Tóm tắt lí thuyết + bài tập Vật lí thống kê

- Khi các hệ thức tức các điểm biểu diễn pha của hệ chuyển động trong không gia pha thì các thể tích nguyên tố giữ nguyên không đổi về độ lớn mà chỉ thay đổi về hình dạng.. 4.@/ Chứng mi

Lý thuyết:

1/ Ngoặc poission: [ ]

1

f

A B

=

 ∂ ∂ ∂ ∂ 

∑

2/ Tích phân poission:

2

(2 1)!!

2

n

+

−

2

2 1

2 1 n . ax 0

n

+∞

+ − +

−∞

3/ Phân bố poission:

2 0

1

a n

e

∞

=

   = + + + +  =

∑

4/ Tích phân Gama- euler: { } 1

0

1 exp ax

.

k l

k l

l a

∞

+

+

∫

5/ Chuyển sang tọa độ cầu: dp dp dp x y z = p2.sin θ dp d dθ ϕ

6/ Các đại lượng:

23

26 2

8.31 ( / )

1, 38.10 ( / )

273 ( )

6, 023.10 ( )

10 ( / )

A

m

−

=

=

= +

=

1.@/ Chứng minh: k

k

H p

∂ =

∂ Hay tính giá trị trung bình của động năng ứng với bậc tự do thứ

k có thể tính được nhờ phân bố chính tắc Gibbs :

Giải Xét hệ N hạt, hàm Haminton trong không gian pha có dạng:

(d)( ) ( )

H =E p +U q

Động năng của hệ: (d)

1

1 2

f

k k k

=

= ∑ & với k

k

H q p

∂

=

∂

&

(d)

1

(d)

1

1

2

1

2

f

k

f

k

H

p H

p

=

=

∂

∂

∑

∑

Và động năng trung bình của hạt thứ k là:

Ta chỉ cần tính: k

k

H p p

∂

∂

Ta có:

( )

( , ) exp

ψ

Tách một phần tử thứ k để xét ta được:

1

( , ) exp

i k

ψ

−∞

≠

Tích phân từng phần biểu thức : k exp ( , ) k

k

ψ

+∞

−∞

∫

Đặt:

k k







Ta được:

( )

k

Khi p k → ±∞ thì H ( q p, )→+∞ nên lim 0

k

H kT k

p p e−

→±∞

=

Do đó mà k exp ( , ) k exp ( , ) k

k

với điều kiện chuẩn hóa: exp ( , ) 1

) (

=











 −

kT

q p H

X

ψ

Vậy trị trung bình của động năng ứng với bậc tự do thứ k bằng : (dk)

1 1

2 k 2

k

H

p

∂

∂

Động năng trung bình của hệ: (d) 1 1

.

H

p

∂

∑

2.@/ Chứng minh: 2 2 ( )2 H

θ

∂

∂

Giải

Ta có giá trị trung bình của phân bố chính tắc:

( )

.exp

X

H

kT

∫

Lấy đạo hàm theo θ ta được:

( )

( )

2 ( )

.exp exp 1

X

X

X

kT H

kT

kT

ψ

ψ θ

∂

∫

∫

∫

Lấy đạo hàm 2 vế của điều kiện chuẩn hóa:

( )

( )

2 ( )

1

X

X

X

H dX kT H

kT

dX kT

ψ θ

ψ θ

∂

∫

∫

∫

Vì θ vàψ không phụ thuộc vào X nên:

( )

1

∂

Với:

( )

.exp

X

H

kT

( )

X

H dX kT

∫

1

(4)

H

H

ψ

θ

∂

∂

∂

∂

Thay (4) vào (1) ta được:

( )

( )

2 ( )

2 2

2 2

2

1

1

X

X

kT

kT

ψ θ

θ

θ

∫

∫

θ

θ

∂

3.@/ Từ điều kiện chuẩn hóa hệ thức:

