Báo cáo bài tập lớn công nghệ nano cấu trúc vùng cấm quang tinh thể quang tử hai chiều

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI VIỆN ĐIỆN TỬ - VIỄN THƠNG ********** BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN Mơn: Công nghệ Nano Đề tài: cấu trúc vùng cấm quang tinh thể quang tử hai chiều Giảng viên hướng dẫn: TS Nguyễn Việt Hưng Nhóm 01: Thành viên nhóm: Trần Hữu Tùng 2015 4281 Trần Quốc Tuân 2015 4064 Hồng Đình Nam 2015 2535 Đỗ Tuấn Anh 2015 0043 Nguyễn Hữu Doanh 2015 0571 Nguyễn Trọng Đạo 2015 0808 Hà Nội, tháng 11, năm 2019 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Yêu cầu đề tài • Lý thuyết truyền dẫn ánh sáng cấu trúc điện môi chiều: Biểu diễn chi tiết phương trình Maxwell theo trục tọa độ, nghiệm dạng tổng qt • Tính chất mode TE TM • Trình bày sở lý thuyết phương pháp khai triển sóng phẳng (Plane wave expansion method) sử dụng để tính tốn vùng cấm quang tinh thể quang tử Viết phương trình ma trận phương pháp cho trường hợp mạng chiều • Sử dụng phần mềm OptiFDTD mơ tính tốn vùng cấm quang tinh thể quang tử chiều có cấu trúc mạng dạng Hình lục giác Biểu diễn cấu trúc vùng theo hướng khác mạng, nhận xét kết Nhận xét đánh giá CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Lời giới thiệu Công nghệ khoa học vật liệu động lực thay đổi nhiều ngành khoa học, đặc biệt ngành phát triển nhanh mạnh mẽ, có ngành học Điện tử - Viễn thông mà chúng em theo học Đặc biệt, công nghệ nano ứng dụng mạnh mẽ thông tin quang giúp tăng hiệu suất truyền tin Môn học Công nghệ Nano giúp chúng em ôn lại kiến thức, khái niệm phương trình Maxwell, đại số tuyến tính, giải tích, vật lý điện tử Đây lý thuyết công nghệ nano với điện tử viễn thông để giải vấn đề thực tế Môn học cịn giúp chúng em có kiến thức ứng dụng công nghệ nano viễn thông đặc biệt thơng tin quang Chính vậy, với phân công hướng dẫn thầy, nhóm chúng em định tìm hiểu phát triển đề tài Tính tốn cấu trúc vùng cấm tinh thể quang tử hai chiều Đề tài gồm có lý thuyết truyền sóng tính tốn, mơ vùng cấm quang tinh thể quang tử hai chiều có cấu trúc mạng hình lục giác (Phần mềm OptiFDTD) Nhóm chúng