hình lớp 7 đã ghép

TOÁN LỚP CHƯƠNG 1: ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG § 1: HAI GÓC ĐỐI ĐỈNH I Nhắc lại lí thuyết Hai góc đối đỉnh • • Hai góc đối đỉnh hai góc mà cạnh góc tia đối cạnh góc Hai góc đối đỉnh II Các dạng tập Dạng 1: Nhận biết hai góc đối đỉnh Ví dụ 1: Cho ba đường thẳng cắt O hình vẽ bên Kể tên cặp góc đối đỉnh nhỏ góc bẹt hình vẽ B Giải: Các cặp góc đối đỉnh nhỏ góc bẹt là: AOC BOD, A COM DON, MOB NOA, AOM BON, COB DOA, MOD NOC M C B O A 6.5 = 15 N Chú ý: Có tia chung gốc có (góc), có góc bẹt Mỗi góc 12 góc có góc đối đỉnh với nó, lại 12 góc nhỏ góc bẹt D Trong hình có 12 : = cặp góc đối đỉnh Dạng 2: Tính số đo góc Ví dụ 2: Cho đường thẳng xy x’y’ cắt O Biết Tính góc yOy’, x’Oy, xOy’ · ' = 38o xOx x' Giải: Vì góc xOx’ góc yOy’ hai góc đối đỉnh , mà ·yOy’ = 38o · ’ xOx = 38o nên 38 x y O y' - Góc xOx’ x’Oy hai góc kề bù nên Hay 38o + x· 'Oy = 180o , suy x· ' Oy · ’ xOx + x· ' Oy = 180o = 180o – 38o = 142o - Góc x’Oy góc xOy’ hai góc đối đỉnh nên · ' = x· ' Oy =142o xOy III Bài tập Bài 1: Cho hình vẽ bên: a) Góc O1và O3 có phải hai góc đối đỉnh không? b) Kể tên cặp góc đối đỉnh hình vẽ ·AOB · BOC Bài 2: Cho góc nhọn , vẽ ·AOB góc kề bù với Chứng tỏ rằng: a) Hai góc · BOC ·AOD O5 hai ·AOD hai góc đối đỉnh · ·AOD BOC b) Hai tia phân giác hai góc hai tia đối Bài : Hai đường thẳng xx’và yy’ cắt O, biết góc ·AOB · ' − xOy · xOy = 30o Tính Bài : Cho = 135o Vẽ góc BOC AOD kề bù với góc AOB Chứng minh rằng: a) Hai góc BOC AOD hai góc đối đỉnh; b) Hai tia phân giác cua góc BOC AOD hai tia đối Bài 5: Trên đường thẳng AA’ lấy điểm O Trên nửa mặt phẳng bờ AA’ vẽ tia OB ·AOB = 450 ·AOC cho , nửa mặt phẳng lại vẽ tia OC cho = 90o Gọi OB’ tia phân giác góc A’OC Chứng minh hai góc AOB A’OB’ hai góc đối đỉnh Bài 6: Cho góc bẹt AOB Trên nửa mặt phẳng bờ AB ta vẽ hai tia OM, ON ·AOM = BON · = 40o cho a) Hai góc AOM BON có phải hai góc đối đỉnh không? b) Vẽ tia OC hai tia đối OM Hỏi tia OB có phải tia phân giác góc CON không ? Bài : Cho hai góc đối đỉnh Vẽ tia phân giác hai góc Chứng tỏ tia đối của tia tia phân giác góc lại Bài : Qua điểm O vẽ đường thẳng đôi phân biệt Hỏi có cặp góc đối đỉnh nhỏ góc bẹt ? Bài : Chứng tỏ tồn góc lớn 30o, xét góc điểm chung § 2: HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC I Nhắc lại lí thuyết Hai đường thẳng vuông góc • Hai đường thẳng xy x’y’ cắt góc tạo thành có góc vuông hai đường thẳng gọi hai đường thẳng vuông góc kí hiệu xy ⊥ x’y’ • Có đường thẳng a’ qua điểm O vuông góc với đường thẳng a cho trước • Đường thẳng qua trung điểm đoạn thẳng vuông góc với đoạn thẳng gọi đường trung trực đoạn thẳng II Các dạng tập Dạng : Vẽ đường thẳng vuông góc với đường thẳng cho trước, vẽ đường trung trực đoạn thẳng Ví dụ : Vẽ hình theo cách diễn đạt lời sau : Vẽ góc AOB có số đo 50o Lấy điểm M nằm góc aOb Qua M vẽ đường thẳng d1 vuông góc với tia Oa N Qua M vẽ đường thẳng d2 vuông góc với tia Ob P Giải : d2 b P O 50° M N a d1 Ví dụ : Vẽ đoạn thẳng AB dài cm đoạn thẳng AC dài 2cm vẽ đường trung trực đoạn thẳng Giải : d1 C Dạng : Nhận biết hai góc, nhận biết đường trung thẳng d2 đường thẳng vuông trực đoạn B A ·AOB Ví dụ : Cho góc bẹt nửa mặt phẳng bờ AB vẽ tia OC, OD cho vuông góc với OD ? ·AOC o = 20 , Trên · BOD = 70o Vì OC Hướng dẫn : ·AOD D = 180o – 70o = 110o C Tia OC nằm hai tia OA, OD nên : · COD ·AOD ·AOC = = 110o – 20o = 90o Vậy OC ⊥ OD A 70° 20° O B Ví dụ 4: Trên đường thẳng a lấy điểm A, M, N, B cho AM= NB Gọi xy đường trung trực đoạn thẳng AB Vì xy đường trung trực đoạn thẳng MN? Hướng dẫn: x Gọi I trung điểm AB Ta có xy MN ⊥ MN IM = MN nên xy đường trung trực I A M N B y Dạng 3: Tính số đo góc: Ví dụ 5: Cho góc AOB = 100o, góc vẽ tia OC vuông góc với tia OA Tính góc COB Giải: OC ⊥ C OA ⇒ ·AOC · COB = ·AOB − ·AOC = 90o = 100o – 90o = 10o A III B O Bài tâp Bài 1: Cho tam giác ABC, vẽ đường trung trực đoạn thẳng AB AC Bài 2: Cho tam giác ABC có µA = 60o, góc B C nhọn a) Dùng ê ke vẽ đoạn thẳng qua B vuông góc với AC M, vẽ đoạn thẳng qua C vuông góc với AB N b) Đo góc ABM, CAN c) BE giao với CF H Đo góc MHN Bài 3: Cho hai góc kề bù AOB BOC, OM đường phân giác góc AOB ON đường thẳng nằm góc BOC ON vuông góc với OM ON có phải đường phân giác góc BOC không? Vì sao? Bài 4: Nếu coi kim phút kim hai cạnh góc kim phút kim tạo thành góc vuông? Góc bẹt? · xOy Bài 5: Cho hai góc xOy yOx’ hai góc kề bù, = 60o, Ot tia phân giác góc xOy Trên nửa mặt phẳng chứa Oy bờ tia Ox, ta kẻ tia Oh vuông góc với Ox a) Tính góc tOh b) Chứng minh Oy tia phân giác góc hOt Bài 6: a) Cho hai góc kề bù xOy yOz Gọi Om tia phân giác Chứng tỏ On tia phân giác góc yOz · xOy , vẽ tia On ⊥ Om b) Chứng tỏ hai tia phân giác hai góc kề bù tạo với góc 90o ·AOC = BOD · Bài 7: Cho góc vuông AOB, hai tia OC, OD cho = 60o Trên nửa mặt phẳng bờ OA có chứa tia OB vẽ OE cho OB tia phân giác góc DOE a) Hai tia OC, OD tia phân giác góc nào? b) Chứng tỏ OC ⊥ OE Bài 8: Cho hai tia Ox, Oy vuông góc với Trong góc xOy ta vẽ hai tia OA OB ·AOx = BOy · cho Chứng tỏ rằng: = 30o Vẽ tia OC cho tia Oy tia phân giác góc AOC a) Tia OA tia phân giác góc Box ⊥ b) OB OC ` § 3: CÁC GÓC TẠO BỞI MÔT ĐƯỜNG THẲNG CẮT HAI ĐƯỜNG THẲNG HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG I Nhắc lại lí thuyết Hai cặp góc so le trong: c ¶A ¶ µA µ A B B 3 ; a Bốn cặp góc đồng vị: ¶A ¶B µ µ A3 B3 B4 2 ; b µA µ ¶ ¶ B1 A4 B4 ; Hai cặp góc phía: µA ¶ ¶A µ B B ; Quan hệ cặp góc: Nếu hai đường thẳng cắt đường thẳng thứ ba góc tạo thành có cặp góc so le thì: - Hai góc so le lại c a A4 - Hai góc đồng vị - Hai góc phía bù ¶ ¶  A2 = B2  b µ µ B  A3 = B1 ¶ µ = 180o µA B µ A + B  1 ⇒  = Hai đường thẳng song song hai hai đường thẳng điểm chung • Hai đường thẳng phân biệt cắt song song • Nếu đường thẳng c cắt hai đường thẳng a, b góc tạo thành có cặp góc so le ( cặp góc đồng vị nhau) a b song song với Kí hiệu a // b II Các dạng tập Dạng 1: Tính số đo góc biết góc tạo đường thẳng µ µ = 30o µ µ = 30o µ µ = 30o A3 = B A3 = B A3 = B 1 Ví dụ 1: Trên hình bên cho biết a) Viết tên cặp góc so le lại cho biết số đo góc; b) Viết tên cặp góc đồng vị cho biết số đo góc; c) Viết tên cặp