Tính toán vùng cấm quang tử của tinh thể quang tử hai chiều

Chương I: Lí thuyết về truyền dẫn ánh sáng trong cấu trúc điện môi hai chiều Hệ phương trình Maxwelllà một tập các phương trình vi phân cơ sở cho điện động lựchọc cổ điển, quang học cổ đ

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI

VIỆN ĐIỆN TỬ VIỄN THÔNG

BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN

MÔN: CÔNG NGHỆ NANO

Đề tài: Tính toán vùng cấm quang tử của tinh thể quang tử hai chiều

Giảng viên hướng dẫn: T.S Nguyễn Việt Hưng

Nhóm sinh viên thực hiện: Nhóm 2

Hà Nội, 11/2015

M c L c ục Lục ục Lục Lời Nói Đầu 1

Phân công công việc trong nhóm 2

Chương I: Lí thuyết về truyền dẫn ánh sáng trong cấu trúc điện môi hai chiều 3

Chương II: Tính chất của các mode TE và TM 8

2.1 Mode TM 9

2.2 Mode TE 10

Chương III: Trình bày cơ sở lí thuyết của phương pháp khai triển sóng phẳng (Plane wave expansion method) sử dụng để tính toán vùng cấm quang tử 12

3.1 Giới thiệu về tinh thể quang tử 12

3.2 Tinh thể photonic band gap (PBG) 12

3.3 Sợi tinh thể quang tử và kĩ thuật truyền dẫn trong sợi tinh thể quang tử 13

3.4 Phương pháp khai triển sóng phẳng (Plane wave expansion method) 14

Chương IV: Mô phỏng bằng phần mềm optiFDTD 16

Chương V: Kết luận 20

Lời Nói Đầu

Nền khoa học công nghệ trên thế giới đang phát triển một cách nhanh chóng nhất là cácnước đang phát triển như Mỹ, Nhật Bản Sự phát triển của khoa học công nghệ đã đem lại những diện mạo mới cho cuộc sống con người và công nghệ điện tử viễn thông Hiện nay trên thế giới đang hình thành một ngành khoa học và công nghệ mới, có nhiều triển vọng và dự đoán sẽ có tác động mạnh mẽ đến tất cả các lĩnh vực khoa học công nghệ, kĩ thuật cũng như đời sống kinh tế xã hội của thế kỉ XXI - đó chính là công nghệ nano Với công nghệ nano cho phép chúng ta có thêm những ý tưởng mới trong nhiều lĩnh vực của đời sống xã hội Trong công nghệ nano việc nghiên cứu về tinh thể quang tử và vùng cấn quang của tính thể quang tử là việc vô cùng quan trọng Chính vì lí do đó trong bản báo

cáo này chúng em xin trình bày nội dung nghiên cứu về đề tài: "Tính toán vùng cấm

quang tử của tinh thể quang tử hai chiều".

Đề tài gồm những nội dung sau:

Chương I: Lí thuyết về truyền dẫn ánh sáng trong cấu trúc điện môi hai chiều Chương II: Tính chất của các mode TE và TM.

Chương III: Trình bày cơ sở lí thuyết của phương pháp khai triển sóng phẳng (Plane wave expansion method) sử dụng để tính toán vùng cấm quang tử.

Chương IV: Mô phỏng lí thuyết trên phần mềm optiFDTD.

Chương V: Kết luận.

Phân công công việc trong nhóm

báo cáo

Chương I: Lí thuyết về truyền dẫn ánh sáng trong cấu trúc điện môi hai chiều

Hệ phương trình Maxwelllà một tập các phương trình vi phân cơ sở cho điện động lựchọc cổ điển, quang học cổ điển và lý thuyết mạch điện - những lĩnh vực đặt nền móngcho các công nghệ hiện đại Hệ phương trình Maxwell mô tả mối quan hệ tác động qualại lẫn nhau giữa điện trường và từ trường

Hệ phương trình Maxwell được tổng hợp từ định luật Gauss cho điện trường và từtrường, định luật Ampere và định luật Faraday:

∇ ∙ B=0 (1.1) ∇ × E+ ∂ B

∂t =0 (1.3) ∇ ∙ D=ρ (1.2) ∇ × H− ∂ D

∂ t =J (1.4)

