Đạo hàm và các bài toán liên quan (đầy đủ chi tiết)

Fanpage: 2000 ễn Thi Quc Gia 2018 - Ti liu ụn thi s VN Tổ Toán _ Tin tr-ờng thpt lục ngạn số Phn 1: Cỏc cụng thc tớnh o hm I Kiến thức Bảng đạo hàm hàm số Hàm số Đạo hàm (y = f(x)) (y = f(x)) Hàm số Đạo hàm y=c y = tanx y=x y = cotx y = xn nxn-1 x x y = ex cos x sin x ex y = ax ax lna y = lnx 1/x y = logax ln a x y = 1/x y x y = sinx cosx https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/ y = cosx -sinx Đạo hàm hàm hợp Ta xét hàm số y = f(u(x)) Ta tính đạo hàm hàm số cho theo x nh- sau yx' f x' fu' ux' Bảng đạo hàm hàm số hợp Hàm số Đạo hàm Hàm số Đạo hàm y = un n.un-1.u y = sinu u ' u2 u ' u u.cosu y = cosu - u.sinu y = logau ln a u ' u y = 1/u y u y = tanu y = cotu u cos u u sin u y = eu u.eu y = au u.au lna u ' u y = lnu Chú ý: Khi áp dụng tính đạo hàm hàm hợp ta ý ban đầu tính đạo hàm hàm số theo biến u nhân với đạo hàm hàm số u theo biến x Các phép toán đạo hàm Cho hai hàm số y = u(x), y = v(x) Khi *) (u + v) = u + v *) (u - v) = u v *) (uv) = uv + vu Đạo hàm ứng dụng tập 1 Like page nhn nhiu ti liu hn: https://www.facebook.com/tailieupro/ Fanpage: 2000 ễn Thi Quc Gia 2018 - Ti liu ụn thi s VN Tổ Toán _ Tin tr-ờng thpt lục ngạn số *) (ku) = k.u ( k số) ' u u ' v v 'u *) v2 v Đạo hàm bậc cao hàm số Đạo hàm bậc n hàm số y = f(x) đạo hàm bậc đạo hàm bậc n hàm số y = f(x) ( n > 1) II Các dạng toán Dạng Tính đạo hàm hàm số Ph-ơng pháp Ta vận dụng quy tắc phép tính đạo hàm, đặc biệt đạo hàm hàm hợp Nếu yêu cầu tính đạo hàm điểm ta cần tính đạo hàm thay vào đe đ-ợc kết Ví dụ Tính đạo hàm hàm số sau a) y x3 x 3x b) y sin x cos x tan x d) y cot x 3x Giải c) y x x a) Ta có y ' x3 x 3x 3x x ' b) Ta có y ' sin x cos x tan x cos x sin x c) Ta có cos x https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/ ' x ' y ' x x x3 d) Ta có sin x Ví dụ Tính đạo hàm hàm số sau điểm t-ơng ứng a) y x3 3x x x0 = -1 y ' cot x 3x ' b) y sin x cos x x0 c) y x x x0 = Giải a) Ta có y ' x3 3x x 3x x suy y ' (1) 13 ' b) Ta có ' y ' sin x cos x 2cos2 x sin x suy y ' 2cos sin c) Ta có Đạo hàm ứng dụng tập Like page nhn nhiu ti liu hn: https://www.facebook.com/tailieupro/ Fanpage: 2000 ễn Thi Quc Gia 2018 - Ti liu ụn thi s VN Tổ Toán _ Tin tr-ờng thpt lục ngạn số y' ' x 2x suy y ' 2 2 x 2 Ví dụ Tính đạo hàm hàm số sau x 3x 2x a) y b) y c) y x 3x x x2 d) y sin(2 x 1) cos(1 x) e) y 3x f) y x x g) y tan( x x 1) Giải a) Ta có x x x x x x x y 2 x2 x x x b) Ta có ' ' ' ' ' x 3x (2 x 3)( x 1) ( x 3x 1) x x y 2 x x x c) Ta có ' y ' x 3x x3 x ' https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/ d) Ta có ' y ' sin(2 x 1) cos(1 x) 2cos(2 x 1) sin(1 x) e) Ta có ' y ' 3x 3x f) Ta có ' 2x x2 y' x2 4x x2 x x2 x g) Ta có ' y ' tan( x x 1) x2 x ' cos ( x x 1) 2x x x 2 cos ( x x 1) x cos ( x x 1) Dạng Giải phương trình y = Ph-ơng pháp Ta tính y sau giải phương trình y = Ví dụ Giải phương trình y = biết x2 a) y b) y x3 3x c) y x3 12 x2 x x x4 x2 x x 3x d) y e) y f) y 3x 2 x x 2x Đạo hàm ứng dụng tập Like page nhn nhiu ti liu hn: https://www.facebook.com/tailieupro/ Fanpage: 2000 ễn Thi Quc Gia 2018 - Ti liu ụn thi s VN Tổ Toán _ Tin tr-ờng thpt lục ngạn số g) y x x x2 x h) y x Giải x2 x i) y x a) Ta có ' x2 x2 x x x2 x ' ' suy y y x2 x 2 x x x x Vây phương trình y = có hai nghiệm phân biệt x = x = b) Ta có ' x y ' x3 3x 3x x suy y ' 3x x x Vây phương trình y = có hai nghiệm phân biệt x = x = c) Ta có y ' x3 12 x x 12 x 24 x ' x