Vật lý thống kê Thống kê fermion

Trong cơ học lượng tử, một nhóm các hạt mà có spin nguyên (0,1,2...) được gọi là Bose . Ví dụ: photon, gluon, Higgs Bose …Bose gồm 4 loại tương ứng với 4 loại tương tác cơ bản là: Photon hạt truyền tương tác điện từPhoton là hạt phi khối lượng không có điện tích và không bị phân rã tự phát trong chân không. Một photon có hai trạng thái phân cực và được miêu tả chính xác bởi ba tham số liên tục là các thành phần của vectơ sóng của nó, xác định lên bước sóng λ và hướng lan truyền của photon. Photon là một Bose gauge của trường điện từ và do vậy mọi số lượng tử khác của photon (như số lepton, số baryon, và số lượng tử hương) đều bằng 0. Graviton tương tác hấp dẫn Graviton là một hạt cơ bản giả thuyết có vai trò là hạt trao đổi của lực hấp dẫn trong khuôn khổ lý thuyết trường lượng tử. Nếu nó tồn tại, Graviton dự kiến sẽ không có khối lượng (vì lực hấp dẫn xuất hiện với phạm vi không giới hạn) và phải có spin là 2. Spin bằng 2 do nguồn gốc của tương tác hấp dẫn là tenxơ ứng suấtnăng lượng, một tenxơ đối xứng hạng hai (so với photon của tương tác điện từ có spin 1, nguồn gốc của chúng là bốn dòng, một tenxơ hạng nhất). Ngoài ra, người ta chứng minh rằng một trường spin 2 phi khối lượng gây ra tương tác giống hệt với hành xử của trường hấp dẫn, bởi vì trường spin 2 phi khối lượng

8 TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ KHOA SƯ PHẠM BỘ MÔN SƯ PHẠM VẬT LÝ BÁO CÁO VẬT LÝ THỐNG KÊ ĐỀ TÀI: THỐNG KÊ BOSE - EINSTEIN VÀ ỨNG DỤNG GVHD: TS.Vũ Thanh Trà NỘI DUNG BÁO CÁO Định nghĩa loại hạt Bose Trong học lượng tử, nhóm hạt mà có "spin nguyên" (0,1,2 ) gọi Bose Ví dụ: photon, gluon, Higgs Bose … Bose gồm loại tương ứng với loại tương tác là: - Photon - hạt truyền tương tác điện từ Photon hạt phi khối lượng điện tích không bị phân rã tự phát chân không Một photon có hai trạng thái phân cực miêu tả xác ba tham số liên tục thành phần vectơ sóng nó, xác định lên bước sóng λ hướng lan truyền photon Photon Bose gauge trường điện từ số lượng tử khác photon (như số lepton, số baryon, số lượng tử hương) - Graviton - tương tác hấp dẫn Graviton hạt giả thuyết có vai trò hạt trao đổi lực hấp dẫn khuôn khổ lý thuyết trường lượng tử Nếu tồn tại, Graviton dự kiến khối lượng (vì lực hấp dẫn xuất với phạm vi không giới hạn) phải có spin Spin nguồn gốc tương tác hấp dẫn tenxơ ứng suất-năng lượng, tenxơ đối xứng hạng hai (so với photon tương tác điện từ có spin 1, nguồn gốc chúng bốn dòng, tenxơ hạng nhất) Ngoài ra, người ta chứng minh trường spin phi khối