Các đại lượng được bôi đậm đều là những đại lượng vector, các đại lượng in nghiêng làcác đại lượng vô hướng

Bảng 1.1 Bảng khái niệm các đại lượng trong các phương trình:

weber / mét vuông

∇ × Toán tử ⃗rot, tính độ xoáy

cuộn của trường vector

Trên mét

Trong hệ tọa độ Descartes 3 chiều, các toán tử trên có thể được biểu diễn như sau: Nếu

gọi A là một trường vector, trong không gian 3 chiều trường vector này có thể được biểu

diễn dưới dạng A=A x^x+ A y^y+ A z^z với ^x , ^y , ^z lần lượt là các vector đơn vị của hệ trục tọa

trí phụ thuộc vào vector vị trí r (r là vector nối vị trí trục tọa độ tham chiếu với điểm

đang xét) Vì trong môi trường này không có nguồn nên ta có thể thay ρ=0, J =0 vào hệphương trình Maxwell

Hình 1.1.Vùng chứa các điện môi đồng nhất hỗn hợp, không có dòng và hạt mang

điện

Ở đây ta giả sử 3 điều sau:

 Vật liệu trên là vĩ mô và đồng nhất, vì vậy E (r , ω)và D (r , ω) liên hệ với nhau qua

ε0 nhân với một hàm điện môi vô hướng ε (r , ω) (còn được gọi là hằng số điện môitương đối)

 Bỏ qua phụ thuộc của hằng số điện môi tương đối vào tần số (bỏ qua tán sắc vậtliệu) , vì vậy ε (r , ω )=ε (r ).

 Ta chỉ tập trung vào các vật liệu trong suốt, vì vậy ε (r ) luôn là số dương thực

Vậy ta có mối quan hệ giữa B và H, D và E như sau:

D (r)=ε0ε (r) E (r) (1.7)

B (r )=μ0μ (r ) H (r ) (1.8)

(với μ0=4 π 10−7Henry/met) Tuy nhiên, trong các vật liệu điện môi đề cập sắp tới, μ (r) có thể được coi như xấp xỉbằng 1 Khi đó chiết suất n=√εμ (Định luật Snell) Với các giả thiết trên, hệ phương trìnhMaxwell trở thành:

∇ ∙ H (r , t)=0 (1.9) ∇ × E (r , t)+μ0 ∂ H (r ,t )

∂ t =0(1.11)

∇ ∙[ε (r ) E (r , t)]=0 (1.10) ∇ × H (r ,t )−ε0ε (r ) ∂ E (r , t)

Nhìn chung, cả E và H đều là các hàm phức tạp của cả không gian và thời gian Tuy

nhiên, vì hệ phương trình Maxwell có tính chất tuyến tính do bản thân các toán tử ∇ ∙ ,

∇ × cũng có tính chất tuyến tính:

∇ ∙(B1+B2)=∇∙ B1+∇∙ B2 (1.13)

∇ ×(B1+B2)=∇ × B1+∇× B2 (1.14)

Nghĩa là nếu B1 và B2 thỏa mãn hệ phương trình Maxwell thì tổng của chúng cũng vậy,

và ta có thể dựa vào nguyên lý xếp chồng để xây dựng nên trường phức tạp bằng cáchxây dựng các trường đơn giản

Dựa trên tính chất này ta có thể biểu diễn E và H bằng cách khai triển trường thành

một tập các mode điều hòa (harmonic modes – thường được gọi đơn giản là các mode).

Các nghiệm của phương trình, hay nói cách khác là các mode có thể được viết dưới dạng

sau, với H(r) là một cấu trúc không gian (còn được gọi là "mode profile") Phần thực của

mode chính là trường vật lý tương ứng:

H (r )=a e−iωt k r với k là một vector sóng (vector mô tả sóng) nào đó thì:

∇ ∙ H (r)=∇ ∙[a e−iωt k r]=−iωt k a=0 (1.19)

∇ ×(ε(r )1 ∇× H (r ))=(ω c )2H (r ) (1.21)

