Vai trò của tham số tự do trong phương pháp toán tử qua ví dụ bài toán dao động tử phi điều hòa

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH KHOA VẬT LÝ Dương Nhật Huy VAI TRÒ CỦA THAM SỐ TỰ DO TRONG PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ QUA VÍ DỤ BÀI TOÁN DAO ĐỘNG TỬ PHI ĐIỀU HÒA Ngành: SƯ PHẠM VẬT LÝ Mã số: 102 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: ThS Hoàng Đỗ Ngọc Trầm Thành phố Hồ Chí Minh – Năm 2011 MỤC LỤC MỤC LỤC T 2T LỜI CẢM ƠN T 2T LỜI MỞ ĐẦU T 2T Chương 1: LÝ THUYẾT NHIỄU LOẠN DỪNG T T 1.1 Sơ đồ Rayleigh-Schrödinger phương pháp nhiễu loạn dừng: T T 1.2 Bài toán dao động tử phi điều hòa: T T Chương 2: PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ VÀ BÀI TOÁN DAO ĐỘNG TỬ PHI ĐIỀU HÒA BẬC BỐN 13 T T 2.1 Phương pháp toán tử toán dao động tử phi điều hòa bậc bốn: 13 T T 2.2 Kết quả: 16 T 2T Chương 3: VAI TRÒ CỦA THAM SỐ TỰ DO TRONG PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ QUA VÍ DỤ BÀI TOÁN DAO ĐỘNG TỬ PHI ĐIỀU HÒA BẬC BỐN 19 T T 3.1 Tham số tự ω lý thuyết cực tiểu lượng: 19 T T Vnn2 3.2 Kết khảo sát thực tế phương pháp dùng tỉ số : 22 H nn T T T T KẾT LUẬN VÀ HƯỚNG PHÁT TRIỂN ĐỀ TÀI 31 T T TÀI LIỆU THAM KHẢO 32 T 2T PHỤ LỤC 33 T T LỜI CẢM ƠN Trong trình thực khóa luận này, nhận quan tâm hỗ trợ lớn từ phía thầy cô khoa Vật lý trường Đại học Sư phạm thành phố Hồ Chí Minh Xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc đến cô Hoàng Đỗ Ngọc Trầm, người không hướng dẫn hoàn thành khóa luận mà truyền đạt cho nhiều học quý báu Ngoài xin gởi lời cảm ơn đến thầy Lê Văn Hoàng nói riêng thầy cô tổ Vật lý lý thuyết nói chung đóng góp cho nhiều ý kiến, kinh nghiệm quý báu để hoàn thành tốt khóa luận Cuối xin cảm ơn gia đình bên cạnh động viên suốt năm học đại học trong trình hoàn thành khóa luận Xin chân thành cảm ơn Dương Nhật Huy LỜI MỞ ĐẦU Nhân loại bước vào kỷ XXI với thành tựu vĩ đại khoa học công nghệ, phải kể đến bước tiến lớn lĩnh vực tiến công vào giới vi mô Trong thời gian gần đây, hoạt động nghiên cứu ứng dụng công nghệ cấp độ nguyên tử hạ nguyên tử ngày phát triển mạnh, điều đòi hỏi phải có công cụ đủ mạnh để giải toán hệ lượng tử với độ xác ngày cao Như biết, việc giải phương trình Schrödinger nhiệm vụ quan trọng toán hệ lượng tử Tuy nhiên đa số trường hợp, việc tìm nghiệm xác ta phải tìm nghiệm phương trình Schrödinger phương pháp gần Một phương pháp gần mạnh biết đến nhiều phương pháp lý thuyết nhiễu loạn Ý tưởng phương pháp tách toán tử Hamilton toán thành hai thành phần: thành phần tìm nghiệm xác, thành phần lại gọi nhiễu loạn Điều kiện để áp dụng phương pháp thành phần nhiễu loạn phải “nhỏ” so với thành phần tìm nghiệm xác Đây hạn chế lớn phương pháp này, thực tế có nhiều toán thành phần tách lại không đủ “nhỏ” để xem thành phần nhiễu