em xin trân thành cảm ơn thầy TS.Nguyễn Việt Hưng hướng dẫn nhóm hồn thành đề tài Do giới hạn kiến thức kỹ thực hành nên trình hồn thành đề tài có sai sót nhóm em mong góp ý thầy để nhóm em hồn thành đề tài cách tốt CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Mục lục Yêu cầu đề tài Nhận xét đánh giá Lời giới thiệu Mục lục Danh mục hình ảnh Danh mục bảng biểu Phân công công việc Nội dung Truyền dẫn ánh sáng cấu trúc điện môi hai chiều 1.1 Hệ phương trình Maxwell 1.2 Tìm nghiệm tổng quát Tính chất mode TE TM 12 2.1 Mode TM 13 2.2 Mode TE 15 Phương pháp khai triển sóng phẳng 16 3.1 Cơ sở lý thuyết phương pháp khai triển sóng phẳng 16 3.2 Những thuộc tính tinh thể quang tử hình lục giác 19 Mô vùng cấm quang OptiFDTD 23 4.1 Thiết kế 23 4.2 Phân tích vùng cấm quang 25 4.3 Mở rộng mô 26 Danh mục tài liệu tham khảo 32 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Danh mục hình ảnh Hình Mơ hình 3D tinh thể quang tử chiều hình lục giác 11 Hình Lát cắt tinh thể quang tử hai chiều hình lục giác 11 Hình TM mode TE mode 13 Hình Vector sở tinh thể hình lục giác 19 Hình Kích thước mạng tinh thể hai chiều hình lục giác 23 Hình Mơ hình mạng tinh thể hai chiều hình lục giác 24 Hình Cấu trúc vùng cấm mode TE 25 Hình Cấu trúc vùng cấm mode TM 25 Hình Cấu trúc vùng cấm mode TE tinh thể SiO2 26 Hình 10 Cấu trúc vùng cấm mode TM tinh thể SiO2 27 Hình 11 Cấu trúc vùng cấm mode TE với ống trụ bán kính 0.1a 28 Hình 12 Cấu trúc vùng cấm mode TM với ống trụ bán kính 0.1a 29 Hình 13 Cấu trúc vùng cấm mode TE với ống trụ bán kính 0.3 29 Hình 14 Cấu trúc vùng cấm mode TM với ống trụ bán kính 0.3a 30 Hình 15 Cấu trúc vùng cấm quang mode TE với ống trụ bán kính 0.4a 30 Hình 16 Cấu trúc vùng cấm quang mode TM với ống trụ kích thước 0.4a 31 Danh mục bảng biểu Bảng Bảng phân công công việc Bảng Chú thích hệ phương trình Maxwell Bảng Giá trị đại lượng số Bảng Sư tương quan học lượng tử điện từ trường 10 Bảng Chiết suất vật liệu 23 Bảng Thơng số nguồn phát sóng điện từ 24 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Phân cơng cơng việc Nhóm Nhiệm Vụ Lý thuyết truyền dẫn ánh sáng cấu