Phương trình trên được gọi là phương trình Master, cùng với phương trình (1.20), nó cho ta biết mọi thứ cần thiết về H(r) Với mỗi cấu trúc ε (r ) biết trước, chúng ta sẽ giảiphương trình Master, tìm ra các mode H (r ) thỏa mãn điều kiện sóng ngang và các tần số

tương ứng của chúng Sau đó sử dụng công thức thứ 2 của (1.20) để suy ra E(r):

E (r )= iωt

ω ε0ε (r) ∇× H (r) (1.22) Cách làm này cũng đảm bảo tính ngang của E (r ), hay nói cách khác là đảm bảo

∇ ∙ ε(r ) E (r)=0 vì ∇ ∙ ( ∇×)=0, ngoài ra chúng ta cũng có thể tìm H từ E thông qua công

thức thứ nhất của (1.20)

H (r )= −iωt

ω μ0∇ × E (r ) (1.23)

Chương II: Tính chất của các mode TE và TM

Ta có phương trình cách một sóng đi vào ống dẫn sóng (chất điện môi):

Chúng ta có thể kết hợp (2.1) với (2.5) và (2.2) với (2.4) để ra được phương trình cho

H x và E x để được như phương trình (2.7) và (2.9) Chúng ta cũng có thể biến đổi phương trình (2.3) và (2.6) để có phương trình của H y và E y như phương trình (2.8) và (2.10)

Các thành phần ngang E x, E y, H x, H y, được mô tả trong các điều kiện của thành phần dọc

E z và H z Và từ đó chúng ta có 3 trường hợp sau:

 Mode điện ngang TE(Transverse Electric): khi E z = 0 và H z ≠0

 Mode từ ngang TM (Transverse Magnetic): khi E z ≠ 0 và H z=¿0

 Mode điện từ ngang TEM(Transverse Electromagnetic): khi E z = H z=¿0

~E z TM(x,y,z) = (Asink x x +Bcos k x x)(Csink y y +Dcos k y y)e−jωεβz (2.15)

Các điều kiện biên TM cho hình chữ nhật ống dẫn sóng là:

~E z TM

(0,y,z) = ~E z TM

(a,y,z) = 0 ~E z TM(x,0,z) = ~E z TM(x,b,z) = 0 (2.16)

Áp dụng các điều kiện trên có

~E z TM(0,y,z) = 0 → B = 0

~E z TM(a,y,z) = 0 → k xa = mπ (m= 1,2,3 ) → k x= mππ a

~E z TM(x,0,z) = 0 → D = 0

~E z TM(x,b,z) = 0 → k yb = nπ (n =1,2,3 ) → k y= nπ b (2.17)

Với A và C được coi như là hằng số Các TM mode rời rạc là vô hạn phụ thuộc vào các

giá trị của m và n Một TM mode được kí hiệu là TMmn mode.

~E z TM(x,y,z) = E0sinmππx a sinnπy b e−jωεβz

(2.18) (m= 1,2,3, )

(n= 1,2,3, )

Các thành phần trường ngang của TMmn mode được tìm thấy bằng cách phân biệt

điện trường dọc theo định nghĩa của TM chuẩn phương trình :

H TE z + k2H TE z = 0 (2.20)trong đó mở rộng trong tọa độ vuông góc là

~E x TE(x,0,z) = 0 → C = 0

~E x TE(x,b,z) = 0 → k yb = nπ (m= 0,1,2, ) → k y= nπ b

~E TE y (0,y,z) = 0 → A = 0

~E TE y (a,y,z) = 0 → k xa = mπ (n = 0,1,2, ) → k x= mππ a (2.22)

Kết hợp các hằng số B và D vào H0 , có kết quả từ trường theo chiều dọc của mode

~H TE z mπn(x,y,z) = H0cosmππx a cosnπy b e−jωεβz

(2.23) (m= 0,1,2, ) (m≠ n ≠ 0)

Như ta thấy khi m=n=0 thì tất cả các thành phần từ trường trừ H z đều bằng 0 Do đó m

và n có thể lấy giá trị bất kì 0,1,2,3 nhưng không được đồng thời bằng 0 Như vậy trong ống dẫn sóng hình chữ nhật có thể tồn tại vô số kiểu trường điện ngang khác nhau Phân

bố trường theo các cạnh a, b có dạng sóng đứng, đồng thời m xác định số nửa sóng trong khoảng (0,a) còn n là số nửa sóng trong khoảng (0,b)