lượng gây tương tác giống hệt với hành xử trường hấp dẫn, trường spin phi khối lượng phải cặp với (tương tác với) tenxơ ứng suất-năng lượng trường hấp dẫn cổ điển[3] Kết cho thấy rằng, hạt khối lượng, spin-2 phát hiện, phải Graviton Do để xác minh thực nghiệm cho Graviton tồn đơn giản phát hạt khối lượng, spin - Gluon - tương tác mạnh Gluon Bose vectơ; giống photon có spin Trong hạt có spin có ba trạng thái phân cực, hạt Bose gauge phi khối lượng gluon có hai trạng thái phân cực bất biến gauge đòi hỏi phân cực phải ngang Tronglý thuyết trường lượng tử, không phá vỡ bất biến gauge đòi hỏi Bose gauge phải có khối lượng (các kết thí nghiệm cho thấy khối lượng gluon có giới hạn vài MeV/c 2) Gluon có tính chẵn lẻ nội âm Gluon hạt nằm gia đình Bose , nhóm Bose gauge Gluon gồm kiểu hạt khác Gluon hạt mang tương tác mạnh - W Bose Z Bose - tương tác yếu Bose W hay hạt W, hạt có khối lượng 160.000 lần khối lượng electron, hay khoảng 80 lần khối lượng proton hay neutron, tương đương với khối lượng nguyên tử Brôm.Bose W hạt mang điện tích, -1 +1 Chúng làphản hạt nhau, hai không hạt vật chất.Bose W hạt truyền tương tác tương tác yếu, tồn thời gian cực ngắn, khoảng × 10 −25 giâysau phân rã sang dạng khác Bose W phân rã tạo thành quark, phản quark có điện tích khác lepton điện tích hay phản neutrino MÔ HÌNH CHUẨN Các tính chất hạt Bose -Là hệ hạt đồng nghĩa hệ hạt có đặc trung vật lý giống khối lượng, q, s,…mà ta không phân biệt chúng -Bất số Bose đến trạng thái lượng tử Vì vậy, chúng tuân theo thống kê Bose - Einstein có tính đồng ψ 1ψ ∞ = ψ ∞ψ -Hàm sóng kết hợp với Bose đối xứng: Ví dụ với hệ hạt bose với spin nguyên: ψ = ψ 1ψ = ψ 2ψ 1 ψ ( q1 ) ψ ( q ) = [ψ ( q1 ).ψ ( q ) + ψ ( q2 ).ψ ( q1 ) ] ψ ( q1 ) ψ ( q ) -Các hạt Bose không tuân theo nguyên lý loại trừ Pauli( theo nguyên lý Pauli hạt điện tích có spin bán nguyên chiếm trạng thái lượng tử, Bose có spin nguyên nên chiếm trạng thái lượng tử) nghĩa số hạt mức lượng từ → ∞ Nguyên tắc loại trừ Pauli " nguyên tử có hai electron trạng thái lượng tử Nguyên tắc làm cho nhiều kiến thức sau biết đến cấu trúc nguyên tử trở nên trật tự " 3.Xây dựng hàm phân bố Bose - Einstein a/ Thống kê lượng tử cho hệ hạt đồng ∞ Xét hệ có N hạt giống nhau, số hạt: lượng thứ i N = ∑ ni i =0 , n số hạt chiếm đầy mức ∞ Năng lượng toàn phần hệ: số hạt chứa mức i Wn = E n = ∑ ni ε i i =0 , ε i lượng tương ứng với ∞ ψ − E N  exp N  ψ N = Ω + µN = Ω + µ ∑ ni N! θ   với i =0 Nếu hệ cân bằng: µ = µ1 = µ = = µ i ∞ ∞   Ω + µ ∑ ni − ∑ ni ε i i =0 i =0 ⇔ Wn = exp  N! θ   tắc lớn lượng tử Gibbs Điều kiện chuẩn hóa: ∞     Ω + ∑ ( µ − ε i ) ni i =0  = exp  N!  