hình lớp 7 đã ghép

Chứng tỏ rằng tia đối của của tia này là tia phân giác của góc còn lại.Bài 8 : Qua điểm O vẽ 6 đường thẳng đôi một phân biệt.. Hai đường thẳng vuông góc  Hai đường thẳng xy và x’y’ cắt

A

BA

C

D

ON

M

TOÁN LỚP 7.

CHƯƠNG 1: ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC

HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG.

§ 1: HAI GÓC ĐỐI ĐỈNH

I Nhắc lại lí thuyết

Hai góc đối đỉnh

 Hai góc đối đỉnh là hai góc mà mỗi cạnh góc này là tia đối của một cạnh góc kia.

 Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau.

II Các dạng bài tập.

1 Dạng 1: Nhận biết hai góc đối đỉnh.

Ví dụ 1: Cho ba đường thẳng cắt nhau tại O như hình vẽ bên Kể tên các cặp góc đối đỉnh nhỏ hơn góc bẹt trên hình vẽ.

Giải:

Các cặp góc đối đỉnh nhỏ hơn góc bẹt là: AOC và BOD,

COM và DON, MOB và NOA, AOM và BON, COB và

DOA, MOD và NOC.

Chú ý: Có 6 tia chung gốc nếu có

6.515

2  (góc), trong đó

có 3 góc bẹt Mỗi góc trong 12 góc này có 1 góc đối đỉnh

với nó, do vậy còn lại 12 góc nhỏ hơn góc bẹt.

Trong hình có 12 : 2 = 6 cặp góc đối đỉnh.

2 Dạng 2: Tính số đo của góc.

Ví dụ 2: Cho 2 đường thẳng xy và x’y’ cắt nhau tại O Biết  xOx  ' 38o

Tính các góc yOy’, x’Oy, xOy’

x'

O

- Góc xOx’ và x’Oy là hai góc kề bù nên  xOx + ’ x Oy = 180  ' o

Hay 38o +  ' x Oy = 180o , suy ra  ' x Oy = 180o – 38o = 142o.

- Góc x’Oy và góc xOy’ là hai góc đối đỉnh nên  xOy '   x Oy '  1 2 4 o

III Bài tập

Bài 1: Cho hình vẽ bên:

a) Góc O1và O3 có phải là hai góc đối đỉnh

không?

b) Kể tên các cặp góc đối đỉnh trong hình vẽ.

Bài 2: Cho góc nhọn AOB , vẽ BOC và AOD là hai

góc kề bù với AOB Chứng tỏ rằng:

a) Hai góc BOC và AOD là hai góc đối đỉnh.

b) Hai tia phân giác của hai góc BOC và AOD là hai tia đối nhau.

Bài 3 : Hai đường thẳng xx’và yy’ cắt nhau tại O, biết rằng xOy xOy  '   = 30o Tính các góc

Bài 4 : Cho AOB = 135o Vẽ góc BOC và AOD kề bù với góc AOB Chứng minh rằng:

a) Hai góc BOC và AOD là hai góc đối đỉnh;

b) Hai tia phân giác cua góc BOC và AOD là hai tia đối nhau.

Bài 5: Trên đường thẳng AA’ lấy điểm O Trên một nửa mặt phẳng bờ AA’ vẽ tia OB sao cho  AOB  450, trên nửa mặt phẳng còn lại vẽ tia OC sao cho AOC = 90o.

Gọi OB’ là tia phân giác của góc A’OC Chứng minh rằng hai góc AOB và A’OB’ là hai góc đối đỉnh.

Bài 6: Cho góc bẹt AOB Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB ta vẽ hai tia OM, ON sao cho  AOM  BON   40o.

a) Hai góc AOM và BON có phải là hai góc đối đỉnh không?

b) Vẽ tia OC là hai tia đối của OM Hỏi tia OB có phải là tia phân giác của góc CON không ?

O

6 5 4

3 2 1

Bài 7 : Cho hai góc đối đỉnh Vẽ tia phân giác của một trong hai góc đó Chứng tỏ rằng tia đối của của tia này là tia phân giác của góc còn lại.

Bài 8 : Qua điểm O vẽ 6 đường thẳng đôi một phân biệt Hỏi có bao nhiêu cặp góc đối đỉnh nhỏ hơn góc bẹt ?

Bài 9 : Chứng tỏ rằng tồn tại một góc lớn hơn hoặc bằng 30o, xét các góc không có điểm trong chung.

§ 2: HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC.

I Nhắc lại lí thuyết

Hai đường thẳng vuông góc

 Hai đường thẳng xy và x’y’ cắt nhau và trong các góc tạo thành có một góc vuông thì hai đường thẳng đó được gọi là hai đường thẳng vuông góc và được kí hiệu là xy

Ví dụ 1 : Vẽ hình theo cách diễn đạt bằng lời sau :

Vẽ góc AOB có số đo bằng 50o Lấy điểm M bất kì nằm trong góc aOb Qua M vẽ đường thẳng d1vuông góc với tia Oa tại N Qua M vẽ đường thẳng d2 vuông góc với tia Ob tại P.