loạn Do đó, phương pháp áp dụng cho số toán Vì vậy, việc tìm phương pháp để giải toán phi nhiễu loạn cần thiết Trong luận văn này, sử dụng phương pháp toán tử (Operator Method) phương pháp mạnh để giải toán phi nhiễu loạn nêu [6],[8] Phương pháp toán tử nhóm nghiên cứu giáo sư Komarov L.I đại học tổng hợp Belarus xây dựng vào năm 80 [6] ứng dụng thành công cho loạt toán khác vật lý nguyên tử, vật lý chất rắn toán lý thuyết trường [2] Qua toán giải quyết, phương pháp toán tử cho thấy điểm ưu việt hiệu so với phương pháp nhiễu loạn phương pháp tính gần biết khác như: - Đơn giản hóa việc tính toán suốt trình tính toán sử dụng phép tính đại số Vì vậy, ta sử dụng chương trình lập trình tính toán Matlab, Mathematica, Fortran,… để tự động hóa trình tính toán - Cho phép tính toán hệ lượng tử với trường có cường độ - Cho phép xác định giá trị lượng hàm sóng hệ toàn miền thay đổi tham số trường Ý tưởng phương pháp toán tử nằm bốn bước sau: - Biểu diễn toán tử Hamilton qua toán tử sinh hủy Dirac H ( x, p) → H (aˆ , aˆ + , ω ) ; - Tách toán tử Hamilton thành hai thành phần: trung hòa H (aˆ + aˆ , ω ) không trung hòa V (aˆ + , aˆ , ω ) ; - Chọn tham số ω cho thành phần trung hòa thành phần toán tử Hamilton nghiệm riêng H (aˆ + aˆ , ω ) lượng gần bậc không toán; - Xem thành phần không trung hòa V (aˆ + , aˆ , ω ) thành phần “nhiễu loạn” tính bổ bậc cao toán sơ đồ thích hợp Một ưu điểm phương pháp toán tử chọn tham số ω để điều chỉnh tốc độ hội tụ toán Trong công trình trước [6], [8], [9], sử dụng điều kiện () cực tiểu hóa lượng, tức xác định ω thông qua điều kiện ∂En = Cách chọn cho thấy ∂ω hiệu số toán [6], nhiên cho thấy hạn chế số trường hợp phức tạp [8] Do đó, luận văn tiến hành khảo sát riêng tham số ω để tìm cách chọn ω tốt nhằm tối ưu hóa tốc độ tính toán Mục tiêu luận văn là: - Tìm hiểu phương pháp nhiễu loạn phương pháp toán tử, so sánh hai phương pháp thông qua ví dụ toán dao động tử phi điều hòa; - Khảo sát hội tụ toán dao động tử phi điều hòa theo tham số ω, từ kiểm tra phương pháp để chọn tham số tự ω dựa vào thay đổi biểu thức Vnn2 H nn2 , tức dựa vào mối quan hệ V nn H nn R R R R Ngoài phần mở đầu kết luận, luận văn chia thành ba chương: Chương 1: Lý thuyết nhiễu loạn dừng Giới thiệu ý tưởng phương pháp nhiễu loạn dừng thông qua sơ đồ RayleighSchrödinger Áp dụng sơ đồ để giải toán dao động tử phi điều hòa, từ kết thu tác giả phân tích điểm hạn chế phương pháp Mặc dù nhiều hạn chế ý tưởng phương pháp nhiễu loạn tảng quan trọng để xây dựng nên phương pháp toán tử sử dụng luận văn Chương 2: Phương pháp toán tử toán dao động tử phi điều hòa bậc bốn Chương giới thiệu cách tổng quát phương pháp toán tử: hình thành, ý tưởng chính, ưu điểm nhược điểm Ngoài ra, tác giả áp dụng phương pháp toán tử cho toán cụ thể toán dao động