Đạo hàm và các bài toán liên quan đạo hàm

KĨ NĂNG CƠ BẢN 1 Viết phương trình tiếp tuyến của hàm số Dạng 1: Cho hàm số có đồ thị C, viết phương trình tiếp tuyến tại điểm M Dạng 2: Cho hàm số có đồ thị C, viết phương trình ti

BUỔI 3:

Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM

A KIẾN THỨC CƠ BẢN

1) Ý nghĩa hình học của đạo hàm

Cho hàm số y = f(x) xác định trên (a; b) và có đạo hàm tại điểm Gọi (C) là đồ thị của hàm

số đó

Định lí: Đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x0 là hệ số góc của tiếp tuyến M0T của (C) tại điểm

M0(x0;f(x0))

*Phương trình tiếp tuyến

Định lí: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số y = f(x) tại điểm M0(x0;f(x0)) là:

y - y0 = f'(x0)(x - x0) trong đó y0 = f(x0)

2)Ý nghĩa vật lí của đạo hàm

a) Vận tốc tức thời: v(t0) = s'(t0)

b) Cường độ tức thời: I(t0) = Q'(t0)

B KĨ NĂNG CƠ BẢN

1) Viết phương trình tiếp tuyến của hàm số

Dạng 1: Cho hàm số có đồ thị (C), viết phương trình tiếp tuyến tại điểm M( )

Dạng 2: Cho hàm số có đồ thị (C), viết phương trình tiếp tuyến biết hệ số góc k

2) Ứng dụng đạo hàm vào giải các bài toán có nội dung vật lý

C BÀI TẬP LUYỆN TẬP

1) Viết phương trình tiếp tuyến của hàm số

Dạng 1: Cho hàm số có đồ thị (C), viết phương trình tiếp tuyến tại điểm M( )

v Phương pháp giải:

Bước1: Xác định tọa độ

Bước 2: Tính đạo hàm của tại

Bước 3: Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm M( ), có dạng:

Bài tập 1: Cho hàm số có đồ thị (C) viết phương trình tiếp tuyến của (C):

a) Tại điểm (1 ; -1)

b) Tại điểm có hoành độ bằng -3

Lời giải:

Tại điểm (1;-1) Ta có và

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm

(1 ; -1), có dạng

Tại điểm có hoành độ bằng -3

Gọi và là tọa độ tiếp điểm, khi đó Ta có

2

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm (-3 ; 2), có dạng

( )

0

)

(x f

y= )

(x f

)

(x f

y =

)

(x f

y= )

(x f

0

0; y x

) (

' x

0

0; y x

) )(

'

0 f x x x y

-2 3

1 3 + 2 +

= x x y

1

0 =

x y0 =-1

x x x

f'( )= 2 +2 Þ f '(1)=3

4 3

) 1 ( 3 1

) )(

' 0

-= Û

-= + Û

-=

-x y

x y

x x x f y y

0

x y0

3

0 =

-x Þ y0 =

x x x

f'( )= 2 +2 Þ f'(-3)=3

11 3

) 3 ( 3 2

) )(

' 0

+

= Û

+

= -Û

-=

-x y

x y

x x x f y y

Dạng 2: Cho hàm số có đồ thị (C), viết phương trình tiếp tuyến biết hệ số góc k

v Phương pháp giải:

Bước 1:Gọi là hoành độ tiếp điểm, khi đó ta có

Bước 2: Giải để tìm sau đó thế vào hàm số để tìm

Bước 3: Viết phương trình tiếp tuyến của (C), có dạng :

Bài tập 2: Cho hàm số có đồ thị (C), viết phương trình tiếp tuyến biết hệ số góc bằng 2

Lời giải:

Biết hệ số góc tiếp tuyến k = 2

Ta có

Gọi là hoành độ tiếp điểm

* Với

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm

(2 ; ), có dạng:

* Với

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm (-1 ; ), có

Vậy phương trình tiếp tuyến của (C) tại hệ số góc tiếp tuyến bằng 3 là

;

