Vật lý thống kê - P3

Tài liệu tham khảo về đề thi môn Vật lý thống kê...

Chương 2: Trạng thái cân bằng

và các hàm trạng thái

Cân bằng trên biển của tàu lặn

2.1 – Trạng thái cân bằng

• Trạng thái cân bằng thống kê: Với hệ kín là trạng thái vĩ mô có số

trạng thái vi mô lớn nhất (Entropy thống kê cực đại hay vi phân toàn phần của nó bằng zero).

) 1 2 ( O

) 2 2 (

dn n

dV V

dU U

d

U , V n

, U n

Đơn giản ta xét hệ kín gồm 2 hệ con phân chia bởi vách nhiệt

Có ba dạng cân bằng (CB) thống kê: CB nhiệt, CB áp suất và CB thế hóa học

Mô tả hệ kín gồm 2 hệ con

Hệ 2 (n2 )

Hệ 1 (n1 )

2.1.1 – Cân bằng nhiệt

• Cân bằng thống kê nhiệt: hệ kín ngăn đôi với vách ngăn truyền

nhiệt, không di chuyển (V=const), không thẩm thấu (n=const)

Theo tính chất cộng entropy:

) 3 2 ( d

dU U

dU U

dU U

2

2 1

dU const

U U

U  1  2   1   2

Thay 2.5 vào 2.4:

0

dU U

U

2

2 1

1

1 U

2 1

2.1.1 – Cân bằng Nhiệt

• Ta định nghĩa nhiệt độ thống kê của các hệ kín là :

Mở rộng cho hệ kín gồm K hệ con CB ta có:

) 10 2 ( T

đo thực nghiệm là:

Với K là hằng số Boltzmann:

) 8 2

(2

1  



) 7 2 (

1 U

&

1

2 1

n , V 1

2

1     



) 10 2 ( K / J 10

38 , 1

B





2.1.1 – Cân bằng Nhiệt

Giả sử hệ 1 không cân bằng với hệ 2 (2 hệ không CB) Và ta có:

) 12 2 ( 0

dU U

Theo thời gian hệ sẽ đạt đến trạng thái cân bằng khi nhiệt độ

thống kê của 2 hệ con bằng nhau tức là entropy của hệ kín sẽ tăng lên cực đại:

Thay 2.11 vào 2.13: dU1  0 & dU2  0 ( 2 14 )

Hay là: 1 1 dU1 0 ( 2 13 )

2 1

(2

1  



Có thể nói: nội năng của hệ 1 tăng (nhiệt độ tăng) còn nội năng của hệ 2 giảm (nhiệt độ gỉam)

2.1.2 – Cân bằng cơ học

• Trường hợp khi vách ngăn truyền nhiệt, di chuyển (thể tích V của

từng hệ con thay đồi), nhưng không thẩm thấu (n=const) Theo

tính chất cực đại của entropy thống kê cả hệ:

Do hệ 1 cân bằng với hệ 2, tổng số hạng 1 và 3 bằng zero ta có:

) 15 2 ( 0

dV V

dU U

dV V

dU U

2

2 2

2

2 1

1

1 1

dV const

V V

V  1  2   1   2

Thay 2.17 vào 2.16:

0

dV V

V

2

2 1

( V

2 1

1 2

2 1

dV V

dV

2 1

1  



) 19 2

( V

&

2 n

, U 2

2 1

1 n

, U 1

2

1     



2.1.2 – Cân bằng cơ học

Giả sử hệ 1 không cân bằng cơ học với hệ 2 (2 hệ CB nhiệt và không CB cơ) Ngoài ra ta giả sử:

) 23 2 ( 0

dV V

Theo thời gian hệ sẽ đạt đến trạng thái cân bằng cơ học khi áp

suất thống kê của 2 hệ con bằng nhau tức là entropy của hệ kín

(2

1  



Có thể nói: Thể tích của hệ 1 giảm còn thể tích của hệ 2 tăng vì áp suất từ hệ 2 lớn hơn áp suất ở hệ 1

Mô phỏng cân bằng cơ học

2.1.3 – Cân bằng nồng độ hạt

• Trường hợp khi vách ngăn truyền nhiệt, di chuyển (thể tích V của

từng hệ con thay đồi) và thẩm thấu nhanh Theo tính chất cực đại của entropy thống kê cả hệ:

Do hệ 1 cân bằng nhiệt và cơ với hệ 2, ta có:

) 26 2 ( 0

dn n

dV V

dU U

dn n

dV V

dU U

2

2 2

2

2 2

2

2 1

1

1 1

1

1 1

dn const

n n

n  1  2   1   2

Thay 2.28 vào 2.27:

0

dn n

n

2

2 1

( n

2 1

1 2

2 1

dn n

dn

2 1

• Ta định nghĩa Thế hóa học thống kê của các hệ kín là :

Mở rộng cho hệ kín gồm K hệ con CB ta có:

Viết lại 2.29 :

Có thể nói: Khi hệ ở trạng thái CB nồng độ thì các thế hóa học thống kê của các hệ riêng lẻ là bằng nhau (Lưu ý thế hóa học cũng chỉ có ý nghĩa với hệ vĩ mô)

) 31 2

(2

1  



) 30 2

( n

&

2 V

, U 2

2 1

1 V

, U 1

2

1     



2.1.3 – Cân bằng nồng độ hạt

Giả sử hệ 1 không cân bằng nồng độ với hệ 2 (2 hệ CB nhiệt, CB

cơ nhưng không CB nồng độ) Ngoài ra ta giả sử:

) 34 2 ( 0

dn n

(2

1  



Kết luận: số hạt của hệ 1 tăng lên còn số hạt của hệ 2 giảm đi 

Số hạt chuyển từ nơi có thế hóa học lớn sang nơi có thế hóa học nhỏ

2.1.3 – Cân bằng nồng độ hạt

Mô phỏng cân bằng nồng độ hạt

2.2 Các hàm nhiệt động Entropy và nội năng

Vì entropy thống kê là hàm trạng thái nên vi phân toàn phần:

Theo định nghĩa nhiệt độ, áp suất và thế hóa học thống kê ta có:

Nếu hệ kín thì n =const

Nhân phải cho delta, chuyển vế ta tính được vi phân nội năng:

Kết luận: Nội năng hệ biến đổi do sự thay đổi số trạng thái vi mô (Entropy) do nhiệt và sự tác dụng công lên hệ

) 37 2 (

dn n

dV V

dU U

dU

1 d

d

dU       

) 40 2 ( dV d

dU      dUTheo nguyên lý 2 NDLH  Q  dA ( PdV ) ( 2 40 )

Bài tập 2.1

• Chứng minh đối với hệ kín (n không đổi) Từ bt 2.40

) 40

2 ( dV

d

dU     

S V

2.2 Các hàm nhiệt động

Nhiệt dung riêng

Từ đó biến thiên entropy thống kê có thể viết là:

Giữa Entropy thống kê và entropy nhiệt có quan hệ:

Trong đó:

Như vậy khi hạt không đổi thì nội năng là hàm của S và V

) 41 2

( T

Q dS

2 (

k

) 43 2 (

dV V

U dS

S

U dU

( V

U P

, S

U T

Bài tập 2.2

Chứng tỏ nhiệt dung đẳng tích của hệ như sau:

) 45

2

( T

U T

Q C

V V

V V

V

S

U T

: insert

T

U T

S S

U T

S T T

Q C

2 ( PV

U

) 48

2

( P

W V

&

S

W T

2 ( VdP

TdS VdP

PdV dU

Bài tập 2.3

P

V P

( T

W T

Q C

P P

P P

P P

P V

dS

dW T

: insert

) 49 2

( T

W dT

dS dS

dW dT

dS T T

Q C

2.3 Năng lượng tự do (Helmholtz) F

Định nghĩa là:

Vi phân toàn phần là:

Như vậy W là hàm của T và V và ta có:

Trong trường hợp thể tích V và nhiệt độ T là hai biến độc lập thì nên xác định hàm F qua đó tính được P và S dễ dàng

) 50 2 ( TS

U

F  

) 52 2

( V

F P

&

T

F S

SdT SdT

TdS dU

dF     

Bài tập 2.4

V

P V

2 ( P

V

T

V P

S T

C C

T

P

V P

Bài tập ôn 2.4

• Chứng minh Với khí lý tưởng (Đẳng nhiệt –

Entropy không đổi) ta có P.V = const

 P V   P V  ( 2 58 ) V

dV P

dP :

ergal

int

V

dV P

dP P

V

1 P

V

1 P

V :

56 2 from

P

V RT

P

m P

V RT

P

m V

RT

m V

P int;

