So sánh 2 giá trị trung bình

So sánh 2 giá trị trung bình

BỘ CÔNG THƯƠNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP THỰC PHẨM



Mã học phần: 000982 Môn học: Quy Hoạch Thực Nghiệm

Nhóm 2

Đề tài:

SO SÁNH HAI GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH

Giáo viên hướng dẫn: Đinh Vinh Hiển

TP.HCM, 11 tháng 4 năm 2016

DANH SÁCH NHÓM VÀ PHÂN CÔNG CÔNG VIỆC

MỤC LỤC:

I PHẦN CƠ SỞ LÝ THUYẾT ……… 3

1 Bài toán……… 3

2 Quy tắc thực hành……… 4

3 Chú ý……… 4

II PHẦN BÀI TẬP ……… 5

Bài tập ……… 5

Các bảng tính a Bảng Laplace……… 12

b Bảng phân phối Student ……… 13

III NGUỒN KHAM KHẢO ……… 14

I PHẦN CƠ SỞ LÝ THUYẾT:

Các đặc trưng mẫu:

_ Trung bình mẫu: X =

1

1 k

i i i

n x

n∑=

_ Phương sai mẫu Sx2= 2 2

1

1

( )

K

i i i

−

∑

_ Phương sai hiệu chỉnh: S2 =

1

n

n− Sx2

_ Độ lệch tiêu chuẩn mẫu hiệu chỉnh: S= 2

S

1 Bài toán:

Giả sử đám đông X và Y có EX= µx, EY= µy Từ hai mẫu độc lập: (X1, ,Xm) của X và (Y1, ,Yn) của Y với mức ý nghĩa α kiểm định giả thuyết H0: µx=µy

Giả sử σx2=VX ; σy2=VY Khi H0 đúng ta sử dụng tiêu chuẩn kiểm định G trong các trường hợp sau:

Trường hợp 1: m>= 30, n>=30,σx, 2 σy 2 biết:

u= 2 2

X Y

− +

Trường hợp 2: m>=30, n>=30, σ \

x ,σy 2 chưa biết:

u= 2 2

X Y

− +

Trường hợp 3: m và n <=30, X và Y có phân phối chuẩn σx ,σy 2 biết:

X Y

− +

Trường hợp 4: m và n < 30, X và Y có phân phối chuẩn σx 2 ,σy 2 chưa biết:

u= 2 2

X Y

− +

ở đây Sx2, Sy2 là phương sai mẫu tương ứng của X, Y:

S2=

2

m n

+ −

2 Quy tắc thực hành: cho hai mẫu (x 1 , ,x n ), (y 1 , ,y n )

Với đối thuyết về hai phía: H1:µx≠µy

1.m,n>=30, σ x 2 ,σy 2 biết 2 m,n >= 30, σ x 2 ,σy 2 chưa biết

X ,Y

u= 2 2

X Y

− +

α→1

2

α

−

tra bảng 2 hàm laplace →tα

u > tα: bác bỏ H0, chấp nhận H1

Ngược lại chấp nhận H0

X ,Y,Sx ,Sy

u= 2 2

X Y

− +

α→1

2

α

−

tra bảng 2 hàm laplace →tα

u > tα: bác bỏ H0, chấp nhận H1

Ngược lại chấp nhận H0

3.m,n <=30, X,Y chuẩn σ x 2 ,σy 2 biết: 4 m,n<=30,X,Y chuẩn σ x 2 =σ y 2

chưa biết

Tương tự trường hợp 1 X ,Y,Sx2,Sy2

S2=( 1) 2 ( 1) 2

2

m n

+ −

u= 2 2

X Y

− +

α→tra bảng phân phối Student→ t(m+n-2, α )= t

u >t: Bác bỏ H0, chấp nhận H1

Ngược lại chấp nhận H0

3 Chú ý:

_Quy tắc thực hành cho (3) khi m,n<30, X và Y có phân phối chuẩn σx2≠σy2

đều chưa biết:

với H1:ux≠uy:

u= 2 2

X Y

−

+ ; α→tra bảng phân phối student t1=t(m-1,α/2); t2=t(n-1,α/2)

V1=

2

X

S

m V2=

2

Y

S

n t= 1 1 2 2

1 2

V V

+ + →u >t: Bác bỏ H0, chấp nhận H1.

