Vật lý thống kê - P4

Tài liệu tham khảo về đề thi môn Vật lý thống kê...

Chương 3: Ma trận thống kêKE 3.1 – Mở đầu•Giả sử ở thời điểm cho trước, hệ ở trạng thái lượng tử mô tả bởi hàm sóng ψ(q,t) với q là ký hiệu toàn bộ tọa độ của hệ. Trị trung bình của đại lượng F tính qua toán tử F theo biểu thức:)1.3(dq)t,q(Fˆ).t,q(F*ψψ=∫Vì có nhiều hàm sóng ψ(q,t) nên giá trị trung bình thống kê được tính bởi trung bình lấy theo các hàm sóng:)2.3(/Fˆ/F*>ψψ<= 3.1 – Mở đầuToán tử mômen xung lượng có các hàm riêng trực giao ϕn và các trị riêng ln thỏa biểu thức:Chuyển L vì hàm sóng không phụ thuộc tĐể thuận tiện ta chuyển từ biểu diễn tọa độ sang biểu diễn mômen xung lượng: )3.3(PxrˆLˆ=)4.3(/)q(.)q(Lˆnmmnnnnδ>=ϕϕ<ϕ=ϕ  3.2 – Trung bình thống kê•Chỉ số n là ký hiệu tập hợp các lượng tử số đặc trưng một trạng thái riêng. Khai triển hàm ψ(q,t) theo các hàm ϕn (q) • )5.3()q()t(c)t,q(n1kkk∑=ϕ=ψThay biểu thức 3.5 vào 3.2 và viết lại như sau:)6.3(C/Fˆ/C/Fˆ/*Fjjjk*k*k>ϕϕ=<=>ψψ<=∑∑Vì tích phân (TP) và tổng là giao hoán, đưa hằng số ra ngoài TP:)7.3(F.CCFkjj,kj*k∑= 3.3 – Ma trận thống kê•Phần tử ma trận của toán tử F (trong L biểu diễn) được tính là:( ))8.3(dq.)q(Fˆ)q(FJ*kkjϕϕ=∫Định nghĩa phần tử ma trận thống kê là)9.3(CCJ*KkJ=ξTập hợp n các giá trị của (3.9) tạo thành một ma trận vuông gọi là ma trận thống kê ký hiệu là:Đưa kết quả 3.9 và 3.8 vào biểu thức trung bình của F:)11.3( .Mnn2n1n212221n11211ξξξξξξξξξ=ξ)10.3(F.Fkjj,kkj∑ξ= 3.4 – Phần tử ma trận)10.3(F .FFF FFF .FFFF.Fnn.nn3n.3n2n.2n1n.1n23.2322.2221.2113.1312.1211.11kjj,kkjξ+ξ+ξ+ξ++ξ+ξ+ξ++ξ+ξ+ξ=ξ=∑Tập hợp n các giá trị (3.8) cũng tạo thành một ma trận vuông gọi là ma trận F trong L (và ma trận nghịch đảo của F):)12.3(F .FF F .FFF .FFFM&F .FF F .FFF .FFFMnnn2n12n22121n21111nn2n1n212221n11211==−Từ 2 ma trận 3.11 và 3.12 nếu nhân 2 ma trận đó và sau đó lấy Tổng các TP đường chéo của MT tích thì nó = biểu thức trung bình của F:)13.3()FM.M(SPF1−ξ=Ký hiệu SP của ma trận X là lấytổng của các phần tử nằm trên đường chéo của ma trận X Bài tập 3.1•Tính SP của ma trận X với:•Với giá trị m bằng bao nhiêu thì SP (X) có giá trị đơn vị (được chuẩn hóa)157m2mmm85m512mX2222π−π−ππ−−=Đáp ám là m = Matrix of Statistics Bài tập 3.2•Cho các hàm sóng ( 0 ≤ x ≤ a)•Tính ma trận thống kê?: Xác định b (thỏa DKCH)•Cho toán tử •Tính ma trận của Px?