Chương III: Trình bày cơ sở lí thuyết của phương pháp khai triển sóng phẳng (Plane wave expansion method) sử dụng để tính toán vùng cấm quang tử

3.1 Giới thiệu về tinh thể quang tử

Thế giới ngày nay có nhu cầu ngày càng tăng về các máy tính và thông tin liên lạc, nênchúng ta ngày càng chú ý hơn tới các linh kiện quang mà độ rộng phổ và tốc độ làm việc của nó có thể đóng góp cho rất nhiều ứng dụng to lớn khác nhau Ta biết rằng sự thay đổi cấu trúc sẽ dẫn đến sự thay đổi tính chất Đây chính là quan điểm đã dẫn Yablomovitch tới giả thiết rằng chúng ta có thể thực hiện với photon những gì mà ta đã làm với điện tử Các tinh thể quang tử cũng được biết đến như là các cấu trúc micro hoặc là các cấu trúc

có vùng cấm quang, là các vật liệu với cấu trúc tuần hoàn về các hằng số điện môi khác nhau Các tinh thể quang tử là 1D, 2D, 3D tùy theo sự tuần hoàn về hằng số điện môi, theo không gian 1 chiều, 2 chiều hay 3 chiều Các tinh thể quang tử 3D thì tương tự với các tinh thể chất rắn Ý tưởng tổng quát là các tinh thể photonic có thể làm những việc với photon như là các tinh thể bán dẫn có thể làm với các điện tử, có nghĩa là chúng có thể tạo ra tình trạng mà ở đó các photon ở một dãy năng lượng nào đó thì không thể đi qua tinh thể được và chúng bị phản xạ khi chạm vào tinh thể hoặc là không được phép truyền qua tất cả các hướng ở bên trong nó Điều sau này rất quan trọng, vì ví dụ ánh sáng có thể được phát ra từ một nguồn sáng, được phát xạ lại bởi tinh thể, hiển nhiên là được tái hấp thụ, rồi lại tái phát xạ

Hình 3.1 Tinh thể quang tử 1D, 2D và 3D

3.2 Tinh thể photonic band gap (PBG)

Một tinh thể PBG là một cấu trúc có thể điều khiển chùm ánh sáng giống như điều khiển dòng điện trong các chất bán dẫn Một chất bán dẫn không thể hỗ trợ các điện tử có

năng lượng nằm trong vùng cấm điện tử Tương tự như vậy, một tinh thể quang tử không thể hỗ trợ các photon nằm trong khe hở lượng tử ánh sáng Bằng cách ngăn chặn hoặc cho phép ánh sáng truyền qua một tinh thể, xử lí ánh sáng có thể được thực hiện Điều này sẽ tạo ra cuộc cách mạng hóa lượng tử ánh sáng, cách mạng hóa các bóng bán dẫn điện tử.

Tinh thể quang tử thường bao gồm vật liệu điện môi, đó là một vật liệu đóng vai trò là vật liệu cách điện hoặc trong đó có một trường điện từ có thể được lan truyền với tổn haothấp Các lỗ trong thứ tự của các bước sóng liên quan được khoan vào điện môi trong mộtcấu trúc mạng tinh thể tương tự nhau và được lặp đi lặp lại Nếu được xây dựng đủ chính xác kết quả các tinh thể sẽ như một PBG, một loạt các tần số mà trong đó một bước sóng riêng của ánh sáng sẽ bị chặn

Sự hình thành PBG có thể được coi là sự tương tác hiệp lực giữa hai cơ chế cộng hưởngtán xạ khác nhau Đầu tiên là cộng hưởng Bragg vĩ mô từ một mảng tuần hoàn của tán xạ.Điều này dẫn đến khoảng cách dừng điện tử khi sóng lan truyền theo hướng điều chế định kì theo một số nguyên lần nửa bước sóng Thứ hai là một tán xạ cộng hưởng vi mô

từ một tế bào đơn vị duy nhất của vật liệu Sự hình thành PBG được tăng cường bằng cách chọn những vật liệu có các thông số sao cho cả hai cộng hưởng vĩ mô và vi mô xảy