Ngược lại chấp nhận H0

II. PHẦN BÀI TẬP ÁP DỤNG:

1 Người ta cho hai nhóm học sinh, theo thứ tự, đại diện cho hai trường A và

B, làm một bài kiểm tra Nhóm thứ nhất gồm 40 học sinh, có điểm trung bình 7,4; nhóm thứ hai gồm 50 học sinh, có điểm trung bình 7,8 Dựa vào mẫu trên, có thể kết luận rằng: Điểm trung bình của trường B tốt hơn điểm trung bình của trường A không? (kết luận ở mức ý nghĩa 4%) Biết rằng điểm số của mỗi học sinh của hai trường A và B có phân phối chuẩn với độ lệch chuẩn, theo thứ tự là 0,8 và 0,7.

Giải:

Gọi X, Y lần lượt là điểm số của mỗi học sinh của hai trường A, B thì X ~ N(µx, (0,8)2 ) và Y~ N(µy, (0,7)2 )

Đặt: H0: µx=µy

H1: µx≠µy

Ta có m= 40, n= 50 , ; σx2 = 0,82 ,σy2 = 0,72

Ta áp dụng công thức trường hợp 1:

với α = 0.04 → = 0,48→ tα= 2,06

> 2,06

Vậy bác bỏ H0, chấp nhận H1

Điểm trung bình của trường B thực sự tốt hơn trường A

2 So sánh hai phương pháp dạy môn xác xuất thống kê, phương pháp xác xuất thống kê, phương pháp A không thực hành, phương pháp B có thực hành kết quả thi của 100 sinh viên theo mỗi phương pháp như sau:

Điể

m

Với mức ý nghĩa 5%, có nhận xét gì về sự khác nhau của hai phương pháp dạy trên Có thể coi phương pháp dạy môn thống kê có thực hành tốt hơn hay không?

7, 4 ; 7,8

7, 4 7,8

2, 49

X Y

u

+ +

1 2

α

−

2,49

u =

Gọi X,Y là khả năng thi đạt kết quả của phương pháp A và phương pháp B Đặt: H0: µx=µy

H1: µx≠µy

Ta có m,n>30, σx2,σy2 chưa biết ta áp dụng công thức trường hợp thứ hai:

Ta có: X =

1

i i i

m x

m∑= = 5,86 Y=

1

1 k

i i i

n x

n∑= = 6,5

Sx=1.732 Sy=3,465

u= 2 2

X Y

− + =2,473

α=0.05→1

2

α

−

=0,475→ tα=1,96 Vậy bác bỏ H0, chấp nhận H1

Phương pháp B có hiệu quả hơn phương pháp A

3 Trọng lượng của một loại sản phẩm tuân theo phân phối chuần Quan sát

số sản phẩm do máy I và máy II sản xuất ta thu được số liệu tương ứng sau:

Số sản phẩm Trọng lượng (g)

Với mức ý nghĩa 5%, phải chăng trọng lượng trung bình của sản phẩm do hai máy là khác nhau?

Giải:

Gọi X, Y là trọng lượng trung bình của sản phẩm do hai máy

Đặt: H0: µx=µy

H1: µx≠µy

Ta có m,n<30, σx ,σy chưa biết ta áp dụng công thức trường hợp thứ tư: m=15 n=14

Ta có: X =

1

i i i

m x

m∑= = 9,8 Y=

1

1 k

i i i

n x

n∑= = 9,89

Sx=0,455 Sy=0,446

S2=

2

m n

+ − =0,203

u= 2 2

X Y

− + = -0,538

α=0.05→ t(m+n-2,α)=2,052

Vậy chấp nhận H0, bác bỏ H1

Vậy trọng lượng trung bình sản phẩm của máy I và máy II không khác nhau

4 Giám đốc một hãng sản xuất thép muốn xát định xem có sự khác biệt năng suất giữa ca ngày và ca tối không Một mẫu 100 công nhân ca ngày sản xuất được X = 74,3 với độ lệch tiêu chuẩn S1=16; một mẫu khác 100 công nhân ca tối sản xuất được Y =69,7 với S2=18 ,với mức ý nghĩa 0.1, hãy xem có sự khác biệt giữa năng suất giữa hai ca không?