Chú ý: Cho đường thẳng , khi đó:

- Nếu Þ hệ số góc k = a

*) Tiếp tuyến tạo với chiều dương trục hoành góc khi đó hệ số góc của tiếp tuyến là k = tan sau

đó tìm tiếp điểm M0(x0; y0) bằng cách giải phương trình f/(x0) = k và viết phương trình tiếp tuyến tương ứng

*) Tiếp tuyến tạo với đường thẳng y = ax +b một góc khi đó hệ số hóc của tiếp tuyến là k thoả mãn

hoặc chúng ta dùng tích vô hướng của hai véctơ pháp tuyến để tìm hệ số góc k sau đó

tìm tiếp điểm M0(x0; y0) bằng cách giải phương trình f/(x0) = k và viết phương trình tiếp tuyến tương ứng

)

(x f

y=

0

k x

f'( 0)=

0

) )(

'

0 f x x x y

-1 2

1 3

+

y

x x x

f'( )= 2

-0

x

ê ë

é

-=

= Û

1

2

0

0

x x

3

5

0 = Þ y =

x

2 ) 2 (

' =

Þ f

3

5

6

1

0 =- Þ y =

x

2 ) 1 (

' - =

Þ f

6 1

3

7

2

-= x

y

6

13

2 +

= x y

:Ax By C 0

( )

d D Þ d y ax b= +

( ):

d^ D Þ d y ax b= + k 1

a

=

a tan

1

k a

+

0 2 2

2

)

0 0

2 0 0

' x = Û x -x = Ûx -x - =

f

'

0 ( )(0 0) 1

2( 1) 6

13 2 6

y y f x x x

y x

'

0 ( )( 0 0 )

5 2( 2) 3

7 2 3

-Bài tập 3: Gọi (C) là đồ thị của hàm số Viết pt tiếp tuyến của (C) sao cho tiếp tuyến đó

a) Song song với đường thẳng

b) Vuông góc với đường thẳng

Lời giải

a) Vì phương trình tiếp tuyến song song với đường thẳng nên nó có hệ số góc là -3

Do đó

Với thì Vậy pt tt là:

Với x=3thì Vậy pt ttlà:

b) Gọi k là hệ số góc của pt tt

Phương trình tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng khi

Với k=-7 ta có

Với x=1thì Vậy pt ttlà:

Với thì Vậy pt ttlà:

Bài tập 4: Cho hàm số (Cm) Viết phương trình tiếp tuyến của (Cm) tại giao điểm của nó với Oy, tìm m để tiếp tuyến trên chắn trên hai trục tạo ra một tam giác có diện tích bằng 8

Giải

TXĐ:

Ta có (Cm) giao với Oy tại điểm A(0; 1 -m)

Khi đó tiếp tuyến cần tìm là y = y/(0)x +1 – m hay y =-mx +1-m Tiếp tuyến trên cắt trục hoành tại điểm suy ra

Với m = 0 thì đồ thị hàm số đã cho không cắt trục hoành suy ra không tồn tại tam giác OAB Vậy với

thì tiếp tuyến cần tìm cắt hai trục tọa độ tạo ra tam giác có diện tích bằng 8

Bài tập 5: Cho hàm số (C) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) trong các trường hợp sau

a) Tiếp tuyến song song với đường thẳng y = 6x – 4

3 5 2 2

y x= - x +

3 1

y= - +x

1 4 7

y= x

-3 1

y= - +x

( ) 3 2 10 3 3 2 10 3 0

f x¢ = x - x= - Û x - x+ = 13

3

x x

é = ê Û ê

= ë

1

3

x= 0 40

27

40

y= - +x

0 16

y = - y= - -3x 7

1 4 7

y= x- 1 1 7

7

k = - Þ = -k

( ) 3 2 10 7 3 2 10 7 0

f x¢ = x - x= - Û x - x+ =

1 7 3

x x

= é ê Û

ê = ë

0 2

y = - y= - +7x 5

7

3

x= 0 338

27

27

y= - +x

3

y f x x m x

= !