Ví dụ 2 : Vẽ đoạn thẳng AB dài 5 cm và đoạn thẳng AC dài 2cm rồi vẽ đường trung trực của mỗi đoạn thẳng đó

Giải :

thẳng.

nửa mặt phẳng bờ AB vẽ các tia OC, OD sao cho AOC = 20o, BOD   70o Vì sao OC

vuông góc với OD ?

Hướng dẫn :

AOD = 180o – 70o = 110o.

Tia OC nằm giữa hai tia OA, OD nên :

COD = AOD - AOC = 110o – 20o = 90o

Vậy OC  OD.

Ví dụ 4: Trên đường thẳng a lần lượt lấy các điểm A, M, N, B sao cho AM= NB Gọi

xy là đường trung trực của đoạn thẳng AB Vì sao xy là đường trung trực của đoạn thẳng MN?

Hướng dẫn:

Gọi I là trung điểm của AB.

Ta có xy  MN và IM = MN nên xy là đường trung trực

của MN.

C

B A

B

y

x

N I

COB AOB AOC   = 100o – 90o = 10o

III Bài tâp.

Bài 1: Cho tam giác ABC, vẽ các đường trung trực của các đoạn thẳng AB và AC

Bài 2: Cho tam giác ABC có A = 60o, các góc B và C đều nhọn.

a) Dùng ê ke vẽ đoạn thẳng đi qua B và vuông góc với AC tại M, vẽ đoạn thẳng

đi qua C vuông góc với AB tại N.

b) Đo các góc ABM, CAN

c) BE giao với CF tại H Đo góc MHN.

Bài 3: Cho hai góc kề bù nhau AOB và BOC, OM là đường phân giác của góc AOB

ON là đường thẳng nằm trong góc BOC và ON vuông góc với OM ON có phải là đường phân giác của góc BOC không? Vì sao?

Bài 4: Nếu coi kim phút và kim giờ là hai cạnh của góc thì mấy giờ đúng kim phút và kim giờ tạo thành góc vuông? Góc bẹt?

Bài 5: Cho hai góc xOy và yOx’ là hai góc kề bù, xOy = 60o, Ot là tia phân giác của góc xOy Trên nửa mặt phẳng chứa Oy bờ là tia Ox, ta kẻ tia Oh vuông góc với Ox a) Tính góc tOh.

b) Chứng minh rằng Oy là tia phân giác của góc hOt.

Bài 6:

a) Cho hai góc kề bù xOy và yOz Gọi Om là tia phân giác của xOy , vẽ tia On Om.

Chứng tỏ rằng On là tia phân giác của góc yOz

b) Chứng tỏ rằng hai tia phân giác của hai góc kề bù tạo với nhau một góc 90o.

C

O B

A

Bài 7: Cho góc vuông AOB, hai tia OC, OD ở trong đó sao cho  AOC BOD   = 60o Trên nửa mặt phẳng bờ OA có chứa tia OB vẽ OE sao cho OB là tia phân giác của góc DOE.

a) Hai tia OC, OD là tia phân giác của những góc nào?

b) Chứng tỏ rằng OC  OE.

Bài 8: Cho hai tia Ox, Oy vuông góc với nhau Trong góc xOy ta vẽ hai tia OA và OB sao cho AOx BOy = 30o Vẽ tia OC sao cho tia Oy là tia phân giác của góc AOC Chứng tỏ rằng:

a) Tia OA là tia phân giác của góc Box.

b) OB  OC.

`

§ 3: CÁC GÓC TẠO BỞI MÔT ĐƯỜNG THẲNG CẮT HAI ĐƯỜNG THẲNG

HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG

4 1

2 4

b a

c A

B

4 Quan hệ giữa các cặp góc: Nếu hai đường thẳng cắt một đường thẳng thứ ba và trong các góctạo thành có một cặp góc so le trong bằng nhau thì:

- Hai góc so le trong còn lại bằng nhau

5 Hai đường thẳng song song là hai là hai đường thẳng không có điểm chung

 Hai đường thẳng phân biệt thì hoặc cắt nhau hoặc song song

 Nếu đường thẳng c cắt hai đường thẳng a, b và trong các góc tạo thành có một cặp góc so

le trong bằng nhau ( hoặc một cặp góc đồng vị bằng nhau) thì a và b song song với nhau Kí hiệu a // b

II Các dạng bài tập

1 Dạng 1: Tính số đo các góc khi biết một trong 4 góc tạo bởi 2 đường thẳng

Ví dụ 1: Trên hình bên cho biết

b) Viết tên các cặp góc đồng vị và cho biết số đo của mỗi góc;

c) Viết tên mỗi cặp góc trong cùng phía và cho biết số đo của

4 1 2

3

3

3

3 2

1 4 1

2

4 b

B

3

3

Nên B + 1 A = 1802 o.