Giải:

Gọi X,Y là số phần/ giờ của mỗi công nhân làm ca sáng và ca tối

Đặt: H0: µx=µy

H1: µx≠µy

Do m,n>30, áp dụng trường hợp 2:

u= 2 2

X Y

− + =1,91

α=0.1→1

2

α

−

=0.45→ tα=1,65

u > tα: bác bỏ H0, chấp nhận H1

Vậy với mức ý nghĩa 0,1 thì có sự khác nhau giữa ca sáng và ca tối

5 Giám đốc của một công ty thực phẩm muốn xát định liệu một kiểu đóng gói mới có làm tăng sản lượng hàng bán được hay không Một mẫu gồm

30 quầy tương đương nhau, chọn ngẫu nhiên 15 quầy bán hàng theo gói mới, còn 15 quầy khác bán hàng theo gói cũ và tính được lượng hàng bán được trong thời gian nghiên cứu:

_ loại gói mới: X = 130 hộp với s 1 =10

_loại gói cũ: Y=170 hộp với s 2 =12

Với mức ý nghĩa 5% hãy xem kiểu đóng gói mới có làm tăng sản lượng bán hàng không? Giả sử lượng hàng hóa bán được có cùng phương sai chuẩn.

Giải Gọi X,Y là lượng hàng trung bình bán được của loại gói mới và gói cũ

Đặt: H0: µx=µy

H1: µx>µy

m,n<30 ta dùng trường hợp thứ tư:

S2=( 1) 2 ( 1) 2

2

m n

u= 2 2

X Y

− + =3,223

α=0,05→t(28,0.05)=2,048

Vậy bác bỏ H0, chấp nhận H1

Với mức ý nghĩa 5% kiểu đóng gói mới làm tăng sản lượng hàng bán

6 Kết quả chuẩn hóa dng dịch HCl theo hai chất gốc sau:

(1) Theo Na2CO3 (mol/L): 0,1250 0,1248 0,1252 0,1254 (2) Theo Na2B4O7.10H2O (mol/L): 0,1254 0,1258 0,1253 0,1255 Hãy so sánh giá trị trung bình của 2 dãy kết quả trên, biết mức ý nghĩa α=95%.

Giải:

Gọi X,Y là giá trị trung bình của nồng độ mol hai chất trên

Đặt: H0: µx=µy

H1: µx≠µy

m,n<30 ta dùng trường hợp thứ tư:

Theo công thức ta tính được:

1

i i i

n x

m∑= = 0,1251 Y=

1

1 k

i i i

n x

n∑= =0,1255

Sx=2,58.10-4

Sy= 2,16.10-4

S2=

2

m n

+ − = 5,661.10

-8

u= 2 2

X Y

− + = -2,378

Tra bảng Student

Do u <→ Bác bỏ H1, nhận H0

Vậy hai giá trị trung bình trên giống nhau

7 Người ta phát hiện một ít tóc trong tay nạn nhân của một vụ án mạng Việc phân tích hàm lượng kẽm trong tóc bằng phương pháp hấp thụ phân

tử ở tay nạn nhân với tóc người phục vụ bị nghi vấn có kết quả như sau: Tóc người phục vụ, %Zn: 250 265 258 268 ppm

Tóc trong tay nạn nhân,%Zn: 234 245 249 242 237 ppm

Có thể khẳng định người phục vụ nằm trong viện nghi vấn không?

Giải:

Gọi X,Y lần lượt là hàm lượng kẽm trong tóc của nạn nhân và tóc của người phục vụ

Đặt: H0: µx = µy

H1: µx ≠ µy

m,n<30 ta dùng trường hợp thứ tư:

Theo công thức ta tính được:

X =

1

i i i

n x

m∑= = 241,4 Y=

1

1 k

i i i

n x

n∑= = 260,25

Sx=6,025 Sy= 8,106

S2=

2

m n

+ − = 48,282

u= 2 2

X Y

− + = 4,044

Tra bảng Student

Do u = 4,044 >

→ bác bỏ H0, chấp nhận H1

Người phục vụ nằm trong viện nghi vấn

8 Điều tra năng suất của 8 thửa ruộng trồng giống lúa A và năng suất của

10 thửa ruộng trồng giống lúa B với cùng một điều kiện canh tác ta có kết quả sau:

Biết rằng X∼N( µx ;σ2 ), Y∼N(µy ; σ2 ) Với mức ý nghĩa α = 0,05 Hãy xem có sự khác biệt giữa năng suất của 2 thửa ruộng không?

