vật lý thống kê cho kỹ thuật hạt nhân

BI TP VT Lí THNG Kấ 2013 Dnh cho chuyờn nghnh K thut ht nhõn TS Nguyn Ngc Tun Vin Vt lý K thut, HBKHN CHNG I: M U I.1 S dng cỏc hm th nhit ng vi h kớn chng minh cỏc h thc Maxwell sau: ổ ảS ổ ảP ổ ảS ổ ảV a) ỗ b) ỗ ữ =ỗ ữ ữ = -ỗ ữ ố ảV ứT ố ảT ứV ố ảP ứT ố ảT ứ P ổ ảT ổ ảP ổ ảT ổ ảV c) ỗ d) ỗ ữ = -ỗ ữ ữ = -ỗ ữ ố ảV ứ S ố ảS ứV ố ảP ứ S ố ảS ứ P Hng dn: s dng tớnh cht ca o hm bc khụng ph thuc vo th t ly o hm theo ả f ( x, y ) ả f ( x, y ) = Vớ d cõu a) cỏc bin ảxảy ảyảx ả ổ ảF ả2 F ổ ảS = = ỗ ữ ỗ ữ ố ảV ứT ảV ố ảT ứ ảT ảV dQ TdS = Ngi ta phõn bit nhit dung ng tớch dT dT ổ ảV ổ ảS ổ ảS CV = T ỗ ữ v nhit dung ng ỏp CP = T ỗ ữ Ký hiu h s n nhita = ỗ ữ ; h s nộn V ố ảT ứ P ố ảT ứV ố ảT ứ P I.2 Nhit dung ca mt h c nh ngha C = on nhit k S = a) TdS = CV dT + ổ ảV ổ ảV ỗ ữ ; h s nộn ng nhit k T = - ỗ ữ Chng minh cỏc h thc sau: V ố ảP ứ S V ố ảP ứT aT dV kT b) TdS = CP dT - a TVdP Hng dn: S dng tớnh cht ca vi võn ton chnh df = ảf ảf dx + dy ri dựng tớnh cht ảx ảy ổ ảx ổ ảy ổ ảz sau ca cỏc bin c lp ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ = -1 biu din cỏc o hm riờng phn qua ố ảy ứ z ố ảz ứ x ố ảx ứ y nhau, thay hm f bng S, cỏc bin x, y, z bng T, P, V c) S dng hai kt qu trờn chng minh CP - CV = TV a kT kT ổ ảP d) CP / CV = -V k T ỗ ữ = ố ảV ứ S k S e) Biu din CP , C V qua T, V, a, k T , k S Downloaded from https://sites.google.com/site/tuanphysics/ I.3 S dng kt qu I.2.c hóy chng minh a) H thc Mayer CP - CV = R vi mt mol khớ lý tng, ú R l hng s khớ i RT , vi i l s bc t ca phõn t khớ C i+2 v tỡm k S a) Hóy tỡm biu thc ca CP , CV T ú chng minh h s Poisson g = P = CV i I.4 Xột mt mol khớ lý tng cú ni nng E = b) S dng kt qu I.2.a,b tỡm biu thc ca entropi c) Tỡm biu thc ca cỏc hm th nhit ng F, G, H CHNG II: NHNG C S CA VLTK C IN II.1 Tỡm mt trng thỏi W( E ) ca mt ht chuyn ng t do: a) trờn mt on thng chiu di L b) trờn mt hỡnh vuụng LxL c) mt lp phng LxLxL II.2 nh lý Virian Ký hiu X l giỏ tr trung bỡnh ca mt i lng X Gi ta suy rng ca h l q1 , q1 , , q3 N v p1 , p1 , , p3 N nh lý Virial khng nh tng t vi pi qi ảH = q Hon ton ảqi ảH =q ảpi p kx a) Tỡm nng lng trung bỡnh ca dao t iu hũa mt chiu cú H = + 2m b) Tỡm nng lng trung bỡnh ca dao ng t cú th nng U = ax II.3 a) Chng minh rng tng thng kờ ca mt ht cú lng m chuyn ng t th V (2p mq )3/ tớch V cú dng Z = h3 b) Tỡm nng lng trung bỡnh ca ht theo q II.4 a) Tỡm tng thng kờ ca dao ng t cú Hamiltonian H ( p, q ) = p kq + 2m b) Tỡm nng lng trung bỡnh ca dao t iu hũa trờn II.5 a) Tỡm mt trng thỏi ca mt ht siờu tng i tớnh b giam th tớch V v cú Hamiltonian H = c p vi c l hng s cũn p l ln ng lng ca ht b) Tỡm tng thng kờ c) Tỡm nng lng trung bỡnh Hng