3 Dạng 3: Hai đường thẳng song song

Ví dụ 3: Cho xAy  50o Trên tia đối của Ax lấy điểm B, kẻ tia Bz sao cho tia Ay nằm trong góc xBz

a) Tính góc xBz để Bz // Ay;

b) Kẻ tia AM, BM lần lượt là tia phân giác của các góc xAy và xBz Chứng tỏ rằng AM // BN

Giải:

a) Hai góc xBz và xAy là hai góc đồng vị Nếu

xBz = 50o thì xBz xAy nên hai đường thẳng

z N

Q M

B

P

E D

A

f) CAQ và AED là một cặp góc…

Bài 2: Tìm các góc A1, A2, B3, B4 trong các hình vẽ sau:

Bài 3: Chứng tỏ rằng trong hình vẽ dưới đây, ta có AB // CD

Bài 4: Cho đoạn thẳng AB Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB, vẽ các tia Ax và By trong đó

BAx  , ABy4 Tính  để cho Ax song song với By

Bài 5: Trong hình bên biết AB  AC; DAC = 140o; B = 50o; C = 40o

Chứng tỏ rằng : a) AD // CF b) AD // BE

B

A 80

4

2 100

1

A

4 3 2

1 120

40

D

C A

E

140

50

40

Bài 6: Cho góc xOy = 60o Trên tia Ox lấy điểm C Vẽ tia Ct

a) Tính số đo của góc xCt để cho Ct //Oy

b) Cũng hỏi như trên nếu thay 60o bởi ao

Bài 7: Cho xOy = 150o Trên tia Ox lấy điểm A rồi kẻ tia Az nằm trong góc xOy sao cho Oaz =

30o Kẻ tia Az’ là tia đối của tia Az

a) Vì sao zz’ song song với Oy

b) Gọi OM, AN là các tia phân giác của góc xOy và OAz’ Chứng tỏ rằng

Bài 8: Cho đoạn thẳng AB Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB, vẽ các tia Ã, By sao cho

,

2

ABy xAB 

Tính  để cho Ax song song với By

§ 4: TIÊN ĐỀ Ơ-CLIT VỀ ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG.

I Nhắc lại lí thuyết

1 Tiên đề Ơ-clit về đường thẳng song song

Qua một điểm nằm ngoài một đường thẳng, chỉ có một đường thẳng song song với một đường thẳng đó

2 Tính chất của hai đường thẳng song song

Nếu hai đường thẳng song song bị cắt bởi một đường thẳng thứ ba thì:

- Hai góc so le trong bằng nhau

B

c

b a

N A

M

N

C B

Mà MAB

và ABC (so le trong)  MA // BC.

Ta lại có: NAC ACB

Mà NAC và ACB (so le trong)  AN // BC

III Bài tập

Bài 1: Biết AB // CD Hãy nêu tên các cặp góc bằng nhau tương ứng

của hai tam giác IAB, ICD

Bài 2: Cho hình vẽ: Tính số đo góc CHK

Bài 3: (Dạng 3) Cho hình vẽ sau đây với a // b và

A

D I

F

M

H S

R N

K E

D

C B

C a

b

1 2 1

y

1

1 2 4 3

x 50

A B

C O

C 30 D

50

Bài 5: Cho hình sau, biết AB // CD // EF, BAD= 30o, DEF = 50o Tính số đo góc ADE

Bài 6: Chứng tỏ rằng AB // EF

Bài 7: Cho hình sau, trong đó AB // CD Tính AEC

Bài 8: Cho hình sau, trong đó AB // CD, BED 70o, CED = 40o Tính số đo góc ABE

Bài 9: Cho tam giác ABC Trên nửa mặt phẳng bờ AC không chứa

điểm B, vẽ tia Ax sao cho CAx ACB , trên nửa mặt phẳng bờ AB

không chứa điểm C, vẽ tia Ay sao cho BAy ABC 

a) Trên tia Ax, Ay lần lượt lấy hai điểm D và E Hãy giải thích vì sao ba điểm D, A, E thẳng hàng;

b) Qua C kẻ đường thẳng m vuông góc với BC Đường thẳng m có vuông góc với đường thẳng xy không? Vì sao?

Bài 10: Cho góc xOy khác góc bẹt và điểm A nằm trong góc đó Qua A vẽ đường thẳng d song song với Ox Hãy giải thích vì sao đường thẳng d cắt Oy

B A

E

§ 5: TỪ VUÔNG GÓC ĐẾN SONG SONG

I Nhắc lại lí thuyết

1 Quan hệ giữa tính vuông góc và tính song song của ba đường thẳng

- Nếu hai đường thẳng (phân biệt) cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì song song với nhau

- Nếu một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường

thẳng song song thì nó cũng vuông góc với đường thẳng kia./ / b

2 Ba đường thẳng song song

Hai đường thẳng (phân biệt) cùng song song với một đường thẳngthứ ba thì chúng song song với nhau

/ /

/ // /

1 Dạng 1: Nhận biết hai đường thẳng song song

Ví dụ 1: Cho hình vẽ sau Hãy chứng tỏ Bx // Cy

Giải: Hai góc so le trong xAB ABC bằng nhau nên Ax // BC.,

Hai góc so le trong CBD, BDy bằng nhau nên Dy // BC.

c

b a

a b c

y

x

B

D C A

30

30

45

45

/ /

/ // /

Nếu đường thẳng AB vuông góc a thì AH và BK trùng nhau (hình b)

