BUỔI 3: Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM A KIẾN THỨC CƠ BẢN 1) Ý nghĩa hình học đạo hàm Cho hàm số y = f(x) xác định (a; b) có đạo hàm điểm x Ỵ ( a;b) Gọi (C) đồ thị hàm số Định lí: Đạo hàm hàm số y = f(x) điểm x0 hệ số góc tiếp tuyến M0T (C) điểm M0(x0;f(x0)) *Phương trình tiếp tuyến Định lí: Phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) hàm số y = f(x) điểm M0(x0;f(x0)) là: y - y0 = f'(x0)(x - x0) y0 = f(x0) 2)Ý nghĩa vật lí đạo hàm a) Vận tốc tức thời: v(t0) = s'(t0) b) Cường độ tức thời: I(t0) = Q'(t0) B KĨ NĂNG CƠ BẢN 1) Viết phương trình tiếp tuyến hàm số y = f (x) Dạng 1: Cho hàm số y = f (x) có đồ thị (C), viết phương trình tiếp tuyến điểm M( x0 ; y ) Dạng 2: Cho hàm số y = f (x) có đồ thị (C), viết phương trình tiếp tuyến biết hệ số góc k 2) Ứng dụng đạo hàm vào giải tốn có nội dung vật lý C BÀI TẬP LUYỆN TẬP 1) Viết phương trình tiếp tuyến hàm số y = f (x) Dạng 1: Cho hàm số y = f (x) có đồ thị (C), viết phương trình tiếp tuyến điểm M( x0 ; y ) v Phương pháp giải: Bước1: Xác định tọa độ x0 ; y Bước 2: Tính đạo hàm f ' ( x) x0 Bước 3: Viết phương trình tiếp tuyến điểm M( x0 ; y ), có dạng: y - y = f ' ( x0 )( x - x0 ) x + x + có đồ thị (C) viết phương trình tiếp tuyến (C): a) Tại điểm (1 ; -1) b) Tại điểm có hồnh độ -3 Lời giải: Bài tập 1: Cho hàm số y = Tại điểm (1;-1) Ta có x0 = y = -1 f ( x) = x + x Þ f (1) = Phương trình tiếp tuyến (C) điểm (1 ; -1), có dạng y - y = f ' ( x0 )( x - x0 ) ' Û y + = 3( x - 1) Û y = 3x - ' Tại điểm có hồnh độ -3 Gọi x0 y tọa độ tiếp điểm, Ta có x0 = -3 Þ y = f ' ( x) = x + x Þ f ' (-3) = Phương trình tiếp tuyến (C) điểm (-3 ; 2), có dạng y - y0 = f ' ( x0 )( x - x0 ) Û y - = 3( x + 3) Û y = x + 11 Dạng 2: Cho hàm số y = f (x) có đồ thị (C), viết phương trình tiếp tuyến biết hệ số góc k v Phương pháp giải: Bước 1:Gọi x0 hồnh độ tiếp điểm, ta có f ' ( x0 ) = k Bước 2: Giải f ' ( x0 ) = k để tìm x0 sau x0 vào hàm số y = f (x) để tìm y Bước 3: Viết phương trình tiếp tuyến (C), có dạng : y - y = f ' ( x0 )( x - x0 ) 1 Bài tập 2: Cho hàm số y = x - x + có đồ thị (C), viết phương trình tiếp tuyến biết hệ số góc Lời giải: Biết hệ số góc tiếp tuyến k = Ta có f ' ( x) = x - x Gọi x0 hoành độ tiếp điểm éx =2 f ' ( x0 ) = Û x02 - x0 = Û x02 - x0 - = Û ê ë x0 = -1 * Với x0 = Þ y = * Với x0 = -1 Þ y = ' Þ f (2) = Þ f ' (-1) = Phương trình tiếp tuyến (C) điểm Phương trình tiếp tuyến (C) điểm (-1 ; ), có (2 ; ), có dạng: dạng: y - y0 = f ' ( x0 )( x - x0 ) ' y - y0 = f ( x0 )( x - x0 ) = 2( x + 1) 13 Û y = 2x + = 2( x - 2) Û y = 2x Û y- Û y- Vậy phương trình tiếp tuyến (C) hệ số góc tiếp tuyến 13 y = 2x - ; y = 2x + Chú ý: Cho đường thẳng D : Ax + By + C = , đó: - Nếu d //D Þ ( d ) : y = ax + b Þ hệ số góc k = a a - Nếu d ^ D Þ ( d ) : y = ax + b Þ hệ số góc k = - *) Tiếp tuyến tạo với chiều dương trục hồnh góc a hệ số góc tiếp tuyến k = tan a sau tìm tiếp điểm M0(x0; y0) cách giải phương trình f/(x0) = k viết phương trình tiếp tuyến tương ứng *) Tiếp tuyến tạo với đường thẳng y = ax +b góc a hệ số hóc tiếp tuyến k thoả mãn k -a = tan a dùng tích vơ hướng hai véctơ pháp tuyến để tìm hệ số góc k sau + ka tìm tiếp điểm M0(x0; y0) cách giải phương trình f/(x0) = k viết phương trình tiếp tuyến tương ứng Bài tập 3: Gọi (C) đồ thị hàm số y = x - x + Viết pt tiếp tuyến (C) cho tiếp tuyến a) Song song với đường thẳng y = -3 x + 1 b) Vng góc với đường thẳng y = x - Lời giải a) Vì phương trình tiếp tuyến song song với đường thẳng y = -3 x + nên có hệ số góc -3 é x= 2 ê Do f ¢ ( x ) = 3x - 10 x = -3 Û 3x - 10 x + = Û ê ëx = 40 67 Với x = y0 = Vậy pt tt là: y = -3 x + 27 40 Với x=3thì y0 = -16 Vậy pt ttlà: y = -3x - b) Gọi k hệ số góc pt tt 1 Phương trình tiếp tuyến vng góc với đường thẳng y = x - k = -1 Þ k = -7 7 éx = 2 Với k=-7 ta có f ¢ ( x ) = 3x - 10 x = -7 Û 3x - 10 x + = Û ê êx = ë Với x=1thì y0 = -2 Vậy pt ttlà: y = -7 x + 338 103 Với x = y0 = Vậy pt ttlà: y = -7 x + 27 27 Bài tập 4: Cho hàm số y = f ( x) = x - m( x + 1) + (Cm) Viết phương trình tiếp tuyến (Cm) giao điểm với Oy, tìm m để tiếp tuyến chắn hai trục tạo tam giác có diện tích Giải TXĐ: D = ! Ta có (Cm) giao với Oy điểm A(0; -m) y / = f / ( x) = 3x - m Khi tiếp tuyến cần tìm y = y/(0)x +1 – m hay y =-mx +1-m 1- m Tiếp tuyến cắt trục hồnh điểm B( ; 0) (m ¹ 0) suy m 1 1- m S DOAB = | y A | | xB |= |1 - m | | |= Û 16 | m |= m - 2m + 2 m 2 ém = ± é -16m = m - 2m + é m + 14m + = Ûê Û Û ê ê 2 êë m = ± ë16m = m - 2m + ë m - 18m + = Với m = đồ thị hàm số cho khơng cắt trục hồnh suy không tồn tam giác OAB Vậy với ém = ± tiếp tuyến cần tìm cắt hai trục tọa độ tạo tam giác có diện tích ê êë m = ± Bài tập 5: Cho hàm số y = x - 3x - 12 x - (C) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) trường hợp sau a) Tiếp tuyến song song với đường thẳng y = 6x – b) Tiếp tuyến tạo với đường thẳng y = - x + góc 450 Giải TXĐ: D = ! Ta có y = x - x - 12 a) Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng y = 6x – suy hệ số góc tiếp tuyến k = Gọi M0(x0; y0) tiếp điểm tiếp tuyến cần tìm Khi ta có é - 13 ê x0 = y / ( x0 ) = Û x02 - x0 - 12 = Û x02 - x0 - = Û ê ê + 13 ê x0 = ë - 13 20 13 - 23 Với x0 = ta có y0 = tiếp tuyến cần tìm 2 - 13 20 13 - 23 26 13 - 29 y = 6( x )+ Û y = 6x + 2 + 13 13 + 23 Với x0 = ta có y0 = tiếp tuyến cần tìm 2 + 13 