dn: Nng lng trung bỡnh cú th d oỏn trc c bng cỏch s dng nh lut phõn b u nng lng theo cỏc bc t do, phn Nhit ng Lc Hc õy chỳng ta s tỡm li cỏc kt qu ú bng chng minh Thng kờ Downloaded from https://sites.google.com/site/tuanphysics/ 1) Thut toỏn c bn: (1) Hamiltonian H = H ( p, q ) ắắ đ W( H ) = ảG (2) ổ H ắắđ Z (V , q) = ũ exp ỗ ảH ố q ổy-H (3) (4) ắắ đ y = -q ln Z (V , q) ắắ đ r( H ) = exp ỗ ố q ữ W( H )dH ứ (5) ữ ắắđ F = ũ F ( H ).r( H ).W( H ).dH ứ 2) Trong mt s trng hp c bit Hamiltonian cú th tỏch bin H ( p, q) = T ( p) + U (q) thỡ cú th b qua bc (1) tớnh trc tip tng thng kờ bng tớch phõn theo khụng gian pha thay vỡ tỡm ổ T ( p) ổ U (q) mt trng thỏi v tớch phõn theo nng lng Z (V , q) = ũ exp ỗ ữ dp.ũ exp ỗ ữ dq q ứ q ứ ố ố 3) Nu i lng F l nng lng thỡ cũn cú cỏch tớnh nng lng trung bỡnh th l s dng ảy phng trỡnh Gibbs-Hlemholtz (b qua bc (4)): E = H = Y - q ảq 4) nh lý Virial chớnh l tng quỏt húa thng kờ ca nh lut phõn b u nng lng theo cỏc px2 px2 bc t NLH Vớ d H ( px ) = thỡ E = H = p dng nh lý Virial ta cú 2m 2m px px2 p p2 q ảH = px x = x = q Vy E = H = = : ng nng trung bỡnh ng vi mi bc ảpx 2m m m q kT = Trong VL thng kờ, nh lý Virial ch c phộp s dng d oỏn trc kt 2 qu, nu mun s dng nú trc tip thỡ phi chng minh t l 5) bi ta nhn thy Hamiltonian cha ln ca ng lng p = px2 + p y2 + pz2 nờn nu ly tớch phõn khụng gian pha ta cn chuyn t h ta Descart sang h ta cu ũ dp dp dp x y z đ ũ p cosJdpd Jd j = ũ 4pp dp ( J, j l cỏc gúc tng ng h ta cu s bin mt ly tớch phõn) CHNG III: NHNG C S CA VLTK LNG T ổ1 III.1 Bit ph nng lng ca dao t iu hũa cú dng En = hw ỗ + n ữ , n = 0,1, ố2 ứ a) Tỡm tng thng kờ ca dao t iu hũa b) Da vo phng trỡnh Gibbs-Helmhotz tỡm nng lng trung bỡnh ca dao t c) Chng minh rng trng hp hw = q thỡ nng lng trung bỡnh tr v kt qu c in, tc l cú giỏ tr bng q III.2 Tỡm mt trng thỏi ca mt ht chuyn ng t h th cao vụ hn v cú kớch thc: a) L b) LxL c) LxLxL Downloaded from https://sites.google.com/site/tuanphysics/ r III.3 Tỡm tng thng kờ v nng lng trung bỡnh ca mt nguyờn t cú mụ men t m t r trng ngoi H , bit rng mụ men ny ch cú th cú hai nh hng: song song cựng chiu v r song song ngc chiu vi H Hng dn: 1) Thut toỏn c bn v nguyờn tc ging nh chng trc: ảG (3) ổ E (1) (2) H ắắ đ { En } , g ( s, n) ắắ đ W( E ) = ắắđ Z (V , q) = exp ỗ - n ữ g ( s, n) ảE ố q ứ n ổ y - En (4) (5) ắắ đ y = -q ln Z (V , q) ắắ đ rn = exp ỗ ố q (6) ổ En ữ ắắđ F = Fn exp ỗ - q ứ ố n ữ g ( s , n) ứ 2) Bc (2) cú th b qua nu tng Z cú th tớnh c trc tip Cn n bc (2) nu nh tng Z khụng ly c trc tip m phi chuyn v tớch phõn theo nng lng 3) bc (1) tỡm ph nng lng phi luụn chỳ ý n s suy bin ca mc nng lng ú 4) Phng trỡnh Gibbs-Helmholtz cú th c s dng 5) nh lý Virial