Vật lý thống kê - P1

Tài liệu tham khảo về đề thi môn Vật lý thống kê...

NGUYÊN LÝ CƠ BẢN CỦA

THỐNG KÊ Principles of Statistics

KE

CHƯƠNG 0: KHÁI NiỆM XÁC SUẤT

(PROBABILITIES)

0.1- BiẾN NGẨU NHIÊN

(Random Variables)

•Biến ngẩu nhiên (ký hiệu x) là biến mà các

giá trị nó nhận được là các số thực được

cho từ một hiện tượng ngẩu nhiên nào đó.

•Ví dụ: Số photon (x) phát ra từ

đèn laser trong một giây

•Năng lượng tia gamma phóng xạ

•Tọa độ của một electron (1D)

0.2- Phân Loại

• * Phân ra 2 loại: biến rời rạc và liên tục

( discrete and continuous)

* Biến rời rạc ( discrete random variable ):Biến chỉ

nhận một số các giá trị phân biệt (VD: số bước

sóng của quang phổ nguyên tử H2 )

* Biến liên tục ( continuous random variable ) nhận

vô số các giá trị liên tục khác nhau Như các

giá trị của bước sóng ánh sáng tự nhiên đến

từ Mặt Trời (0,76  0,38 m).

Bài tập 0.1

• Phân loại các biến sau đây:

• Điện tích của một vật, các bước

sóng của ánh sáng mặt trời, bước sóng của tia gamma bức xạ từ

phản ứng hạt nhân, quang

electron, spin của electron,

mômen từ của electron….

Q, quang electron, spin của electron là rời rạc

• Hình sau mô tả phân bố những elctron có E (Kev) khác

nhau bị bức ra từ hiệu ứng quang điện

Động năng (KeV):

Phần lớn các phương pháp mô tả biến đơn là biểu

diễn tần suất phân bố (a frequency distribution) theo

hai cách là tỉ lệ % và biểu đồ

Bài tập 0.2

Tính tỉ lệ và vẽ biểu đồ số bi: đỏ, cam, vàng, đen và trắng trên bàn.

Đỏ :4/26 VÀNG 1/26 CAM 1/26 TRẮNG 8/26 ĐEN 12/26

0.4- Phân bố xác suất

(PROBABILITY DISTRIBUTION)

• Với biến rời rạc

• Khi thống kê, ta đo biến cố nhiều lần

và thu các kết quả rất khác nhau, mỗi

kết quả thường có tần xuất lập lại khác nhau

TD: khi gieo xúc xắc 100 lần có 25 lần

xuất hiện mặt (6), 20 xuất hiện mặt (5),

10 xuất hiện mặt (4) , 17 xuất hiện mặt (3), 10 xuất hiện mặt (2), còn lại là số

lần xuất hiện mặt (1)

Các giá trị P = 25/100, 20/100… là biểu

diễn phân bố xác suất của các lần gieo

tương ứng các kết quả xuất hiện mặt

( x = 6, x = 5, x = 4…)

Phân bố (xác suất)

(PROBABILITY DISTRIBUTION)

Hàm p(x) được gọi là hàm phân bố xác suất

• Giá trị p(x) thỏa :

0 < pi < 1 với mọi i thống kê (STATISTICS) (1.1)

p 1 + p 2 + + p k = 1 Chuẩn hóa (NORMALIZATION) (1.2)

P1= P2 P3 P4 P5 P6

Bài tập 0.3

Bài tập: Hãy điền các giá trị P vào bảng (Ở slide trước) cho phù hợp sau đó chuẩn hóa các giá trị của Pk

x1=6 x2=5 x3=4 x4=3 X5=2 x6=1

P1=25 P2=20 P3=10 P4=17 P5=10 P6=18

Ý nghĩa phân bố xác suất

• P(x) nhận giá trị từ 0 đến 1.

VD: tìm số người biết hết tất cả các

thứ tiếng trên thế giới.

• 0.5 - Khả năng có là phân nửa

0.5- Khuynh hướng trung tâm CT

central tendency

• Sứ tính toán xấp xĩ giá trị trung tâm của một biến cố

nào đó trong phân bố ngẩu nhiên

• Được chia ra 3 dạng:

1- Trị trung bình (Mean

or average)

2- Trị ở giữa (Median)

3- Trị có tần suất cao (Mode)

1-Trị trung bình là trung bình cộng của tất cả các giá trị

mà biến X nhận được

i

Kết quả là :

48 24

23

22 23 P 24 P 48 P P

.