trúc điện môi chiều: Biểu diễn chi tiết phương trình Maxwell theo trục tọa độ, nghiệm chúng dạng tổng quát Tính chất mode TE TM Trình bày sở lý thuyết phương pháp khai triển sóng phẳng (Plane wave expansion method) sử dụng để tính tốn vùng cấm quang tinh thể quang tử Viết phương trình ma trận phương pháp cho trường hợp mạng chiều Sử dụng phần mềm OptiFDTD mô tính tốn vùng cấm quang tinh thể quang tử chiều có cấu trúc mạng dạng Hình lục giác Biểu diễn cấu trúc vùng theo hướng khác mạng, nhận xét kết Người Thực Hiện Nguyễn Hoàng Nam Đỗ Tuấn Anh Trần Hữu Tùng Nguyễn Hữu Doanh Nguyễn Quốc Tuân Nguyễn Trọng Đạo Bảng Bảng phân công công việc CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Nội dung Truyền dẫn ánh sáng cấu trúc điện mơi hai chiều 1.1 Hệ phương trình Maxwell Hệ phương trình Maxwell gồm phương trình đề James Clerk Maxwell Dùng để mô tả trường điện từ tương tác chúng vật chất Bốn phương trình Maxwell mơ tả lần lượt: • • • • Điện tích tạo điện trường (định luật Gauss) Sự không tồn vật chất từ tích (định luật Gauss cho từ trường) Dịng điện tạo từ trường (định luật Ampere) Từ trường tạo điện trường (định luật Faraday) Hệ phương trình Maxwell [1]: ⃗⃗ = 𝜌 𝛁𝑫 ⃗ = 𝛁×𝐄 (1) ⃗⃗ 𝝏𝑩 − 𝝏𝑡 (3) ⃗ =0 𝛁∙𝐁 ⃗⃗ = ⃗𝐣 + 𝛁×𝐇 (2) ⃗⃗ 𝛛𝑫 𝛛𝐭 (4) Các đại lượng bôi đậm đại lượng vector, đại lượng in nghiêng đại lượng vô hướng Ký hiệu Ý nghĩa Đợn vị hệ SI E Cường độ điện trường V/m H Cường độ từ trường A/m D B Độ điện dịch(Điện Cảm) Vector cảm ứng từ C/𝑚3 T 𝜌 Mật độ điện tích C/𝑚3 J Mật độ dịng điện A/𝑚2 ∇ Tốn tử Nable Bảng Chú thích hệ phương trình Maxwell ⃗⃗ ,𝑬 ⃗ ,𝑯 ⃗⃗⃗ : Ngồi cịn có mối quan hệ ⃗𝑩⃗ ,𝑫 ⃗ = 𝜀0 ε𝐄 ⃗ 𝐃 ⃗ = μ0 μ𝑯 ⃗⃗⃗ 𝐁 ⃗ 𝐉 = σ𝐄 ε số điện môi môi trường μ số từ môi môi trường Trong điện mơi ta có ρ=0 J=0 Hệ phương trình Maxwell trở thành CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt ⃗ =0 ∇∙𝐃 ⃗ = − ∇×𝐄 ⃗ =0 ∇∙𝐁 (5) ⃗⃗ 𝛛𝑩 𝛛𝐭 ⃗⃗ = ∇×𝐇 (7) (6) ⃗⃗ 𝛛𝑫 𝛛𝐭 (8) Biểu diễn phương trình Maxwell thơng qua hệ tọa độ đề các: −𝜇 −𝜇 −𝜇 𝜕𝐻𝑥 𝜕𝐸𝑧 = 𝜕𝑡 𝜕𝑦 𝜕𝐻𝑦 𝜕𝑡 − 𝜕𝐸 = 𝜕𝑧𝑥 − 𝜕𝐻𝑧 𝜕𝐸𝑥 = 𝜕𝑡 𝜕𝑦 − 𝜕𝐸𝑦 𝜀 𝜕𝑧 𝜕𝐸𝑧 𝜕𝑥 𝜀 𝜕𝐸𝑦 𝜀 𝜕𝑥 𝜕𝐸𝑥 𝜕𝐻𝑧 = 𝜕𝑡 𝜕𝑦 𝜕𝐸𝑦 𝜕𝑡 − 𝜕𝐻 = 𝜕𝑧𝑥 − 𝜕𝐸𝑧 𝜕𝐻𝑦 = 𝜕𝑡 𝜕𝑥 − 𝜕𝐻𝑦 𝜕𝑧 𝜕𝐻𝑧 𝜕𝑥 