θ           , gọi phân bố ∞ ∑W n =o n =1 ∞  ( µ − ε i ) ni Ω +  ∑ ∞ i =0  ⇔ ∑ exp  θ n =0      =1     ∞  ∑ ( µ − ε i ) ni Ω ∞ ⇔ exp ∑ exp i =0  θ  θ  n =0      =1     ∞  ∑ ( µ − ε i ) ni Z = exp i =0  N! θ   Gọi       Trường hợp hệ có suy biến g n ( En )  ∞  ∑ ( µ − ε i ) ni Z= exp i =0  N! θ     ∞ .g  n ε  i i  n∑ i =0    ∞   Ω + ∑ ( µ − ε i ) ni i =0 Wn = exp  N! θ   Ta có:   ∞  g  n ε  i i  n ∑ i =0     ∞  g n  ∑ ni ε i   G ( n0 , n1 , , ni ) =  i =0 N! Ta đặt: ∞  Ω + ( µ − ε i ) ni   ∑ i =0 G ( n , n , , n ) ⇒ Wn = exp i   θ     ni = ∑ ∑ niWn no ni ∞   Ω + ∑ ( µ − ε i ) ni i =0 ⇔ ni = ∑ ∑ ni exp  θ no ni     G ( n , n , , n ) i    b/ Điều kiện chuẩn hóa Z hệ Bose Đối với hệ bose: ∞ ∞ n0 = ni = G ( n0 , n1 , , ni ) = ∑ ∑W ( n , , n ) = i ∞   Ω + ni ( µ − ε i )   ∑ ∞ ∞ i =0  =1 ⇔ ∑ ∑ exp   θ n0 = ni =     Tổng trạng thái  ∞   ∑ ni ( µ − ε i )  ∞ ∞  Z B = ∑ ∑ exp i =0   θ n0 = ni =     c/ Sự phân bố số hạt Thế nhiệt động: Ω = −θ ln Z ∂Ω ∂ ( ln Z ) = −θ ∂Z = −θ ∂µ i ∂µ i Z ∂µ i  ∞   ∑ ni ( µ i − ε i )  ∞ ∞ ∂ Ω G ( n , , n ) = −θ exp  ∑ ∑ exp i =0 i   θ  θ  no =0 ni =0 ∂µ i      ∞   ∑ ni ( µ i − ε i )  ∞ ∞ n Ω G ( n , , n ) = −θ exp  ∑ ∑ i exp i =0 i   θ  θ  no =0 ni =0 θ     ∞    Ω + ∑ ni ( µ i − ε i )  ∞ ∞ i =0 G ( n , , n ) = ∑ ∑ ni exp i   θ no = ni =0     ⇔ ∂Ω ∂µ i ⇔ ∂Ω ∂µ i ⇔ ∂Ω ∂µ i ⇔ ∂Ω = −ni ∂µ i Vậy: ni = − ∂Ω ∂µ i c/ Hàm phân bố Bose - Einstein Đối với hệ khí Bose hạt đồng hoán vị làm cho hàm sóng hệ đối xứng → không cho trạng thái vật lí G ( no , n1 , , ni ) = Số trạng thái chứa đầy mức lượng ni = → ∞ nhận giá trị Ta có công thức phân bố số hạt: ni = − ∂Ω = f (ε ) ∂µ i Thế nhiệt động lượng tử cho hệ hạt Bose Ω = Ω B − E = −θ ln Z B − E Tổng trạng thái cho khí Bose Z B−E  ∞   ∑ ni ( µ i − ε i )  ∞ ∞ ∞  = ∑∑ ∑ exp i =0   θ n0 =0 n1 =0 ni =0     ∞ ∞ ∞   n (µ − ε )   n (µ − ε )   n (µ − ε )   Z B− E = ∑ ∑ ∑ exp  0  +  1  + +  i i i   θ θ θ      n0 =0 n1 =0 ni =0  ∞ ∞ ∞  n (µ − ε )   n (µ − ε )   n (µ − ε i )  Z B−E = ∑∑ ∑ exp 0  exp 1  exp i i  θ θ θ       no =0 n1 =0 ni =0 Ta có: ∞ ∞ i =0 i =0 ψ = ∑ψ 1iψ 2i ψ ni = ∏ψ ij Nên: Z B−E = ∞ ∞ ∞  ni ( µi − ε i )   θ  ∑ ∑∏ exp n0 = ni = i = ∞  n ( µ −εi )  ni = n0 → ∏ exp o i  θ   i =0 ∞  n (µ −εi )  ni = n1 → ∏ exp i  θ   i =0  ∞  n ( µ − εi )  ni = ni → ∏ exp i i  θ   i =0 n0 = n1 = = ni ∞ ∞  n( µ i − ε i )  Z B − E = ∏∑ exp  θ   i = n =0 ni = − ∂Ω ∂µ i mà Ω = −θ ln Z B − E ⇔ ni = θ ∂ ln Z B − E ∂  ∞ ∞  n( µ i − ε i )   =θ ln ∏∑ exp   ∂µ i ∂µ i  i =0 n=o θ    n( µ i − ε i )   n( µ i − ε i )    n( µ i − ε i )   exp  = + exp  +  exp   + ∑ θ θ θ         n =0 ∞  µ −εi q = exp i  θ Tổng chứa cấp số nhân vô hạn với cộng bội a a =1→ s = 1− q ∞  n( µ i − ε i )  = θ  ∑ exp n =0  n( µ i − ε i )  − exp  θ   ∞ ∂ ln ∏ ∂µ i i =0  µ −εi  − exp i   θ  ∂ ⇔ ni = θ ln ∂µ i  µ − εi  − exp i   θ  ⇒ ni = θ ∂   µ − εi  ln1 − exp i   ∂µ i   θ  ∂   µ −εi  − exp i ⇔ ni = −θ  µ − ε i  ∂µ i   θ − exp i   θ  ⇔ ni = −θ      µ −εi  exp i  θ θ  ⇔ ni = θ  µ −εi  − exp i   θ   µ − εi  exp i   θ  ⇔ ni =  µ −εi  − exp i   θ  ⇔ n1 =  ε − µi  exp i  −1  θ  n1 ≡ f ( ε ) = Vậy hàm phân bố Bose - Einstein:  ε − µi exp i  θ   −1     , số hạng f B− E ( ε ) = Nếu có suy biến:  ε − µi exp i  θ   −1  g(ε ) Ý nghĩa hàm phân bố Bose - Einstein a/ Ý nghĩa Thống kê Bose –Einstein miêu tả tập hợp hạt không phân biệt không tương tác với vào lớp trạng thái lượng rời rạc khác cân nhiệt động Thống kê Bose –Einstein áp dụng cho hạt không bị giới hạn vị trí chiếm giữ trạng thái, hay hạt không tuân theo nguyên lý loại trừ Pauli Những hạt nhà vật lý gọi chung Bose Trong thống kê phần lớn tương tác hạt bị bỏ qua Ngược lại với thống kê thống kê Fermi-Dirac, áp dụng cho hạt spin bán nguyên không phân biệt được, chúng tuân theo nguyên lý loại trừ Pauli b/ So sánh phân bố Maxwell-Boltzmann, Bose - Einstein Fecmi – Đirrac lượng tử  Khác nhau: Đối với hệ lượng tử với hệ hạt khác ta tìm ba hàm phân bố khác theo lượng: -Thống kê MAXWELL-BOLTZMANN  µ −ε  ni = f M − B (ε ) = exp   θ   ε exp −   θ  g (ε ) ni = f M − B (ε ) = Z hay (1)  ε  Z = ∑ exp − i .g (ε i )  θ  i =1 Với (2) ∞ - Thống kê BOSE - EINSTEIN ni = f B − E (ε ) = ε −µ  exp  −1  θ  ni = f B − E (ε ) = g (ε ) ε −µ  exp  −1 θ   (3) - Thống kê FECMI – ĐIRRAC f F − D (ε ) = f F − D (ε ) = ε − µ  exp  +1  θ  g (ε ) ε − µ  exp  +1 θ   (4) g (ε ) trọng số thống kê (hay độ suy biến) trạng thái lượng tử có lượng khác - Sự khác hàm phân bố chất tính chất đối tượng vi mô diễn tả ba thống kê  Giống nhau: ε −µ  exp  >> θ   Khi thỏa điều kiện: hay ε − µ >> θ (5)  µ exp −  >>  θ Hay thống kê Bose - Einstein Fecmi – Đirắc chuyển thành thống kê MaxwellBoltzmann, nghĩa ta coi thống kê Maxwell-Boltzmann trường hợp giới hạn hai thống kê lượng tử hay f B − E = f M − B = f F − D f (ε ) f B−E = f M −B = f F −D ε Ngoài ra: Khi tìm hàm phân bố Maxwell-Boltzmann ta giả thiết hạt khác phương diện hoán vị tọa độ Vì vậy, trường hợp tổng quát, phân bố theo mức lượng (1) áp dụng cho hạt thực, hạt thực không khác biệt (đồng