góc phía cho biết số đo góc; a A2 b B4 c d) Viết tên cặp góc phía cho biết số đo góc; Giải: a) Các cặp góc so le lại là: b) Các cặp góc đồng vị: µA µ (¶A = B µ = 30o ); B 1 1 µ µ (¶A = B µ = 30o ); A3 B 3 ¶A ¶ (¶A = B ¶ = 150o ); B 2 2 ¶A ¶ (¶A = B ¶ = 150o ); B 4 4 c) Các cặp góc phía: ¶A µ B ¶A ¶A ¶ B ( ¶A = B ¶ = 30o ) µ B = 150 ; = 30o) µ ¶ µ ¶ A3 B A3 B 2 o ( = 30 ; = 150o) ( o d) Các cặp góc phía: µA ¶ B µA ¶ B = 150o) ¶A µ ¶A µ B B 3 o ( = 150 ; = 30o) Dạng 2: Tìm cặp góc nhau, cặp góc bù ( = 30 ; Ví dụ 2: Cho hình bên có a) µ A3 = o µA = µ B Tìm quan hệ góc sau: µ B a b) ¶A A1 ¶ B b c) ¶A Giải: µ B 3B c a) b) µ A3 µA µ B = + µ B ¶ B µA (đối đỉnh), ¶A = 180o = 180o mà = µA (đối đỉnh) µ B ¶A µ A3 = µ B ¶ B = suy = ¶B = A ¶ c) + = 180o mà (câu b) µ ¶ B1 A2 Nên + = 180o Dạng 3: Hai đường thẳng song song · = 50o xAy Ví dụ 3: Cho Trên tia đối Ax lấy điểm B, kẻ tia Bz cho tia Ay nằm µ B + µA ¶ B góc xBz a) Tính góc xBz để Bz // Ay; b) Kẻ tia AM, BM tia phân giác góc xAy xBz Chứng tỏ AM // BN Giải: x a) Hai góc xBz xAy hai góc đồng vị Nếu · xBz = 50o · · xBz = xAy M A nên hai đường thẳng y Bz Ay song song b) AM, BN tia phân giác góc xAy N B xBz nên 1· · xAM = xAy z = 25o; 1· · xBN = xBz = 25o · · ⇒ xAM = xBN Hai góc hai vị trí đồng vị hai đường thẳng AM, BN cắt đường thẳng Bx, AM // BN A M III Q Bài tập Bài 1: Xem hình bên viết tiếp vào chỗ trống N P B D C E a) b) c) d) e) f) · MAB · MAB ·ACB ·ADP ·ABC · CAQ và và và ·ABC ·ADF ·AED ·ADE · DAQ ·AED cặp góc… cặp góc… cặp góc… cặp góc… cặp góc… cặp góc… Bài 2: Tìm góc A1, A2, B3, B4 hình vẽ sau: a) b) A 120° 80° A 3 B 100° B 40° Bài 3: Chứng tỏ hình vẽ đây, ta có AB // CD A 50° B D 60° 70° C Bài 4: Cho đoạn thẳng AB Trên nửa mặt phẳng bờ AB, vẽ tia Ax By · · BAx = α ABy = 4α α , Tính Ax song song với By Vì MA = MC (chứng minh trên) nên Δ MAC cân M Từ (1) (2) suy µA1 = µ1 C ⇒ µA2 = µ1 C (2) Do Δ ADM = Δ CEM (c.g.c) Từ suy ra: MD = ME (hai cạnh tương ứng) (đpcm) Dạng 2: Chứng minh đường thẳng di động qua điểm cố định Ví dụ 2: Cho góc xOy = ao, A điểm di động góc Vẽ điểm M N cho đường thẳng Ox đường trung trực AM, đường thẳng Oy đường trung trực AN a) Chứng minh đường trung trực MN qua điểm cố định b) Tính giá trị a để O trung điểm MN Giải: a) Điểm O nằm đường trung trực AM nên OM = OA N y Điểm O nằm đường trung trực AN nên ON = OA suy OM = ON Do đường trung trực MN qua điểm cố định điểm O b) Dễ thấy ¶ O = Do · MON ¶ O = µ O = ·AOM ¶ O = ·AOM A ; O ·AON + ·AON x M = 2( ¶ O + ¶ O )=2 · xOy ; = 2ao Vì có OM = ON nên O trung điểm MN · ⇔ MON = 180o ⇔ 2ao = 180o ⇔ a = 90o Dạng 3: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ đại lượng hình học Ví dụ 3: Cho đường thẳng d hai điểm A, B nằm phía đường thẳng d Tìm đường thẳng d điểm C cho CA + CB nhỏ Giải: Vẽ điểm B1 cho d trung trực BB1 Gọi C giao điểm AB1 d D điểm d (D DB1 ≠ C) Ta có ngay: CB = CB1; DB = Trong Δ A1BD, ta có: ⇔ AB1 < DA + DB1 ⇔ CA + CB1 < DA + DB1 CA + CB < DA + DB Vậy điểm C cần tìm giao điểm AB1 d III Bài tập Bài 1: Cho góc nhọn xOy điểm M nằm góc Từ M kẻ đường