2 Dạng 2: Nhận biết hai đường thẳng vuông góc

Ví dụ 3: Cho điểm A nằm trong góc vuông xOy Kẻ AB  Ox, AC  Oy

(b)

A B H a

B A

E

CM là tia nằm giữa hai tia CA và CD nên ACD = C1C 2 (3)

Thay (1), (2) vào (3) ta có: ACD = 60o + 30o = 90o hay AC  CD

1 Một tính chất được khẳng định là đúng bằng suy luận là một định lí

 Mỗi định lí thường được phát biểu dưới dạng “Nếu …thì”” Phần nằm giữa từ “nếu” và từ

“thì” là phần giả thiết, phần sau từ “thì” là phần kết luận

 “Giả thiết” và “kết luận” được viết tương ứng là GT là KL

2 Chứng minh định lí và dùng suy luận để từ giả thiết khẳng định được kết luận là đúng

IV Các dạng bài tập

1 Dạng 1: Viết giả thiết và kết luận của định lí

Ví dụ 1: Vẽ hình, viết giả thiết và kết luận của định lí sau:

Nếu một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song thì hai

B

A a

b c

1

1 N

M c

b a

2 COB ( ON là tia phân giác của góc COB) (2)

Từ (1) và (2) suy ra MOC CON  =

1

2 ( AOC COB ) (3)

Vẽ tia OC nằm giữa hai tia OM và ON, AOC và COB kề bù nên từ (3) ta có 

1.180 902

.III Bài tập

B A

OM là tia phân giác của AOC

ON là tia phân giác của CDB

KL MON 90o

b) Nếu hai góc tù xOy và ' ' ' x O y có Ox // O’x’; Oy // O’y’ thì xOy = ' ' ' x O y

Bài 2: Vẽ hình và viết giả thiết, kết luận của các định lí sau:

a) Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau

b) Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì chúng song songvới nhau

Bài 4: Chứng minh rằng: Nếu hai góc xO’y và x’Oy’ có Ox // O’x’, Oy // O’y’ thì xOy =  ' ' x Oy

nếu cả hai góc cùng nhọn hoặc hai góc cùng tù, chúng bù nhau nếu góc này nhọn góc kia tù

Bài 2: Trên hình vẽ bên cho đường thẳng m cắt hai đường thẳng x’x, y’y tại A, B và  ' 110o

b) Trong góc AOC vẽ tia OD  OC Tia OC có phải là tia phân giác của góc AOB không?

c) Vẽ tia OC’ là tia đối của tia OC Chứng tỏ rằng AOC'BOC

Bài 4: Cho góc xOy khác góc bẹt, tia phân giác Ot Từ một điểm A trên tia Ox vẽ tia Am // Oy (Tia

Am thuộc miền trong của góc xOy) Vẽ tia phân giác An của góc xAm

a) Chứng minh An // Ot

b) Vẽ tia AH  Ot Có nhận xét gì về tia AH đối với góc OAm?

Bài 5: Tìm số đo x, y trên hình vẽ sau:

40

140

y N M

K

I H

Bài 6: Cho tam giác ABC có A B  90o Từ C kẻ CH vuông góc với AB Chứng minh

Bài 7: Cho tam giác ABC có A = 90o Tia Bx là tia đối của tia BA Vẽ tia phân giác By của của góc BCx Vẽ CH  By và CK  CB (H, K thuộc tia By) Chứng minh rằng HCA HCK .

CHƯƠNG 2: TAM GIÁC

§ 1: TỔNG BA GÓC CỦA MỘT TAM GIÁC

I Nhắc lại lí thuyết

1 Tổng ba góc của một tam giác bằng 180o

2 Tam giác vuông là tam giác có một góc vuông

 Trong tam giác vuông hai góc nhọn phụ nhau

3 Góc ngoài của tam giác là góc kề với một góc của tam giác

 Mỗi góc ngoài của tam giác bằng tổng hai góc trong không kề với nó

 Góc ngoài của một tam giác lớn hơn mỗi góc trong không kề với nó

A

-

3

B

Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

b) Vì B - C = 10o và C - A = 10o, suy ra B = 10o + C và A = C- 10o.

Ta có A + B + C = ( C - 10o) + (10o + C ) + C = 180o, hay 3C = 180o Từ đó suy ra C = 60o, B

= 70o và A = 50o

2 Dạng 2: Nhận biết tam giác vuông, tìm các góc bằng nhau trong hình vẽ có tam giác vuông

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có B và C là các góc nhọn Qua B kẻ đoạn thẳng BD vuông góc với

AC (D  AC) Qua C kẻ đoạn thẳng CE vuông góc với AB (E AB) Gọi H là giao điểm của BD

va CE Hãy tìm mối liên hệ giữa:

Giải:

a)  ABD có A + ABD = 90o

 ACE có A + ACE = 90o

Suy ra ABD + ACE

b)  ACE có A + ACE = 90o

E D

C B

A

II Các dạng bài tập.

