Vật lý thống kê - P7

Tài liệu tham khảo về đề thi môn Vật lý thống kê...

Chương 6: Thăng Giáng KEĐại cương Thăng GiángSự sai lệch khỏi giá trị trung bình của một đại lượng vật lý (khi hệ ở trạng thái cân bằng)Thăng giáng xảy ra liên tục theo thời gian và mang tính ngẫu nhiênNhiệt động học bỏ qua thăng giáng vì nó nhỏ hơn rất nhiều so với trị trung bình, ta chỉ xét Thăng giáng trong vật lý thống kê 6.1 – Các công thức•Độ Lệch khỏi trị trung bình:)1.6(YYY −=δLấy trung bình của độ lệch khỏi trị trung bình :Thăng giáng được Định nghĩa là căn bậc hai của phương sai:Thăng giáng tương đối Trị trung bình của bình phương độ lệch thì có giá trị khác không ta gọi là phương sai - Chương 0):)4.6()Y(Y2δ=∀)2.6(0YYYYY =−=−=δ( ))3.6(YYYYY2Y)YY(Y222222−=+−=−=δ)5.6(%100YY(%) =∀=ε 6.2 – Thăng giáng theo phân bố Gauss•Mục đích phần này là tìm hàm phân bố xác suất của các giá trị thăng giáng rất nhỏ và khác nhau. Giả sử hệ đang ở trạng thái cân bằng, Hàm phân bố thăng giáng tỉ lệ với entropy thống kê {σ(x)} • Như vậy xác suất để x có giá trị trong khoảng x  x+dx sẽ là:)6.6()}x(exp{.A)x( σ=ρXét các thăng giáng ε rất nhỏ, khai triển σ(x) thành chuỗi lũy thừa )7.6(dx)}.x(exp{.Adx).x(σ=ρEntropy cực đại khi mà x = trung bình của x nên:)8.6(0x&;0xXX22XX<∂σ∂=∂σ∂== Tích phân GaussGaussian integralhttp://www.umich.edu/~chem461/Gaussian%20Integrals.pdf 6.2 – Thăng giáng Gauss•Khai triển và dừng ở số hạng bậc hai)9.6( .)xx](x)x([!31)xx](x)x([!21)x()x(333222+−∂σ∂−+−∂σ∂−−σ=σThông thường ta ký hiệu hằng số dương Beta là:)10.6(x)}x({22∂σ∂−=βA được tính từ ĐKCH là:Thay BT 6.9 và 6.10 và viết lại hàm phân bố:)12.6(2A1dx}2)xx(exp{Adx)x(2πβ=→=−β−=ρ∫∫∞∞−)11.6(dx)2)xx(exp(.A))x((2−β−=σρ 6.2 – Thăng Giáng GaussThay vào Hàm phân bố Gauss tường minh:)13.6(dx).2)xx(exp(2dx)x(2−β−πβ=ρPhân bố này có cực đại tại x = trung bình của xBài tập1: Hãy tính bình phương của trung bình độ lệch)14.6(1212x)xx(Gaussiandu).2u.exp(u)xx(dxdu)xx(u:iablevarnewtoChangedx).2)xx.(exp()xx()xx(2222222β=βπβπβ=∀=−β−=−→=→−=−β−−=−∫∫∫∞∞−∞∞− 6.2 – Hàm phân bố Gauss•Thay vào biểu thức hàm phân bố:Bài tập: Xem file dữ liệu là các thăng giáng theo thời gianHãy tính trị trung bình của bình phương các thăng giáng đó ?Tính thăng giáng tương đối % Viết biểu thức tường minh của hàm phân bố Gaussian ? )16.5()x(Lx1eeee)x.uexp(x1)x.uexp(x1)x.uexp(xucosxxxx1111211=−−+=−=θ−−−−−)15.6(}x2)xx(exp{x21)x(:ondistributiGaussian2∀−+∀π=ρ 6.4 – Thăng giáng năng lượng hệ chính tắc•Xét hệ cân bằng với bình nhiệt ở nhiệt độ T (hằng số), không có thăng giáng. Tuy nhiên năng lượng thì có thăng giáng do hệ trao đổi nhiệt với nguồn. Khi đó ta xét hàm phân bố theo năng lượngNăng lượng trung bình được tính bởi: ∑α=−=αα=−=ρnnBnBnn}Eexp{z&TK1with)17.6(}Eexp{z1}TKEexp{z1)E()18.6(zz1z)E(E)E(EE)Eexp(E}Eexp{z:fromnnnnnnnnnnnα∂∂=αρ=ρ=→α=αα∂∂=α∂∂∑∑∑∑ Bài Tập)19.6(zz1z}Eexp{EE2nn2n2α∂∂=α=∑( )}zz{z1E)20.6(EEE22222α∂∂−α∂∂=∀→−=∀•Tính giá trị trung bình của bình phương năng lượng?