vuông góc MA, MB xuống Ox Oy Gọi C trung điểm đoạn thẳng OM, P trung điểm đoạn thẳng AB Chứng minh rằng: CP đường trung trực tam giác ABC Bài 2: Đường trung trực đoạn thẳng AB cắt AB H, M N hai điểm đường trung trực (N nằm M H) a) Chứng minh MN tia phân giác góc AMB b) Gọi N’ giao điểm AN với BM Chứng minh BN’ < AN’ Bài 3: Cho tam giác ABC cân A, có a) Tính · CAD µA = 40o Đường trung trực AB cắt BC D ; b) Trên tia đối AD lấy điểm M cho AM = CD Chứng minh tam giác BMD tam giác cân · xOy α α Bài 4: Cho góc = ( < 90o) điểm M nằm góc Ở góc xOy lấy hai điểm E F cho Ox đường trung trực đoạn thẳng ME, Oy đường trung trực đoạn thẳng MF a) Chứng minh OE = OF b) Tính c) Nếu · EOF theo α α = 90o điểm O nằm vị trí đoạn thẳng EF? Vì sao? Bài 5: Cho tam giác ABC cân A Đường trung trực cạnh AC cắt AB D Biết CD tia phân giác góc ACB Tính góc tam giác ABC Bài 6: Cho góc xAy khác góc bẹt, Az tia phân giác, B điểm cố định tia Ax C điểm chuyển động đoạn thẳng AB, D điểm chuyển động tia Ay cho AD = BC Chứng minh đường trung trực đoạn thẳng CD qua điểm cố định · xOz · yOz Bài 7: Ở miền góc nhọn xOy vẽ tia Oz cho = Qua điểm A thuộc tia Oy, vẽ tia AH vuông góc với Ox, tia AH cắt Oz B Trên tia BD lấy điểm E cho DE = OB a) Chứng minh tam giác AOE cân b) Chứng minh hai đoạn thẳng OD EB có chung đường trung trực Bài 8: Cho đoạn thẳng BC đường thẳng d song song với BC Vẽ Điểm K cho d đường trung trực BK Gọi A giao điểm d KC Chứng minh tam giác A’BC có A’ nằm đường thẳng d tam giác ABC có chu vi nhỏ § 8: TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG TRUNG TRỰC CỦA TAM GIÁC I Nhắc lại lí thuyết A Định lí 1: Trong tam giác cân, đường trung trực cạnh đáy đồng thời đường trung tuyến ứng với cạnh Định lí 2: Ba đường trung trực tam giác qua điểm Điểm cách ba đỉnh tam giác Trên hình bên, điểm O giao điểm đường trung trực Δ ABC Ta có OA = OB = OC Điểm O tâm đường tròn ngoại tiếp Δ ABC O B C II Các dạng tập Dạng 1: Bài tập tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác Ví dụ 1: Cho tam giác ABC Gọi D điểm nằm A B, E điểm nằm A C cho BD = AE Chứng minh D E thay đổi cạnh AB AC đường trung trực đoạn thẳng DE luôn qua tâm O đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Giải: A Gọi O giao điểm hai đường trung trực AB DE, ta có: OA = OB OE = OD E Mặt khác AE = BD (giả thiết) D B M C · OEA · ODB Vậy Δ OAE = Δ OBD (c – g – c), = (hai góc tương ứng) mà · · · · ODB ODA OEC ODA o o 180 + = 180 (hai góc kề bù), suy = · OEA + · OEC = Vì BD + DA = BA, AE + EC = AC mà BD = AE (giả thiết), BA = AC (giả thiết) nên AD = EC Vậy Δ OAD = Δ OCE (c – g – c), OA = OC, OA = OB suy OA = OB = OC Điều chứng tỏ tâm đường tròn tiếp Δ ABC Dạng 2: Chứng minh hai đoạn thẳng nhau, hai góc Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có · BAC tù Đường trung trực AB cắt đường trung trực BC ·OBD · · OAD OCB O cắt BC D Chứng minh = = Giải: O giao điểm đường đường trung trực AB, BC ⇒ A OB = OC = OA Δ OCB cân đỉnh O · ⇒ OBD = · OCD B C D O (1) Δ OBD = Δ OAD (c.c.c) · ⇒ OBD = OAD Từ (1) (2) suy (2) · OBD = · OAD = · OCB Dạng 3: Đường trung trực tam giác cân, tam giác vuông µA Ví dụ 3: Cho tam giác ABC cân A, > 90o Các đường trung trực AB AC cắt O cắt BC D E Chứng minh rằng: a) OA đường trung trực BC; b) BD = CE; c) Δ ODE tam giác cân Giải: a) O giao điểm đường trung trực Δ ABC ⇒ OB = OC Δ ABC cân A ⇒ AB = AC Vậy AO đường trung trực BC A b) Gọi H trung điểm AB, K trung điểm AC Δ HBD = ⇒ Δ KCE (g.c.g) BD = CE · ⇒ HDB c) Δ HBD = Δ KCE ODE cân O = · · ⇒ ODE KEC = · ⇒ OED H B K Δ C E D O Ví dụ 4: Chứng minh đường trung trực tam giác vuông qua trung điểm cạnh huyền Giải: Xét Δ ABC vuông A, vẽ đường trung trực AB BC cắt I ⇒ IA = IB · ⇒ IAB Mà · IAB · ⇒ IAC ⇒ ⇒ = + = ⇒ Δ IAB cân I B · IBA I · IAC = · IAB + · ICA (=90o) A ICA Δ IAC cân I ⇒ C IA = IC I thuộc đường trung trực đoạn thẳng AC Do đường trung trực tam giác vuông qua trung điểm cạnh huyền III Bài tập Bài 1: Xác định dạng tam giác ABC, biết giao điểm ba đường trung trực, giao điểm ba đường phân giác điểm A thẳng hàng Bài 2: Xác định dạng tam giác ABC biết giao điểm ba đường trung trực giao điểm ba đường phân giác trùng Bài 3: Cho đoạn thẳng AB Trên nửa mặt phẳng bờ AB, vẽ hai tia Ax, By vuông góc với AB Trên hai tia Ax, By lấy điểm C, D cho AC = BD Vẽ BE vuông góc với ⊥ AD (E thuộc AD) gọi F trung điểm ED Chứng minh rằng: CF BF Bài 4: Cho tam giác ABC nhọn, hai đường cao BD CE Trên tia đối tia CE lấy điểm K cho CK = AB Chứng minh rằng: a) AI = AK b) Δ AIK vuông cân Bài 5: Cho tam giác ABC, AB < AC Trên tia AC lấy điểm D cho CD = AB Hai đường trung trực BD AC cắt E Chứng minh rằng: a) Δ AEB = Δ CED b) EA phân giác đỉnh A Δ ABC Bài 6: Cho Δ ABC cân A Đường trung trực cạnh AC cắt tia CB D nằm đoạn thẳng BC Trên tia đối tia AD lấy điểm E cho AE = BD Chứng minh rằng: AD = CE Bài 7: Cho tam giác ABC Trên cạnh AB, BC, AC lấy theo thứ tự ba điểm D, E, F cho AD = BE = CF a) Chứng minh tam giác DEF b) Gọi O giao điểm đường trung trực tam giác ABC Chứng minh O giao điểm đường trung trực tam giác DEF · HAB ⊥ Bài 8: Cho tam giác ABC vuông A, vẽ AH BC H Tia phân giác góc cắt BC · HAC D, tia phân giác góc cắt BC E Chứng minh giao điểm đường phân giác tam giác ABC giao điểm đường trung trực tam giác ADE § 9: TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG CAO CỦA TAM GIÁC I Nhắc lại lí thuyết Định lí 1: Ba đường cao tam giác qua điểm Điểm gọi trực tâm tam giác A Trên hình bên, H trực tâm Δ ABC H B C Định lí 2: Trong tam giác cân, đường cao ứng với cạnh đáy đồng thời đường phân giác, đường trung tuyến, đường trung trực tam giác Nhận xét: Trong tam giác, có hai bốn loại đường (đường trung tuyến, đường phân giác, đường trung trực, đường cao) trùng tam giác tam giác cân II Các dạng tập Dạng 1: Chứng minh hai đường thẳng vuông góc Ví dụ 1: Cho tam giác ABC, vuông A, đường cao AH Gọi D trung điểm HB, E trung ⊥ ⊥ điểm HC, F trung điểm AH Chứng minh CF AD BF AE Giải: Theo đề ta có DH = DB, AF = FH tam giác AHB ⊥ ⊥ DF // AB, mà AB AC (vì Δ ABC vuông A), DF AC A F Trong tam giác ADC, ta có: AH ⊥ DC (giả thiết), DF B ⊥ D C E H AC nên F trực tâm tam giác ⊥ ACD, suy CF đường cao thuộc cạnh AD Vậy CF AD Chứng minh tương tự F trực tâm tam giác ABE, BF ⊥ AE Chứng minh ba đường thẳng đồng quy Ví dụ 2: Cho tam giác ABC vuông A, AH đường cao D điểm cạnh AB Vẽ BE vuông góc với CD E, vẽ đường thẳng qua D song song với AH cắt BC F Chứng minh đường thẳng AC, BE, DF đồng quy Giải: Ta có AH ⊥ A E BC (giả thiết) D DF // AH (giả thiết) ⇒ DF ⊥ B BC Xét Δ DBC có CA, BE, DF ba đường cao (vì CA ⊥ ⊥ CD, DF BC) nên đồng quy ⊥ BD, BE F H C Dạng 3: Đường cao tam giác cân, tam giác vuông Ví dụ 3: Chứng minh tam giác có ba đường cao tam giác tam giác Giải: Xét Δ ABC với ba đường cao AD = BE = CF, ta có: A Δ AEB = Δ AFC (cạnh góc vuông góc nhọn nhau), AB = AC (1) Δ ADC = Δ BEC (cạnh góc vuông góc nhọn nhau), AC = BC (2) E F Từ (1) (2) suy AB = AC = BC Vậy tam giác ABC tam giác B Vậy tam giác ABC tam giác D C Bài 1: Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Gọi M, N trung điểm đoạn thẳng AH, BH Chứng minh CM vuông góc với AN Bài 2: Cho tam giác ABC Qua đỉnh A, B, C kẻ đường thẳng song song với cạnh đối diện, chúng cắt tạo thành tam giác DEF Chứng minh đường cao tam giác ABC đường trung trực tam giác DEF µA Bài 3: Cho tam giác ABC ( < 90o), kẻ đường cao AH Từ H nửa mặt phẳng chứa điểm A bờ đường thẳng chứa cạnh BC, kẻ hai tia Hx Hy vuông góc với AB AC, chúng cắt AB AC P Q Trên hai tia Hx Hy lấy hai điểm M N cho P trung điểm HM, Q trung điểm HN, nối MN, cắt AB AC E F Chứng minh: a) Tam giác EMH FNH tam giác cân; b) AH phân giác góc EHF Bài 4: Cho Δ ABC, có µA Bài 5: Tam giác ABC có = 45o trực tâm H Chứng minh BC = AH µA = 45o, đường cao AD BE cắt H Chứng minh rằng: a) AE = BE; b) AH = BC Bài 6: Cho tam giác ABC vuông A, AB < AC Gọi d đường thẳng qua trung điểm M AC vuông góc với BC Đường vuông góc với AC C cắt d E a) Gọi I giao điểm d AB Chứng minh AE song song với CI b) Chứng minh AE vuông góc với BM Bài 7: Cho tam giác ABC, đường cao AH Trên nửa mặt phẳng chứa điểm A bờ đường thẳng BC ⊥ ⊥ lấy hai điểm D E cho BD BA, BD = BA, CE CA Chứng minh đường thẳng AH, BE, CD qua điểm Bài 8: Cho tam giác nhọn ABC, đường cao AH Trên tia đối tia AH lấy điểm K cho AK = BC Ở phía tam giác ABC, vẽ tam giác ACE vuông cân C Gọi I giao điểm BE AH Chứng minh rằng: a) · KAC = · BCE ; b) CK vuông góc với BE; c) CI vuông góc với BK Bài 9: Chứng minh tổng ba đường cao tam giác nhỏ chu vi tam giác Bài 10: Cho tam giác nhọn ABC, trực tâm H Chứng minh BC2 + AH2 = AB2 + CH2 = AC2 + BH2 Bài 11: Cho tam giác ABC, chứng minh rằng: a) Nếu trực tâm H, trọng tâm G đỉnh A nằm đường thẳng tam giác ABC tam giác cân b) Nếu trọng tâm G trực tâm H trùng tam giác ABC tam giác c) Nếu trọng tâm G O giao điểm ba đường trung trực trùng tam giác ABC tam giác Bài 12: Cho tam giác ABC Vẽ phía tam giác hai tam giác ABE ACF Gọi I trung điểm BC, H trực tâm tam giác ABE Trên tia đối tia IH lấy điểm K cho HI = IK Chứng minh : a) Δ AHF = Δ CKF; b) Tam giác KHF tam giác ÔN TẬP CHƯƠNG Bài 1: Cho Δ ABC có µA o = 80 , µ B = 40o a) So sánh cạnh Δ ABC b) Trên tia đối tia AB lấy điểm D cho AD = AC Trên