Nếu lỗ khuyết của cấu trúc thực sự do dịch chuyển tâm của các ống nhỏ thì sự truyền dẫn sóng điện từ trong sợi tinh thể quang tử có thể được chú ý tới như sự biến đổi của tổng những phản xạ nội Sự biến đổi là do hệ thống của những ống nhỏ chứa không khí làm dò rỉ những mode cao hơn vì vậy chỉ có một mode cơ bản được truyền đi Đây là mode có đường kính nhỏ nhất gần kích thước của lỗ khuyết, hằng số mạng của cấu trúc tuần hoàn

Trong mạng của những sợi nhỏ chứa không khí, tâm của nó được thay bằng một thanh Nếu tâm của lỗ khuyết được chèn bằng tâm của sợi nhỏ chứa không khí, mà có đường kính khác so với những sợi nhỏ khác Khi đó chúng ta có được dải vùng cấm quang tử

(PBG) Sự định hướng ánh sáng được xem như cách dẫn electron trong vật lí chất rắn với cấu trúc giải năng lượng.

Những lõi không khí phân bố không tuần hoàn có thể có cấu trúc như một tinh thể quang tử hai chiều có hằng số mạng tương đương với bước sóng ánh sáng Trong cấu trúctinh thể quang tử hai chiều tồn tại dải vùng cấm có thể ngăn cản ánh sáng truyền trong một dải tần số xác định nào đó Nếu cấu trúc tuần hoàn bị lỗi với một lỗ khuyết một vungđặc biệt với những đặc điểm quang học khác nhau được tạo ra từ tinh thể quang tử Vùng

lỗ khuyết có thể tạo ta nhưng mode với tần số nằm trong dải vùng cấm quang tử nó có thểngăn cản những sóng này xuyên sâu vào trong tinh thể quang tử Khi dải vùng cấm được

sử dụng để giam hãm ánh sáng trong lõi, đòi hỏi miền lỗ khuyết phải có chiết suất lớn hơn miền xung quanh

3.4 Phương pháp khai triển sóng phẳng (Plane wave expansion method)

Thông thường sử dụng phương pháp cho modeling của sợi quang học không thể thành công trong PCF modeling Những sợi này có hệ số phản xạ cao và có cấu trúc tuần hoàn với hằng số mạng cỡ bước sóng ánh sáng Bởi vậy những phương pháp sử dụng modelingtrong tinh thể quang tử tương tự trong sóng điện từ

Phương pháp khai triển sóng phẳng (PWE) cho ta một cách tiếp cận rất hiệu quả và gầnvới mô hình PCFs Phương pháp này cho ta phép giải phương trình vector sóng đầy ddue cho trường từ Trong mô hình này trường tuần hoàn cũng như vị trí phụ thuộc vào hằng

số điện môi sử dụng khai triển Fourier của các hàm tuần hoàn được xác định bởi vector mạng tương hỗ

Phương pháp PWE cho phép tính được độ tán sắc tương đối và dải vùng cấm của quang

tử trong những cấu trúc điện môi tuần hoàn Nó có thể được ứng dụng với bất kì loại cấu trúc tinh thể nào, bao gồm cả những tinh thể bất thường Điều này cho phép xác định cấu trúc dải cua quang tử trong cơ chế dẫn của PBG, cũng như những mode trong chiết xuất của cơ chế dẫn sóng Đây là phương pháp tương đối nhanh, chính xác, tuy nhiên nó có một số nhược điểm như không thể sử dụng để tính toán cấu trúc của những vật liệu có tính chất hoạt hóa(hấp thụ và khuếch đại) Ngoài ra, nó không mang lại bất kì thông tin

về tổn thất do tán xạ, truyền tải và ánh xạ của ánh sáng tới trong PCF

Chương IV: Mô phỏng bằng phần mềm optiFDTD

Hình 4.1 Các dạng của mạng thiết kế

a) Layout

b) 2D

c) 3D layout model

Hình 4.2 Crystal lattice Properties

Hình 4.3 PWE Parameters

Hình 4.4 TE – PWE Band Solver Simulator

Hình 4.5 TM – PWE Band Solver Simulator