( ) 0

V

v dV

t

∂

Nghiệm đúng với mọi thể tích V và vận tốc vr=( , , , ,q q q& & &1 2 3 q p p p&f, ,&1 &2, , ,&3 p&f)

DH9L Giải

Ta có: Điều kiện chuẩn hóa: ( ) 0 (1)

V

v dV t

∂

Nghiệm đúng với mọi thể tích V và vận tốc v r = ( , , , , q q q & &1 2 &3 q p p p &f, , &1 &2, &3, , p & f)

Nên: (1) ( v) 0 (2)

t

∂

∂

r

Tích vô hướng của vecto ∇và ( ρVur) :

i i

Từ phương trình chính tắc Hamilton:

,

& & với H =H ( p q, ) là hàm Hamilton của hệ.

i i

∑ & & ∑

Từ (2) và (3) vào (4) suy ra:

1

0

f

=

∂ ∑∂ & ∂ & 

Mặt khác ta thấy: i à i

Nên:

1

f

=

∂ ∑∂ ∂ ∂ ∂  (đpcm)

# nhận xét:

- Tập hợp các hệ trong tập hợp thống kê thỏa mản các phương trình haminton xử sự trong không gian pha như một chất lỏng không nén được

- Khi các hệ thức (tức các điểm biểu diễn pha của hệ) chuyển động trong không gia pha thì các thể tích nguyên tố giữ nguyên không đổi về độ lớn mà chỉ thay đổi về hình dạng

4.@/ Chứng minh định lí: Hàm phân bố thống kê của hệ không đổi dọc theo quỹ đạo pha của hệ.

Giải:

Do các hạt của hệ chuyển động không ngừng nên các điểm pha mô tả trạng thái của hệ cũng chuyển động không ngừng trong không gian pha Do tổng số các điểm pha không đổi nên chuyển động của các điểm pha giống như sự chảy dừng của một chất lỏng không nén được Vì vậy ta có thể áp dụng phương trình liên tục cho quá trình này Phương trình liên tục có dạng :

( v) 0 (1)

t

∂

r

trong đó ρ là hàm phân bố thống kê, vớivr=(q&1, ,q&s,p&1, ,p&s)là vận tốc của điểm pha trong không gian pha 2f chiều

Do đó ta có :

Tích vô hướng của ∇ ( ρvr)

1 1 1

i i

& & & &

Từ phương trình chính tắc Hamilton:

,

& & với H =H ( p q, ) là hàm Hamilton của hệ.

i i

& &

& &

Từ (2) và (3) vào (4) suy ra:

1

0

f

=

Hay:

t

∂

trong đó [ ]

1 ,

f

i i i i i

H

ρ

=

∑ gọi là ngoặc Poisson giữa ρ và H

Mặt khác, ta lại có : nếu ω =ω(q,p,t) thì d [ ,H] (6)

ρ =∂ρ+ ρ

∂

(6)

Từ (5) và (6) ta có : d 0

dtρ = hay ρ =const (7)

Vậy dọc theo quỹ đạo pha thì hàm phân bố của hệ là không đổi theo thời gian

Phương trình (5) được viết lại là :

[ , H]

t

∂ = −

∂ hay [H, ]

t

∂ =

∂ (8)

là phương trình định lí Liouville

5.@/ Biết: k

H A

ψ

= − = −

∂ ∂ và phương trình cơ bản của nhiệt động lực học:

Hãy chứng minh: ϕ ψ

θ

∂

= −

∂

H

A

ψ

= − = −

và

(2)

H

H

ψ

θ

ψ

θ

∂

∂

Lấy vi phân phương trình (2)ta được:

k

⇒ ∂ = − ∂ ⇒ − =∑

Thế (4) vào (3):

.

k k

k

θ

∂

∂

∑

Đối chiếu với: i i

i

dU+∑A da =TdS

Suy ra:dS d ψ

θ

∂

= − ÷

∂

 hay: đại lượng

ψ θ

∂

− 

 ∂ ÷

  chính là entropi thống kê của ϕ

Do đó:ϕ ψ

θ

∂

= −

∂ (đpcm)