Suy y ' 12 x 24 x x https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/ Vây phương trình y = có hai nghiệm phân biệt x , x 2 d) Ta có ' x2 x x2 x y x x 12 ' x x x x x Vậy phương trình y = có hai nghiệm phân biệt x = x = -2 e) Ta có suy y ' x2 x ' x 3x x x y x x ' x x x x x Vậy phương trình y = có hai nghiệm phân biệt x = x = -2 f) Ta có suy y ' x2 x ' x4 y 3x x3 x ' x Suy y ' x3 x x Đạo hàm ứng dụng tập Like page nhn nhiu ti liu hn: https://www.facebook.com/tailieupro/ Fanpage: 2000 ễn Thi Quc Gia 2018 - Ti liu ụn thi s VN Tổ Toán _ Tin tr-ờng thpt lục ngạn số Vậy phương trình y = có ba nghiệm phân biệt x 0, x g) Ta có y ' x x x3 x ' Suy y ' x3 x x Vậy ph-ơng trình y = có nghiệm x = h) Ta có ' x2 x x2 2x y x x ' x x2 x x x Vậy phương trình y = có hai nghiệm phân biệt x = -1 x = i) Ta có Suy y ' 0' x2 x ' x2 x 2x2 4x y x x ' x 2x 4x x2 x Suy y ' x x 2 2 ,x Vậy ph-ơng trình y = có hai nghiệm phân biệt x 2 Dạng 3: Chứng minh đẳng thức đạo hàm Ph-ơng pháp: Tính đạo hàm sử dụng phép biến đổi đặc biệt hàm l-ợng giác Ví dụ Chứng minh a) y y2 -1 = với y = tanx b) y + 2y2 + = với y = cot2x c) y2 + 4y2 = với y = sin2x Giải a) Ta có y ' cos x Khi sin x sin x cos x y' y2 cos x cos x cos x sin x cos x cos x cos x Vậy ta có điều cần chứng minh b) Ta có y ' sin x https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/ Đạo hàm ứng dụng tập Like page nhn nhiu ti liu hn: https://www.facebook.com/tailieupro/ Fanpage: 2000 ễn Thi Quc Gia 2018 - Ti liu ụn thi s VN Tổ Toán _ Tin tr-ờng thpt lục ngạn số Khi sin 2 x cos 2 x 2cos 2 x y 2y sin x sin 2 x sin 2 x Vậy ta có điều cần chứng minh c) Ta có y = 2cos2x ' Khi y ' y 4cos2 x 4sin 2 x x 3x y x y x3 3x x2 y x y x 3x https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/ Vậy ta có điều cần chứng minh III Bài tập tự luyện Bài Tính đạo hàm hàm số sau x2 x x2 x a) y b) y c) x x d) y x x e) y x3 3x f) Bài Tính đạo hàm hàm số sau x2 a) y b) y x3 3x c) x 3x 3x x d) y e) y f) x2 2x Bài Tính đạo hàm hàm số sau điểm t-ơng ứng x 3x a) y điểm x0 = -1 x b) y x 5x điểm x0 = 2 c) y x3 x x điểm x0 Bài Giải phương trình y = trường hợp sau x 3x x2 a) y b) y c) x x d) y x 5x e) y x x f) y x 3x y x 3x Phn 2: Tip tuyn ca thi hm s I Kiến thức Tiếp tuyến điểm: Cho hàm số y= f(x) (C), x0 điểm thuộc vào TXĐ hàm số tồn đạo hàm Khi ta có tiếp tuyến với (C) điểm (x0; f(x0)) có ph-ơng trình y = y/(x0)(x-x0) + f(x0) Nhận xét: ta có y/(x0) hệ số góc tiếp tuyến Ta cần tìm đ-ợc hệ số góc tiếp điểm tr-ờng hợp muốn viết ph-ơng trình tiếp tuyến với đ-ờng cong Các tập hay gặp phần này: Cho hoành độ tiếp điểm; tung độ tiếp điểm; hay giao điểm đồ thị hàm số với đ-ờng thẳng Đạo hàm ứng dụng tập Like page nhn nhiu ti liu hn: https://www.facebook.com/tailieupro/ Fanpage: 2000 ễn Thi Quc Gia 2018 - Ti liu ụn thi s VN Tổ Toán _ Tin tr-ờng thpt lục ngạn số 2 Điều kiện tiếp xúc hai đồ thị Cho hai hàm số y = f(x) (C1), y = g(x) (C2) https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/ f ( x) g ( x) Khi (C1) tiếp xúc với (C2) hệ ph-ơng trình ' có ' f ( x ) g ( x ) nghiệm Chú ý: + Nếu hai đồ thị (C1) (C2) hai đ-ờng cong chúng tiếp xúc với hai điểm hệ có hai nghiệm phân biệt + Nếu hai đ-ờng đ-ờng thẳng để có hai tiếp tuyến ta cần hệ có hai nghiệm phân biệt II Dạng toán Dạng Viết ph-ơng trình tiếp tuyến điểm Ph-ơng pháp: Ta cần tìm đ-ợc toạ độ tiếp điểm dựa vào kiện toán cho Nhận xét: Trong dạng ta th-ờng gặp tr-ờng hợp sau + Cho biết tọa độ tiếp điểm + Cho biết hoành độ tiếp điểm điều kiện để tìm đ-ợc hoành độ tiếp điểm + Biết tung độ tiếp điểm điều kiện để tìm đ-ợc tung độ tiếp điểm + Tiếp điểm giao điểm đồ thị với đồ thị khác Khi ta cần giải hệ ph-ơng trình để tìm toạ độ tiếp điểm Dạng Tiếp tuyến qua điểm: Cho hàm số y= f(x) (C) viết ph-ơng trình tiếp tuyến với (C) qua điểm M(xM; yM) Ph-ơng pháp: Cách 1: Tìm tiếp điểm Giả sử tiểp tuyến với (C) cần tìm có tiếp điểm M0(x0; y0) Khi tiếp tuyến cần tìm có ph-ơng trình y = f/(x0)(x-x0) + f(x0) Mà tiếp tuyến qua điểm M(xM; yM) suy yM = f/(x0)(xM-x0) + f(x0) giải ph-ơng trình ta tìm đ-ợc hoành độ tiếp điểm sau tìm y0 = f(x0) viết ph-ơng trình tiếp tuyến cần tìm theo dạng Cách 2: Sử dụng điều kiện tiếp xúc Giả sử đ-ờng thẳng qua M(xM; yM) có hệ số góc k có ph-ơng trình y = k(x-xM) + yM Ta có đ-ờng thẳng y = k(x-xM) + yM tiếp tuyến đ-ờng cong (C) f ( x) k ( x xM ) yM / giải hệ ta tìm đ-ợc hoành độ tiếp điểm sau f ( x) k viết ph-ơng trình tiếp tuyến t-ơng ứng Nhận xét: có nghiệm x ta có nhiêu tiếp tuyến qua điểm M Dạng Tiếp tuyến cho tr-ớc hệ số góc: Ph-ơng pháp Cách Tìm tiếp điểm Giả sử tiếp tuyến cần tìm có tiếp điểm M0(x0; y0) Khi tiếp tuyến cần tìm có ph-ơng trình y = f/(x0)(x-x0) + f(x0) Đạo hàm ứng dụng tập Like page nhn nhiu ti liu hn: https://www.facebook.com/tailieupro/ Fanpage: 2000 ễn Thi Quc Gia 2018 - Ti liu ụn thi s VN Tổ Toán _ Tin tr-ờng thpt lục ngạn số https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/ Khi theo giải thiết ta có f/(x0) = k Giải ph-ơng trình ta tìm đ-ợc hoành độ tiếp điểm sau tìm y0 = f(x0) viết ph-ơng trình tiếp tuyến cần tìm theo dạng Nhận xét: Trong dạng ta gặp tập nh- sau: *) Tiếp tuyến có hệ số góc k ta tìm tiếp điểm M0(x0; y0) cách giải ph-ơng trình f/(x0) = k sau viết ph-ơng trình tiếp tuyến t-ơng ứng *) Tiếp tuyến vuông góc với đ-ờng thẳng y = ax + b tiếp tuyến có hệ số góc k = sau tìm tiếp điểm M0(x0; y0) cách giải ph-ơng trình f/(x0) = k a viết ph-ơng trình tiếp tuyến t-ơng ứng *) Tiếp tuyến song song với đ-ờng thẳng y = ax+ b tiếp tuyến có hệ số góc k= a sau tìm tiếp điểm M0(x0; y0) cách giải ph-ơng trình f/(x0) = k viết ph-ơng trình tiếp tuyến t-ơng ứng *) Tiếp tuyến tạo với chiều d-ơng trục hoành góc hệ số góc tiếp tuyến k = tan sau tìm tiếp điểm M0(x0; y0) cách giải ph-ơng trình f/(x0) = k viết ph-ơng trình tiếp tuyến t-ơng ứng *) Tiếp tuyến tạo với đ-ờng thẳng y = ax +b góc hệ số hóc tiếp k a tan dùng tích vô h-ớng hai véctơ tuyến k thoả mãn ka pháp tuyến để tìm hệ số góc k sau tìm tiếp điểm M0(x0; y0) cách giải ph-ơng trình f/(x0) = k viết ph-ơng trình tiếp tuyến t-ơng ứng III Ví dụ Ví dụ 1: Cho hàm số y f ( x) x3 x x (C ) Viết ph-ơng trình tiếp tuyến với (C) biết a) Hoành độ tiếp điểm lần l-ợt -1; 3; b) Tung độ tiếp điểm lần l-ợt -4 c) Tiếp điểm giao (C) với trục hoành Giải TXĐ: D Ta có y / f / ( x) 3x x a) Với hoành độ tiếp điểm x0 = -1 ta có y0 = f(x0) = f(-1) = - 4; f / ( x0 ) f / (1) suy tiếp tuyến với (C) có ph-ơng trình y = f/(-1)(x+1) hay y = - Với hoành độ tiếp điểm x0 = ta có y0 = f(x0) = f(3) = 44; f / ( x0 ) f / (3) 40 suy tiếp tuyến với (C) có ph-ơng trình y = f/(3)(x-3) + 44 hay y = 40x 76 b) Với tung độ tiếp điểm y0 = - ta có x0 = -1 x0 = Với hoành độ tiếp điểm x0 = -1 ta có f / ( x0 ) f / (1) suy tiếp tuyến với (C) có ph-ơng trình y = f/(-1)(x+1) hay y = - Với x0 = ta có f / ( x0 ) f / (0) suy tiếp tuyến với (C) có ph-ơng trình y = f/(0)(x+1) hay y = x c) Giao điểm (C) với trục hoành