Đang tải... (xem toàn văn)
BÀI 1. Dựa vào định lý Virian. Hãy tính năng lượng của dao động tử phi điều hòa có thể năng Ut =ax4BÀI 2. Coi các dao động của nguyên tử của vật rắn là phi điều hòa có thế năng a)Tìm năng lượng trung bình của năng lượng nói trên.b)Tìm nhiệt dung riêng CvCâu 4: Tìm nhiệt dung riêng tự do của 1 mol khí có chuyển động tương đối tính ứng với xung lượng E=cp (Với c=3.108ms, P là xung lượng).Câu 5: Đặt 1 bình khí N hạt vào một trường thế có dạng . Trong đó là góc hợp bởi trục của phân tử và phương của trường. a) Tính tích phân trạng tháib) Tính năng lượng trung bìnhc) Tính nhiệt dung riêng
BÀI TẬP VẬT LÍ THỐNG KÊ TUẦN 10 Ý nghĩa nhiệt dung riêng Cv ? Ý nghĩa nhiệt dung riêng - Sự biến thiên nhiệt độ lớn nhiệt dung riêng Khi nhiệt dung riêng lớn biến thiên nhiệt độ nhỏ nhiệt lượng cung cấp phải lớn Nhiệt dung riêng khả tích trữ lượng - Khi thể tích không đổi -> áp suất không đổi -> CV số - Các môi trường vật chất khác CV khác - Nội Uc.rắn khác Uc.khí - Nhiệt dung riêng phụ thuộc vào chất chất khí, áp suất nhiệt độ chất môi giới - Thông thường bỏ qua phụ thuộc nhiệt dung riêng vào áp suất áp suất không lớn - Nhiệt dung riêng đẳng áp (Cp, C'p, Cμp): thay đổi nhiệt độ xảy điều kiện áp suất không thay đổi - Nhiệt dung riêng đẳng tích (CV, C'V, CμV): thay đổi nhiệt độ xảy điều kiện thể tích không thay đổi BÀI Dựa vào định lý Virian Hãy tính lượng dao động tử phi điều hòa Ut =ax4 Giải P2 E = H = Ed + U t = + ax 2m Với U t = ax Theo định lý phân bố động P2 Eđb = = k T 2m Tính ax theo định lý Virian ∂H qk = k bT ∂qk Với qk = x ⇔ ∂H x = kbT (1) ∂qk P2 H= + U t ( x ) ⇒ ax = ? 2m ∂H ⇒ = 4ax ∂x 1 (1) ⇒ x 4ax = kbT ⇒ ax = kbT 2 1 ⇒ E = Eđ + U t = kbT + kbT = kbT 4 Vậy lượng dao động điều hòa cần tìm có giá trị E = Eđt + U =b 1 k T +b k T =b k T 4 BÀI Coi dao động nguyên tử vật rắn phi điều hòa Ut = α x2 − β x4 a) b) Tìm lượng trung bình lượng nói Tìm nhiệt dung riêng Cv GIẢI a) Tìm lượng trung bình lượng nói E = Eđt + U Theo định lý phân bố động P2 Eđb = = kT 2m E=H = Vậy Tính giá trị 1 kbT + α x − β x = kbT + α x − β x 2 α x2 , β x4 theo định lý Virian ∂H qk = kbT ∂qk 1 x(2α x − β x3 ) = kbT 2 ⇔ α x − β x = kbT ⇔ α x = kbT + 2β x ⇔ Dựa vào hàm phân bố Boltzmann, ta có: => d ω ( x) = Be −α x + β x kbT dx d ω ( X ) = Be −U t kbT dX β x4 = +∞ +∞ −U t k bT ∫ β x d ω ( x) = β B ∫ x e −∞ −∞ −∞ Ut = α x2 − β x4 β x4 α x2 => e β x4 ≈ 1+ kbT +∞ β x4 4 β x = β B ∫ x 1 + ÷.e k T b −∞ −α x kbT dx Sử dụng công thức Possion: I 2n = +∞ ∫ x n e −α x dx = −∞ (2n − 1)!! π 2n α n +1 Giai thừa kép: 1 ⇔ n ≤ n!!= n(n − 2)!!