Vật lý thống kê - P5

Tài liệu tham khảo về đề thi môn Vật lý thống kê...

Chương 4: Các phân bố thống

kê lượng tử

KE

4.1 – Phân bố chính tắc lượng tử

• Phương pháp thống kê lương tử: Được tìm bằng cách

lượng tử hóa năng lượng, số hạt và sử dụng toán tử

phân bố (đây là toán tử với biến là toán tử năng lượng)

) 1 4 ( Nˆ

N

&

Hˆ

Trước hết ta xét các hàm phân bố cổ điển rồi

lấy toán tử của nó.

Hàm phân bố chính tắc cổ điển có dạng:

) 2 4 (

) x ( E

F exp

)]

x ( E

F exp

] Hˆ [(

) x (

E )

x ( Hˆ

nm m

n

i n

n i

4.1 – Phân bố chính tắc lượng tử

• Phần tử ma trận chéo của toán tử xác suất liên quan xác suất tìm thấy hạt ở năng lượng tương ứng :

) 5 4 ( dx

) x ( ˆ

) x (

/ ˆ /

i i

k i

* k

k k

Hˆ exp

.

F exp

)]

x ( E

Khai triển hàm mủ exp(x)

) E (

) 8 4 ( /

Pˆ / )

E (

n k

k k

k kk

Hˆ

! J

1

F exp

)]

x ( E [(

J

1 J

4.1 – Phân bố chính tắc lượng tử (Ribbs quantum distribution)

• Tính lại phần tử ma trận chéo của toán tử xác suất:

) 9 4 ( dx

) x (

Hˆ

! J

1 ).

F exp(

) x (

/ ˆ /

i i

k

J

1 J i

*

k

k k

E ( Hˆ )

Hˆ ( Hˆ Hˆ

K

J n K

J

K

2 K K

K K

K 2

4.1 – Phân bố chính tắc lượng tử (Ribbs quantum distribution)

Đưa hàm riêng ra ngoài dấu tổng và viết lại

Đưa kết quả 4.10 vào 4.9 và viết lại ta được:

) 11 4 ( dx

) x (

E

! J

1 ).

F exp(

) x

1 J

i k

J K i

* k

E

F exp(

dx ) x ( )

E

F exp(

) x (

dx ) x (

E

! J

1 )

F exp(

) x (

K i

i K

K i

*

K

i i

K 1

J

J K i

* K KK

Photo of Ribbs and Ribbs distribution

]

E

F exp[

) E

(

n

k KK

Bài tập

• Xét hệ hạt electron ở hố thế một chiều :

) a

x

n sin(

a

2 )

Hệ ở trạng thái CB nhiệt ở nhiệt độ phòng

300K Năng lượng Fermi thống kê F của các hạt ứng với mức n-5, tính xác suất của hệ hạt ứng với các mức năng lượng n = 1, 2, 3, 4

Cho biết a=0,1 nm:

Với K là hằng số Boltzmann:

K /

J 10

38 , 1

KB 23 0



2

2 n

ma 2

) n

(

E   

4.2 – Tổng thống kê chính tắc LT

• Kết luận: Thống kê chính tắc lượng tử có

dạng:

) 13

4 ( 1

) E

(

1 K

4 ( )

E

F exp(

) E

K KK

Fexp

E

Fexp

1 K

K n

1 K

4 (

F exp

E exp

Q n

1 K

4.2 – Tổng thống kê chính tắc LT

• Từ tổng thống kê chính tắc lượng tử ta tính được NL Fermi F:

) 17 4 ( )

E exp(

g

1 K

K n

4 ( Q

ln

F   

)15.4(

Fexp

Eexp

1 K

Bài Tập Theo kết quả bài toán DĐĐH

Giải bài toán dao động tử điều hòa 3D: Trước hết xem lời giải nghiệm hàm sóng

và năng lượng:

Kết quả: nghiệm có yếu tố thời gian m( x , t )  um( x ) exp(  iEmt )

Kết quả: cho trường hợp 3D hạt trong hộp vuông

2 2 2

2 2

2 3

2

2

1 y

m 2

1 x

m 2

1 ) z ( U )

y ( U )

x ( U )

z , y

nx N

(

) 2

3 nz

ny nx

(

) z ( Z ).

y ( Y ).

x ( X

) x , y , x

nz , ny ,



Kết quả: Về hàm sóng phụ thuốc vào việc chon nx, ny, nz

Lúc này có sự suy biến: Cùng một mức năng lượng sẽ có

nhiều trạng thái khác nhau do các giá trị nx, ny và nz tạo ra.