13 + 23 13 13 + 29 y = 6( x )Û y = 6x 2 / b) Vì tiếp tuyến cần tìm tạo với đường thẳng y = - x + góc 450 suy hệ số góc tiếp tuyến k thoả mãn 1 é k+ = tan 450 Û 2k + = Û 2k + =| - k |Û é 2k + = - k Û ê k = ê 2k + = k - k ê 2-k ë 1ë k = -3 sau làm tương tự phần a (Tìm tiếp điểm) ỉ 19 Bài tập 6: Viết phương trình tiếp tuyến với (C) : y = x3 - 3x + i qua im A ỗ ; ữ ố 12 ø Giải ỉ 19 Giả sử đường thẳng i qua A ỗ ; ữ cú h s góc k, có dạng è 12 ø 19 y = kx + - k (d) 12 Ta có (d) tiếp xúc với (C) hệ phương trình sau có nghịêm 19 ì ï2 x - x + = kx + - k (1) 12 í ï6 x - x = k (2) ỵ Thay (2) vào (1) ta có x - x + = (6 x - x) x + - 19 (6 x - x) Û x - 25 x + 19 x - = 12 é êx = ê ( x - 1)(8 x - 17 x + 2) = Û ê x = ê êx = ë ỉ 19 Vậy có ba tip tuyn vi (C) i qua im A ỗ ; ÷ ( Tự viết phương trình tiếp tuyến) è 12 ø Nhận xét: Để viết phương trình tiếp tuyến (C) hàm số y = f (x) ta cần phải biết tọa độ x0 y hay hệ số tiếp tuyến k để tìm x0 y , sau tính đạo hàm hàm số y = f (x) x0 áp dụng vào phương trình tiếp tuyến Bài tập 7: Một vật rơi tự với phương trình chuyển động s = gt , g=9,8m/s2 t tính giây Vận tốc vật thời điểm t=5s bằng: A 49m/s B 25m/s C 10m/s D 18m/s Hướng dẫn giải Ta có s = gt => s '(t) = g t = v(t ) Khi v(5) = 9,8.5 = 49 m/s Chọn đáp án A Bài tập 8: Cho chuyển động thẳng xác định phương trình S = t - 3t , t tính giây s S tính mét m Gia tốc chuyển động thời điểm t=4s bằng: A 80m/s B 32m/s C 90m/s D.116m/s Hướng dẫn giải: S '(t ) = 2t - 6t = v(t ) Ta có a (t ) = 6t - Vậy gia tốc t=4s a(t)=90 Bài tập 9: Trong mạch máy tính, cường độ dòng điện ( đơn vị mA ) hàm số theo thời gian t : I(t ) = 0,3 - 0, 2t Hỏi tổng điện tích qua điểm mạch 0,05s ? A 0,29975mC B 0,29mC C 0,01525mC D 0,0145mC Hướng dẫn giải Tổng điện tích qua mạch là: (0,3-0,2.0,05).0,05=0,0145 Chọn đáp án C * Bài tập củng cố Bài tập 1: Cho (P) có phương trình: y = x2 Tìm hệ số góc tiếp tuyến (P): a) Tại điểm (-2;4) b) Tại giao điểm (P) với đường thẳng y = 3x - Bài giải: v a)H’ sÁ g‚ c cÔa ti‘ p n côn tữm là: f' ( -2) = -4 b)Phă ng trữnh hoành ặ ậ giao ặ i m: éx = x = 3x - Û x - 3x + = Û ê ëx = f ' (1) = f ' ( 2) = Bài tập 2: Gọi (C) đồ thị hàm số: y = x3 - 5x2 + Viết phương trình tiếp tuyến (C) cho tiếp tuyến đó: a) Song song với đường thẳng y = -3x + b) Vng góc với đường thẳng y = x-4 c) điểm A(0; 2) Đáp số: a) y = -3x - y = -3x + 67/27 b) y = -7x + y = -7x + 103/27 c) y = y = - 25 x+2 Bài tập : Cho hàm số y = x - 3x + có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) : Tại điểm có hồnh độ -1 Tại điểm có tung độ Biết tiếp tuyến có hệ số góc k = -3 Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y=9x+1 Biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y=−124x+2 Biết tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ tất tiếp tuyến đồ thị (C) Biết tiếp tuyến qua điểm A(−1;−2) Bài tập 4: Cho đường cong (C): y = x - 3x + Viết phương trình tiếp tuyến (C), biết: Bài Bài Tiếp điểm có hồnh độ Tiếp tuyến có hệ số góc k = Tiếp tuyến qua điểm A(0;3) x2 + x + tập 5: Cho đường cong (C): y = Viết phương trình tiếp tuyến (C), biết: x Tiếp điểm có tung độ -1 Tiếp tuyến vng góc với đường thẳng x – 3y + 10 = Tiếp tuyến qua điểm M(2;3) tập 6: Viết phương trình tiếp tuyến (C): y = x( x - 3) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng (d): y = 24x – Bài tập 7: Viết phương trình tiếp tuyến (C): y = x-2 biết tiếp tuyến vng góc với đường x +1 thẳng (d): x + 3y – = Bài tập 8: Cho đường cong (C): y = x + x + Viết phương trình tiếp tuyến (C): Bài Bài Bài Tại điểm có tung độ Biết hệ số góc tiếp tuyến Biết tuyến tuyến song song với đường thẳng y + = tập 9: Cho đường cong (C): y = x - x + Viết phương trình tiếp tuyến (C) biết: Tiếp tuyến có hệ số góc k = Biết tiếp tuyến vng góc với đường thẳng (d):x−4y+12=0 x +1 tập 10: Cho đường cong (C): y = Viết phương trình tiếp tuyến (C): x-2 Biết hoành độ tiếp điểm Tại giao điểm (C) với trục hoành Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng x + 3y – = tập 11: Cho đường cong (C): y = x - 3x + x - Viết phương trình tiếp tuyến (C) giao điểm với: Đường thẳng (d):y=7x+4 Parabol (P): y = - x + x - 3 Đường cong (C′): y = x - x + x - D BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN Câu 1: Hệ số góc tiếp tuyến với đồ thị hàm số A 12 B -12 C 192 Câu 2: Một chất điểm chuyển động có phương trình chất điểm thời điểm (giây) bằng: A B C Câu 3: Phương trình tiếp tuyến Parabol A B C Câu 4: Điện lượng truyền dây dẫn có phương trình điểm bằng: A 15(A) B 8(A) C 3(A) Câu 5: Một vật rơi tự có phương trình chuyển động tốc thời điểm bằng: A B Câu 6: Tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm M(-2; 8) là: D -192 (t tính giây, s tính mét) Vận tốc D điểm M(1; 1) là: D cường độ dòng điện tức thời D 5(A) , t tính s Vận C D điểm có hồnh độ A B C Câu 7: Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số trục tung là: A B C Câu 8: Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số A B C D có phương trình là: D giao điểm đồ thị hàm số với D có hệ số góc tiếp tuyến là: và Câu 9: Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số có tung độ tiếp điểm là: A B C D Câu 10: Cho hàm số có tiếp tuyến song song với trục hồnh Phương trình tiếp tuyến là: A B C D Câu 11: Biết tiếp tuyến Parabol vng góc với đường thẳng Phương trình tiếp tuyến là: A