Với:

kT

S

T

θ

ψ

=

∂

⇒ = −

∂

6.@/ Chứng minh entropi s tỉ lệ nghịch với trung bình pha của loragic mật độ xác xuất

Từ biểu thức:

à

H

S

v

k

ϕ

ϕ

∂

=

Suy ra: S k H ψ kψ H (1)

doθ à ψ không phụ thụ vào X nên ta có thể viết lại biểu thức (1):

exp (2)

X

∫

Mặt khác khi lấy ln hàm phân bố xác xuất: ω( )X exp ψ H

θ

−

( )

Từ (2) (3) suy ra:

( ) ( ) ( )

.ln

X X X

X

ω ω

ω

= −

⇒ = −

∫

Vậy entropi s tỉ lệ nghịch với trung bình pha của loragic mật độ xác xuất

7.@/ Thiết lập phân bố Maxwell – Boltzmann:

Xét hệ N hạt đồng nhất không tương tác nhau, nằm trong trạng thái cân bằng nhiệt động

ở nhiệt độ T Khi đó hàm Hamilton H (X,a) của hệ trùng với năng lượng E(X) và có dạng

∑

=

= N

i

i

H

1

ε , với εi là năng lượng của hạt thứ i Khi đó xác suất để hệ ở trong trạng thái có năng

lượng E(X) và ở trong yếu tố thể tích dX của không gian pha là :

1 1

1

i i i

i i

kT

ψ

ε

Hay:

i

kT

ε

kT

ε

Biểu thức (2) chính là xác suất để hạt thứ i có năng lượng bằng εi, có tọa độ nằm trong

khoảng từ rri đến rri +d rri và có xung lượng nằm trong khoảng từ pri đến pri + pri.

Xét phân bố (2) trong không gian pha 6 chiều của một hạt (không gian µ).

Năng lượng εi của một hạt riêng lẻ biểu thị qua động năng và thế năng phụ thuộc vào xung

lượng và tọa độ của hạt là ( , , )

2

2 2 2

z y x U m

p p

i = + + +

Do đó, phân bố (2) được viết lại là :

( , , )

2

x y z

Đây chính là phân bố Maxwell – Boltzmann

Biểu thức (3) còn được viết lại dưới dạng:

( , , , x, y, z) ( , , ) ( ,x y, z) (4)

dW x y z p p p =dW x y z dW p p p

Trong đó :

2

x y z

mkT

là phân bố Maxwell theo xung lượng

Và: dW x y z( , , ) Bexp U x y z( , , ) dxdydz (6)

kT

là phân bố Boltzmann trong trường lực

Xét phân bố Maxwell theo xung lượng, sử dụng tích phân Poisson: {−ax }dx= πa

∫

+∞

∞

−

2

chuẩn hóa hàm phân bố (5) :

( ) ( )

2

2

3 2

2

y

p

π π

−

⇒ =

Mà: pr=m vr nên: dW(p x,p y,p z)=dW(v x,v y,v z) và p2x + p2y + p2z =(mv)2.

Vậy phân bố Maxwell theo xung lượng ở (5) được viết thành phân bố Maxwell theo vận tốc:

z y x z

y

kT

mv kT

m v

v

v

dW













−













=

2

exp 2

)

,

,

(

2 2

3

π

Trong hệ tọa độ cầu thì dv dv dv x y z =v2sin θ θ φd d dv, lấy tích phân theo hai biến θ và ϕ, khi

đó phân bố theo vận tốc trở thành :

3

2

x y z

π

+∞

−∞

∫

3

DH9L Xét phân bố Boltzmann trong trường lực ở (6) cho khí lí tưởng ở trong trường trọng lực Thế năng của hạt trong trường trọng lực là U(x,y,z)=U(z)=mgz nên phân bố Boltzmann ở (6) trở thành :

( ) exp mgz

kT

Với N là tổng số hạt của hệ thì số hạt ở độ cao từ z đến z+dz là :