• Trị ở giữa (Median) là giá trị nằm ở giữa giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biến:

• Giá trị có tần suất cao (The mode) là giá trị

xK mà ở đó xác suất pK là cực đại (sau khi

0.6- Độ lệch

(Dispersion)

• Thường dùng cho các phép đo nhiều lần một đại lượng

vật lý nào đó và thu được các giá trị gần như nhau

• Độ lệch là giá trị sai lệch so với trị trung tâm Có 2 cách

tính độ lệch:

• Độ lệch cấp (range deviation) và độ lệch chuẩn (the

standard deviation)

• Độ lệch cấp được xác định bằng

độ lệch của giá trị lớn nhất và giá

trị nhỏ nhất khi đo đại lượng x

• Độ lệch chuẩn (Standard Deviation) là độ sai lệch

được phép khi tính xấp xĩ Để tính SD (standard

deviation), Chúng ta tính lần lượt:

• Rồi tính bình phương của nó  sau đó lấy tổng

• Kết quả chia cho (N-1)  (called variance)  căn

(N-1) gọi là bậc tự do của phương sai

) 4 0 ( x

2 i 1

i

2 i

• Giá trị trung bình giúp ta ước lượng xấp

xỉ vận tốc của các hạt khi không phân

biệt chúng

• Độ lệch chuẩn cho biết sai lệch của phép tính xấp xỉ vận tốc

Đại lượng trung bình thống kê

• Là trung bình của một biến khác được tính gián tiếp qua biến được lấy thống kê

• Ví dụ thống kê cho ta sự phân bố hạt theo tọa

độ là hàm P(x), nhưng tại mỗi tọa độ Thế năng đàn hồi tác dụng lên hạt là f= -kx2 Ta cần tính giá trị trung bình của thế năng tác dụng lên hạt:

) x ( P ) x ( f

1 i

i







Bài tập tổng hợp 0.9

• Nguyên tố K có thể có ba dạng đồng vị khác nhau với các khối lượng nhân là n, n+1, n +2 với n là một số nguyên Xác suất ứng với các khối lượng nhân đó lần lượt là (1/2, 1/3,

1/6) Khi xảy ra tán xạ của nơtron với hạt nhân, Biên độ của nơtron tán xạ phụ thuộc vào khối lượng nhân và được xác định qua hàm f mô tả như sau:

• f(n)= 2A,

• f(n+1) = A,

• f(n+2) = 4A (A là hằng số) Xác định:

• 1- Đồ thị hàm phân bố theo khối lượng.

• 2- Tìm trị trung bình của biên độ tán xạ < f > và [< f > 2 ]

• 3- Tính Variance V = (<f 2 >- [< f > 2 ])

• 4- Nếu có một tinh thể nano với 64 nguyên tố K nói trên, thì khối lượng nhỏ nhất có thể có của tinh thể nano là bao nhiêu

0-7 Biến Liên tục

Continuous random variable

Biến nhận mọi giá trị khả hữu liên tục Thí dụ vận tốc chuyển động nhiệt của một hạt electron trong kim loại có

giá trị dương và liên tục đến c = 3.10 8 m/v

Với biến liên tục, người ta xác

Nó được tính bởi vùng diện

tích giới hạn ở dưới đường

cong

0-8 Hàm phân bố liên tục (Continous distribution function)

• Là một hàm, P(X), được minh họa bởi đồ thị p(x)

0-9 Phân bố đồng nhấtThe Uniform Distribution

• Là phân bố liên tục nhưng xác suất là như nhau

cho mọi giá trị của x trong khoảng xác định [a,b]

) ' x ( p

) 9 0 ( 1

dx )

x (

) x ( p

b

a



) 10

0 ( dx

) x ( p ).

x ( f









• Trong trường hợp biến

liên tục ta không chia cho

(n-1) như biến rời rạc

• Nhưng hàm phân bố phải

được chuẩn hóa

Bài tập 0.11 Liên quan Cơ lượng tử

3- Tính xác suất tìm x trong đoạn

[(a/4), (3a/4)]

4- Tương tự cho trường hợp n=3

a 0

sin a

2 )

x ( )

x (

P  n 2  2 

)a

x

nsin(

a

2)

Bài tập 0.12 Liên quan Cơ lượng tử

• Năng lượng hạt có giá trị

• Tính năng lượng trung bình của 30 hạt trong

hố thế với phân bố như sau:

• P(En=1) =1/3; P(En=2) =1/2; P(En=1 ) =1/6

 

2

2 n

ma 2

n

• Tần suất lớn tập trung ở giữa,

càng đi ra ngoài trung tâm xác

suất càng nhỏ Nghĩa là xác

suất chỉ hội tụ ở vùng trung

tâm, càng ra xa càng giảm

nhanh.