tử phi điều hòa bậc bốn để thấy ưu điểm phương pháp so với phương pháp nhiễu loạn nêu Chương 3: Vai trò tham số ω phương pháp toán tử qua ví dụ toán dao động tử phi điều hòa bậc bốn Chương phân tích cụ thể vai trò tham số ω việc tối ưu hóa trình tính toán dựa kết toán cụ thể toán dao động tử phi điều hòa bậc bốn Ngoài ra, tác giả đề xuất kiểm tra phương pháp để chọn tham số ω phương pháp dựa vào tỉ số Vnn2 Với kết so sánh, tác giả phân tích trường hợp đáp ứng tốt H nn2 chưa tốt phương pháp để từ đưa kết luận, đề xuất cải tiến phương pháp cho hiệu Phần kết luận hướng phát triển đề tài: Phương pháp khảo sát dựa vào tỉ số Vnn2 áp dụng tốt cho trường hợp trạng thái kích H nn2 thích Riêng với trạng thái bản, phương pháp đáp ứng tốt hệ số phi điều hòa bé Do đó, tác giả đề xuất cần khảo sát kỹ trường hợp với hàm sóng bậc cao Ngoài ra, để không tính tổng quát, cần áp dụng kết có luận văn để khảo sát toán khác phức tạp toán exciton, toán nguyên tử Hidro Chương 1: LÝ THUYẾT NHIỄU LOẠN DỪNG Trong chương này, tác giả giới thiệu lý thuyết nhiễu loạn thông qua sơ đồ RayleighSchrödinger, sơ đồ thông dụng trình bày phần lớn sách giáo khoa Cơ học lượng tử Ngoài ra, tác giả giới thiệu phân tích kết cụ thể phương pháp nhiễu loạn toán dao động tử phi điều hòa bậc thấy điểm hạn chế phương pháp 1.1 Sơ đồ Rayleigh-Schrödinger phương pháp nhiễu loạn dừng: Như biết, phương trình Schrödinger phương trình động học Cơ học lượng tử việc giải toán giới vi mô dẫn đến việc giải phương trình Tuy nhiên, phương trình Schrödinger lại phương trình phức tạp mà ta tìm nghiệm xác số trường hợp đơn giản toán nguyên tử Hidro, toán dao động tử điều hòa, chuyển động hạt vi mô hố vuông góc,…Do đó, xét đến hệ lượng tử thực với độ phức tạp cao việc tìm nghiệm xác điều ta phải dùng đến phương pháp gần để tìm hàm riêng trị riêng Mặc dù nhiều hạn chế phương pháp nhiễu loạn phương pháp tính gần quan trọng Cơ học lượng tử Trong phần này, giới thiệu phương pháp nhiễu loạn dừng dựa sơ đồ sử dụng thông dụng phương pháp sơ đồ Rayleigh-Schrödinger Xét phương trình Schrödinger: Hˆ Ψ ( x) =E Ψ ( x) (1.1) Ý tưởng phương pháp nhiễu loạn ta tách toán tử Hamilton toán thành hai thành phần: ˆ Hˆ + βVˆ ; H = (1.2) thành phần Hˆ toán tử Hamilton có nghiệm riêng xác: Hˆ 0ψ n = ε nψ n , (1.3) thành phần Vˆ lại gọi thành phần nhiễu loạn, điều kiện để xem nhiễu loạn ta xét trường hợp cụ thể sau Tuy nhiên nhìn chung điều kiện áp dụng lý thuyết nhiễu loạn thành phần nhiễu loạn Vˆ phải “nhỏ” so với Hˆ , Vˆ = Hˆ Khi đó, nghiệm phương trình (1.3) gần với nghiệm phương trình (1.1) Lúc xem ε n ψ n nghiệm gần bậc zero (1.1), nghiệm gần bậc cao tính cách xét đến ảnh hưởng Vˆ thông qua bổ lượng hàm sóng Ở ta đưa vào tham số nhiễu loạn β để mặc định thành phần nhiễu loạn nhỏ dễ dàng nhìn thấy bậc