tam giác liên quan
Trong mục này chúng tôi trình bày những bất đẳng thức liên quan tới các thành phần của một tam giác liên hợp với n tam giác cho trước. Hai trong số các bất đẳng thức này là những trường hợp đặc biệt của một cặp các tam giác liên hợp.
Cho tam giác bất kì ABC, ta có bất đẳng thức sau [[3], tr.12]
abc≥(a+b−c)(b+c−a)(c+a−b) {E} (2.1)
Bằng các chứng minh đơn giản dưới ở các mục tiếp theo cho bởi những bất đẳng thức dạng
a2 ≥a2−(b−c)2, b2 ≥b2−(a−c)2, c2 ≥c2−(b−a)2.
Bởi (2.1), chúng ta được dẫn tới vấn đề tổng quát bằng việc xét trung bình trên các cạnh của một tam giác. Một sự đối ngẫu là một bất đẳng thức được xét trung bình trên các góc của một tam giác.
2.3.1 Bất đẳng thức diện tích cho hai tam giác có quan hệ với nhau
Trong mục này chúng tôi đề cập tới bất đẳng thức diện tích cho hai tam giác có các cạnh của tam giác này là trung bình cộng của hai cạnh của tam giác còn lại. Cụ thể chúng ta xét một tam giác khác A0B0C0 trong đó
a0= b+c
2 , b0= c+a
2 , c0 = a+b
2 .
Do đó, s =s0 và ∆A0B0C0 là "gần với" một tam giác đều hơn ∆ABC, chúng ta kỳ vọng rằng
∆0 ≥∆ {E}.
Tổng quát hơn, chúng ta nên kỳ vọng bất đẳng thức tương tự cho bất kỳ biến đổi trung bình hợp lý mà làm cho ∆A0B0C0 "đều hơn" ∆ABC. Chính xác hơn, nếu a0=ua+vb+wc, b0=va+wb+uc, c0=wa+ub+vc, trong đó, u+v +w= 1, u, v, w≥0, thì khi đó s0=s và ∆0 ≥∆ {E}. (2.2)
Bất đẳng thức tam giác này là tương đương với
(xa+yb+zc)(ya+zb+xc)(za+xb+yc) ≥(a+b−c)(c+a−b)(b+c−a), (2.3) trong đó, x+y+z = 1, −1≤x, y, z ≤1. Mở rộng và sử dụng X a= 2s, Xab=s2+ 4Rr+r2, abc= 4Rrs,
thì công thức (2.3) có thể được viết lại như sau
(1 +xyz)(2s3−6sr2) + 12Rrs(5xyz−Xxy) (2.4) ≥(1−Xx2y)Xa2b+ (1−Xxy2)Xab2.
Với trường hợp đặc biệt khi x−1 = y = z = 0 là tương ứng với (2.1), (2.4) rút gọn tới bất đẳng thức đã biết R ≥2r.