khụng ỳng vi h lng t 6) Kim tra gii hn c in: cho nhit cao thỡ kt qu lng t phi quay v giỏ tr c in tng ng CHNG IV: C S THNG Kấ CA NHIT NG LC HC IV.1 Mt h cú th mt N trng thỏi bt k Xỏc sut h trng thỏi th i l pi (i = 1,2,,N) Chng minh rng, phõn b xỏc sut ng vi cc i ca entropi cú dng sau p1 = p2 = = pN = 1/ N Tỡm giỏ tr ca entropi ú IV.2 Mt h cú th mt bn trng thỏi Ký hiu p1, p2, p3, p4 l xỏc sut h nm trng thỏi th 1, 2, 3, tng ng Cỏc trng thỏi ny khụng bỡnh ng m phõn b ca chỳng liờn h vi p1 + p2 + p3 + p4 = Tỡm phõn b xỏc sut cho entropi ca h cú giỏ tr cc i, tỡm giỏ tr cc i ú ảy ảq b) p dng cõu a) tớnh entropi ca dao ng t iu hũa lng t mt chiu IV.3 a) Chng minh h thc vi h trng thỏi cõn bng nhit ng S = - k Downloaded from https://sites.google.com/site/tuanphysics/ ổ y - En Hng dn: 1) s dng phõn b chớnh tc rn = exp ỗ ữ thay vo biu thc ca ố q ứ S = - k rn ln rn Sau ú s dng iu kin chun húa = rn v nh ngha nng lng n n trung bỡnh E = rn En chng minh S = n k (y - E ) q 2) Ly vi phõn ba biu thc trờn chng minh dS = k dE T ú q = kT q 3) Kt hp pt Gibbs-Helmholtz suy pcm IV.5 Tỡm entropi S(E,V,N) v nhit T ca khớ lý tng c in cú cha N ht khớ n nguyờn t th tớch V vi ni nng E khụng i Bit s ht N l rt ln Hng dn: Bi ny gn ging bi trc Bi trc l lng t cũn bi ny l c in Thay vỡ tớnh G ta tớnh th tớch khụng gian pha DG ng vi nng lng cho trc 1) Vit Hamiltoian qua cỏc ta H = H ( p1 , p2 , , p3 N ) Cho H = E xỏc nh mt pha 2) Cho H thay i DE ging phn tỡm mt trng thỏi, tỡm DG Chỳ ý cú c bin Dq v cụng thc tớnh th tớch lp cu khụng gian 3N chiu b sung toỏn ổ DG 3) S dng nh ngha S = k ln ỗ ữ cho h c in (khỏc vi lng t l phi chia cho s ố N! ứ hoỏn v) 4) S sng Stirling CHNG V KH Lí TNG r r V.1 a) Tớnh cỏc giỏ tr trung bỡnh ca cỏc i lng sau v , v , v , vx2 , v y2 , vz2 , 1/ v , r vx > , ú v l tc ca phõn t khớ lý tng c in khụng t trng lc b) Tớnh ln tc v p cú xỏc sut ln nht V.2 ỏnh giỏ nhit m ti ú tc cn quõn phng ca phõn t khớ Nit khớ quyn cú giỏ tr bng tc v tr cp II Bit phõn t lng M = 28 g/mol, R = 6400 km V.3 Mt khớ lý tng lng nguyờn t t bỡnh kớn hỡnh tr chiu cao h, ỏy S p sut ỏy di ca hỡnh tr l P0 , nhit ca khớ l T, phõn t lng l M Gi thit nhit T khụng ph thuc vo chiu cao a) Tỡm lng m ca khớ bỡnh b) Tỡm ni nng E v nhit dung ng tớch CV c) t bỡnh nm ngang trờn xe v cho xe chuyn ng vi gia tc a hng sang trỏi Tỡm ỏp sut khớ lờn hai ỏy bỡnh Coi rng nhit khớ khụng thay i Downloaded from https://sites.google.com/site/tuanphysics/ V.4 Xột mt khớ lý tng vựng khụng gian cú th tớch V Cỏc mc nng lng cú dng r rs e ( p) = a p vi a , s l cỏc hng s dng CMR ni nng E v ỏp sut P ca khớ liờn h vi theo biu thc PV = s E , ú s l mt hng s khụng ph thuc vo bn cht phõn b (Bose-Einstein, Fermi-Dirac