nhiễu loạn sơ đồ tính toán qua số mũ β Giả thiết trị riêng Hˆ không suy biến có phổ gián đoạn, hệ hàm riêng ψ n Hˆ đầy đủ trực giao ứng với lượng ε n , với n = 0,1, 2, Khi đó, tìm nghiệm +∞ (1.1) dạng khai triển theo hàm riêng Hˆ sau: Ψ ( x) = ∑ Ck ψ k ( x) Không k =0 tính tổng quát ta giả thuyết hàm sóng cho trạng thái n sau: Ψ n ( x )= ψ n ( x ) + +∞ ∑C k =0 (k ≠n) k ψ k ( x) (1.4) Thế vào phương trình (1.1) ta có: +∞ +∞     ( Hˆ + β Vˆ ) ψ n ( x) + ∑ Ck ψ k ( x)  = En ψ n ( x) + ∑ Ck ψ k ( x)  (1.5) k= 0, k ≠ n k= 0, k ≠ n     Nhân hai vế (1.5) với ψ n* ( x) tích phân theo toàn miền biến số x ta được: H nn + β Vnn + β +∞ ∑ = k (k ≠n) Ck Vnk = En (1.6) Bây làm tương tự cho ψ j * ( x), j ≠ n ta có: C j H jj + β V jn + β +∞ ∑ = k (k ≠n) Ck V jk = En C j (1.7) Ta viết (1.6) (1.7) lại sau: En =H nn + β Vnn + β +∞ ∑ = k 0, k ≠ n CkVnk , (1.8) +∞ ( En − H jj )C j =β V jn + β ∑ CkV jk , ( j ≠ n ) (1.9) k =0 k ≠n với ký hiệu yếu tố ma trận: +∞ H kk = ∫ ψ k * ( x) Hˆ ψ k ( x)dx , +∞ V jk = ∫ ψ j * ( x) Vˆ ψ k ( x) dx −∞ −∞ (1.10) Hệ phương trình đại số (1.8) - (1.9) xem tương đương với phương trình Schrödinger (1.1) Giải hệ phương trình ta thu lượng En hệ số C j , nghĩa tìm hàm sóng Ψ n ( x) qua công thức (1.4) Ta sử dụng lý thuyết nhiễu loạn cho hệ phương trình cách phân tích theo tham số nhiễu loạn sau: En = En C j =C j +∞ (0) + ∑ β s ∆E ( s ) , (1.11) s =1 +∞ (0) + ∑ β s ∆C j ( s ) , j ≠ n (1.12) s =1 Ở ta ký hiệu En (0) , C j (0) lượng hệ số gần bậc zero, ∆En ( s ) , ∆C j ( s ) , s ≥ bổ vào lượng hệ số hàm sóng Đem (1.11) (1.12) vào (1.9), (1.10) sau đồng hai vế theo bậc s ta được: (0) = En (0) H= 0, nn , C j V jn ∆En (1) = Vnn , ∆C j (1) = s ≥ 2: ∆En ( s ) = En (0) − H jj +∞ ∑V k =0 k ≠n nk ( j ≠ n) ; ∆Ck ( s −1) ,  +∞  s −1 ( s −1) ( s −t ) (t )   = ∆C j ∑V jk ∆Ck −∑ ∆En ∆C j  ( j ≠ n) En (0) − H jj  k 0=t =   k ≠n  (s) Đây sơ đồ lý thuyết nhiễu loạn mà ta sử dụng phần sau 1.2 Bài toán dao động tử phi điều hòa: (1.13) Ta xét toán dao động tử phi điều hòa chiều với toán tử Hamilton có dạng sau: d2 ˆ H= − + x + λ x4 2 dx (1.14) với hệ số phi điều hòa λ > Bài toán có dạng chuyển động hố có mức lượng gián đoạn Phương pháp nhiễu loạn sử dụng cho toán hầu hết sách giáo khoa học lượng tử [1],[5] Ta chia toán tử Hamilton thành hai phần sau: d2 Hˆ = − + x , dx 2 Vˆ = λ x (1.15) Cách chia phù hợp với lý thuyết nhiễu loạn toán tử Hamilton gần Hˆ có nghiệm riêng xác hàm sóng dao động tử điều hòa:  x2 ψ n An exp  − =    Hn ( x) ,  (1.16) với H n ( x ) đa thức Hermit định nghĩa sau: d n − x2 H n ( x ) = (−1) e e ; dx n n x2 hàm sóng ứng với trị riêng lượng gần bậc zero ε n= n + 1/ Các yếu tố ma trận toán tử Hˆ Vˆ ứng với hàm số (1.16) tính sau: H nn= n + , Vn ,n+4 = λ Vn ,n+2 = (n + 4)(n + 3)(n + 2)(n + 1) , λ (2n + 3) (n + 2)(n + 1) ,