tia đối tia BA lấy điểm E cho BE = BC So sánh độ dài đoạn CD, CB, CE Bài 2: Cho Δ ABC cân A Trên BC lấy điểm D E cho độ dài: · BAD = · DAE = · EAC So sánh a AB AE b) BD DE Bài 3: Cho Δ ABC có AB = AC = 10cm, BC = 12cm a) Tính khoảng cách từ A đến BC b) Vẽ cung tròn tâm A có bán kính 9cm Cung có cắt đường thẳng BC hay không, có cắt cạnh BC hay không? Vì sao? Bài 4: Cho Δ ABC vuông A, trung tuyến AM Trên tia đối tia AM lấy điểm D cho MA = MD a Chứng minh Δ ABD vuông b) Chứng minh Δ ABC = Δ ABD c So sánh AM BC · xOy · xOy o Bài 5: Cho góc = 80 , điểm A nằm góc Vẽ điểm B cho Ox đường trung trực AB Vẽ điểm C cho Oy đường trung trực AC a) Chứng minh O thuộc đường trung trực BC b) Tính số đo góc BOC Bài 6: Cho Δ ABC cân A, gọi M trung điểm BC Kẻ đường cao BN (N a) Chứng minh CH b) Tính số đo góc Bài 7: Cho góc ⊥ AC) cắt AM H AB · BHM · xOy ∈ , · MHN , biết µ C = 40o Lấy điểm A, B thuộc Ox cho OA > OB Lấy điểm C, D thuộc Oy cho OC = OA OD = OB Gọi E giao điểm AD BC Chứng minh rằng: a AD = BC b Δ ABE = Δ CDE c OE tia phân giác góc · xOy Bài 8: Cho Δ ABC M điểm nằm tam giác a) Gọi I giao điểm đường thẳng BM cạnh AC Chứng minh MA + MB < IA + IB < CA + CB b) Chứng minh MA + MB + MC lớn nửa chu vi nhỏ chu vi Δ ABC Bài 9: Cho Δ ABC, hai đường phân giác hai góc A B cắt I Hai đường phân giác hai góc B C cắt M Chứng minh A, I, M thẳng hàng Bài 10: Chứng minh tam giác, trung tuyến ứng với cạnh lớn nhỏ trung tuyến ứng với cạnh nhỏ Bài 11: Cho tam giác ABC Trên tia đối tia CB, AC, BA lấy tương ứng điểm M, N, P cho CM = AN = BP = AB Chứng minh: a) Tam giác MNP tam giác b) Hai tam giác MNP tam giác ABC có chung trọng tâm µA Bài 12: Cho tam giác ABC, = 30o, hai đường cao BH, CK (H lượt trung điểm AB, AC Chứng minh: ∈ AC, K ∈ AB) Gọi E F lần a) Tam giác BEH tam giác CKF tam giác đều; b) HE vuông góc với KF Bài 13: Cho tam giác AOB Trên tia đối tia OA, OB lấy theo thứ tự hai điểm C D ⊥ ⊥ cho OC = OD Từ B C kẻ BM AC, CN BD Gọi P trung điểm BC Chứng minh: a) Tam giác COD tam giác đều; b) AD = BC; c) Tam giác MNP tam giác Bài 14: Cho tam giác cân ABC, AB = AC, đường cao AH Kẻ HE EH, I trung điểm EC Chứng minh: ⊥ AC Gọi O trung điểm a) IO vuông góc với AH; b) AO vuông góc với BE Bài 15: Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Trên tia đối tia AH lấy điểm D cho AD = AH Gọi E trung điểm đoạn thẳng Bài 16: Cho Δ ABC có đường cao BE, CF cắt H Gọi I trung điểm đoạn AH K trung điểm cạnh BC a) Chứng minh rằng: FK ⊥ FI b) Biết AH = cm, BC = chứng minh Tính IK Bài 17: Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Trên tia đối tia AH lấy điểm D cho AD = AH Gọi E trung điểm đoạn thẳng HC, F giao điểm DE AC a) Chứng minh rằng: Ba điểm H, F trung điểm M DC ba điểm thẳng hàng b) Chứng minh rằng: HF = DC c) Gọi P trung điểm đoạn AH Chứng minh rằng: EP d) Chứng minh rằng: BP ⊥ DC CP ⊥ ⊥ AB DB Bài 18: Cho tam giác ABC đều, cạnh a M điểm nằm tam giác Chứng minh tổng khoảng cách từ M đến ba cạnh tam giác ABC không phụ thuộc vào vị trí điểm M BÀI ÔN TẬP CUỐI NĂM Bài 1: Cho tam giác ABC, H, tia CO cắt AB