi i Ci Chúng ta nhận s2 ≤ ∆ wi i Ai Bi Ci + + 2 điều tương đương với (2.9) 2.3.4 Bất đẳng thức bao gồm bán kính đường tròn ngoại tiếp bán kính đường tròn nội tiếp Bất đẳng thức sau biểu diễn mối quan hệ bán kính đường tròn ngoại tiếp bán kính đường tròn nội tiếp dãy n tam giác S hóa bi Trung tâm Hc liu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 45 Cho góc ∆ABC cho A= wi A i , B = i wi Bi , C = i wi Ci , i wi = 1, wi ≥ Khi đó, ta có r = sin 4R ≥ wi i Ai wi sin i Ai sin wi sin i wi i Bi Bi sin wi sin i wi i Ci Ci Áp dụng bất đẳng thức Holder ta có r ≥ 4R wi i Ai Bi Ci sin sin sin 2 , r R ≥ wi i ri Ri {Sn } (2.10) Do vậy, r ≥ i R 2.3.5 ri Ri Bất đẳng thức bao gồm nửa chu vi bán kính đường tròn ngoại tiếp Bất đẳng thức sau biểu diễn mối quan hệ nửa chu vi bán kính đường tròn ngoại tiếp dãy n tam giác Cho góc ∆ABC cho A= wi A i , B = i wi Bi , C = i w i Ci , i wi = 1, wi ≥ Khi đó, ta có s = sin R ≥ wi Ai + sin i wi Bi + sin i w i Ci i wi (sin Ai + sin Bi + sin Ci ) i S hóa bi Trung tâm Hc liu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 46 s ≥ R wi i si Ri {Sn } (2.11) Khi dễ dàng ta có, s ≥ i R 2.3.6 si Ri Bất đẳng thức bao gồm diện tích bán kính đường tròn ngoại tiếp Bất đẳng thức sau biểu diễn mối quan hệ diện tích bán kính đường tròn ngoại tiếp dãy n tam giác Cho góc ∆ABC cho A= wi A i , B = i wi Bi , C = i w i Ci , i wi = 1, wi ≥ Vì 4∆R = abc, nên ∆ = sin 2R2 wi Ai sin i wi Bi sin i w i Ci i ≥ wi (sin Ai sin Bi sin Ci ) i ∆ R2 wi i ∆i Ri2 ∆ ≥ i R2 ∆i Ri2 ≥ {Sn } (2.12) Khi dễ dàng ta có, 2.3.7 Các trường hợp đặc biệt Bây kết hợp bất đẳng thức (2.9), (2.10), (2.11), (2.12) với điều kiện (2.8) Những bất đẳng thức trở thành ∆ ∆1 ≥ 2 s s1 S hóa bi Trung tâm Hc liu ĐHTN {E}, http://www.lrc.tnu.edu.vn (2.13) 47 r r1 ≥ R R1 {E}, (2.14) s s1 ≥ R R1 {E}, (2.15) ∆ ∆1 ≥ 2 R R1 {E} (2.16) Nếu thêm điều kiện, ∆ABC bị giới hạn đường tròn ngoại tiếp giống ∆A1 B1 C1 , r ≥ r1 {E}, (2.17) s ≥ s1 {E}, (2.18) ∆ ≥ ∆1 {E} (2.19) Tiếp theo bất đẳng thức lượng giác đặc biệt Nếu cho w1 = w2 = , w3 = 0, (sin A + sin B + sin C)2 2s2 = , ∆ sin A sin B sin C (2.13) trở thành 1 r A B C = sin sin sin 2R 2 A A B B C C cos sin + cos sin + cos sin 2 2 2 ≤ A B C cos + cos + cos 2 (2.20) tương đương với cot π−A π−B π−C A B C + cot + cot ≤ cot + cot + cot 4 2 S hóa bi Trung tâm Hc liu ĐHTN {E} http://www.lrc.tnu.edu.vn (2.21) 48 Tương tự, nhận sin π−A π−B π−C A B C + sin + sin ≥ sin + sin + sin 4 2 {E} (2.22) cos π−A π−B π−C A B C + cos + cos ≤ sin + sin + sin 4 2 {E} (2.23) S hóa bi Trung tâm Hc liu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 49 Kết luận Luận văn trình bày lại số kết sau: - Các bất đẳng thức hai tam giác có liên quan đặc biệt (tam giác Trực tâm, tam giác Trung tuyến), bất đẳng thức liên quan đến đại lượng độ dài, diện tích góc hai tam giác (Các bất đẳng thức Barrow-Tomescu-Klamkin, Pedoe, ) - Các bất đẳng thức liên quan đến dãy tam giác: bất đẳng thức Oppenheim nhiều tam giác, bất đẳng thức tam giác với nhiều tam giác liên quan - Các kiến thức trình bày luận văn tác giả dịch biên tập lại từ nhiều báo khoa học tiếng Ạnh Mục đích đề tài luận văn tìm hiểu học tập bất đẳng thức liên quan đến nhiều tam giác, từ hình thành số chuyên đề phục vụ cho công tác giảng dạy bồi dưỡng Toán cho học sinh bậc THPT Trong luận văn này, tên gọi chương, tên mục tiểu mục tác giả tự đặt phù hợp với nội dung tương ứng S hóa bi Trung tâm Hc liu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 50 Tài liệu tham khảo [1] Dana M., Mihai M., Mihai O., and Marian S (2009), "A Sequence of Triangles and Geometric Inequalities", Forum, Geometricorium, Volume 9, pp 291-295 [2] Klamkin M S (1970), "Notes on Inequalities Involving Triangles or Tetrahedrons", Publications De La Faculte Electrotechnique De L’Universite, No 330-337 [3] Lee H (2006), "Topics in Inequalities- Theorems and Techniques", www.math.rochester.edu/ /tin 2006 new [4] Poh K.S (1983), "A short note on a Pedoe’s Theorems about two triangles", Math Medley, 11 (1983), pp 57–61, ( sms.math.nus.edu.sg/ ) [5] Wu Y L (2000), "Two Geometric Inequalities involved Triangles", Octogon Mathematical Magazine, Volume 17, pp.193-198 S hóa bi Trung tâm Hc liu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn ... Chương Bất đẳng thức hai tam giác liên quan Chương trình bày số kiến thức bổ trợ bất đẳng thức dãy số tam giác, bất đẳng thức hai tam giác có liên quan đặc biệt (tam giác trực tâm, tam giác trung... tích góc hai tam giác (các bất đẳng thức Barrow-Tomescu-Klamkin, Pedoe, ) Chương 2: Các bất đẳng thức liên quan đến nhiều tam giác trình bày bất đẳng thức liên quan đến nhiều tam giác Các vấn... tham khảo Chương 1: Bất đẳng thức hai tam giác trình bày bất đẳng thức hai tam giác có liên quan đặc biệt (tam giác Trực tâm, tam giác Trung tuyến), bất đẳng thức liên quan đến đại lượng độ dài,