Vật lý thống kê - P5

Tài liệu tham khảo về đề thi môn Vật lý thống kê...

Chương 4: Các phân bố thống kê lượng tử KE 4.1 – Phân bố chính tắc lượng tử•Phương pháp thống kê lương tử: Được tìm bằng cách lượng tử hóa năng lượng, số hạt và sử dụng toán tử phân bố (đây là toán tử với biến là toán tử năng lượng). )1.4(NˆN&HˆE →→Trước hết ta xét các hàm phân bố cổ điển rồi lấy toán tử của nó.Hàm phân bố chính tắc cổ điển có dạng:)2.4()x(EFexp)]x(E[(iiθ−=ρ 4.1 – Phân bố chính tắc lượng tửToán tử Hamilton có các hàm riêng ϕn và các trị riêng EnF là năng lượng tự do của hệ, θ là nhiệt độ thống kê, xi các tọa độ Khi chuyển sang toán tử năng lượng ta có toán tử thống kê:)3.4(HˆFexp]Hˆ[(ˆθ−=ρ)4.4(/)x(.E)x(Hˆnmmninninδ>=ϕϕ<ϕ=ϕ 4.1 – Phân bố chính tắc lượng tử•Phần tử ma trận chéo của toán tử xác suất liên quan xác suất tìm thấy hạt ở năng lượng tương ứng :)5.4(dx)x(ˆ)x(/ˆ/iiki*kkkkkϕρϕ=>=ϕρϕ=<ρ∫Để tính phần tử ma trận, ta viết 4.2 ở dạng như sau:)6.4(Hˆexp.Fexp)]x(E[(iθθ=ρ Khai triển hàm mủ exp(x) 4.1 – Phân bố chính tắc lượng tửKý hiệu phần tử chéo:Khai triển số hạng thứ hai của vế phải 4.6 và viết lại ta được:]EFexp[)E()8.4(/Pˆ/)E(nkkkkkkθ−=ρ>ϕϕ=<ρ=ρ)7.4(Hˆ!J1.Fexp)]x(E[(J1Jiθ−θ=ρ∑∞= 4.1 – Phân bố chính tắc lượng tử(Ribbs quantum distribution)•Tính lại phần tử ma trận chéo của toán tử xác suất:)9.4(dx)x(Hˆ!J1).Fexp()x(/ˆ/iikJ1Ji*kkkkkϕθ−θϕ>=ϕρϕ=<ρ∑∫∞=Chú ý tích của toán tử H nhiều lần (thí dụ J=2):( )( ))10.4(EHˆE)E(Hˆ)Hˆ(HˆHˆKJnKJK2KKKKK2ϕ=ϕ→ϕ=ϕ=ϕ=ϕ 4.1 – Phân bố chính tắc lượng tử(Ribbs quantum distribution)Đưa hàm riêng ra ngoài dấu tổng và viết lạiĐưa kết quả 4.10 vào 4.9 và viết lại ta được:)11.4(dx)x(.E!J1).Fexp()x(i1JikJKi*kkkϕθ−θϕ=ρ∑∫∞=)12.4()EFexp(dx)x()EFexp()x(dx)x(E!J1)Fexp()x(KiiKKi*KiiK1JJKi*KKKθ−θ=ϕθ−θϕ=ϕθ−θϕ=ρ∫∑∫∞= Photo of Ribbs and Ribbs distribution ]EFexp[)E(nkKKθ−==ρ=ρ Bài tập•Xét hệ hạt electron ở hố thế một chiều :)axnsin(a2)x(nπ=ϕTKB=θ Hệ ở trạng thái CB nhiệt ở nhiệt độ phòng 300K. Năng lượng Fermi thống kê F của các hạt ứng với mức n-5, tính xác suất của hệ hạt ứng với các mức năng lượng n = 1, 2, 3, 4Cho biết a=0,1 nm: Với K là hằng số Boltzmann:K/J10.38,1K023B−=22nma2)n(Eπ= [...]