•Tính Thăng giáng năng lượng Bài Tập)21.6(CTKEV2B=∀•Chứng minh rằng thăng giáng thỏa BT:•Theo 6.192BV2BV222222TKCEETK1ETETEC:But)23.6(Ezz{z1E}zz{z1E=∀=α∂∂→α∂∂=∂α∂α∂∂=∂∂=α∂∂=α∂∂−α∂∂=∀→α∂∂−α∂∂=α∂∂ [...]... Gauss Gaussian integral http://www.umich.edu/~chem461/Gaussian%20Integrals.pdf 3.7 – Áp dụng PT Liouville )29.3(0)M.HMHM.M(:rewrite =ξ−ξ  Ở trạng thái cân bằng – Ma trận thống kê không phụ thuộc t Về hình thức, ta tạo ra tốn tử ma trận thống kê dưới dạng sau: )30.3( M)C( nn2n1n 212221 n11211 nn ξξξ ξξξ ξξξ ≡ξ→ϕξ  6.2 – Thăng giáng Gauss • Khai triển và dừng ở số hạng bậc hai )9.6( )xx]( x )x( [ !3 1 )xx]( x )x( [ !2 1 )x()x( 3 3 3 2 2 2 +− ∂ σ∂ −+− ∂ σ∂ −−σ=σ Thông... Tr trung bỡnh ca àz ã Thay hm phõn b ta cú )34.5( ) TK HMg exp( ) TK HMg exp(M g J JM B JB J JM B JB J BZ j j = = à + à + à=à ã iu kin thng H=10 4 oe, T=300 K, g.M j 1 ã à B = 10 -2 0 (erg/oe), K B = 10 -1 6 (erg/ 0 K) )35.5(110 TK HMg 2 B JB <<= à ã Trin khai hàm exp và chỉ giữ lại số hạng tuyến tính )36.5( ) TK HMg 1( ) TK HMg 1(M g J JM B JB J JM B JB J BZ j j ∑ ∑ −= −= µ + µ + µ=µ ... theo phân bố Gauss • Mục đích phần này là tìm hàm phân bố xác suất của các giá trị thăng giáng rất nhỏ và khác nhau. Giả sử hệ đang ở trạng thái cân bằng, Hàm phân bố thăng giáng tỉ lệ với entropy thống kê {σ(x)} • Như vậy xác suất để x có giá trị trong khoảng x  x+dx sẽ là: )6.6()}x(exp{.A)x( σ=ρ Xét các thăng giáng ε rất nhỏ, khai triển σ(x) thành chuỗi lũy thừa )7.6(dx)}.x(exp{.Adx).x( σ=ρ Entropy... 6.19 2 BV 2 B V 2 2 2 2 2 2 TKCE E TK 1E T E T E C:But )23.6( Ezz { z 1 E } zz { z 1E =∀= α∂ ∂ → α∂ ∂ = ∂ α∂ α∂ ∂ = ∂ ∂ = α∂ ∂ =       α∂ ∂ − α∂ ∂ =∀→       α∂ ∂ − α∂ ∂ = α∂ ∂ Triển khai Công Thức Euler 6.4 – Thăng giáng số hạt của hệ chính tắc suy rộng • Khi số hạt có thăng giáng, tổng thống kê tính bởi: Ta xét hàm thế : )27.6(} TK EN exp{Z n,N B N,n ∑ −µ = )28.6()ZlnTK(N} TK EN exp{N } TK EN exp{TK)ZlnTK( } TK EN exp{nTKnZTK B n,N B N,n n,N B N,n BB n,N B N,n BB µ∂ ∂ ==         −µ = =         −µ µ∂ ∂ = µ∂ ∂ = µ∂ Ω∂ →         −µ ==Ω ∑ ∑ ∑  . nhỏ hơn rất nhiều so với trị trung bình, ta chỉ xét Thăng giáng trong vật lý thống kê 6.1 – Các công thức•Độ Lệch khỏi trị trung bình:)1.6(YYY −=δLấy. KEĐại cương Thăng GiángSự sai lệch khỏi giá trị trung bình của một đại lượng vật lý (khi hệ ở trạng thái cân bằng)Thăng giáng xảy ra liên tục theo thời gian