Bài 1: Tính các góc của tam giác ABC biết: 2 A = 3 B và A - B = 30o

Bài 2 Cho tam giác ABC có 3 A =5 B =15 C

a) Tính số đo các góc của tam giác ABC

b) Tia phân giác của góc B cắt cạnh AC tại D Tính BDC.

Bài 3 Cho tam giác ABC vuông tại A Vẽ AH  BC tại H Tia phân giác của BAH cắt BH tại D

Chứng minh rằng CAD CDA 

Bài 4: Trên hình sau có BAD = BCD = 90o, ADB = 15o, AD //

Bài 7: Cho tam giác ABC vuông ở A Kẻ đường cao AH, tia phân giác của góc A cắt BC tại D Biết

DAH = 15o, tính các góc của tam giác ABC

C

D E

Bài 8: Cho tam giác ABC Tia phân giác của góc A cắt BC ở D Tính các góc của tam giác ABC biết

ADB = 80o và B = 1,5 C

Bài 9: Chứng minh rằng tổng ba góc ngoài ở ba đỉnh của một tam giác bằng 360o

Bài 10: Cho tam giác ABC vuông góc tại A, phân giác CD

a) Chứng minh rằng góc BDC là góc tù

b) Giả sử BDC = 105o, tính B

Bài 11: Tam giác ABC có góc B > C Vẽ phân giác AD.

a) Chứng minh rằng ADC ADB   B - C

b) Đường thẳng chứa tia phân giác góc ngoài ở đỉnh A của tam giác ABC cắt đường thẳng BC

tại E Chứng minh rằng

Bài 12: Cho tam giác ABC có góc A = 90o Trên nửa mặt phẳng bờ

BC có chứa điểm A, vẽ các tia Bx và Cy vuông góc với BC Qua A

kẻ DE song song với BC (D Bx, E Cy)

a) Tìm các tam giác vuông trong hình vẽ

b) Tìm các góc bằng tam giác ABC

Bài 13: Tính tổng các góc A, B, C, D, E của một hình sao 5 cánh (hình

E

y x

§ 9: HAI TAM GIÁC BẰNG NHAU

I Nhắc lại lí thuyết

Hai tam giác bằng nhau:

ABC =  A’B’C’  A = A ’ ; AB = A’B’

243

2 Dạng 2: Viết kí hiệu về sự bằng nhau của hai tam giác theo thứ tự đỉnh tương ứng.

Ví dụ 2: Cho hai tam giác bằng nhau: tam giác ABC và một tam giác có đỉnh là H, I, K Viết kí hiệu về sự bằng nhau giữa hai tam giác theo thứ tự đỉnh tương ứng, biết rằng:

a) A = H , B = I ;

b) AB = IK, BC = KH

Giải:

a)  ABC =  HIK;

b) Vì AB = IK nên đỉnh tương ứng của B là I hoặc K Vì BC = KH nên đỉnh tương ứng của

B là K hoặc H Do đó đỉnh tương ứng của B là K, suy ra đỉnh tương ứng của A là I và đỉnh tương ứng của C là H Ta được:

ABC =  IHK

III Bài tập

Bài 1: 1) Cho  ABC =  DEF, AB = DE, C = 46o Tính góc F

2) Cho  ABC =  DEF, A = D , BC = 15cm Tính cạnh EF.

3) Cho  ABC =  CBD có AD = DC, ABC = 80o, BCD = 90o

a) Tính góc ABD

b) Chứng minh rằng BC  DC

Bài 2: Trên hình bên cho  ACO =  BDO, AC = 2cm, OD = 3cm,

OA = 2,5cm

a) Tính các cạnh còn lại của hai tam giác

b) Chứng minh AC và BD song song với nhau

Bài 3: Cho  ABC =  DEF, biết C =

5

6 B và E - F = 10o Tính

số đo các góc của hai tam giác đó

Bài 4: Cho hai tam giác bằng nhau: tam giác ABC và một tam giác có đỉnh là M, N, P Kí hiệu về sựbằng nhau giữa hai tam giác theo thứ tự đỉnh tương ứng, biết rằng:

a) A = M , B = P

b) AB = MP, BC = PN

Bài 5: Cho  ABC =  DEF, A = 53o, E = 32o Tính C , F

Bài 6: Cho  ABC =  MNP,  PMN =  DEF Hãy kí hiệu về sự bằng nhau giữa tam giác ABC

và tam giác có các đỉnh là D,E,F

2,5cm 2cm

A

B

§ 10: TRƯỜNG HỢP BẰNG NHAU THỨ NHẤT CỦA TAM GIÁC CẠNH – CẠNH – CẠNH

I Nhắc lại lí thuyết

Nếu ba cạnh của tam giác này bằng ba cạnh của tam giác kia thì hai

tam giác đó bằng nhau

1 Dạng 1: Vẽ tam giác biết độ dài ba cạnh

Ví dụ 1: Vẽ tam giác ABC biết độ dài mỗi cạnh là 5cm Sau đó đo mỗi góc của tam giác Hướng dẫn:

- Vẽ đoạn thẳng BC = 5cm

- Vẽ cung tâm B bán kính 5cm và cung tâm C bán kính

5cm, chúng cắt nhau tại A

- Vẽ các đoạn thẳng AB, AC

- Dùng thước đo góc, ta đo được:

A = B = C = 60o

2 Dạng 2: Chứng minh hai tam giác bằng nhau theo trường hợp cạnh – cạnh – cạnh

Ví dụ 2: Tìm các tam giác bằng nhau trên hình bên

Giải:

 AOB =  AOD (c.c.c);  ABC =  ADC (c.c.c);  BOC = 

DOC (c.c.c)

3 Dạng 3: Ứng dụng trường hợp bằng nhau c.c.c của tam giác

Ví dụ 3: Cho tam giác ABC có AB = AC Gọi D là trung điểm cạnh BC

A

C' B'

A'

5cm 5cm

5cm

A

C B

O

D B

a) Chứng minh  ABD =  ACD.

b) Chứng minh AD là tia phân giác của góc BAC

Giải:

a)  ABD =  ACD (c.c.c)

b) Ta có:  ABD =  ACD

 BAD = CAD (hai góc tương ứng)

Vì tia AD nằm giữa hai tia AB và AC nên AD là tia phân giác của BAC

III Bài tập

Bài 1: Vẽ tam giác ABC biết mỗi cạnh bằng 3cm Gọi M, N, P là trung điểm các cạnh AB, BC, CA Nối MN, NP, PM Hãy đo để kiểm tra xem bốn tam giác AMP, BNM, CPN và MNP có bằng nhau hay không?

Bài 2: Cho tam giác ABC có AB = AC Gọi M là trung điểm của cạnh BC

a) Chứng minh  ABM =  ACM

Bài 5: Trong hình (a), (b) các đoạn thẳng bằng nhau được đánh dấu như nhau Bạn hãy tìm trong cáchình đó các tam giác bằng nhau

A

Bài 6: Cho hai đường tròn tâm I và K cùng có bán kính 2cm, chúng cắt nhau tại A và B Vẽ dây AC của đường tròn I sao cho AC = AB Chứng minh rằng IAB IAB KAB 

c) MN là đường trung trực của đoạn thẳng BC

Bài 8: Ở hình sau, biết PA = PB, SA = SB và QA = QB Chứng minh ba điểm P, Q, S thẳng hàng

§ 11: TRƯỜNG HỢP BẰNG NHAU THỨ HAI CỦA TAM GIÁC (CẠNH – GÓC – CẠNH) (c.g.c)

P

Q S

 Nếu hai cạnh và góc xen giữa của tam giác này bằng hai cạnh và góc xen giữa của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.

II Các dạng bài tập.

1 Dạng 1: Vẽ tam giác biết hai cạnh và góc xen giữa

Ví dụ 1: a) Vẽ tam giác ABC có B = 60o, AB = BC = 3cm

b) Đo độ dài cạnh AC

3 Dạng 3: Ứng dụng trường hợp bằng nhau c – g – c của tam giác

Ví dụ 3: Cho tam giác ABC vuông tại A Gọi M là trung điểm cạnh AC, D là điểm trên mặt phẳng

bờ AC không chứa điểm B sao cho MDC = 90o và CD Chứng minh rằng M là trung điểm của đoạn thẳng BD

Giải:

K H

Xét  ABM và  CDM có: AM = CM (M là trung điểm AC), AB =

Vẽ tam giác ABC biết A = 90o, AB = AC = 3cm Sau đó đo các góc B và C.

Bài 2: Cho góc nhọn xOy, Oz là tia phân giác Trên tia Ox lấy điểm A (A khác O) trên tia Oy lấy điểm B (B khác O) sao cho OA = OB, C là điểm bất kì trên tia Oz (C khác O)

a) Chứng minh  OAC =  OBC b) Chứng minh AB  OC

Bài 3: Cho tam giác ABC Trên tia BA lấy một điểm E sao cho điểm A nằm giữa B và E, và AE =

AC Trên tia CA lấy điểm F sao cho điểm A nằm giữa C và F, AF = AB Kẻ đường thẳng AM (M làtrung điểm của cạnh BC) Kẻ đường thẳng AN (N là trung điểm EF)

a) Chứng minh rằng các tam giác ABC và AFE bằng nhau

b) Chứng minh rằng các tam giác ABM và AFN bằng nhau

D M

B

Bài 4: Cho tam giác ABC, gọi M là trung điểm của cạnh BC Trên tia AM lấy điểm D sao cho AD =2.AM Chứng minh rằng DBC = BCA

Bài 5: Cho tam giác ABC và hai điểm N, M lần lượt là trung điểm của cạnh AC, AB Trên tia BN lấy điểm B’ sao cho N là trung điểm của BB' Trên tia CM lấy điểm C’ sao cho M là trung điểm của CC' Chứng minh:

a) B’C’ // BC

b) A là trung điểm của B’C’

Bài 6: Cho tam giác ABC và K là trung điểm cạnh BC Trên nửa mặt phẳng không chứa B, bờ là