𝜕𝐻𝑧 𝜕𝑦 Để đơn giản, người ta [2] dùng kỹ thuật phân tích tách mode điện – từ trường riêng rẽ hàm phụ thuộc tọa độ r hàm điều hòa theo thời gian t: ⃗⃗ (r, t) = 𝐇 ⃗⃗ (r)e−iωt 𝐇 ⃗ (r, t) = 𝐄 ⃗ (r)e−iωt 𝐄 (9) (10) Ta thay phương trình (9) (10) vào phương trình (5), (6), (7), (8) ta có: ⃗⃗ (r, t) = ∇∙𝐇 ⃗ (r, t) = −μ0 ∇×𝐄 ⃗ (r, t)] = ∇ ∙ [ε(r)𝐄 (11) ⃗ (r,t) ∂𝐻 ∂t (12) ⃗⃗ (r, t) = ε0 ε(r) ∂𝐄(r,t) (14) ∇×𝐇 ∂t (13) Thực biến đổi ta có: ⃗⃗ (r) = ∇ ∙𝐇 ⃗ (r)] = ∇ ∙ [ε(r)𝐄 (15) ⃗ (r) = iωμ0 ⃗H ⃗ (r) (17) ∇ ×𝐄 ⃗⃗ (r) = −iωε0 ε(r)𝐄 ⃗ (r) ∇×𝐇 (16) (18) Thay ∇ × 𝐸 (𝑟) phương trình (17) cách biến đổi phương trình (18) rút ra, ta phương trình truyền sóng tổng qt chất điện mơi có hàm điện mơi biến đổi ε(r) : ⃗⃗ (r)) = ∇ × (ε(r) ∇ × 𝐇 ω2 c2 ⃗⃗ (r) (9) 𝐇 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Ký hiệu Tên Giá trị Đơn vị hệ SI c Vận tốc ánh sáng 2.998 x 108 m/s 𝜀0 Độ điện thẩm chân không 8.854 x 10-12 Fara/m 𝜇0 Độ từ thẩm trân không 4π.10-7 Henry/m Bảng Giá trị đại lượng số Sau biết cấu trúc phân bố chất điện môi (biết hàm ε(r)) ta giải phương trình tìm H ω Việc tìm E dễ dàng thực thơng qua việc thay H vào phương trình (18) 1.2 Tìm nghiệm tổng qt Để giải phương trình sóng chất điện mơi có cấu trúc tuần hồn, ta cần tìm trị riêng vector riêng phương trình (19) Ta xem xét tốn tương đương, toán điện tử chuyển động tinh thể có khả tuần hồn Bài tốn mơ tả phương trình schrodinger [3]: [− ћ2 ∆ + 𝑉(𝑟)] 𝛹(𝑟) = 𝐸𝛹(𝑟) 2𝑚 ћ : số Plank m: khối lượng điện tử Ψ(r): hàm sóng ⃗⃗⃗ hàm tuần hồn có chu kỳ vector tịnh tiến 𝑅⃗ = 𝑛1 ⃗⃗⃗⃗ Với 𝑉(𝑟) 𝑎1 + 𝑛2 𝑎2 + 𝑛3 ⃗⃗⃗⃗ 𝑎3 Nghĩa 𝑉(𝑟 + 𝑅⃗) = 𝑉(𝑟) Điểm 𝑟 điểm 𝑟 + 𝑅⃗ hồn tồn tương đương phương diện vật lý (tính tuần hồn), thay 𝑟 + 𝑅⃗ cho 𝑟 hàm sóng hai điểm khác thừa số 𝐶𝑅 : 𝛹(𝑟 + 𝑅⃗ ) = 𝐶𝑅 𝛹(𝑟) [4] Điều có nghĩa dịch chuyển vector tịnh tiến mạng, tính tuần hồn 𝑉(𝑟) module hàm sóng 𝛹(𝑟) khơng đổi, có pha thay đổi Đồng thời hàm sóng 𝛹(𝑟 + 𝑅⃗ ) 𝛹(𝑟) phải thỏa mãn điều kiện chuẩn hóa +∞ +∞ ∫−∞ 𝛹 ∗ ( 𝑟 + 𝑅⃗ ) 𝛹(𝑟 + 𝑅⃗ )𝑑𝑉 = |𝐶𝑅 |2 ∫−∞ 𝛹 ∗ ( 𝑟) 𝛹(𝑟) 𝑑𝑉 = Do đó, |𝐶𝑅 |2 = Như vậy, 𝐶𝑅 phải hàm mũ với số mũ ảo Vì hàm sóng biểu thị cho chuyển động điện tử tinh thể, nên