TỔNG HỢP ĐỀ THI HSG TOÁN 10 CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT

ðỀ THI CHỌN HSG CẤP TRƯỜNG SỞ GD&ðT BẮC GIANG TRƯỜNG THPT THÁI THUẬN NĂM HỌC 2013 – 2014 Môn thi: Toán lớp 10 Thời gian làm bài: 180 phút Câu (4 ñiểm) Cho hàm số y = x − (2m − 3) x − 2m + (1) 1) Xét biến thiên vẽ ñồ thị hàm số (1) m = 2) Xác ñịnh m ñể ñồ thị hàm số (1) cắt ñường thẳng y = x − hai ñiểm A, B phân biệt cho OA + OB2 ñạt giá trị nhỏ ( O gốc tọa ñộ) Câu (4 ñiểm) 1) Tìm tất giá trị tham số m ñể phương trình sau có nghiệm : x + x + x − x − 3m + =  x( y − 1) + y = x ( x + 1) 2) Giải hệ phương trình:   x − + xy − y + =  x −1 +3≥0  ( a tham số) Câu (4 ñiểm) Cho hệ bất phương trình  (a − 1) x − ≥ 1) Giải hệ bất phương trình với a = −1 2) Tìm tất giá trị a ñể hệ bất phương trình có nghiệm Câu (6 ñiểm) 1) Cho tam giác ABC Tìm tập hợp ñiểm M thỏa mãn 2MA + MA.MB = 2MA.MC 2) Cho hình vuông ABCD có A(1;-1), B(3;0) Tìm tọa ñộ ñỉnh C D 3) Chứng minh tam giác ABC, ta có: (b + c) cos A + (c + a ) cos B + (a + b) cos C = a + b + c Câu (2 ñiểm) Cho số dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = Tìm giá trị lớn biểu thức: P= ab bc ca + + c + ab a + bc b + ca …… ……………Hết………………… Thí sinh không ñược sử dụng tài liệu Cán coi thi không giải thích thêm Họ tên thí sinh: ………………………………………….……….; Số báo danh: ………….……………… Trang HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI THI CHỌN HỌC SINH GIỎI SỞ GD&ðT BẮC GIANG TRƯỜNG THPT THÁI THUẬN NGÀY THI 19/01/2014 MÔN THI: TOÁN LỚP 10 Câu Câu I 1) (2 ñiểm) (4 m = ⇒ y = x + 3x + ñiểm) * TXð: R * BBT: Phương pháp – Kết ðiểm 0,25 0,25 0,5 * Xác ñịnh ñiểm: ñỉnh I (− ;− ) , giao trục tung (0;2) , giao trục hoành (−1;0), (−2;0) * Vẽ ñúng ñồ thị 2) ( ñiểm) * Phương trình hoành ñộ giao ñiểm: x − 2mx − 2m + = (*) * Tìm ñược ñiều kiện cần ñủ ñể ñường thẳng cắt ñồ thị hs hai ñiểm phân biệt A, B m < −3 m >  x1 + x = 2m  x1 x = −2m + * A( x1 ;3x1 − 1) , B( x ;3x − 1) Tính ñược OA + OB = 40m + 28m − 58 * Tìm ñược OA + OB nhỏ 10 m =1 Kết luận Câu 1) (2 ñiểm) II * BðTð PT dạng: ( x + x) − 2( x + x) − 3m + = (4 * ðặt t = x + x , phương trình trở thành t − 2t = 3m − ñiểm) * Tìm ñược ñiều kiện t ≥ −1 * Lập ñúng bảng biến thiên hàm số f (t ) = t − 2t với t ≥ −1 * Dựa vào BBT tìm ñược giá trị m thỏa mãn m ≥ KL -2) (2 ñiểm) * ðiều kiện x ≥ 2x − + 0,5 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 0,5 0,5 -0,25 0,5 0,25 * Biến ñổi pt thứ ñược y = x * Thay y = x vào pt thứ hai ñược x − + x − x + = (1) 0,25 0,25 * Gọi x1 , x nghiệm pt(*), ta có  * Biến ñổi (1) ⇔ ( x − 1)( 0,5 0,5 - + x − 2) = 0,5 Tìm ñược x=1, y =1 nghiệm hệ pt * Giải pt: 2x − + + x−2 =0 t = 0,25 ðặt t = x − ( t ≥ ), Pt (2) trở thành t + t − 3t + = ⇔  t = −1 + * Tìm ñược x = 1, y = x = − , y = − Kết luận hệ phương trình có hai nghiệm (1;1), ( − ;2 − ) Câu III 1) (2 ñiểm) Với a = −1 , ta có hệ bpt (4 ñiểm)  x −1 +3≥  x ≥ −5  ⇔   x ≤ −1 − x − ≥ 0,25 Trang ⇔ − ≤ x ≤ −1 Kết luận tập nghiệm hệ bpt [− 5;−1] -2) (2 ñiểm) * Tập nghiệm bpt (1) S1= [− 5;+∞ ) * Nếu a = , bpt(2) vô nghiệm nên hệ vô nghiệm   Tập nghiệm bpt (2) S2=  ;+∞  a −1  a −1 S1 ∩ S2 ≠ ∅, ∀ a > Hệ bpt có nghiệm với a >   Tập nghiệm bpt (2) S2=  − ∞; * Nếu a < , (2) ⇔ x ≤ a −1 a − 1  a <  Hệ bpt có nghiệm  ⇔a≤  a − ≥ −5 3  * KL: hệ bpt có nghiệm với a ∈  − ∞;  ∪ (1;+∞ ) 5  0,5 0,25 * Nếu a > , (2) ⇔ x ≥ Câu 1) (2 ñiểm) IV * Biến ñổi ñẳng thức dạng: MA(2CA + MB) = (*) (6 * Gọi I ñiểm xác ñịnh IB = −2CA , ta có ñiểm) (*) ⇔ MA.MI = ⇔ M thuộc ñường tròn ñường kính IA * KL: Tập hợp ñiểm M ñường tròn ñường kính IA 2) (2 ñiểm) * Có: AB = (2;1) * Giả sử C ( x; y ) ⇒ BC = ( x − 3; y ) * Vì ABCD hình vuông nên AB vuông góc với BC AB = BC Ta có hệ 2( x − 3) + y =  2 ( x − 3) + y = 0,5 0,5 0,25 0,5 0,5 0,5 0,5 x = x =  Vậy C (2;2) C (4;−2) y =  y = −2 * Giải hệ pt ñược  0,5 * Gọi I tâm hình vuông ABCD 2 Nếu C (4;−2) I ( ;− ) ⇒ D (2;−3) 2 Nếu C (2;2) I ( ; ) ⇒ D(0;1) Kết luận 3) (2 ñiểm) * VT= b cos A + c cos A + c cos B + a cos B + a cos C + b cos C b2 + c2 − a b2 + c2 − a2 a2 + c2 − b2 a + c2 − b2 a2 + b2 − c a2 + b2 − c + + + + + c b a c b a = a + b + c = VP ⇒ ñpcm = Câu * Vì a + b + c = nên ta có V (2 ñiểm) ab ab = c + ab (1 − a )(1 − b) 0,5 0,5 0,5 0,5 Trang * Áp dụng bất ñẳng thức Cô- Si: ⇒ ab a b ≤ ( + ) (1 − a )(1 − b) − b − a ab a b ≤ ( + ) c + ab − b − a bc b c ≤ ( + ) a + bc − c − b ca a c ≤ ( + ) b + ca − c − a a+c b+c b+a 1− b 1− a 1− c * Suy P ≤ ( + + )= ( + + )= 1− b 1− a 1− c 1− b 1− a 1− c Dấu ñẳng thức xảy a = b = c = 3 * Vậy P ñạt giá trị lớn a = b = c = 0,5 * Tương tự: 0,5 0,5 Lưu ý chấm bài: Trên ñây sơ lược ñáp án, làm học sinh phải ñược trình bày tỉ mỉ Mọi cách giải khác, ñúng, cho ñiểm tương ñương Trang sa GIA!J DVC: VA DAO T~O TID CHON HOC SINH GIOI LOP 10 NAM HOC 2013-2014 TINH DONG NAI Mon: Toan ThCrigian lam hai: 180 phut Ngiy thi: 04/4/2014 ([)J thi g6m m(jt trang, co niim diu) DE THI CHiNH THUC Can (4 diem) Giii phmmg trinh ~ x + x+ +~ i -x+ I Cho tarn giae ABC ee eo{~).eo{~) = = 2x+ (vm x E R) Can (4 diem) IcYhi~n s6 ella cae goe 4(sinC{ vm A, B, C mang Ung Ii 6iB, iiiC, icA ChUng minh rfulg tarn giae ABC Ii tarn giae deu Can (4 diem) Cho cae s6 thge duang a, b, c th6a a + b + c = abc Ch Ung m inh a + 6bc + b + 6ca + c + 6ab ;:::1 " Can (4 diem) < • d I" 'th Ch o h at so nguyen uang e m va n oa {( m + 2) : n (2 ) n +2 :m