3 2 (

EN

Phần thực hiện

• Từ bài toán dao động tử điều hòa 3D:

• Tính số trạng thái khi N=1,2,3,4

• Tính tổng thống kê chính tắc khi hệ có thể ở 4 mức năng lượng khác nhau

(N=1, 2, 3, 4) cho biết tần số dao động

• Từ đó tính năng lượng Fermi F (CT 4.16)

4.3 – Phân bố chính tắc

suy rộng lượng tử

• Khảo sát hệ chính tắc suy rộng: Hệ cân bằng nhiệt với

bình nhưng có năng lượng và số hạt có thể thay đổi Xem lại Hàm phân bố chính tắc suy rộng cổ điển

) 18 4 ( )

E

N exp(

) N , E

Hˆ

Nˆ exp

] Nˆ , Hˆ [(

B GIAO HOÁN TỬ

1 Định nghĩa:

Aˆ Bˆ Bˆ

.

Aˆ 

0 )

yz 2

( dx

d )}

z y x

2

( dy

d { dx

d )

z y x

2 ( Bˆ

zˆ , yˆ ,

xˆ

dy

d Bˆ

; dx

d

Aˆ  

2 Các toán tử giao hoán được

z y x

2 )

z , y , x (

0 )

2

( dy

d )}

z y x

2

( dx

d { dy

d )

z y x

2 ( Aˆ

dz

d

; dy

d

; dx

d

2

2 2

2 2

2

dz

d

; dy

d

; dx

d

x y

; y x

2 2

d

;

y dx

d

;

z y

; y x

2 2

Ôn lại về giao hoán tử

• Lưu ý quang trọng : Nếu 2 toán tử giao hoán nhau thì

• 2- trị riêng là xác định đồng thời

4.3 – Biểu thức phân bố chính tắc

suy rộng lượng tử

• Vì số hạt của hệ và năng lượng

của hệ là có thể đo độc lập nên

hai toán tử số hạt và toán tử

năng lượng là giáo hoán nên:

) 21 4 ( dq

.

) 20 4 ( N

Nˆ

) 19 4 ( E

Hˆ

' NN '

nn N

, n N , n

*

N , n n N

, n

N , n N , n N

, n

đặc trưng cho trạng thái lượng tử của hệ, N n là số hạt

ứng hàm sóng thứ n Phần tử đường chéo của NT TK:

) 22 4 ( dq

).

T K

E

N exp(

.

/ / ]

N

; E

[

* N ,

n B

N , n

* N , n

N , n

* N , n N

, n

N exp(

) exp(

1 )

E

N exp(

) exp(

)

E

N exp(

1 )

N , E (

N , n

N , n N

, n

N ,

n N

Z ( n T K

) 24 4

( T

K

E xp

e

T K

N xp

e T

K

E

N xp

e Z

B

B

N , n n

B N

B

N , n N

, n

4.3 – Phân bố chính tắc

suy rộng lượng tử

• Khảo sát hệ chính tắc suy rộng: Hệ cân bằng nhiệt với bình nhưng

có năng lượng và số hạt có thể thay đổi Xem lại Hàm phân bố

chính tắc suy rộng cổ điển

) 18 4 ( )

E

N exp(

) N , E

Trước hết ta xét các hàm phân bố cổ điển rồi lấy toán tử của nó.

Hàm phân bố chính tắc cổ điển có dạng:[( E ( x )] exp F E(xi) ( 4 2 )

F là thế nhiệt động, của hệ,  là nhiệt độ thống kê, x i các tọa độ

Khi chuyển sang toán tử năng lượng ta có toán tử thống kê:

) 3 4 (

Hˆ

F exp ]

Hˆ [(

) x (

E )

x ( Hˆ

nm m

n

i n n i