⇔ n ≥ −α x kbT dx = β B ∫ x e P2 H = Eđ + U t = + α x2 − β x4 2m β x4 kbT +∞ e β x4 k bT dx (2.2 − 1)!! β x4 = β B 2 3!! ⇔ βx = βB 4 π 2.2 +1 α ÷ k T b β (2.4 − 1)!! + kbT 24 π (kbT )5 β 7!! π (kbT )9 + α5 kbT 16 α9 3.1!! ⇔ βx = βB 3 kb T kbT β 105 ⇔ βx = βB π π ÷ + ÷ α k T 16 α b kb T kbT 35 β ⇔ β x = β B π π ÷ + ÷ (*) α k T α b Từ điều kiện chuẩn hóa: +∞ −α x kbT β x4 ∫−∞ dω ( x) = ⇒−∞∫ Be 1 + kbT ÷ dx = −α x +∞ +∞ −α x β kb T k bT ⇔ B∫ e dx + xe dx = ∫ k T −∞ b −∞ +∞ ∫e Sử dụng công thức Possion: −∞ −α x dx = π α 2.4 +1 α ÷ k T b π ( kb T ) β 7.5.3.1!! π ( kbT )9 + α5 kbT 16 α9 +∞ π 5 k T β k T => B π b ÷ + π b ÷ =1 α kbT α k T β kbT −1 b ⇔ π π ÷+ ÷ =B α kbT α Thế vào (*), ta có: k bT kbT 35 β (*) ⇔ β x = β B π + π α ÷ kbT α ÷ k bT kbT 35β β π π ÷ + ÷ 4kbT α α ⇔ βx = kbT kbT β π + π α ÷ kbT α ÷ ⇔ β x4 = β 35β kbT π ÷ 1 + 4kbT α 3β kbT π π ÷ 1 + 4kbT α kbT 35β β ÷ 1 + α k bT ⇔ β x4 = 3β kbT 1+ 4kbT α Vì: β x β x = α ÷ 4 kbT π ÷ α kbT ÷ α kbT ÷ α ÷ Vậy lượng trung bình hệ: E=H = 1 kbT + kbT + 2β x − β x 2 E = kbT + β x 3β E = kbT + b) kbT ÷ α Tìm nhiệt dung riêng Cv Nhiệt dung riêng ∂U Cv = ÷ ∂T v Nội vật rắn: 3β k b T U = N E = N k bT + α Nβk b2T ⇒ CV = Nk b + α2 BÀI Tính xung lượng trung bình Áp dụng hàm phân bố Maxwell: Px , P, P khối khí lý tưởng d ω ( Xp) = Ae − p2 mK BT dXp dXp = dpx dp y dpz px = ∫ p A.e x − px 2 mK B T Xp dpx = A ∫ px e Từ điều kiện chuẩn hóa: ∫ Ae − p2 mkBT dX p = X dX p = p dp sin θdϕ = 4πp dp ⇒ ∫ Ap e ⇔ ∫ p 2e − − p2 mkBT p2 mkBT dp = dp = A−1 Sử dụng công thức Poat-xong: +∞ n −αx ∫ x e dx = −∞ (2n − 1)!! π 2n α n+1 (2.1 − 1)!! π ( 2mkBT ) ⇔ A−1 = π ( 2mkBT ) ⇒ A−1 = Xp − px 2 mK BT dpx Tính px = ? p x = A∫ p x e − px2 mkBT dp x Sử dụng công thức Poat-xoong: +∞ n +1 −αx ∫ x e dx = −∞ ⇒ px = ⇔ px = Tính n! α n+1 π (2mkBT ) 0!.( 2mkBT ) πmkBT p=? p = A∫ p e − px2 mk BT dp Sử dụng công thức Poat-xoong: +∞ n +1 −αx x ∫ e dx = −∞ n! α n +1 p= 1! π (2mk B T ) mk T B mk B T ⇔ p = 2π Tính p2 = ? p = A∫ p 4e − p2 mk B T dp Sử dụng công thức Poat-xoong +∞ n =αx x ∫ e dx = −∞ ⇒ p2 = (2n − 1)!! π 2n α n +1 π (2mk B T ) 3!! π ( ) = π mk T = 3mk B T B 4 5 π (2mk B T ) 2mk B T Câu 4: Tìm nhiệt dung riêng tự mol khí có chuyển động tương đối tính ứng với xung lượng E=cp (Với c=3.108m/s, P xung lượng) Giải: Khí chuyển động tương đối tính Hàm Hamiltonian hệ: H = E = cp Tích phân trạng thái: H cp − − 1 k BT θ Z= e dX = dX e dX p q∫ ∫ ∫ ( 2π ) X (2π ) V Mà: ∫ dX q = ∫ dq = V thể tích hệ dX p = p dp sin θdθdϕ = 4πp dp cp − k BT ⇒Z = V e dX p ∫ (2π ) cp −( ) k BT ⇒Z = V 4.