Giải Gọi: X, Y là năng suất trồng được giống lúa A và giống lúa B

Đặt: H0: µx = µy

H1: µx #µy

Ta có: m, n<30, σx,σy chưa biết Ta áp dụng công thức trường hợp thứ tư: m=8 n=10

Ta có:

1

1

40

k

i i i

m =

= ∑ = ,

1

1

41

k

i i i

n =

= ∑ = , 2 42

6 7

X

S = = , S Y2 = 6,667

2 ( 1) ( 1)

6,375 2

S

m n

− + −

+ − , S =2,52

1

0,835

2,52

8 10

X Y u

S

m n

−

t(16;0,05) = 2,12 ; u = 0,835< t (16;0.05) = 2,12

⇒ Chấp nhận H0

Vậy cùng điều kiện canh tác, năng suất trồng được giống lúa A và B là bằng nhau

9 Trong một công ty sản xuất bóng đèn, người ta muốn kiểm tra sự làm việc của hai phân xưởng A và B Một mẫu gồm m = 10 bóng đèn của phân xưởng A cho tuổi thọ trung bình 4000 giờ với độ lệch chuẩn 200 giờ Một mẫu gồm n = 8 bóng đèn của phân xưởng B cho tuổi thọ trung bình 4300 giờ với độ lệch chuẩn 250 giờ Biết rằng tuổi thọ của mỗi bóng đèn của hai phân xưởng A và B, theo thứ tự, tuân theo luật phân phối chuẩn có cùng phương sai Hãy cho kết luận về sự khác nhau giữa tuổi thọ trung bình của hai loại bóng đèn trên ở mức ý nghĩa 1%

Giải Gọi X và Y là tuổi thọ trung bình của bóng đèn của phân xưởng A và B Đặt: H0: µx = µy

H1: µx ≠ µy

Ta có: m, n<30, σx2,σy2 chưa biết Ta áp dụng công thức trường hợp thứ tư:

m = 10 n = 8

Ta có: X = 4000 , Y = 4300 , S X =200, S Y =250

49843, 75

S

m n

+ − + − , S=223, 26

X Y u

S

m n

−

+

t(16;0,01) = 2,921 ; u = 2,832 < t(16;0,01) = 2,921

⇒ Chấp nhận giả thuyết H0

Vậy 2 phân xưởng A, B làm việc như nhau

10 Hai máy cùng gia công một loại chi tiết Để kiểm tra độ chính xác của hai máy người ta lấy ngẫu nhiên mỗi máy 7 chi tiết và đo được kết quả:

Máy 1 135 138 136 140 138 135 139

Máy 2 140 135 140 138 135 138 140

Với mức ý nghĩa 5% có thể cho rằng chất lượng sản phẩm của hai máy có như nhau không?

Giải Gọi X, Y lần lượt là độ chính xác của máy 1 và máy 2

Đặt: H0: µx=µy

H1: µx≠µy

Ta có: m,n<30 ta sử dụng trường hợp 4:

X =

1

i i i

n x

m∑= = 137,28 Y=

1

1 k

i i i

n x

n∑= =138 Sx=1,976 Sy=2,236

u = ( ) 2 2

2

m n

+ − = 4,452

t(12;0,05)= 2,217

u >t  Bác bỏ H0, chấp nhận H1

Vậy độ chính xác của hai máy là khác nhau

11 Để so sánh thời gian sản xuất ra 1 sản phẩm của hai máy (đơn vị là giây) người ta điều tra và ghi lại kết quả:

Với mức ý nghĩa 5% có thể cho rằng máy 2 tốt hơn máy 1 không Giả sử độ lệch chuẩn thời gian sản xuất mỗi sản phẩm hai máy là như nhau và có phân phối chuẩn.

Giải Gọi X và Y lần lượt là thời gian sản xuất của máy 2 và máy 1

Đặt: H0: µx = µy

H1: µx < µy

Ta có: m, n<30, σx,σy chưa biết Ta áp dụng công thức trường hợp thứ tư:

X =

1

i i i

n x

m∑= = 57 Y=

1

1 k

i i i

n x

n∑= =52 Sx=13,597 Sy=14,461 u= ( 1) 2 ( 1) 2

2

m n

+ − = 196,999

t(18;0,05)= 2,101

u >t  Bác bỏ H0, chấp nhận H1

Vậy máy 2 làm việc tốt hơn máy 1

CÁC BẢNG TRA

Bảng 2: Phân phối chuẩn hoá (Hàm Laplace)

z o 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.0 0.0000 0.0040 0.0080 0.0120 0.0160 0.0199 0.0239 0.0279 0.0319 0.0359