AC, kẻ tia Ax vuông góc với AC; trên tia Ax lấy điểm M sao cho AM = AC Trên nửa mặt phẳng không chứa C, bờ là AB, kẻ tia Ay vuông góc với AB và lấy điểm N thuộc Ay sao cho AN = AB Lấy điểm P trên tia AK sao cho AK = KP

a) Chứng minh  AKC =  PKB Suy ra AC // BP

b) Chứng minh  ABP =  NAM Từ đó suy ra AK vuông góc với MN

Bài 7: Cho tam giác ABC Gọi D, E lần lượt là trung điểm của cạnh AB, AC Trên tia đối tia DC lấyđiểm M, trên tia đối EB lấy điểm N sao cho DM = DC, EN = EB Chứng minh rằng ba điểm A, M,

N thẳng hàng

Bài 8: Cho tam giác ABC có A < 90o Trên nửa mặt phẳng bờ AB không chứa điểm C, vẽ tia Ax vuông góc với AB, trên đó lấy điểm D sao cho AD = AB Trên nửa mặt phẳng bờ AC không chứa điểm B, vẽ tia Ay vuông góc với AC, trên đó lấy điểm E sao cho AE = AC

a) Chứng minh  ACD =  AEB

b) Chứng minh EB  CD

c) Các đường thẳng AC và ED có vuông góc với nhau không?

Bài 9: Cho O là điểm thuộc đoạn thẳng AB (không trùng hai đầu mút) Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB vẽ các tia Ox và Oy sao cho AOx = BOy < 90o Lấy điểm C trên tia Ox và điểm D trên tia Oy sao cho OC = OA và OD = OB Chứng minh rằng AD = BC

Bài 10: Cho  ABC vuông tại A có C = 45o Vẽ phân giác AD Trên tia đối của tia AD lấy điểm E sao cho AE = BC Trên tia đối của tia CA lấy điểm F sao cho CF = AB

Bài 12: Cho tam giác ABC có A = 90o Tia phân giác của góc B cắt cạnh AC tại điểm D Trên cạnh

BC lấy điểm H sao cho BH = BA

a) Chứng minh DH  BC;

b) Biết ADH = 110o, tính ABD

Bài 13: Cho tam giác ABC, trung điểm của BC là M Kẻ AD // BM và AD = BM (M và D khác phíađối với AB), trung điểm của AB là I

 Nếu một cạnh và hai góc kề của tam

giác này bằng một cạnh và hai góc kề của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau

A' A

1 Dạng 1: Vẽ tam giác biết một cạnh và hai góc kề

Ví dụ 1: Vẽ tam giác ABC biết AC = 4cm, A = 90o, C = 30o

Giải:

- Vẽ đoạn thẳng AC = 4cm

- Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AC vẽ các tia Ax và Cy

sao cho CAx = 90o; CAy = 30o, chúng cắt nhau tại B

2 Dạng 2: Nhận dạng hoặc chứng minh hai tam giác bằng nhau

theo trường hợp góc – cạnh – góc

Ví dụ 2: Cho đoạn thẳng AB, kẻ tia Ax và By cùng vuông góc với AB, hai tia đó thuộc hai nửa mặt phẳng đối nhau có bờ là đường thẳng AB Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng AB, kẻ một đường thẳng đi qua M, đường này cắt Ax và By ở C và D Chứng minh rằng hai tam giác MAC

và MBD bằng nhau

Giải:

Ta có: MA = MB (Vì M là trung điểm của AB) M 1 = M 2

(hai góc đốiđỉnh);

A = B (đều = 90o) Do đó ta được  MAC =  MBD (g.c.g)

3 Dạng 3: Ứng dụng trường hợp bằng nhau c – g – c của hai tam

giác

Ví dụ 3: Chứng minh rằng : Hai đoạn thẳng cắn giữa hai đường thẳng song song thì bằng nhau

30

y xB

2 1

D

M A

C

B y

x

Xét hai đường thẳng AB, CD song song thoả mãn

điều kiện AC // BD Ta phải chứng minh AB =

Do đó  ABD =  DCA (g.c.g), suy ra AB = CD

4 Dạng 4: Nhận dạng hoặc chứng minh hai tam giác vuông bằng nhau theo trường hợp cạnh huyền – góc nhọn

Ví dụ 4: Cho tam giác ABC có A = 90o, AB = AC Kẻ BD vuông góc

với AC (D  AC) và CE vuông góc với AB (E  AB) Gọi O là giao

điểm của BD và CE

21

2 1

b) Theo câu a):  ABD =  AEC nên AED = ACE (hai góc tương ứng) , AE = AD (cạnh

tương ứng) mà AE + EB = AB, AD + DC = AC, nhưng AB = AC (giả thiết), do đó EB = DC

Hai tam giác vuông EOB va DOC có:

BE = CD

EBO = DCO

Vậy  EOB =  DOC (cạnh góc vuông và một góc nhọn bằng nhau), suy ra OE = OD và OB = OC

c) Hai tam giác OEA và ODA có:

EA = DA (cạnh tương ứng của hai tam giác bằng nhau:  ADB =  AEC)

AEO = ADO = 90o

OE = OD (theo câu b)

Vậy  AEO =  ADO (c – g – c), suy ra OAE = OAD , do đó AO tia phân giác của góc BAC.