có hoành độ nghiệm ph-ơng trình y x3 x2 x ( x 1)( x 3x 4) x Khi f / (1) suy tiếp tuyến với (C) có ph-ơng trình y = f/(1)(x-1) hay y = 8x Đạo hàm ứng dụng tập Like page nhn nhiu ti liu hn: https://www.facebook.com/tailieupro/ Fanpage: 2000 ễn Thi Quc Gia 2018 - Ti liu ụn thi s VN Tổ Toán _ Tin tr-ờng thpt lục ngạn số https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/ Ví dụ 2: Cho hàm số y f ( x) x3 m( x 1) (Cm) Viết ph-ơng trình tiếp tuyến (Cm) giao điểm với Oy, tìm m để tiếp tuyến chắn hai trục tạo tam giác có diện tích Giải TXĐ: D Ta có (Cm) giao với Oy điểm A(0; -m) y / f / ( x) 3x m Khi tiếp tuyến cần tìm y = y/(0)x +1 m hay y =-mx +1-m m Tiếp tuyến cắt trục hoành điểm B( ; 0) (m 0) suy m 1 m SOAB | y A | | xB | |1 m | | | 16 | m | m 2m 2 m m 16m m2 2m m2 14m 2 16 m m m m 18 m m Với m = đồ thị hàm số cho không cắt trục hoành suy không tồn tam m giác OAB Vậy với tiếp tuyến cần tìm cắt hai trục tọa độ tạo m tam giác có diện tích Ví dụ 3: Cho hàm số y f ( x) x3 3x (C ) viết ph-ơng trình tiếp tuyến với (C) biết a) Tiếp tuyến có hệ số góc k = b) Tiếp tuyến vuông góc với đ-ờng thẳng y x Giải / / TXĐ: D Ta có y f ( x) 3x x a) Gọi A(xA; yA) tiếp điểm tiếp tuyến cần tìm ta có x f / ( xA ) 3xA2 xA 3xA2 xA A xA Với xA ta có y A tiếp tuyến với (C) cần tìm y = 9(x+1) hay y=9x+5 Với xA = ta có yA = tiếp tuyến với (C ) cần tìm y =9(x-3) hay y= 9x 27 Vậy có hai tiếp tuyến với (C) có hệ số góc k = y=9x+5 y= 9x 27 b) Gọi M(xM ;yM) tiếp điểm tiếp tuyến cần tìm Tiếp tuyến cần tìm vuông góc với đ-ờng thẳng y x suy hệ số góc k = -3 (Làm t-ơng tự nh- phần a) Ví dụ 4: Cho hàm số y x3 3x 12 x (C) Viết ph-ơng trình tiếp tuyến với (C) tr-ờng hợp sau Đạo hàm ứng dụng tập Like page nhn nhiu ti liu hn: https://www.facebook.com/tailieupro/ Fanpage: 2000 ễn Thi Quc Gia 2018 - Ti liu ụn thi s VN Tổ Toán _ Tin tr-ờng thpt lục ngạn số https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/ a) Tiếp tuyến song song với đ-ờng thẳng y = 6x b) Tiếp tuyến tạo với đ-ờng thẳng y x góc 450 Giải TXĐ: D Ta có y / x x 12 a) Vì tiếp tuyến song song với đ-ờng thẳng y = 6x suy hệ số góc tiếp tuyến k = Gọi M0(x0; y0) tiếp điểm tiếp tuyến cần tìm Khi ta có 13 x0 y / ( x0 ) x02 x0 12 x02 x0 13 x0 13 20 13 23 Với x0 ta có y0 tiếp tuyến cần tìm 2 13 20 13 23 26 13 29 y 6( x ) y 6x 2 13 13 23 Với x0 ta có y0 tiếp tuyến cần tìm 2 13 13 23 13 13 29 y 6( x ) y 6x 2 b) Vì tiếp tuyến cần tìm tạo với đ-ờng thẳng y x góc 450 suy hệ số góc tiếp tuyến k thoả mãn 1 k k k k k tan 45 2k | k | k k k 2 k k sau làm t-ơng tự nh- phần a (Tìm tiếp điểm) Ví dụ 5: Viết ph-ơng trình tiếp tuyến với (C) : y x3 3x qua điểm 19 A ; 12 Giải 19 Giả sử đ-ờng thẳng qua A ; có hệ số góc k, có dạng 12 19 y kx k (d) 12 Ta có (d) tiếp xúc với (C) hệ ph-ơng trình sau có nghịêm 19 2 x 3x kx k (1) 12 x x k (2) Đạo hàm ứng dụng tập 10 Like page nhn nhiu ti liu hn: https://www.facebook.com/tailieupro/ Fanpage: 2000 ễn Thi Quc Gia 2018 - Ti liu ụn thi s VN Tổ Toán _ Tin tr-ờng thpt lục ngạn số Thay (2) vào (1) ta có x3 3x (6 x x) x 19 (6 x x) x3 25 x 19 x 12 x ( x 1)(8 x 17 x 2) x x https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/ 19 Vậy có ba tiếp tuyến với (C) qua điểm A ; ( Tự viết ph-ơng trình tiếp 12 tuyến) Ví dụ Cho hàm số y x3 3x 3x (C ) a) CMR: Không tồn hai điểm (C ) cho tiếp tuyến hai điểm vuông góc với b) Tìm k cho (C) có điểm cho tiếp tuyến vuông góc với đ-ờng thẳng y = kx + m Giải a) Giả sử (C) có hai điểm M1(x1; y1) M2(x2; y2) mà tiếp tuyến với (C) vuông góc với Ta có y = 3x2 + 6x + = 3(x+1)2 Khi ta có -1 = y'(x1 ).y'(x1 ) = 9.