I) Hay tim mQt e~p g6m hai s6 nguyen duang Ie (m ; n) th6a cae dieu ki~n daehovmm> 10vin> 10 2 2) ChUng rninh (m + n + 2) : 4mn Can S (4 diem) - - - , Cho tarn giae ABC co ba gee CAB, ABC, BCA deu Ii gee nhQn GQi (0) Ii dui:mg trim tam nQi ti~p tarn ghie ABC vi ti~p xue vm hai e(lllh AB, AC IAn luq1:t(li D, E GQi M Ii giao diem ella hai dui:mg thfulg OB vi DE, gQi N Ii giao diem ella hai dui:mg thfulg OC vi DE ChUng minh MN = BC.sin ella gee CAB (2"A) ; vm A Ii IcYhi~u so. - -H~t Trang Sa GIA.!>DVC: vA THI CHO~ HOC SINH GIOI UlP 10 NAM HOC 2013-2014 DAo T~O TINH DONG NAI mrONG DAN CHAM THI vA BlEU DIEM Mon Toan (d~thi chinh thuc) Cau Bitu diem NQi dung fdl qi4Jp~tr.(1flgtrirz~: _ ~i + x+2 +~i _ _ L=4d 0,25 d -x+ =2x+ (1) Di~uki~n x> -;1 (2) • •• _ mmn~~n~?(1}~~~~n~~m~n~~~4~n~~~n~n~~~hh~h~~~n~n~~~n~m 0,75 d A/4 Vx +2x -x+2=x 0,25 d +2x-l -:-F: ~-;;2~ 1-;-~ -~ -2 . : -: -. . 1d l x + 2x - x + = x + 4x + + 4x - 2x - 4x -{-;; -1 + ;j2,d~(2) - _h _ 0,75 d 4x -3x-1 =0 -{;;~i~12 (x-1)(2x+ 1) _h. _ = x = 1 d Phuang trinh dii cho co t~p nghi~m la {11 c;htr.r:grrzJrz~4!!c;liltt1.rrzgi4.~tt.~u.: 2[ cos(~)r = + cosA= + b +2:e-l L=4d _ Ta co 2P~; a), 0,5 d n_m~~~~(~J~V=~~~=);n~~i~~=~:n~~=h~~=~m~n~'~n=:n~~n:ne'nn mmmnm._ m!~~~t~nSi~(~)=V~=bb~=~~n~~~{~)=V(pn=%;:;n~):m n nnnn_O'~m~h 0,25 d Tuang tg co{~) = V ~~)~b2 n~n~~{~).~~{~)=~~ne.nnmmmnnnnnnnnn:nm:m:nnnmnmnmmmnnnnm unnn:nmn~,~~~ a) (p e M~t kh:ic si~C = 2R sinC = 2~ 4(sinC) = 2' vai R lit ban kinh 0,5 d R ~1!~gtn)IlIlgo~it~~p4,4!!c;: abc abc MitS= =,?R=-= 4R h _ abc nnnmn~~nn~J.P(pn~q)(pn~~)(pn~c;)mmmnmm Thi , hnn hnr c:inh oiAi lfm n n~mhoc 2011-2014 - 0,5 d Trang HmJne:d~n chfun thi va Bieu di~m mon Toan (d~ chinh thuc) 1/3 - C)2 _ 16p(p - a)(p - b)(P - c) 4( Sill 2 :::> 0,25 d ab ;~~~~~{~).~~{~):~(~i~~{:~ ~;~=~)(p=~l:~2~2~1 ; ~,;~.~ -. MaO O.Khi (qa - pb) 6abe a e + e 6ab e >22 + + +2 + b + 12abe e ~ + 1,5 d 6abe 2 + e + 18abe M~tkh~~~pd~~gb1tdfuig gifratrungbillh~~~gvitru~gbhilirih~~ ab + be + ea 2 TU m = 4k(k+ 1) + + 1) + (vm / EN) ) 0,75 d • Suy ( m + n + : TiT co dieu phai chUng minh ChUng minh MN = Bc.sin(~} - - - - - - _ _ - - -_ - _ _ - _ - - - - - - - - - - - - - - - - - - _ - - - - - _ - - - - _ - - - L =4 d - - - - - A 0,5 d B C 1]1~~.gi.~ ~.i~! !J.P ~.1~: - => MDEciin 1t - A t(liA => CEM=AED=-2-' - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - _.- - - .- -.- - 1t - A MaCOM= OBC + OCB = -2-' 0,5 d - - _ _ _ 0,5 d V~y CEM= COM => COEMla ill giac nQi tiep ::::~~~:gj~ :~hj~~ :Q~:~) f : :r~: ~~:~MX~M;::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: ::9~~: ~:: I~~g.~ c.N ~ 1?N ? #.c.¥J! J.a.ttl.~Qi t.i.~P ~!I~.g !!~I1 ~~~g, ~ 1?