H

0 0

2 T

Định thức Jacobi

• Định nghĩa: Cho f, g là hai hàm của x, y

• Định thức Jacobi cho hai hàm f,g là:

) 54 2 ( y

g x

g

y

f x

f

) y , x (

) g , f (

Bài tập 2.5

• Chứng minh:

) y , x (

) f , g

( )

y , x (

) g , f

f )

y , x (

) y , f

) s , t

( ) s , t (

) g , f

( )

y , x (

) g , f

) t

g ,

f

(

) y , x (

) g

, t

f ( )

y , x (

) g , f

( dt

Bài tập ôn 2.5

• Chứng minh hệ thức: 1 ( 2 . 59 )

) V , P (

) S , T

P V

T )

V , P (

) S , V

( ) S , V (

) S , T

( )

V , P (

) S , T (

S

P V

T

PdV TdS

dU :

int H

Các công thức cần nhớ khi hệ hạt không đổi

) 44 2

( V

U P

, S

U T

( P

W V

&

S

W T

( V

F P

&

T

F S

2 ( PV

U

) 50

2 ( TS

U

) 40 2 ( )

PdV (

dA Q

dU   

2.4 Hệ thay đổi số mật độ hạt

• Xét lại 2.39 dU   d   PdV   dn ( 2 39 )

) 58 2 ( dn

VdP SdT

d

) 57 2 ( dn

PdV SdT

dF

) 56 2 ( dn

VdP TdS

dW

) 55 2 ( dn

PdV TdS

2

( n

n

F n

W n

U

P,TV

,TP

,SV

Bài tập ôn 2.7

Chứng minh hệ thức nhiệt động :

Hint:

) 63 2

( T

U T

) T

F (

) 62 2

( T

W T

) T (

2 P

2 P

( T

W T

T T

F

T

) T

( T

W T

) TS PV

U ( ST

T

ST T

T T

T

) T

(

)

1

2 2

V P

2 2

2 2

V P

Thế nhiệt động

  trong biểu thức 5.58 gọi là thế nhiệt động

là hàm theo 3 biến (T,P,n)

• Khi ở cần bằng nhiệt T = HS, P=HS, nên n

là biến có tính cộng được Ngoài ra hàm

Quan sát thế năng chất lỏng

Bài tập ôn 2.3

• Chứng minh hệ thức:

)55.2(V

PT

PC

T1

CC

T

2

V V

V P

T

V T

V

P

T

V T

T T

P

T

P V

F T T

F V V

S

V

F P

; T

F S

PdV SdT

dF

beside

) 56 2 ( V

P T

P V

S T C

C

V P T

P V

S V

P T S

) V , T (

) P , T (

) V , T

(

) P , S

Bài tập ôn 2.6

• Entropy của một chất khí pt 2 chiều trên diện tích

A tuân theo công thức:

N là số phân tử, U là nội năng, m là khối lượng

phân tử Tính nhiệt độ T, thế hóa học của chất khí

) 60 2 ( 2

) N

2

mU ln(

N

A ln NK

)(

T mK

2 ( n T K

) A

N ( n T

K N

S T

NK

U T

U

NK U

S T

1 : int H

B

2 B

B U

, V

B

B N

, V

Bài tập ôn 2.8

• Xét hệ gồm N hạt từ tính có momen từ  bằng nhau

n1, momen từ hướng lên, n2 momen từ hướng

xuống Hệ ở trạng thái CB ở nhiệt độ T Cho biết

spin S của hệ bằng:

• X = U/n U là nội năng,  = B chứng minh:

) 62 2 (

) T K

B tanh(

N n

n

S

B

2 1

( 2

x

1 ln 2

x

1 2

x

1 ln 2

x

1 NK

.N)

nn

(T

K

BTanh

N

)nn

(

B)

nn

(B

.nB.nU

otherwise

TK

BTanh

B.NU

TK

Tanh

N

U

N

Ux

cesin

TK

Tanhx

(*)From

(*)x

1

x1n2

KT

1x

1

x1n2

N

Kx

S

SFrom

.N

1x

SU

xx

SU

ST

1

B

2 1

B

2 1

2 1

2 1

B

B B

B B

V

V V

V





Bài tập ôn về nhà

• Chứng minh hệ thức nhiệt động:

T P

2 V

P

P

V V

1

&

T

V V

1

: With

TV C

Củng cố và trao đổi