•Tính giá trị trung bình của Px•(Theo 3.13)2,1n)axnsin().bt.n()x(n=π+=ϕJ*KkJCC=ξdxdiPx−= Hướng dẫn (1) bt2C&btCbt2C&btC2,1n&)axnsin().bt.n()x(*2*121n+=+=→+=+=→=π+=ϕ2222112211J*KkJ)bt2();bt2)(bt(;)bt()9.3(CC+=ξ++=ξ=ξ+=ξ→=ξ•Tính các số hạng c(t) ( 0 ≤ x ≤ a)•Tính ma trận thống kê (công thức 3.9) [...]... 0ti 0 27 16 27 16 0 9 16 9 4 9 4 9 1 PS)PM.M(PSP 9 16 9 4 9 4 9 1 M 0 27 16 27 16 0 tiPM 0 27 16 ti 27 16 ti0 FF FF PM 21 21 2 2 2221 1211 = − =ξ=→ =ξ − =→ − == − −        3.5 – Tính chất ma trận thống kê • 1-Các số hạng trên đường chéo trong ma trận thống kê luôn dương : )15.3(1)M(SP =ξ 2. Tính chuẩn hóa 3. Vì C là hàm theo biến t nên Ma trận thống kê phụ thuộc thời gian Từ điều kiện chuẩn hóa hàm sóng ta được: )14.3(0CC.C 2 KK * KKK >==ξ )16.3(1)M(SPCCCC 1CCdq)C()C(dq* K KK k K * K k K * K k K * KJJ * K * K =ξ=ξ==→ ==ϕϕ=ψψ ∑∑∑ ∑∑ ∫ ∑ ∫ )17.3()t( J,KJ,K ξ=ξ ... trạng thái cân bằng – Ma trận thống kê không phụ thuộc t Về hình thức, )30.3( M)C( nn2n1n 212221 n11211 nn ξξξ ξξξ ξξξ ≡ξ→ϕξ  Hướng dẫn (1) bt2C&btCbt2C&btC 2,1n&) a xn sin().bt.n()x( * 2 * 121 n +=+=→+=+=→ = π +=ϕ 2 22 2112 2 11 J * KkJ )bt2( );bt2)(bt(;)bt( )9.3(CC +=ξ ++=ξ=ξ+=ξ→ =ξ • Tính các số hạng c(t) ( 0 ≤ x ≤ a) • Tính ma trận thống kê (cơng thức 3.9) Hướng dẫn... )22.3(H)t(C t )t(C i*Change )21.3(/H ˆ /HwithH)t(C t )t(C i ]dqH ˆ )[t(C t )t(C ]dq[i K * nK * K * n K * nnK K nKK n K K * nK K K K * n ∑ ∑ ∑ ∫ ∑ ∫ = ∂ ∂ −→→ >ϕϕ=<= ∂ ∂ → ϕϕ= ∂ ∂ ϕϕ    Photo of Liouville Áp dụng cho chùm Laser 3.2 – Trung bình thống kê • Chỉ số n là ký hiệu tập hợp các lượng tử số đặc trưng một trạng thái riêng. Khai triển hàm ψ(q,t) theo các hàm ϕ n (q) • )5.3()q()t(c)t,q( n 1k kk ∑ = ϕ=ψ Thay biểu thức 3.5 vào 3.2 và viết... t 3 4 CC&t 3 1 CC t 3 2 b)bt2()bt( 1 2 a )bt2(&1 2 a )bt( 1dx).x().x(/ * 22 * 11 22 22 JK J a 0 * KKJJ * K ==== −=→+=+→ =+=+→ =ϕϕδ>=ϕϕ< = ∫ • Tính cụ thể b (theo ĐK Chuẩn Hóa) • Kết quả MT thống kê: 9 16 9 4 9 4 9 1 tM 2 =ξ . thống kê 1-Các số hạng trên đường chéo trong ma trận thống kê luôn dương :)15.3(1)M(SP=ξ2. Tính chuẩn hóa3. Vì C là hàm theo biến t nên Ma trận thống kê. Ma trận thống kê Phần tử ma trận của toán tử F (trong L biểu diễn) được tính là:( ))8.3(dq.)q(Fˆ)q(FJ*kkjϕϕ=∫Định nghĩa phần tử ma trận thống kê là)9.3(CCJ*KkJ=ξTập