hay Maxwell-Boltzmann) V.5 a) ỏnh giỏ nng lng Fermion i vi kim loi ng, coi rng cỏc electron chuyn ng t Khi lng riờng ca ng l 8920 kg/m3 Gi thit mi nguyờn t ng ch cho mt electron t nhit phũng cú th coi khớ electron trờn l suy bin c khụng? b) Tỡm nng lng trung bỡnh ng vi mi electron 0K V.6 Coi mt tri l plasma ch bao gm electron v proton T tỡm cỏc d kin lm bi toỏn a) Tỡm mc Fermi ca h cỏc electron mt tri b) Tỡm mc Fermi ca h cỏc proton H electron hay proton trờn cú suy bin khụng? V.7 Vi khớ electron t nhit rt thp, tỡm biu thc gn ỳng ca nhit dung riờng ng tớch HT - Downloaded from https://sites.google.com/site/tuanphysics/ CU HI ễN THI MễN VT Lí THNG Kấ Dnh cho chuyờn nghnh K thut Ht nhõn K57 Cỏc khỏi nim v h nhit ng, trng thỏi vi mụ, v mụ, thụng s trng thỏi, phng trỡnh trng thỏi Vớ d Cỏc thụng s trng thỏi c lp Cỏc hm th nhit ng Quan h gia cỏc th nhit ng v thụng s trng thỏi Cỏc h thc Maxwell Mụ t h nhiu ht bng c hc Hamilton c im ca h thng kờ so vi h c hc Khụng gian pha, qu o pha, im pha, th tớch pha Vớ d Xỏc sut trng thỏi, mt xỏc sut trng thỏi, hm phõn b, iu kin chun húa Tp hp thng kờ Gi thuyt egodic, trung bỡnh theo thi gian v trung bỡnh thng kờ Vớ d Cõn bng nhit ng, cỏc tớnh cht ca trng thỏi cõn bng Tớnh nhõn ca hm phõn b S ph thuc hm phõn b vo nng lng Vớ d Phõn b chớnh tc vi mụ c in, trng s thng kờ, mt trng thỏi, liờn h vi ni nng Chuyn sang lng t Phõn b chớnh tc c in, mụ un phõn b, tng thng kờ, nng lng t h kớn Phng trỡnh Gibbs-Helmholtz Chuyn sang lng t Phõn b chớnh tc ln, tng thng kờ suy rng, nng lng t h m Chuyn sang lng t Gii hn c in ca thng kờ lng t ễ pha Vớ d 10 Entropi thng kờ Phõn bit entropi thng kờ v entropi nhit ng Cng tớnh ca entropi Entropi nh hm trng thỏi 11 Nguyờn lý tng entropi, entropi cc i, cỏc quỏ trỡnh thun nghch v khụng thun nghch, vớ d Biu thc toỏn hc ca nguyờn lý nh lý Nernst 12 Nhit thng kờ iu kin cõn bng nhit ng ca h kớn, h m Quan h gia entropi v nng lng t do, ni nng 13 Khớ lý tng Biu din h khớ lý tng qua s chim H ht lng t ng nht S suy bin cỏc mc nng lng 14 Phõn b Maxwell theo vect tc, theo ln tc nh lut phõn b u nng lng Nhit dung riờng ng tớch ca khớ lý tng c in 15 Phõn b Boltzman Cụng thc khớ ỏp Phõn b Boltzman-Maxwell nh lý Virial nh lut Dulong-Petit 16 Phõn b Fermi-Dirac Ly vớ d cỏc h Fermion Húa th ca h Fermion Nng lng Fermi, b mt Fermi ca khớ in t kim loi iu kin suy bin ca khớ lng t Lý thuyt khớ Fermi cho ht nhõn 17 Phõn b Bose-Einstein Ly vớ d cỏc h Boson Húa th ca h Boson Hin tng siờu chy 20 Photon Bc x nhit ca vt en tuyt i Hm ph Cỏc nh lut Jeans-Rayleigh, Wien, Stefan-Boltzman So sỏnh s ging v khỏc ca phonon v photon Downloaded from https://sites.google.com/site/tuanphysics/