ta lấy 𝐶𝑅 hàm số mũ CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Số mũ phải đại lượng khơng có thứ ngun, vector 𝑅⃗ có thứ nguyên độ dài Kết hợp điều kiện ta có, 𝐶𝑅 = 𝑒 𝑖𝑘⃗𝑅⃗ 𝑘⃗ vector sóng có thứ nguyên 𝑐𝑚−1 Ta có: 𝛹(𝑟 + 𝑅⃗ ) = 𝑒 𝑖𝑘⃗𝑅⃗ 𝛹(𝑟) (*) Phương trình (*) gọi tính chất tịnh tiến hàm sóng: Nhân hai vế (*) với 𝑒 −𝑖𝑘⃗(𝑟+𝑅⃗) được: ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ 𝑒 −𝑖𝑘(𝑟+𝑅⃗) 𝛹(𝑟 + 𝑅⃗ ) = 𝑒 −𝑖𝑘(𝑟+𝑅⃗) 𝑒 𝑖𝑘𝑅⃗ 𝛹(𝑟) = 𝑒 −𝑖𝑘𝑅⃗ 𝛹(𝑟) (**) Nếu đặt 𝑢𝑘⃗ (𝑟) = 𝑒 −𝑖𝑘⃗𝑅⃗ 𝛹(𝑟) phương trình (**) ta có: 𝑢⃗𝑘 (𝑟 + 𝑅⃗) = 𝑢⃗𝑘 (𝑟) (∗∗∗) Từ (***) ta có 𝛹(𝑟) = 𝑒 𝑖𝑘⃗𝑅⃗ 𝑢⃗𝑘 (𝑟) Như điện tử chuyển động tinh thể mơ tả sóng phẳng có biên độ biến đổi tuần hồn Phương trình (***) gọi hàm Block Ta xét tương quang học lượng tử điện từ trường [2] Quantum Mechanics Field Eigenvalue problem Hermitian operator 𝛹(𝑟, 𝑡) = 𝛹(𝑟)𝑒 −𝑖𝐸𝑡 ћ Ĥ𝛹 = 𝐸𝛹 Ĥ=− ћ2 𝛻 + 𝑉(𝑟) 2𝑚 Electrodynamics 𝐻(𝑟, 𝑡) = 𝐻(𝑟)𝑒 −𝑖𝜔𝑡 𝜔2 𝐻 𝑐2 𝛩=𝛻× 𝛻× 𝜀(𝑟) 𝛩𝐻 = Bảng Sư tương quan học lượng tử điện từ trường Những nghiệm riêng trường điện từ ứng với lượng trường lớn vector trường tập trung định xứ vùng có chiết suất bé Đối với vật liệu điện mơi có cấu trúc tuần hoàn 𝜀(𝑟) = 𝜀(𝑟 + 𝑚𝑎) Với m số nguyên ⃗ chu kỳ (ô sở) Tương tự với toán chuyển động điện (các tinh thể quang tử), 𝒂 tử tinh thể, 𝐻(𝑟), 𝐸(𝑟) hàm Block [3]: ⃗ ⃗⃗ (r) = 𝑒 𝑖𝑘𝑟 𝑢 H ⃗ 𝑘⃗ (𝑟) { ⃗ ⃗E(r) = 𝑒 𝑖𝑘𝑟 𝑣⃗ (𝑟) 𝑘 10 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Các phương trình giải cho trị riêng 𝜔2 𝑐2 ứng với tần số riêng vector riêng ⃗ tinh thể Phương pháp khai triển sóng phẳng áp phân bố trường 𝐸⃗ , 𝐻 dụng Các trường giá trị điện mơi khai triển Fourier dọc theo hướng mà chúng có tính tuần hồn Phép khai triển Fourier rút ngắn chiều dài chuỗi giới hạn với độ xác yêu cầu Tiếp đến, thay trở lại kết khai triển vào phương trình sóng qua số bước biến đổi, phương trình sóng trở thành dạng: 𝐴𝑢 = 𝜆𝑢 Với A ma trận, u vector riêng ma trận A λ trị riêng ma trận A Việc tính tốn trị riêng, vector riêng lúc trở thành tốn đại số thơng thường có sẵn phương pháp giải Sau tìm trị riêng vector riêng, biểu diễn chúng, ta tìm khoảng tần số mà đó, sóng ánh sáng khơng thể truyền