nhau) Tuy nhiên, có tồn loạt hệ lượng tử mà ta gọi hệ lượng tử định xứ, đối tượng vi mô lượng tử xem định xứ điểm không gian xác định Trong trường hợp khác ta phải vận dụng phân bố Bose - Einstein hạt hay hệ có spin nguyên (hạt bôzôn), phân bố Fecmi – Đirắc hệ có spin bán nguyên (hệ fecmiôn hay hệ Fecmi) Ba thống kê trùng điều kiện (5) thực hiện: V  2πmkT    >> N h   (5)  (6) (6) gọi điều kiện tiêu chuẩn suy biến Ba thống kê trùng thể tích không gian pha là:  V Γ = ∏ pi qi =  p  N  i =1 3N Với p = N V   Γ = ( µkTm )  2πkTm N  N Γ >> Γmin = h N => điều kiện tiêu chuẩn suy biến (6) Nhận xét: Bởi phân bố Maxwell-Boltzmann suy từ phân bố tắc lượng tử trường hợp mà phân bố Maxwell-Boltzmann áp dụng trường hợp mà phân bố tắc lượng tử áp dụng Phân bố Bose - Einstein nhạy giảm lượng, phân bố số hạt tăng vọt lượng giảm So với phân bố Maxwell-Boltzmann, hạt có lượng nhỏ phân bố Bose - Einstein gặp nhiều Do so với áp suất chất khí tuân theo thống kê Maxwell, áp suất chất khí tuân theo thống kê Bose nhỏ Mối liên hệ áp suất p, thể tích V lượng toàn phần khí lý tưởng không phụ thuộc vào chất khí tuân theo thống kê 5.Ứng dụng Trạng thái ngưng tụ Bose - Einstein Ngưng tụ Bose - Einstein (bec - Bose - Einstein condensation) trạng thái vật chất khí Bose loãng bị làm lạnh đến nhiệt độ gần độ không tuyệt đối ( hay gần giá trị 0K hay − 2730C ) Dưới điều kiện này, tỷ lệ lớn Bose tồn trạng thái lượng tử thấp nhất, điểm mà hiệu ứng lượng tử trở nên rõ rệt mức độ vĩ mô Những hiệu ứng gọi tượng lượng tử mức vĩ mô Hiện tượng einstein dự đoán vào năm 1925 cho nguyên tử với spin nguyên Dự đoán dựa ý tưởng phân bố lượng tử cho photon đưa Bose trước năm để giải thích phổ phát xạ hấp thụ vật đen tuyệt đối Einstein sau mở rộng ý tưởng Bose cho hệ hạt vật chất Những nỗ lực Bose einstein cho kết khái niệm khí Bose khuôn khổ lý thuyết thống kê Bose - Einstein, miêu tả phân bố thống kê hạt đồng với spin nguyên, mà sau Paul Dirac gọi Bose Các hạt Bose bao gồm photon nguyên tử heli-4 phép tồn trạng thái lượng tử Einstein chứng minh lành lạnh nguyên tử Bose đến nhiệt độ thấp hệ tích tụ lại (hay ngưng tụ) trạng thái lượng tử thấp tạo nên trạng thái vật chất Cho đến nay, khắp giới có tổng cộng 13 nguyên tố làm cho ngưng tụ Mười số ngưng tụ tạo mười nhóm nghiên cứu quốc tế khác Ngưng tụ Bose - Einstein nguyên tố erbium chất khí lượng tử siêu lạnh có tính chất đặc biệt mang lại hệ lí tưởng để nghiên cứu tượng vật lý Việc chọn nguyên tố này, tính chất đặc biệt mang lại khả hấp dẫn để nghiên cứu câu hỏi lĩnh vực vật lí