π ∫ p e dp (2π )3 Áp dụng công thức Possion: +∞ n −αx x ∫ e dx = −∞ cp − k BT ⇒∫p e n! α n +1 k BT dp = = c c k BT 2! k BT ⇒Z = V π (2π ) c Do 3 U = ψ + TS F = ψ = −θ ln Z ∂ ∂ (ln Z ) ∂ψ S = − (−k B T ln Z ) = k B ln Z + k B T =− ∂T ∂T ∂T V ∂ (ln Z ) ∂ (ln Z ) ⇒ U = −k B T ln Z + k B T ln Z + k B T = k BT ∂T ∂T k T B ⇒ ln Z = ln V 8π (2π ) c kB ⇒ ln Z = ln V 8π + ln T c ( 2π ) U = k BT ∂ ln Z = k BT = 3k BT ∂T T Nhiệt dung riêng ∂U CV = = 3k B ∂T V Với hệ N hạt ta có U = 3N.kBT => Cv = 3kBN = 3R U t = −α cosϕ Câu 5: Đặt bình khí N hạt vào trường có dạng ϕ Trong góc hợp trục phân tử phương trường a) Tính tích phân trạng thái b) Tính lượng trung bình c) Tính nhiệt dung riêng Giải: a/ Tính tích phân trạng thái Hàm Haminltonian hệ: H= P2 P2 +Ut = − α cos ϕ 2m 2m Tích phân trạng thái hệ: Z= e ∫ N! X − H θ dX = e ∫ N! X P2 − P2 mθ − mθ ⇔Z= e dX + e p ∫ ∫ N! N! e α cos ϕ θ α cos ϕ θ dX dX q = I1 + I Tính: P2 − mθ I1 = e dX p ∫ N! Trong đó: dX p = P dP sin θdθdϕ = 4πP dP P2 − ⇒ I1 = 4π ∫ P e mθ dP N! Áp dụng tích phân Poat-xoong: I 2n = +∞ ∫ −∞ 2n x e −α x dx = (2n − 1)!! π 2n α n +1 ⇒ I1 = 1 π (2mk BT ) N! Tính: I2 = e N! ∫ Trong đó: α cos ϕ θ dX q dX q = dxdydz = r dr sin ϕdϕdθ ⇒ I2 = e N! ∫ α cos ϕ θ ⇔Z= e N! ∫ − ∞ ∞ r dr sin ϕdϕdθ = r dr ∫ e ∫ N! 0 P2 mθ dX p + ∫ e N! α cos ϕ θ α cos ϕ θ sin ϕdϕdθ = e N! dX q = I1 + I α cos ϕ 1 ⇔ Z = π (2mkBT )3 + e θ sin ϕdϕ N! N! α cos ϕ 1 ⇔ Z = π (2mkBT ) + e θ sin ϕdϕ N! b/ Tính lượng trung bình Năng lượng trung bình P2 P2 E=H = +Ut = − α cos ϕ 2m 2m Dựa vào phân bố động theo bậc tự α cos ϕ θ sin ϕdϕ P2 = K BT 2m Hàm Boltzoman: −U t K BT d ω ( X ) = Be dX = Be α cos ϕ K BT dX dX = dxdydz = r dr.sin ϕ d ϕ.dθ d ω ( x, y, z ) = Be α cos ϕ K BT d ω ( r , ϕ , θ ) = Be α cos ϕ K BT +∞ π 0 dX r dr.sin ϕ dϕ dθ d ω (ϕ ) = B ∫ r dr ∫ dθ e d ω (ϕ ) = B.e α cosϕ K BT sin ϕ dϕ Tính B? Ta có: cos ϕ = ∫ cos ϕdω (ϕ ) Năng lượng trung bình: P2 H= + U t = K BT − α cosϕ 2m d ω (ϕ ) = B.e π = e B ∫0 α cosϕ K BT α cosϕ K BT sin ϕ dϕ sin ϕ dϕ α cos ϕ K BT sin ϕ dϕ Đặt: x = cos ϕ ⇒ dx = − sin ϕdϕ ϕ = π ⇔ x = −1 ϕ = ⇔ x =1 αx αx K T = ∫ e K BT dx = B e K BT B −1 α −1 K T = B α α dω (ϕ ) = e α K BT α − e K BT − e K BT α α − e K BT − e K BT α cos ϕ K BT sin ϕdϕ α ⇒ cos ϕ = ∫ cos ϕdω (ϕ ) = ∫ cos ϕ e α K BT α − e K T − e K T B ⇔ cos ϕ = B ∫ xe αx K BT dx −1 Đặt: u = x ⇔ du = dx αx αx K T K T B e K BT dv = e B dx ⇔ v = α B α cos ϕ K BT sin ϕdϕ αx K T ⇒ cos ϕ = Bx B e K BT α −1 αx K T − B ∫ B e K BT dx α −1 Năng lượng trung bình: α H = K B T − α cot g K BT c/ Tính nhiệt dung riêng ∂U CV = ∂T V U = ψ + T S F = ψ = −θ ln z ∂ ∂ (ln z ) ∂ψ S = − = − ( − K T ln z ) = K ln z + K T B B B ÷ ∂T ∂T ∂T V ∂ (ln z ) ∂ (ln z ) => U = − K BT ln z + K BT ln z + K BT = K BT ∂T ∂T α cos ϕ 1 ln π (2mk B T ) + e θ sin ϕdϕ N! N! π (2mk B T ) N ! ⇒ U = K BT α cos ϕ 1 π (2mk B T ) + e θ sin ϕdϕ N! N! ∂ ⇒ U = K BT ∂T ∂U CV = ∂T V