vào tinh thể Đó vùng cấm quang (photonic band gap) Vùng cấm quang mode TE mode TM hồn toàn khác Khi xuất vùng cấm quang mà mode TE TM truyền, vùng cấm gọi vùng cấm quang hoàn toàn (complete photonic band gap) 18 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 3.2 Những thuộc tính tinh thể quang tử hình lục giác 3.2.1 Vector mạng đảo Giả sử tinh thể quang phân bố mặt phẳng vơ vùng lớn với tính tuần hồn => áp dụng phép biến đổi Fourier Đối với biến đổi Fourier cần Vector mạng đảo: 𝐺 = 𝑚𝑏⃗1 + 𝑛𝑏⃗2 (m, n ϵ Z) Vector sở mạng lục giác: 𝑎1 = ⃗⃗⃗⃗ √3𝑎 𝑎 𝑥̂ + 𝑦̂ ; 𝑎2 = − ⃗⃗⃗⃗ √3𝑎 𝑎 𝑥̂ + 𝑦̂ ; 𝑎3 = 𝑐 𝑧̂ ⃗⃗⃗⃗ Tính: √3𝑎 −√3𝑎 𝑉𝑐 = (𝑎1 × 𝑎2 ) 𝑎3 = | 𝑎 |.c 𝑎 = √3𝑎2 𝑐 2 Vector sở đảo: ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑎 ×⃗⃗⃗𝑎3 ⃗⃗⃗ 𝑏1 = 2𝜋 (𝑎⃗ ⃗ )⋅𝑎 = ⃗ 𝑥 𝑎2 2𝜋 √3𝑎 ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑎 ×⃗⃗⃗𝑎3 ⃗⃗⃗ 𝑏2 = 2𝜋 (𝑎⃗ ⃗ )⋅𝑎 =− ⃗ 𝑥 𝑎2 𝑥̂ + 2𝜋 √3𝑎 2𝜋 𝑎 𝑥̂ + 𝑦̂ 2𝜋 𝑎 𝑦̂ Hình Vector sở tinh thể hình lục giác 19 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 3.2.2 Áp dụng phương pháp khai triển sóng phẳng a Bắt đầu từ phương trình Maxwell Bằng phương trình Maxwell mơ tả lan truyền sóng điện từ, biến đổi thành tập phương trình lấy xấp xỉ phường phương pháp triển khai sóng phẳng: ⃗ 𝜕𝐵 𝛻 × 𝐸⃗ = − => ⃗ ⃗ = 𝜇0 𝜀(𝑟) 𝜕𝐸 (3b) 𝛻×𝐵 (3a) 𝜕𝑡 𝛻 × (𝛻 × 𝐸⃗ ) = 𝛻 × ( 𝜕𝑡 ⃗ −𝜕𝐵 𝜕𝑡 −𝜕 )= 𝜕𝑡 ⃗) (𝛻 × 𝐵 (4) Xét mode TE TM ta có: ⃗ 𝐸⃗𝑇𝑀 = 𝑒𝑧 𝐸 (𝑟)𝑒 𝑖(𝑘⋅𝑟−𝑤𝑡) (5a) ⃗ 𝑇𝐸 = 𝑒𝑧 𝐵(𝑟)𝑒 𝑖(𝑘⃗⋅𝑟−𝑤𝑡) 𝐵 (5b) Đặt 𝜇0 𝜀 (𝑟) = 𝑐 (𝑟)−2 , Từ (3a), (3b), (4) ta có: 𝑐 (𝑟)2 𝛻 × 𝛻 × 𝐸⃗𝑇𝑀 = 𝜔2 𝐸⃗𝑇𝑀 (6a) ⃗ 𝑇𝐸 ) = 𝜔2 𝐵 ⃗ 𝑇𝐸 𝛻 × (𝑐 (𝑟)2 𝛻 × 𝐵 (6b) - Biến đổi (6a): + Ta có: 𝛻𝑥 𝛻 × 𝐸⃗ = 𝛻(𝛻𝐸⃗ ) − 𝛻 𝐸⃗ 𝜕𝐸𝑦 𝜕𝐸 𝜕𝐸 𝛻(𝛻𝐸⃗ )= 𝛻 ( 𝑥 + + 𝑧) 𝜕𝑥 = 𝑖( 𝜕𝑦 𝜕2 𝐸𝑥 + 𝜕𝑥 𝜕𝑧 𝜕2 𝐸𝑦 𝜕𝑥𝜕𝑦 𝜕 + 𝑘⃗ ( 2𝐸 𝑥 𝜕𝑥𝜕𝑧 𝛻 𝐸⃗ = 𝛻𝛻𝐸⃗ = ( 𝜕2 𝜕𝑥 + + + 𝜕2 𝜕𝑦 𝜕2 𝐸𝑧 𝜕𝑥𝜕𝑧 ) + 𝑗( 𝜕2 𝐸𝑦 𝜕𝑦𝜕𝑧 + + 𝜕2 𝜕𝑧 𝜕2 𝐸𝑥 𝜕𝑥𝜕𝑦 𝜕2 𝐸𝑧 𝜕𝑧 + 𝜕2 𝐸𝑦 𝜕𝑦 + 𝜕2 𝐸𝑧 𝜕𝑦𝜕𝑧 ) ) ) (𝑖𝐸𝑥 + 𝑗𝐸𝑦 + 𝑘⃗ 𝐸𝑧 ) Mà ta có thành phần ứng với z khác suy (6a) trở thành: 𝑐 (𝑟)2 [− 𝜕2 𝜕2 𝜕𝑥 𝜕𝑦 − ] 𝐸 (𝑟)𝑒 𝑖(𝑘⃗⋅𝑟−𝑤𝑡) = 𝜔2 𝐸 (𝑟)𝑒 𝑖(𝑘⃗⋅𝑟−𝑤𝑡) (7a) Tương tự ta có (6b) trở thành: [− 𝜕𝑐(𝑟 )2 𝜕 𝜕𝑥 𝜕𝑦 − 𝜕𝑐(𝑟 )2 𝜕 𝜕𝑦 𝜕𝑥 𝜕2 𝜕2 𝜕𝑥 𝜕𝑦 − 𝑐 (𝑟 )2 [ − ]] 𝐵(𝑟)𝑒 𝑖(𝑘⃗⋅𝑟−𝑤𝑡) = 𝜔2 𝐵(𝑟)𝑒 𝑖(𝑘⃗⋅𝑟−𝑤𝑡) (7b) 