0.1 0.0398 0.0438 0.0478 0.0517 0.0557 0.0596 0.0636 0.0675 0.0714 0.0753

0.2 0.0793 0.0832 0.0871 0.0910 0.0948 0.0987 0.1026 0.1064 0.1103 0.1141

0.3 0.1179 0.1217 0.1255 0.1293 0.1331 0.1368 0.1406 0.1443 0.1480 0.1517

0.4 0.1554 0.1591 0.1628 0.1664 0.1700 0.1736 0.1772 0.1808 0.1844 0.1879

0.5 0.1915 0.1950 0.1985 0.2019 0.2054 0.2088 0.2123 0.2157 0.2190 0.2224

0.6 0.2257 0.2291 0.2324 0.2357 0.2389 0.2422 0.2454 0.2486 0.2517 0.2549

0.7 0.2580 0.2611 0.2642 0.2673 0.2704 0.2734 0.2764 0.2794 0.2823 0.2852

0.8 0.2881 0.2910 0.2939 0.2967 0.2995 0.3023 0.3051 0.3078 0.3106 0.3133

0.9 0.3159 0.3186 0.3212 0.3238 0.3264 0.3289 0.3315 0.3340 0.3365 0.3389

1.0 0.3413 0.3438 0.3461 0.3485 0.3508 0.3531 0.3554 0.3577 0.3599 0.3621

1.1 0.3643 0.3665 0.3686 0.3708 0.3729 0.3749 0.3770 0.3790 0.3810 0.3830

1.2 0.3849 0.3869 0.3888 0.3907 0.3925 0.3944 0.3962 0.3980 0.3997 0.4015

1.3 0.4032 0.4049 0.4066 0.4082 0.4099 0.4115 0.4131 0.4147 0.4162 0.4177

1.4 0.4192 0.4207 0.4222 0.4236 0.4251 0.4265 0.4279 0.4292 0.4306 0.4319

1.5 0.4332 0.4345 0.4357 0.4370 0.4382 0.4394 0.4406 0.4418 0.4429 0.4441

1.6 0.4452 0.4463 0.4474 0.4484 0.4495 0.4505 0.4515 0.4525 0.4535 0.4545

1.7 0.4554 0.4564 0.4573 0.4582 0.4591 0.4599 0.4608 0.4616 0.4625 0.4633

1.8 0.4641 0.4649 0.4656 0.4664 0.4671 0.4678 0.4686 0.4693 0.4699 0.4706

1.9 0.4713 0.4719 0.4726 0.4732 0.4738 0.4744 0.4750 0.4756 0.4761 0.4767

2.0 0.4772 0.4778 0.4783 0.4788 0.4793 0.4798 0.4803 0.4808 0.4812 0.4817

2.1 0.4821 0.4826 0.4830 0.4834 0.4838 0.4842 0.4846 0.4850 0.4854 0.4857

2.2 0.4861 0.4864 0.4868 0.4871 0.4875 0.4878 0.4881 0.4884 0.4887 0.4890

2.3 0.4893 0.4896 0.4898 0.4901 0.4904 0.4906 0.4909 0.4911 0.4913 0.4916

2.4 0.4918 0.4920 0.4922 0.4925 0.4927 0.4929 0.4931 0.4932 0.4934 0.4936

2.5 0.4938 0.4940 0.4941 0.4943 0.4945 0.4946 0.4948 0.4949 0.4951 0.4952

2.6 0.4953 0.4955 0.4956 0.4957 0.4959 0.4960 0.4961 0.4962 0.4963 0.4964

2.7 0.4965 0.4966 0.4967 0.4968 0.4969 0.4970 0.4971 0.4972 0.4973 0.4974

2.8 0.4974 0.4975 0.4976 0.4977 0.4977 0.4978 0.4979 0.4979 0.4980 0.4981

2.9 0.4981 0.4982 0.4982 0.4983 0.4984 0.4984 0.4985 0.4985 0.4986 0.4986

3.0 0.4987 0.4987 0.4987 0.4988 0.4988 0.4989 0.4989 0.4989 0.4990 0.4990

BẢNG 3: PHÂN PHỐI STUDENT

Bậc tự do t0.10 t0.05 t0.025 t0.01 t0.005

1 6.314 12.706 25.452 63.657 127.321

20 1.725 2.086 2.423 2.845 3.153

1000000 1.645 1.960 2.241 2.576 2.807

III Nguồn tham khảo

Bài tập Xác xuất thống kê_ Dương Hoàng Kiệt

Xác xuất thống kê và ứng dụng_ Lê Sỹ Đồng