D

/ = /( ) 3= 2

1 ( - ; 0) ( 0)

¹

m

m

2

D

é

OAB A B

m

m

9 4 5

7 4 3

é = ±

ê

= ±

êë

m

m

3 2

b) Tiếp tuyến tạo với đường thẳng một góc 450

Giải

TXĐ: Ta có

a) Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng y = 6x – 4 suy ra hệ số góc của tiếp tuyến là k = 6 Gọi M0(x0; y0) là tiếp điểm của tiếp tuyến cần tìm Khi đó ta có

Với ta có khi đó tiếp tuyến cần tìm là

Với ta có khi đó tiếp tuyến cần tìm là

b) Vì tiếp tuyến cần tìm tạo với đường thẳng một góc 450 suy ra hệ số góc của tiếp tuyến là k thoả mãn

sau đó làm tương tự như phần a (Tìm tiếp điểm)

Bài tập 6: Viết phương trình tiếp tuyến với (C) : đi qua điểm

Giải

Giả sử đường thẳng đi qua có hệ số góc k, khi đó nó có dạng

(d)

Ta có (d) tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghịêm

Thay (2) vào (1) ta có

1 5 2

y = - x +

D = ! y/ = 6 x2 - 6 x - 12

0

0

1 13 2

1 13 2

-= ê ê

= ê ë

x

x

0

1 13

2

-=

2

-=

y

0

1 13

2

+

=

2

+

=

-y

1 5 2

y = - x +

0

2 1 2

2 1

2

2

é

ê

ê + =

k

3 2

12

A

19

; 4 12

A

19

4

12

= +

3 2

2

19

12

-ï

í

î

Vậy có ba tiếp tuyến với (C) đi qua điểm ( Tự viết phương trình tiếp tuyến)

v Nhận xét: Để viết phương trình tiếp tuyến (C) của hàm số ta cần phải biết tọa

độ và hay hệ số tiếp tuyến k để tìm và , sau đó tính đạo hàm của hàm số tại rồi áp dụng vào phương trình tiếp tuyến

Bài tập 7: Một vật rơi tự do với phương trình chuyển động , trong đó g=9,8m/s2 và t tính bằng giây Vận tốc của vật tại thời điểm t=5s bằng:

A 49m/s B 25m/s C 10m/s D 18m/s

Hướng dẫn giải

Ta có =>

Chọn đáp án A

Bài tập 8: Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình , trong đó t tính bằng giây

s và S được tính bằng mét m Gia tốc của chuyển động tại thời điểm t=4s bằng:

A 80m/s B 32m/s C 90m/s D.116m/s

Hướng dẫn giải:

Ta có

Vậy gia tốc tại t=4s là a(t)=90

Bài tập 9: Trong mạch máy tính, cường độ dòng điện ( đơn vị mA ) là một hàm số theo thời gian t :

Hỏi tổng điện tích đi qua một điểm trong mạch trong 0,05s là bao nhiêu ?

A 0,29975mC B 0,29mC C 0,01525mC D 0,0145mC

Hướng dẫn giải

Tổng điện tích qua trong mạch trong là: (0,3-0,2.0,05).0,05=0,0145

Chọn đáp án C

* Bài tập củng cố

Bài tập 1:

Cho (P) có phương trình: y = x2

Tìm hệ số góc của tiếp tuyến của (P):

a) Tại điểm (-2;4)

b) Tại giao điểm của (P) với đường thẳng y = 3x - 2

Bài giải:

2

19

12 1

1 8

é

ê = ê

ê

= ê ë

x

x

19

; 4 12

A

)

(x f

y=

0

0

x

2

1 2

s= gt

2

1

2

s= gt s'(t)=g t v t = ( )

(5) 9,8.5 49

4 2

1 3 2

S= t - t

3

2

'( ) 2 6 ( )