III Bài tập

Bài 1: Vẽ tam giác ABC biết BC = 4cm, B = 60o, C = 50o

Bài 2: Cho một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song tại A và B Qua trung điểm M của đoạn thẳng AB kẻ một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song đã cho tại C và D Chứng minh rằng M là trung điểm của CD

Bài 3: Cho tam giác ABC Gọi M là trung điểm của cạnh AB Từ A và B kẻ các đoạn thẳng AE và

BF cùng vuông góc với tia CM Chứng minh rằng AE = BF

Bài 4: Cho góc xOy < 90o Trên tia phân giác Oz của góc xOy lấy điểm M Từ M kẻ đường thẳng vuông góc với Ox tại E và cắt Oy tại G Từ M kẻ đường thẳng vuông góc với Oy tại F và cắt Ox tại

H Kẻ đường thẳng vuông góc với Oz tại M cắt Ox và Oy theo thứ tự tại P và Q

Chứng minh rằng  MPH =  MQG

Bài 5: Cho tam giác ABC có A > 90o Kẻ DA  AB và DA = AB (tia AD nằm giữa 2 tia AB và AC) Kẻ AE  AC và AE = AC (tia AE nằm giữa hai tia AB và AC) Kẻ AH  BC và kéo dài cắt

DE tại M Chứng minh MD = ME

Bài 6: Cho tam giác ABC có B = C Gọi I là trung điểm của cạnh BC Trên cạnh AB lấy điểm D,

trên tia DI lấy điểm E sao cho I là trung điểm của DE

Chứng minh rằng:

a) BD = CE;

b) CB là tia phân giác của góc ACE

Bài 7: Cho tam giác ABC có A = 90o và AB = AC Qua A kẻ đường thẳng xy (B, C nằm cùng phía đối với xy) Kẻ BD và CE vuông góc với xy (D, E  xy)

a) Chứng minh rằng DE = BD + CE

b) Kết quả ở câu a) thay đổi thế nào nếu B, C nằm khác phía đối với xy?

Bài 8: Cho tam giác ABC có A = 90o và AB = AC Trên các cạnh AB, AC tương ứng hai điểm D và

E sao cho AD = AE Từ A và D kẻ đường vuông góc với BE cắt BC tại M và N Tia ND cắt tia CA

ở I Chứng minh:

a) A là trung điểm của CI;

b) CM = MN

Bài 9: Cho tam giác ABC, D là trung điểm cạnh AB, E là trung điểm cạnh AC Vẽ điểm F sao cho E

là trung điểm của DF Chứng minh rằng:

a) BD = CF;

b) DE // BC và DE =

1

2 BC

Bài 10: Cho  ABC, D là trung điểm của cạnh AB Đường thẳng kẻ qua D và song song với cạnh

BC cắt AC ở E, đường thẳng kẻ qua E song song với cạnh AB cắt BC ở F

Chứng minh rằng:

a) AD = EF;

b) AE = EC và BF = FC;

Bài 11: Cho tam giác ABC có A < 90o Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa điểm C vẽ AD  AB

và AD = AB, trên nửa mặt phẳng bờ AC có chứa điểm B vẽ AE  AC và AE = AC Kẻ AH  ED (H  ED) Chứng minh rằng đường thẳng AH đi qua trung điểm M của cạnh BC

Bài 12: Cho tam giác AB, điểm D thuộc cạnh BC Kẻ DE // AC (E  AB), kẻ DF // AB (F  AC) Gọi I là trung điểm của EF Chứng minh rằng I là trung điểm của AD

Bài 13: Cho tam giác ABC Ở phía ngoài của tam giác ABC, vẽ các tam giác vuông tại A là ABD vàACE có AB = AD và AC = AE Kẻ AH vuông góc với BC Gọi I là giao điểm của HA và DE Chứng minh rằng DI = IE

Bài 14: Cho tam giác ABC có A < 90o Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa điểm C vẽ AD  AB

và AD = AB, trên nửa mặt phẳng bờ AC có chứa điểm B vẽ AE  AC và AE = AC Kẻ AH  ED tại H Chứng minh rằng đường thẳng AH đi qua trung điểm của cạnh BC

(Đề thi chọn HSG Toán 7, trường THCS Colete, Quận 3, TP.HCM, năm học 1994, 1995)

CHUYÊN ĐỀ CÁC TRƯỜNG HỢP BẰNG NHAU CỦA TAM GIÁC.

Bước 2: Chứng minh hai tam giác đó bằng nhau

Bước 3: Suy ra cặp cạnh (hay cặp góc) tương ứng bằng nhau

2 Để tạo ra được hai tam giác bằng nhau, có thể ta phải vẽ thêm đường phụ bằng nhiều cách:

- Nối hai điểm có sẵn trong hình để tạo ra một cạnh chung của hai tam giác

- Trên một tia cho trước, đặt một đoạn thẳng bằng một đoạn thẳng khác

- Từ một điểm cho trước vẽ một đường thẳng song song với một đường thẳng