Tính chất

Tính đối xứng (Symmetric): qua giá trị trung tâm

Bài tập 0.13

So sánh các phân bố chính tắc

Tìm sự khác nhau của các đồ thị đồng dạng Phân bố Gauss

0.15 Trị kỳ vọng (Expectation value) &

Trị trung bình của hàm f(x)- RR

Trị kỳ vọng của hàm f(x) bất kỳ, theo một biến ngẫu

nhiên x, khi biết hàm phân bố theo tọa độ p(x) là:

) x ( P ) x

( f f

Trường hợp biến là rời rạc ta gọi đó là trị trung bình:

Trường hợp biến là liên tục, ta gọi đó là trị kỳ vọng:

Bài tập 0.15

• Cho hàm phân bố (density function)

của xác suất hạt theo tọa độ là p(x): p(x)=a exp{-ax2}, với a = hằng số.

Tính trị kỳ vọng của hàm lực tác dụng đàn hồi f(x) là hàm phụ thuộc x có dạng: f(x)= -2x2 + 1

• Tức là xác định <f(x)>

• Lưu ý : Gaussian integral

Tích phân Gauss Gaussian integral

http://www.umich.edu/~chem461/Gaussian%20Integrals.pdf

0.16- Momen của mật độ xác suất

(Moments of the PDF)

values ) cho hàm lũy thừa bậc n của biến x ( random variable ) Momen thứ n được tính bởi:

n i

i i

Bài tập 0.16

• Cho hàm phân bố theo tọa độ:

p(x)=a exp{-ax2}, với a=const.

• Tính momen thứ nhì và thứ ba <x2 > ;

<x4 > của hàm phân bố PDF

0.17- Tính đa nghiệm Multiple solutions

Thông thường người ta cho hàm phân bố theo biến x (tọa độ) là P(x); và yêu cầu chuyển về hàm phân bố theo một biến khác của x Ví dụ Tính phân bố xác suất P’

theo biến lực đàn hồi f (-kx) Ta có thể chọn được nhiều hàm phân bố khác nhau theo các biến khác f từ biến lúc đầu {Probability of P’(f(x))}.

Tổng quát : có khả năng tìm ra các biến F khác nhau (là

0.18- Thay hàm xác suất dùng biến đổi Fourier (Fourier transform FT)

• Hàm đặc tính (the characteristic function) Với biến liên tục, ta định nghĩa nó bằng phép biến đổi Fourier của hàm mật độ p(x) trong không gian số sóng (k: wave number) Ta gọi đó là hàm mật độ trong không gian k

Hàm mật độ có thể khôi phục (recovered) từ hàm đặc tính qua phép biến đổi Fourier ngược (inverse Fourier transform)

0.19- Momen và biến đổi Fourier

Moments and FT relation

• Moment của hàm phân bố có được bằng

cách khai triển ( expanding ) p(k) quanh điểm

x0 bằng hàm mũ k theo công thức:

•Moment của hàm phân bố quanh điểm bất kỳ x 0

được tạo ra bằng cách khai triển

0.20- Logarithm của hàm đặc tính

Logarithm của hàm đặc tính là biến đổi

fourier của hàm phân bố theo tọa độ được định nghĩa là:

Quan hệ của Logarithm của hàm đặc tính và moment được xác định qua biểu thức:

0.21- Trung bình, phương sai…

Mean, variance, skewness and curtosis

Đó là bốn logarith đầu tiên của hàm phân bố và

được tính qua các moment như sau:

Bài tập 0.21

• Vẽ hàm phân bố Gauss với =1,  =2

• Dùng công thức chứng minh:

Trao đổi và củng cố

• Các vấn đề chưa thông suốt ??