D µA > µ B > µ C Vẽ đường cao AH, lấy điểm O nằm A a) Chứng minh góc B C góc nhọn b) So sánh OB OC; c) So sánh OD HD µ C Bài 2: Cho tam giác ABC vuông A, có = 30o, đường cao AH Trên đoạn HC lấy điểm D cho HD = HB Từ C kẻ CE vuông góc với AD Chứng minh: a) Tam giác ABD tam giác đều; b) AH = CE; c) EH song song với AC Bài 3: Cho tam giác ABC cân A Trên cạnh BC lấy điểm D, tia đối tia CB lấy điểm E cho BD = CE Qua D E kẻ đường thẳng vuông góc với BC cắt AB AC M N Gọi giao điểm MN với BC I Đường vuông góc với MN kẻ qua I, cắt tia phân giác góc BAC O Chứng minh: a) DM = EN; b) I trung điểm MN; c) Δ AOB = Δ AOC; d) OC vuông góc với AN µA Bài 4: Cho tam giác ABC có = 60o Các tia phân giác góc B góc C cắt I, cắt cạnh AC, AB D E Tia phân giác góc BIC cắt BC F a) Tính góc BIC; b) Chứng minh ID = IE = IF; c) Chứng minh Δ EDF tam giác đều; d) Chứng minh I giao điểm đường phân giác hai tam giác ABC DEF Bài 5: Cho tam giác nhọn ABC, hai đường cao BD CE Trên tia đối tia BD lấy điểm M cho BM = AC, tia đối tia CE lấy điểm N cho CN = AB Chứng minh rằng: a) Δ ABM = Δ NAC Bài 6: Cho tam giác ABC có = BA Tia phân giác góc DC, AF cắt CH K b) Δ AMN vuông cân µA = 80o, ·ABC µ B = 60o Trên cạnh BC lấy điểm D cho BD cắt AD H AC E Gọi F trung điểm a) So sánh cạnh tam giác ABC b) Chứng minh Δ ABE = Δ DBE c) Chứng minh BE > AD d) Chứng minh KC = 2KH µA Bài 7: Cho tam giác ABC cân A ( < 120o) Vẽ phía tam giác tam giác ABD ACE Gọi I giao điểm BE CD Chứng minh rằng: a) Δ BDC = Δ CEB b) IB = IC c) D E cách đường thẳng BC Bài 8: Cho tam giác ABC vuông A, đường phân giác BD Kẻ DE Trên tia đối tia AB lấy điểm F cho AF = CE Chứng minh rằng: ⊥ BC E a) Δ ABD = Δ EBD b) D, E, F thẳng hàng Bài 9: Cho tam giác ABC vuông A Trên cạnh AC lấy điểm E cho ·ABE = ·ABC Trên tia đối tia EB lấy điểm D cho DE = BC Chứng minh tam giác CED tam giác cân Bài 10: Cho tam giác ABC vuông A D điểm cạnh BC, E, F hình chiếu D AB, AC a) Chứng minh AD = EF b) Xác định vị trí D để EF có độ dài ngắn Bài 11: Cho tam giác ABC Gọi I K chân đường vuông góc kẻ từ A đến đường phân giác góc µ µ C B , Chứng minh rằng: a) IK // BC; b) IK = AB + AC − BC Bài 12: Cho Δ ABC cân A, = µA = 30o; BC = Trên cạnh AC lấy điểm D cho AD a) Tính góc ABD b) So sánh ba cạnh Δ DBC Bài 13: Cho Δ ABC có µ B + µ C = 60o, phân giác AD Trên AD lấy điểm O Trên tia đối tia AC lấy điểm M cho cho ·ACN = ·ACO ·ABM = ·ABO Chứng minh rằng: a) AM = AN b) Δ MON tam giác Trên tia đối tia AB lấy điểm N ... Bài 2: Cho hình vẽ: Tính số đo góc CHK A D M S B 70 ° H C 80° K F 70 ° E N R Bài 3: (Dạng 3) Cho hình vẽ sau với a // b µ −C ¶ = 40o C Tính ¶ D ¶ D c a C b D Bài 4: (Dạng 3): Cho hình vẽ · xOy... B C Cy) a) Tìm tam giác vuông hình vẽ b) Tìm góc tam giác ABC Bài 13: Tính tổng góc A, B, C, D, E hình cánh (hình A vẽ bên) (Đề thi chọn học sinh giỏi Toán lớp 7, quận 6, TP Hồ Chí Minh, năm... ·AOC o = 20 , Trên · BOD = 70 o Vì OC Hướng dẫn : ·AOD D = 180o – 70 o = 110o C Tia OC nằm hai tia OA, OD nên : · COD ·AOD ·AOC = = 110o – 20o = 90o Vậy OC ⊥ OD A 70 ° 20° O B Ví dụ 4: Trên đường