lượng tử "erbium tương đối nặng có từ tính mạnh Những tính chất dẫn tới trạng thái lưỡng cực cực độ hệ lượng tử", phương pháp đơn giản để làm lạnh nguyên tố phức tạp phương tiện laser kĩ thuật làm lạnh bay Ở độ gần độ không tuyệt đối, đám mây gồm khoảng 70.000 nguyên tử erbium tạo ngưng tụ Bose einstein từ tính Trong ngưng tụ, hạt tính chất cá lẻ chúng đồng hóa thành trạng thái chúng " thí nghiệm với erbiumvới kết thu mang lại điểm xuất phát để nghiên cứu từ tính lượng tử với nguyên tử lạnh" Cesium, strontium erbium ba nguyên tố hóa học mà nhà vật lí (ở Innsbbruck) cho ngưng tụ thành công Một đột phá quan trọng thực rudolf grimm nhóm nghiên cứu ông năm 2002 họ thu ngưng tụ cesium, dẫn tới vô số kết khoa học năm sau Nhà vật lý florian schreck, thành viên thuộc nhóm nghiên cứu rudolf grimm, người thực hóa ngưng tụ strontium hồi năm 2009 Và francesca ferlaino lập tiếp kì công với nguyên tố erbium Cho đến nay, khắp giới có tổng cộng 13 nguyên tố làm cho ngưng tụ Mười số ngưng tụ tạo mười nhóm nghiên cứu quốc tế khác Năm 2001, eric corell, wolfgang ketterle carl wieman giành giải nobel vật lí cho việc tạo ngưng tụ Bose - Einstein Ngưng tụ erbium, lần tạo Innsbruck, hệ mẫu tuyệt vời đẻ bắt chước hiệu ứng phát sinh từ tương tác tầm xa Loại tương tác sở chế động lực học phức tạp có mặt tự nhiên, ví dụ xảy xoáy địa vật lí, chất lỏng sắt từ hay protein gấp nếp Trạng thái ngưng tụ Bose - Einstein Bose , trường hợp nguyên tử rubidi Hình vẽ phân bố tốc độ chuyển động nguyên tử theo vị trí Màu đỏ nguyên tử chuyển động nhanh, màu xanh trắng nguyên tử chuyển động chậm Bên trái trước xuất ngưng tụ Bose - Einstein Ở sau ngưng tụ Bên phải trạng thái ngưng tụ xuất rõ Ở trạng thái ngưng tụ, nhiều nguyên tử có vận tốc vị trí (cùng trạng thái lượng tử) nằm đỉnh màu trắng Ở nhiệt độ phòng, Bose Fermion phản ứng giống nhau, giống hạt cổ điển tuân theo gần thống kê mắcxoen- bônxơman (bởi thống kê B-E thống kê F-D tiệm cận đến thống kê M-B nhiệt độ phòng) Vì hạt Bose không chịu chi phối nguyên lý cấm Pauli nên nhiệt độ không tuyệt đối tất có lượng ε = , trang thái tất chất khí trạng thái có e = Còn khí Fermion khác, nhiệt đột = 0K hạt chiếm trạng thái có lượng từ đến mức Fermion, lượng hệ khác không (e # 0) Nên khẳng định nhiệt độ thấp khí Bose có tính chất khác hẳn khí Fermion ( chẳng hạn khí điện tử tự kim loại) Đối với khí lý tưởng, theo công thức thống kê Bose - Einstein Số hạt trung bình có lượng khoảng từ ε → ε + dε bằng: dn(ε ) = dN (ε ) e ε − µ   −1  θ  (1) Trong đó: Tìm: dN (ε ) mức lượng