( ) 6 6

S t t t v t

a t t

-I( ) 0,3 0, 2t = - t

Bài tập 2:

Gọi (C) là đồ thị hàm số: y = x3 - 5x2 + 2

Viết phương trình tiếp tuyến của (C) sao cho tiếp tuyến đó:

a) Song song với đường thẳng y = -3x + 1

b) Vuông góc với đường thẳng y =

c) tại điểm A(0; 2)

Đáp số:

a) y = -3x - 7 và y = -3x + 67/27

b) y = -7x + 5 và y = -7x + 103/27

c) y = 2 và y =

Bài tập 3 : Cho hàm số có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) :

1 Tại điểm có hoành độ bằng -1

2 Tại điểm có tung độ bằng 2

3 Biết tiếp tuyến có hệ số góc k = -3

4 Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y=9x+1

5 Biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y=−124x+2

6 Biết tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất trong tất cả các tiếp tuyến của đồ thị (C)

7 Biết tiếp tuyến đi qua điểm A(−1;−2)

Bài tập 4: Cho đường cong (C): Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết:

1 Tiếp điểm có hoành độ là 2

2 Tiếp tuyến có hệ số góc k = 9

3 Tiếp tuyến đi qua điểm A(0;3)

Bài tập 5: Cho đường cong (C): Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết:

1 Tiếp điểm có tung độ bằng -1

2 Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng x – 3y + 10 = 0

3 Tiếp tuyến đi qua điểm M(2;3)

Bài tập 6: Viết phương trình tiếp tuyến của (C): biết tiếp tuyến song song với đường thẳng (d): y = 24x – 2

-a)H’ sÁ g‚ c cÔa ti‘ p tuy‘ n c«n t÷m lµ:

= é

ë

b)Ph≠¨ ng tr÷nh hoµnh ÆË giao Æi“ m:

( )

( )

f ' 1 2

f ' 2 4

=

=

1

x 4

-25

x 2 4

3 3 2 2

y x= - x +

3 3 2 2

y x= - x +

x x y

x

+ +

=

2

( 3)

y x x=

-Bài tập 7: Viết phương trình tiếp tuyến của (C): biết tiếp tuyến đó vuông góc với đường thẳng (d): x + 3y – 4 = 0

Bài tập 8: Cho đường cong (C): Viết phương trình tiếp tuyến của (C):

1 Tại điểm có tung độ là 1

2 Biết hệ số góc của tiếp tuyến là 6

3 Biết tuyến tuyến song song với đường thẳng y + 1 = 0

Bài tập 9: Cho đường cong (C): Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết:

1 Tiếp tuyến có hệ số góc k = 3

2 Biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng (d):x−4y+12=0

Bài tập 10: Cho đường cong (C): Viết phương trình tiếp tuyến của (C):

1 Biết hoành độ tiếp điểm bằng 1

2 Tại giao điểm của (C) với trục hoành

3 Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng x + 3y – 1 = 0

Bài tập 11: Cho đường cong (C): Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của nó với:

1 Đường thẳng (d):y=7x+4

2 Parabol (P):

3 Đường cong (C′):

D BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN

Câu 1: Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại điểm M(-2; 8) là:

Câu 2: Một chất điểm chuyển động có phương trình (t tính bằng giây, s tính bằng mét) Vận tốc của chất điểm tại thời điểm (giây) bằng:

Câu 3: Phương trình tiếp tuyến của Parabol tại điểm M(1; 1) là:

Câu 4: Điện lượng truyền trong dây dẫn có phương trình thì cường độ dòng điện tức thời tại điểm bằng:

Câu 5: Một vật rơi tự do có phương trình chuyển động , và t tính bằng s Vận tốc tại thời điểm bằng:

Câu 6: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ có phương trình là:

Câu 7: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là:

Câu 8: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số có hệ số góc của tiếp tuyến bằng 3 là:

2 1

x y x

-= +

4 2 1

y x= +x +

4 2

1

2 4

y= x -x +

1 2

x y x

+

=

-3 2

y= x - x + x

-2 8 3

y= - +x x

-3 4 2 6 7

y x= - x + x

-Câu 9: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số có tung độ của tiếp điểm bằng 2 là:

Câu 10: Cho hàm số có tiếp tuyến song song với trục hoành Phương trình tiếp tuyến

đó là:

Câu 11: Biết tiếp tuyến của Parabol vuông góc với đường thẳng Phương trình tiếp tuyến đó là:

Câu 12: Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình , trong đó t được tính bằng giây và S được tính bằng mét Thời điểm gia tốc bị triệt tiêu là:

A 3s B 1s C s D 2s

Câu 13: Tìm trên đồ thị điểm M sao cho tiếp tuyến tại đó cùng với các trục tọa độ tạo thành một tam giác có diện tích bằng 2

C

D

Câu 14: Một viên đá được ném lên từ mặt đất theo phương thẳng đứng với phương trình chuyển động

là s = t3 – t2 + t (m) (bỏ qua sức cản của không khí) Thời điểm tại đó tốc độ của viên đá bằng 0 là:

Câu 15: Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = cotx tại điểm có hoành độ là:

Câu 16: Một vật chuyển động với phương trình , trong đó , tính bằng ,

tính bằng Tìm gia tốc của vật tại thời điểm vận tốc của vật bằng 11

Câu 17:Điểm M trên đồ thị hàm số y = x3 – 3x2 – 1 mà tiếp tuyến tại đó có hệ số góc k bé nhất trong tất cả các tiếp tuyến của đồ thị thì M, k là:

A M(1; –3), k = –3 B M(1; 3), k = –3 C M(1; –3), k = 3 D M(–1; –3), k = –3 Câu 18 : Cho hàm số y = có đồ thị cắt trục tung tại A(0; –1), tiếp tuyến tại A có hệ số góc k = –

3 Các giá trị của a, b là:

A a = 1; b=1 B a = 2; b=1 C a = 1; b=2 D a = 2; b=2

Câu 19 : Tìm m để tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = (2m – 1)x4 – mx2 + tại điểm có hoành độ

x = –1 vuông góc với đường thẳng 2x – y – 3 = 0

Câu 20: Tiếp tuyến kẻ từ điểm (2; 3) tới đồ thị hàm số là:

A y = -28x + 59 B y = 28x - 53 C y = 3 D y = 3; y = x+1

1 3 1 1

y x

= -3

; 4

4

3

; 4 4

æ - ö

3

; 4 4

æ- - ö

3

; 4 4

æ- ö

1 x

b ax -+

4 5

3

4

3 4

4

5 6

1 x

4 x y -+

=

Câu 21:Cho hàm số y = x3 – 6x2 + 7x + 5 (C), trên (C) những điểm có hệ số góc tiếp tuyến tại điểm nào bằng 2?

A (–1; –9); (3; –1) B (1; 7); (3; –1) C (1; 7); (–3; –97) D (1; 7); (–1; –9) Câu 22:Tìm hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị y = tanx tại điểm có hoành độ x = :

Câu 23:Gọi (P) là đồ thị hàm số y = 2x2 – x + 3 Phương trình tiếp tuyến với (P) tại điểm mà (P) cắt trục tung là:

A y = –x + 3 B y = –x – 3 C y = 4x – 1 D y = 11x + 3 Câu 24:Đồ thị (C) của hàm số cắt trục tung tại điểm A Tiếp tuyến của (C) tại A có phương

trình là:

A y = –4x – 1 B y = 4x – 1 C y = 5x –1 D y = – 5x –1 Câu 25:Gọi (C) là đồ thị của hàm số y = x4 + x Tiếp tuyến của (C) vuông góc với đường thẳng d:

x + 5y = 0 có phương trình là:

A y = 5x – 3 B y = 3x – 5 C y = 2x – 3 D y = x + 4

4 p

2

1

2 2

1 x

1 x y -+

=