... được: ] EF exp[)E( )8.4(/P ˆ /)E( n k kkkkk θ − =ρ >ϕϕ=<ρ=ρ )7.4( H ˆ !J 1 . F exp)]x(E[( J 1J i         θ −       θ =ρ ∑ ∞ = Photo of Ribbs and Ribbs distribution ] EF exp[ )E( n kKK θ − = =ρ=ρ 4.2 – Tổng thống kê chính tắc LT • Kết luận: Thống kê chính tắc lượng tử có dạng: )13.4(1)E(S K n 1K KK =ρ=ρ ∑ = Theo tính chất của ma trận thống kê (Điều kiện chuẩn hóa) )12.4() E F exp()E( K KKK θ − θ =ρ=ρ 4.1 – Phân bố chính tắc lượng tử • Phần tử ma trận chéo của toán tử... có dạng: )2.4( )x(EF exp)]x(E[( i i       θ − =ρ Tốn tử Hamilton có các hàm riêng ϕ n và các trị riêng E n F là thế nhiệt động, của hệ, θ là nhiệt độ thống kê, x i các tọa độ Khi chuyển sang tốn tử năng lượng ta có tốn tử thống kê: )3.4( H ˆ F exp]H ˆ [( ˆ         θ − =ρ )4.4(/ )x(.E)x(H ˆ nmmn innin δ>=ϕϕ< ϕ=ϕ Bài Tập Theo kết quả bài toán DĐĐH Giải bài toán dao động tử... triển hàm mủ exp(x) 4.1 – Phân bố chính tắc lượng tử Tốn tử Hamilton có các hàm riêng ϕ n và các trị riêng E n F là năng lượng tự do của hệ, θ là nhiệt độ thống kê, x i các tọa độ Khi chuyển sang tốn tử năng lượng ta có tốn tử thống kê: )3.4( H ˆ F exp]H ˆ [( ˆ         θ − =ρ )4.4(/ )x(.E)x(H ˆ nmmn innin δ>=ϕϕ< ϕ=ϕ 4.3 – Phân bố chính tắc suy rộng lượng tử • Khảo sát hệ chính... dạng: )2.4( )x(EF exp)]x(E[( i i       θ − =ρ Bài tập • Xét hệ hạt electron ở hố thế một chiều : ) a xn sin( a 2 )x( n π =ϕ TK B =θ Hệ ở trạng thái CB nhiệt ở nhiệt độ phòng 300K. Năng lượng Fermi thống kê F của các hạt ứng với mức n-5, tính xác suất của hệ hạt ứng với các mức năng lượng n = 1, 2, 3, 4 Cho biết a=0,1 nm: Với K là hằng số Boltzmann: K/J10.38,1K 023 B − = 2 2 n ma2 )n( E π = nx ny nz Trạng... được: )11.4(dx)x(. E !J 1 ). F exp()x( i 1J ik J K i * kkk               ϕ θ − θ ϕ=ρ ∑ ∫ ∞ = )12.4() E F exp(dx)x() E F exp()x( dx)x( E !J 1 ) F exp()x( K iiK K i * K iiK 1J J K i * KKK θ − θ =ϕ       θ − θ ϕ= ϕ               θ − θ ϕ=ρ ∫ ∑ ∫ ∞ = 4.1 – Phân bố chính tắc lượng tử • Phương pháp thống kê lương tử: Được tìm bằng cách lượng tử hóa năng lượng, số hạt và sử dụng tốn tử phân bố (đây là toán tử với biến là toán tử năng lượng). )1.4(N ˆ N&H ˆ E →→ Trước hết ta xét các hàm phân bố . 4.2 – Tổng thống kê chính tắc LT•Kết luận: Thống kê chính tắc lượng tử có dạng:)13.4(1)E(SKn1KKK=ρ=ρ∑=Theo tính chất của ma trận thống kê (Điều kiện. năng lượng tự do của hệ, θ là nhiệt độ thống kê, xi các tọa độ Khi chuyển sang toán tử năng lượng ta có toán tử thống kê: )3.4(HˆFexp]Hˆ[(ˆθ−=ρ)4.4(/)x(.E)x(Hˆnmmninninδ>=ϕϕ<ϕ=ϕ