khoảng từ ε → ε + dε dN (ε ) Theo quan điểm lượng tử, hạt Bose chứa thể tích v xem sóng đứng debrolige Áp dụng công thức: k dk dN (k ) = V 2π (2) u r Theo hệ thức debrolige xung lượng p vecto sóng ur r p = hk r k p dp dN ( p ) = V 2 π h Khi viết dạng: (3) p2 ε= 2m Đối với hạt phi tương đối tính tức hạt có vận tốc v ~ c => { p = mε p dp = m3ε Khi (3) có dạng: m3V dN (ε ) = ε dε 2π h Vì hạt có định hướng spin khác nên số trạng thái ứng với giá trị spin s hạt g= 2s +1 Do số mức lượng khoảng ε → ε + dε 2m3Vg dN (ε ) = ε dε 2π h Theo (3) số hạt trung bình có lượng khoảng ε → ε + dε 2m3Vg dN (ε ) = 2π h3 ε dε e ε −µ     θ  −1 (4) Vì số hạt toàn phần n nên ta có phương trình sau: ∞ N = ∫ dn(ε ) = ∞ 2m Vg ε dε 2π h3 ∫0  ε θ− µ  e −1 (5) Nhận thấy số hạt n số cho trước phương trình (5) cho ta xác định hóa học µ Thật vậy, số hạt trung bình dn(ε ) số dương, theo (4) điều kiện thỏa mãn mẫu số (4) dương Tức µ ≤ giá trị e ε −µ θ luôn lớn 1với giá trị ε ∂µ ≤0 ∂ T Ta chứng minh µ hàm nghịch tọa độ tức Theo qui tắc lấy đạo hàm hàm ẩn vào (5) ta có: ∂N ∂µ = − ∂T ∂N ∂T ∂µ   ∂  ε ÷ ∫0 ε −µ  dε ∫0 ∂T  ε θ−µ  ÷÷dε  e  −  e θ  − =− = − ∞   ∂ ε ∞ ∂ ε d ε  ÷d ε ∂µ ∫0  ε θ− µ  ε − µ ∫   ∂µ   θ  ÷ ÷ e −1 −1  e ∂ ∂T ∞ ε  ε − µ     k BT  ∞ (ε − µ) e ε dε ∫0 kBT ε −µ  ∂µ e θ  − = = −  ε − µ  ∂T T   ∞  k BT  e ∫0 kBT  ε −µ  2 ε dε  e  θ  − 1÷  ÷   ∞ ∞ ∫ ( ε − µ) e e ∞ ∫ e   ε −µ     θ  e  ε − µ     k BT  −1  ε − µ     k BT  ε −µ     θ  ε dε  − 1÷ ÷  ε dε Vì ε ≥ µ ≤ nên ε − µ ≥ , biểu thức dấu tích phân vế phải (2) ∂µ ≤0 luôn dương với giá trị ε, ∂T từ tính chất µ ≤ ∂µ ≤0 ∂T hàm µ ta thấy nhiệt độ giảm µ tăng (giá trị âm tăng đến giá trị lớn "nhưng âm") tới nhiệt độ T0 µ đạt giá trị cực đại không µmax = Xét nhiệt độ T0: Chọn µ = Khi phương trình: ∞ N = ∫ dn(ε ) = ∞ 2m Vg ε dε 2π h3 ∫0  ε θ− µ  e −1 Trở thành: ∞ N = ∫ dn(ε ) = ∞ 2m Vg ε d ε ∫ ε 2π h θ e −1 3 ∞ 2m 2Vg x N = θ θ dx 0∫ x 2π h e −1 N = m Vg θ 2 π h 3 ∞ x ∫0 ex − 1dx = ( mθ0 ) Vg ∞ 2 π h3 x ∫0 ex − 1dx Mà ta biết: ∞ x ∫0 ex − 1dx = 2.31 T0 = , nên ur r p = hk θ 3,31h  N  =  ÷ k B g mk  V  B = kbt0, ta được: (6) Đối với tất khí Bose quen thuộc nhiệt độ nhỏ Khi giảm nhiệt độ xuống tới T0 hóa học µ tăng tới giá trị µmax = , mà ∂µ ≤0 ∂T nên µ giảm nữa, khoảng nhiệt độ < T < T0 µ=0 Với nhiệt độ T < T0 số hạt có lượng là: (2m)3/ 2Vg N (ε > 0) = 2π h3 ∞ ε ∫ dε ε k BT e −1 ∞ (2mk BT ) 3/ Vg x N (ε > 0) = ∫0 e x − dx = N ' 21/ π h3 (7) So sánh (6) (7) ta thấy: 2/3 2/3 T  N' T  N (ε > 0) = N  ÷ = ÷ T N   hay  T0  Vì số hạt toàn phần hệ không đổi, T