B C D Câu 12: Cho chuyển động thẳng xác định phương trình , t tính giây S tính mét Thời điểm gia tốc bị triệt tiêu là: A 3s B 1s C s D 2s Câu 13: Tìm đồ thị y = điểm M cho tiếp tuyến với trục tọa độ tạo thành x -1 tam giác có diện tích ỉ3 ổ3 ổ ổ A ỗ ; ữ B ỗ ; -4 ữ C ỗ - ; -4 ữ D ỗ - ; ữ è4 ø è4 ø è ø è ø Câu 14: Một viên đá ném lên từ mặt đất theo phương thẳng đứng với phương trình chuyển động s = t3 – t2 + t (m) (bỏ qua sức cản khơng khí) Thời điểm tốc độ viên đá là: A 1s B C 5s D Câu 15: Hệ số góc tiếp tuyến đồ thị hàm số y = cotx điểm có hồnh độ là: A -2 B C D Câu 16: Một vật chuyển động với phương trình , , tính , tính Tìm gia tốc vật thời điểm vận tốc vật 11 A B C D Câu 17:Điểm M đồ thị hàm số y = x3 – 3x2 – mà tiếp tuyến có hệ số góc k bé tất tiếp tuyến đồ thị M, k là: A M(1; –3), k = –3 B M(1; 3), k = –3 C M(1; –3), k = D M(–1; –3), k = –3 Câu 18 : Cho hàm số y = Các giá trị a, b là: A a = 1; b=1 ax + b có đồ thị cắt trục tung A(0; –1), tiếp tuyến A có hệ số góc k = – x -1 B a = 2; b=1 C a = 1; b=2 Câu 19 : Tìm m để tiếp tuyến đồ thị hàm số y = (2m – 1)x4 – mx2 + x = –1 vng góc với đường thẳng 2x – y – = 3 A B 4 C 3x + là: x -1 C y = D a = 2; b=2 điểm có hồnh độ D Câu 20: Tiếp tuyến kẻ từ điểm (2; 3) tới đồ thị hàm số y = A y = -28x + 59 B y = 28x - 53 D y = 3; y = x+1 Câu 21:Cho hàm số y = x3 – 6x2 + 7x + (C), (C) điểm có hệ số góc tiếp tuyến điểm 2? A (–1; –9); (3; –1) B (1; 7); (3; –1) C (1; 7); (–3; –97) D (1; 7); (–1; –9) Câu 22:Tìm hệ số góc tiếp tuyến với đồ thị y = tanx điểm có hồnh độ x = A k = B k = C k = 2 p : D Câu 23:Gọi (P) đồ thị hàm số y = 2x2 – x + Phương trình tiếp tuyến với (P) điểm mà (P) cắt trục tung là: A y = –x + B y = –x – C y = 4x – D y = 11x + Câu 24:Đồ thị (C) hàm số y = trình là: A y = –4x – 3x + cắt trục tung điểm A Tiếp tuyến (C) A có phương x -1 B y = 4x – C y = 5x –1 D y = – 5x –1 Câu 25:Gọi (C) đồ thị hàm số y = x4 + x Tiếp tuyến (C) vuông góc với đường thẳng d: x + 5y = có phương trình là: A y = 5x – B y = 3x – C y = 2x – D y = x + ... trình tiếp tuyến (C) hàm số y = f (x) ta cần phải biết tọa độ x0 y hay hệ số tiếp tuyến k để tìm x0 y , sau tính đạo hàm hàm số y = f (x) x0 áp dụng vào phương trình tiếp tuyến Bài tập 7: Một vật... f ' ( x0 ) = k để tìm x0 sau x0 vào hàm số y = f (x) để tìm y Bước 3: Viết phương trình tiếp tuyến (C), có dạng : y - y = f ' ( x0 )( x - x0 ) 1 Bài tập 2: Cho hàm số y = x - x + có đồ thị (C),... tiếp tuyến đồ thị hàm số trục tung là: A B C Câu 8: Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số A B C D có phương trình là: D giao điểm đồ thị hàm số với D có hệ số góc tiếp tuyến là: và Câu 9: Phương