(x1 +1)2 (x + 1)2 vô lý Suy giả sử sai hay ta có điều cần chứng minh b) Ví dụ Cho hàm số y = x3 - x2 có đồ thị (C) Viết ph-ơng trình tiếp tuyến với đồ thị (C) qua điểm A(3; 0) Giải Đ-ờng thẳng () qua A(3; 0) có hệ số góc k có dạng: y = k(x - 3) +) () tếp tuyến với (C) k = x2 x x x k ( x 3) Thế (1) vào (2): (1) (2) Hệ có nghiệm x x ( x x )( x 3) x0 2x3 -12x2 + 18x = x Đạo hàm ứng dụng tập 11 Like page nhn nhiu ti liu hn: https://www.facebook.com/tailieupro/ Fanpage: 2000 ễn Thi Quc Gia 2018 - Ti liu ụn thi s VN Tổ Toán _ Tin tr-ờng thpt lục ngạn số +) Với x1 = k1 = PTT2: y = +) Với x2 = k2 = PTT2: y = 3x - Vậy có hai tiếp tuyến với đồ thị hàm số cho thoả mãn yêu cầu toán y = y = 3x x2 x Ví dụ Tìm a để đồ thị hàm số y (C) tiếp xúc với (P) : y = x2 + a x Giải x2 x (1) 2x = ( x 1)2 Điều kiện tiếp xúc đồ thị (C) với (P) x x x a (2) x Hệ có nghiệm Giải (1) x = Thế vào (2) a = - Vậy với a = -1 đồ thị (1) tiếp xúc với (P) https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/ x2 2x Ví dụ Cho đ-ờng cong y (C) x Tìm điểm Ox từ kẻ đ-ợc hai tiếp tuyến với (C) mà hai tiếp tuyến vuông góc với Giải: Gọi M(a; 0) Ox; đ-ờng thẳng qua M có hệ số góc k: y = k(x - a) k ( x 1)2 () tiếp tuyến (C) k ( x a) x x (1) (I) (2) nghiệm k ( x 1) x (1) x k ( x a) x (2) x (2) - (1) k (1 a) (3) x Đạo hàm ứng dụng tập 12 Like page nhn nhiu ti liu hn: https://www.facebook.com/tailieupro/ Hệ có Fanpage: 2000 ễn Thi Quc Gia 2018 - Ti liu ụn thi s VN Tổ Toán _ Tin tr-ờng thpt lục ngạn số k Kết hợp (3) (1) ta có: k (1 a)2 (4) k (4) k2(1 - a)2 + 4k - = Từ M kẻ đ-ợc hai tiếp tuyến vuông góc với tới (C) Hệ có hai nghiệm phân biệt k1, k2 k1.k2 = -1 a (1 a)2 a a = - 1, a = Vậy điểm cần tìm (-1; 0); (3; 0) Nhận xét: Từ hệ (I) ta phải biến đổi thành hệ t-ơng đ-ơng mà có a k Nhận thấy tính đ-ợc theo a k thay vào ph-ơng trình (1) đ-ợc hệ x t-ơng đ-ơng có ph-ơng trình chứa a k từ ta có phép biến đổi nh- cách giải ngắn gọn https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/ x2 2x Ví dụ 10 Cho đ-ờng cong y x (C) Tìm điểm mặt phẳng toạ độ mà từ kẻ đ-ợc hai tiếp tuyến góc với (C), hai tiếp tuyến vuông góc với Giải: () đ-ờng thẳng qua M(a; b) có hệ số góc k nên PT (): y = k(x - a) + b k ( x 1)2 () tiếp tuyến (C) k ( x a) b x x 1 k ( x 1) x x k ( x a) b x x Lấy (4) - (3) (1) Hệ có nghiệm (2) (3) (4) k (1 a) b (5) k (1 a) b x x Đạo hàm ứng dụng tập 13 Like page nhn nhiu ti liu hn: https://www.facebook.com/tailieupro/ Fanpage: 2000 ễn Thi Quc Gia 2018 - Ti liu ụn thi s VN Tổ Toán _ Tin tr-ờng thpt lục ngạn số k Kết hợp (5) (1) ta có hệ k (1 a) b k (6) ( k từ (1) k = x, hệ vô nghiệm.) k 2 k (1 a) 2((1 a)b 2)k b (7) Vì từ M kẻ đ-ợc hai tiếp tuyến vuông góc với tới (C) hệ có hai nghiệm phân biệt k1, k2 k1.k2 = - a b (8) a (1 a)2 2((1 a)b 2) b2 (9) a (1 a)2 b2 a b (10) (I) (11) https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/ Thế (10) vào (9): 2[(1 - a)b + 2] (1 - a)b + Từ (10) (1 - a)2 + b2 + 2(1 - a)b = + 2(1 - a)b (1 - a + b)2 = 2(2 + (1 - a)b) Vì 2+ (1 - a)b - a + b Vậy ta có tập hợp điểm M cần tìm đ-ờng tròn tâm I(1; 0) bán kính R = 2, bỏ điểm giao đ-ờng thẳng x = - x + y + = với đ-ờng tròn điểm (1; 2); ( 2; ); ( 2; ) 2x2 x Ví dụ 11 Cho đ-ờng cong: y (C) x Tìm tất điểm đ-ờng thẳng y = mà từ kẻ đ-ợc hai tiếp tuyến với đ-ờng cong (C) mà hai tiếp tuyến hợp với góc = 450 Giải: Gọi M đt: y = M(a; 7) Ph-ơng trình đ-ờng thẳng () qua M có hệ số góc k: y = k(x - a) + Đạo hàm ứng dụng tập 14 Like page nhn nhiu ti liu hn: https://www.facebook.com/tailieupro/ Fanpage: 2000 ễn Thi Quc Gia 2018 - Ti liu ụn thi s VN Tổ Toán _ Tin tr-ờng thpt lục ngạn số 2 k (1) ( x 1) () tiếp tuyến (C) Hệ có nghiệm k ( x a) x (2) x k ( x 1) 2( x 1) (3) x k ( x a) x (4) x Lấy (4) - (3): k (1 a) (5) k (1 a) x x k Kết hợp (5) (1) k (1 a) k k 2 k (1 a) 8k (2 a) (6) Từ M kẻ hai tiếp tuyến hợp với Không tính chất tổng quát Ta giả sử: 450 tan https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/ góc = 450 y tan k2 k1 tan k2 O k1 - k1.k2 = + k2 (7) Vì (6) phải có hai nghiệm phân biệt mà c có nghiệm a nghiệm khác a a Vậy từ (6) k1 k1 (8) k k k k Kết hợp (8) (7) ta có: k2 k2 Đạo hàm ứng dụng tập 15 Like page nhn nhiu ti liu hn: https://www.facebook.com/tailieupro/ x Fanpage: 2000 ễn Thi Quc Gia 2018 - Ti liu ụn thi s VN Tổ Toán _ Tin tr-ờng thpt lục ngạn số a Nếu k1 = 1, từ (6) : a (1 a)2 8(2 a) a Nếu k2 = -1 , từ (8) : a (1 a)2 8(2 a) a=52 a = - Vậy điểm tìm đ-ợc : M1;2 ( 2 ; 7); M3;4( ; 7) Ví dụ 12 Viết ph-ơng trình tiếp tuyến chung hai (P) sau : y = x2 - 3x + (1) y = - x2 + 7x - 11 (2) Giải: Gọi tiếp tuyến chung : y = ax + b Gọi M0(x0 ; y0) M '0 ( x '0 ; y '0 ) tiếp điểm tiếp tuyến với Parabol (1) (2) Theo điều kiện tiếp xúc hai đ-ờng ta có hệ sau : Hệ có nghiệm https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/ (1) a x0 a x ' (2) (3) x0 x0 ax0 b x '20 x ' 11 ax ' b (4) Từ (1) (2) x0 x '0 (5) Từ (3) (4) (5 x '0 )2 x '20 11 Giải tìm đ-ợc x '0(1) a1 3; b1 x '0(2) a2 1; b2 Kết luận: Tiếp tuyến chung là: y = 3x - y = x Ví dụ 13 Tìm tiếp tuyến cố định họ đ-ờng cong có ph-ơng trình: y (m 1) x m xm (m 0) Giải: Gọi đ-ờng thẳng: y = ax + b tiếp tuyến cố định họ đ-ờng cong Hệ ph-ơng trình sau có nghiệm m Đạo hàm ứng dụng tập 16 Like page nhn nhiu ti liu hn: https://www.facebook.com/tailieupro/ Fanpage: 2000 ễn Thi Quc Gia 2018 - Ti liu ụn thi s VN Tổ Toán _ Tin tr-ờng thpt lục ngạn số m m x m ax b m a ( x m)2 Lấy (3) - (4): (1) (2) m2 m x m ax b m a( x m) x m m(a 1) b xm 2m Kết hợp (2) (5) ta đ-ợc: a (3) (4) (5) (m(a 1) b 1)2 4m (a + 1)2m2 + 2(a - 1)(b + 1)m + (b + 1)2 = (a 1)2 a = Ph-ơng trình thỏa mãn m 2(a 1)(b 1) b (b 1)2 Kết luận: Vậy họ đ-ờng cong có tiếp tuyến cố định là: y = - x - https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/ IV Bài tập tự luyện Bài Cho (Cm ) : y x3 mx Tìm m để (Cm ) cắt đ-ờng thẳng y = -x + ba điểm A(0; 1), B, C cho tiếp tuyến với (Cm ) B C vuông góc với Bài Tìm điểm đồ thị hàm số y x3 x mà tiếp tuyến vuông 3 góc với đ-ờng thẳng y x 3 Bài Cho hàm số y x 3x 1(C ) CMR: Trên (C) có vô số cặp điểm mà tiếp tuyến cặp điểm song song với đồng thời đ-ờng thẳng nối cặp điểm đồng quy điểm cố định Bài Cho y x3 3x x (C ) Tìm tiếp tuyến với (C) có hệ số góc nhỏ y x x x (C1 ) Bài Cho Viết ph-ơng trình tiếp tuyến với hai đồ thị y x x x ( C ) giao điểm chúng Bài Viết ph-ơng trình tiếp tuyến với (C ) y x3 k ( x 1) giao điểm với trục Oy Tìm k để tiếp tuyến tạo với hai trục tọa độ tam giác có diện tích Bài Cho hàm số (C ) : y x3 x x Viết ph-ơng trình tiếp tuyến với (C) tr-ờng hợp sau a) Có hệ số góc k = - b) Tiếp tuyến tạo với chiều d-ơng trục hoành góc 600 c) Tiếp tuyến tạo với chiều d-ơng trục hoành góc 150 d) Tiếp tuyến tạo với chiều d-ơng trục hoành góc 750 Đạo hàm ứng dụng tập 17 Like page nhn nhiu ti liu hn: https://www.facebook.com/tailieupro/ Fanpage: 2000 ễn Thi Quc Gia 2018 - Ti liu ụn thi s VN Tổ Toán _ Tin tr-ờng thpt lục ngạn số https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/ e) Tiếp tuyến tạo song song với đ-ờng thẳng y = - x + f) Tiếp tuyến vuông góc với đ-ờng thẳng y = 2x g) Tiếp tuyến tạo với đ-ờng thẳng y= 3x + góc 450 Bài Cho hàm số (C ) : y x3 3x 23 a) Viết ph-ơng trình tiếp tuyến với (C) qua điểm A( ; 2) b) Tìm đ-ờng thẳng y = - điểm kẻ đ-ợc hai tiếp tuyến tới (C) vuông góc với Bài Cho hàm số (C ) : y x3 3x Tìm trục hoành điểm kẻ đ-ợc ba tiếp tuyến với (C) (ĐH SPHN2- KB-1999) Bài 10 Cho hàm số (C ) : y x x Viết ph-ơng trình tiếp tuyến với (C) qua điểm A(2; 0) (ĐH THHN- 1994) 3x Bài 11 Cho hàm số (C ) : y Viết ph-ơng trình tiếp tuyến với (C) tạo với x trục hoành góc 450 4x Bài 12 Cho hàm số (C ) : y Viết ph-ơng trình tiếp tuyến với (C) tạo với x đ-ờng thẳng y = 3x góc 450 x Bài 13 Tìm Oy điểm kẻ đ-ợc tiếp tuyến với (C ) : y x x2 x Bài 14 Cho hàm số (C ) : y Tìm M (C) cho tiếp tuyến với (C) x M cắt hai trục Ox, Oy A, B tạo tam giác OAB vuông cân (HVBCVTHN - 1997) 2 x 5x Bài 15 Cho hàm số (C ) : y CMR: Tiếp tuyến với (C) điểm M x2 tùy ý tạo với hai tiệm cận tam giác có diện tích không đổi Bài 16 Tìm điểm đồ thị (C ) : y x3 x mà tiếp tuyến vuông 3 góc với đ-ờng thẳng y x (ĐH Ngoại Ngữ Hà Nội 2001) 3 Bài 17 Tìm tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ với đồ thị (C ) : y x3 3x x (ĐH Ngoại Th-ơng TPHCM 1998) Bài 18 Tìm tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ với đồ thị (C ) : y x3 mx x m ( Học viện quan hệ quốc tế 2001) Bài 19 Tìm điểm M đồ thị (C ) : y x3 3x 12 x cho tiếp tuyến với (C) tai M qua gốc tọa độ ( ĐH Công Đoàn 2001) Bài 20 Viết ph-ơng trình tiếp tuyến điểm cố định mà đồ thị (Cm ) : y x3 mx m Tìm quỹ tích giao điểm tiếp tuyến Đạo hàm ứng dụng tập 18 Like page nhn nhiu ti liu hn: https://www.facebook.com/tailieupro/ Fanpage: 2000 ễn Thi Quc Gia 2018 - Ti liu ụn thi s VN Tổ Toán _ Tin tr-ờng thpt lục ngạn số ( ĐH an ninh 2000_ k A) Bài 21 Cho đồ thị hàm số (C ) : y x 3x 23 a) Viết ph-ơng trình tiếp tuyến với (C) qua điểm A ; b) Tìm đ-ờng thẳng y = -2 điểm mà từ kẻ đ-ợc hai tiếp tuyến với (C) chúng vuông góc với Bài 22 Cho hàm số y x3 3x (C ) Tìm điểm đ-ờng thẳng x = kẻ đ-ợc ba tiếp tuyến với (C) ( ĐH cần thơ 2000_ k A) x Bài 23 Cho hàm số y (C ) Viết ph-ơng trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp x tuyến song song với đ-ờng thẳng y = -x ( ĐH đà lạt 2000_ k A) Bài 24 Cho hàm số y 3x x3 (C ) Viết ph-ơng trình tiếp tuyến với đồ thị (C) qua điểm A(1; 3) ( ĐH tây nguyên 2000_ k A) Bài 25 Cho hàm số y x 3x 1(C ) Đ-ờng thẳng y = tiếp xúc với (C) A cắt (C ) điểm B, tìm tọa độ điểm B ( ĐH tây nguyên 2000_ k D) Bài 26 Cho hàm số y x3 3x (C ) Viết ph-ơng trình tiếp tuyến với (C ) https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/ qua điểm A(1; 0) ( ĐH an ninh nhân dân 2000_ k D) Bài 27 Tìm điểm trục hoành kẻ đ-ợc tiếp tuyến với đồ thị x2 x (C ) : y x2 x2 x Bài 28 Cho đồ thị (C ) : y CMR đ-ờng thẳng y = có bốn điểm x cho từ điểm kẻ đ-ợc hai tiếp tuyến tới (C) tạo với góc 45 Bài 29 Cho đồ thị (C ) : y x Tìm tậ hợp điểm mặt phẳng toạ độ Oxy x thoả mãn a) Từ không kẻ đ-ợc tiếp tuyến với đồ thị (C) b) Từ kẻ đ-ợc tiếp tuyến với đồ thị (C) c) Từ kẻ đ-ợc tiếp tuyến với đồ thị (C) d) Từ kẻ đ-ợc hai tiếp tuyến với đồ thị (C) e) Từ kẻ đ-ợc hai tiếp tuyến với đồ thị (C) hai tiếp tuyến đo vuông góc với