20 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt b Khai triển Fourier Giả sử tinh thể quang phân bố mặt phẳng hai chiều vô lớn => áp dụng khai triển chuỗi Fourier ta có: 𝑐 (𝑟)2 = ∑ 𝑐𝐺2 𝑒 𝑖(𝐺⋅𝑟) (8a) 𝐸 (𝑟) = ∑𝐺 𝐸𝐺 𝑒 𝑖(𝐺⋅𝑟) (8b) 𝐵(𝑟) = ∑𝐺 𝐵𝐺 𝑒 𝑖(𝐺⋅𝑟) (8c) 𝐺 Với 𝐺 vector mạng đảo xác định hai thành phần m n - 𝐺 = 𝐺𝑚𝑛 = 𝑚𝑏⃗1 + 𝑛𝑏⃗2 == 𝐺𝑥𝑚𝑛 𝑒𝑥 + 𝐺𝑦𝑚𝑛 𝑒𝑦 (9) Biến đổi Fourier 𝑐 (𝑟)2 với hệ số l m (𝑐𝐺2 = 𝑐𝑙𝑚 ) Biến đổi Fourier 𝐸 (𝑟), 𝐵(𝑟) với hệ số n o - Từ (7a) (7b) trở thành: Từ hệ số mũ vế trái vế phải phương trình ta có: - l+n=p m+o=q Từ ta có: (𝑝−𝑙)(𝑞−𝑚) ∑ 𝑙𝑚 [(𝐺𝑥 (𝑝−𝑙)(𝑞−𝑚) + 𝑘𝑥 ) + (𝐺𝑦 + 𝑘𝑦 )] 𝑐𝑙𝑚 𝐸(𝑝 − 𝑙)(𝑞 − 𝑚) = 𝜔2 𝐸𝑝𝑞 (10a) 21 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt ∑ 𝑙𝑚 (𝑝−𝑙)(𝑞−𝑚) [𝐺𝑥𝑙𝑚 (𝐺𝑥 (𝑝−𝑙)(𝑞−𝑚) (𝐺𝑦 (𝑝−𝑙)(𝑞−𝑚) + 𝑘𝑥 ) + 𝐺𝑦𝑙𝑚 (𝐺𝑦 (𝑝−𝑙)(𝑞−𝑚) + 𝑘𝑦 ) + (𝐺𝑥 + 𝑘𝑥 ) + + 𝑘𝑦 )] 𝑐𝑙𝑚 𝐵(𝑝 − 𝑙)(𝑞 − 𝑚) = 𝜔2 𝐵𝑝𝑞 (10b) Hai phương trình giải số giới hạn số lượng vector mạng đảo 𝐺 : 𝑝𝑞 (𝑝 − 𝑙)(𝑞 − 𝑚) Đặt 𝛯𝑚𝑙 = [(𝐺𝑥 + 𝑘𝑥 ) + ] giả sử giới hạn p q => ta có phương trình ma trận (11): Với: • Ma trận A phương trình sóng phẳng từ trường điện trường • 𝐶𝑙𝑚 hệ số Fourier vận tốc pha tính theo công thức: 𝐶𝑙𝑚 = ∫ 𝐶 (𝑟)2 𝑒 −𝑖(𝑙𝑏⃗1+𝑚𝑏⃗2)⋅𝑟 𝑑 𝑟 𝑐𝑒𝑙𝑙 𝑐𝑒𝑙𝑙 Cell: diện tích chọn trước 𝐶 (𝑟 )2 = { 𝐶𝑀2 , 𝑟 ≥ 𝑅 𝑣ậ𝑛 𝑡ố𝑐 𝑝ℎ𝑎 𝑡𝑟𝑜𝑛𝑔 đ𝑖ệ𝑛 𝑚ô𝑖 𝑐 , 𝑟 < 𝑅 𝑣ậ𝑛 𝑡ố𝑐 𝑝ℎ𝑎 𝑡𝑟𝑜𝑛𝑔 𝑐ℎâ𝑛 𝑘ℎơ𝑛𝑔 R bán kính lỗ Từ phương trình ma trận (11) tìm tần số riêng ω cho tinh thể đưa ta tốn tím trị riêng đại số giải tích 𝐿̂ 𝑣𝑛 = 𝐸𝑛 𝑉𝑛 với 𝐸𝑛 trị riêng 22 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Mô vùng cấm quang OptiFDTD 4.1 Thiết kế Dựa gợi ý từ tài liệu OptiFDTD Tutorial [7], tinh thể quang tử gồm ống trụ chất điện mơi đặt mạng hình vng Các thơng số thể bên dưới: Tên đối tượng Ống trụ Giá trị chiết suất 𝑛 2.983287 Khơng khí Loại vật liệu AlAs Bảng Chiết suất vật liệu Về dạng mạng, ống trụ cách khoảng cách a = 1µm Bán kính ống trụ r = 0.2 x a Số lượng ống trụ 8x8, chiều dài ống trụ µm Hình Kích thước mạng tinh thể hai chiều hình lục giác 23 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Hình Mơ hình mạng tinh thể hai chiều hình lục giác Sau xây dựng dạng mạng, tiến hành cài đặt