Bài 30 Viết ph-ơng trình tiếp tuyến qua điểm A(1; 0) tới đồ thị x2 x ( ĐH d-ợc 1999) (C ) : y x Bài 31 Viết ph-ơng trình tiếp tuyến qua điểm A(-1; ) tới đồ thị x2 x ( ĐH xây dựng 1995) (C ) : y x Đạo hàm ứng dụng tập 19 Like page nhn nhiu ti liu hn: https://www.facebook.com/tailieupro/ Fanpage: 2000 ễn Thi Quc Gia 2018 - Ti liu ụn thi s VN Tổ Toán _ Tin tr-ờng thpt lục ngạn số Bài 32 Viết ph-ơng trình tiếp tuyến qua điểm A(0; 5/4 ) tới đồ thị x2 x ( ĐHsp vinh 1998) (C ) : y x Bài 33 Viết ph-ơng trình tiếp tuyến qua điểm A(1; ) tới đồ thị x2 x ( ĐH đà lạt 1999) (C ) : y x2 Phn 3: o hm v cỏc bi toỏn tớnh tng I Kiến thức Khai triển nhị thức Newtơn n Ta có a b Cnk a k b nk Cn0a n Cn1a n1.b Cnn1a.b n1 Cnn b (1) n k https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/ Trong đó: + a, b hai số thực + n số nguyên d-ơng Nhận xét: + Trong khai triển số mũ a giảm dần từ trái sang phải, ng-ợc lại số mũ b tăng dần từ trái sang phải Số mũ a b số hạng cộng lại n + Trong khai triển có n + số hạng + Số hạng tổng quát khai triển (1) T Cnk a k bnk (0 k n) + Số hạng thức k khai triển (1) Cnk 1a k 1.bnk (1 k n 1) Một vài khai triển th-ờng dùng Ta có x n n Cnk x k Cn0 Cn1 x Cnn1x n1 Cnn x n (2) k Thay x = vào hai vế (2) ta có đẳng thức sau n 2n Cnk Cn0 Cn1 Cnn1 Cnn k Thay x = - vào hai vế (2) ta có đẳng thức sau n Cnk Cn0 Cn1 Cnn1 (1) n1 Cnn (1) n k Mối liên hệ hai hàm số Ta có hai hàm số y = f(x) y = g(x) Nếu f(x) = g(x) f(x) = g(x) II Dạng toán tính tổng tổ hợp liên quan tới đạo hàm Ta có vài ý gặp tính tổng tổ hợp + Nếu vế tính tổng Cn0 ta cần dùng khai triển đạo hàm hai vế theo x hai vế sau thay x giá trị thích hợp + Nếu vế tính tổng Cn0 Cn1 ta dùng khai triển đạo hàm hai vế theo x hai lần sau thãy giá trị thích hợp III Ví dụ Ví dụ Chứng minh Đạo hàm ứng dụng tập 20 Like page nhn nhiu ti liu hn: https://www.facebook.com/tailieupro/ Fanpage: 2000 ễn Thi Quc Gia 2018 - Ti liu ụn thi s VN Tổ Toán _ Tin tr-ờng thpt lục ngạn số 2 2008 2009 a) 2009.2 C2009 2C2009 2008C1009 2009C2009 2008 2009 b) 2009.2008.22007 2C2009 3.2C2009 2008.2007C1009 2009.2008C2009 Giải 2009 2008 2008 2009 2009 C2009 x C2009 x C2009 x3 C2009 x C2009 x (*) x C2009 a) Ta có Đạo hàm hai vế (*) theo x ta có 2008 2008 2007 2009 2008 (a) 2009 x C2009 C2009 x 2008C2009 x 2009C2009 x Thay x = vào đẳng thức (a) ta có 2008 2009 2009.22008 C2009 2C2009 2008C1009 2009C2009 Vậy ta có đẳng thức cần chứng minh b) Đạo hàm hai vế (*) hai lần theo x ta có 2007 2009.2008. x 2008 https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/https://www.facebook.com/tailieupro/ 2008 2006 2009 2007 2C2009 3.2C2009 x 2008.2007C2009 x 2009.2008C2009 x Thay x = vào đẳng thức ta có 2008 2009 2009.2008.22007 2C2009 3.2C2009 2008.2007C1009 2009.2008C2009 Vậy ta có điều cần chứng minh Đạo hàm ứng dụng tập 21 Like page nhn nhiu ti liu hn: https://www.facebook.com/tailieupro/ ... n > 1) II Các dạng toán Dạng Tính đạo hàm hàm số Ph-ơng pháp Ta vận dụng quy tắc phép tính đạo hàm, đặc biệt đạo hàm hàm hợp Nếu yêu cầu tính đạo hàm điểm ta cần tính đạo hàm thay vào đe đ-ợc... thi s VN Tổ Toán _ Tin tr-ờng thpt lục ngạn số *) (ku) = k.u ( k số) ' u u ' v v 'u *) v2 v Đạo hàm bậc cao hàm số Đạo hàm bậc n hàm số y = f(x) đạo hàm bậc đạo hàm bậc n hàm số y = f(x)... Vậy ta có điều cần chứng minh III Bài tập tự luyện Bài Tính đạo hàm hàm số sau x2 x x2 x a) y b) y c) x x d) y x x e) y x3 3x f) Bài Tính đạo hàm hàm số sau x2 a) y b) y x3 3x