nguồn phát sóng điện từ Lựa chọn loại Vertical Input Plane cài đặt thông số: Thơng số Giá Trị Loại sóng Gaussian Modulated Continuous Wave Time Offset 5.5 × 10−14 giây Halfwidth × 10−14 giây Bảng Thơng số nguồn phát sóng điện từ Các thông số khác để mặc định 24 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 4.2 Phân tích vùng cấm quang Sau thiết kế tinh thể hai chiều, tiến hành phân tích vùng cấm quang mode TE TM Hình Cấu trúc vùng cấm mode TE Vùng cấm quang mode TE tìm có ba vùng, vùng có dải giá trị (0.199621, 0.212758) µm, vùng thứ hai có dải giá trị Hình Cấu trúc vùng cấm mode TM 25 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Vùng cấm quang mode TM tìm gồm vùng Vùng có dải giá trị (0.25796, 0.26867), vùng thứ hai có dải giá trị (0.676907, 0.678609), vùng thứ có dải giá trị (0.752339, 0.752705) Ta thấy, vùng cấm quang mode TM nhỏ nhiều so với vùng cấm quang mode TE không trùng với vùng cấm quang mode TE 4.3 Mở rộng mô 4.3.1 Đánh giá vùng cấm quang thay đổi loại vật liệu ống trụ Thay vật liệu làm ống trụ từ AlAs thành loại vật liệu khác có chiết suất khác (cụ thể SiO2 có chiết suất 1.466287) , kích thước dạng mạng mạng tinh thể không thay đổi, tiến hành mô quan sát xem thay đổi vùng cấm quang Hình Cấu trúc vùng cấm mode TE tinh thể SiO2 26 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Hình 10 Cấu trúc vùng cấm mode TM tinh thể SiO2 Qua mô phỏng, với mode TE, tìm thấy hai vùng cấm quang Vùng cấm thứ có dải giá trị (0.270269, 0.276136), vùng cấm thứ hai có dải giá trị (0.559834, 0.567411) Mode TM, tìm thấy vùng cấm quang có dải giá trị (0.276021, 0.280618) Từ kết mơ phỏng, ta rút kết luận thay đổi vật liệu làm trụ điện mơi tinh thể quang tử cấu trúc vùng cấm quang thay đổi theo Cụ thể, với SiO2 ta thấy số lượng độ rộng vùng cấm quang nhỏ so với AlAs ( AlAs có chiết suất lớn hơn) 27 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 4.3.2 Đánh giá vùng cấm quang thay đổi kích thước trụ điện mơi Lần lượt thay đổi kích thước trụ điện mơi, cụ thể thay đơi bán kính trụ (r) 0.1, 0.3 0.4 lần khoảng cách tuần hoàn mạng (a) Vật liệu trụ điện môi sử dụng lần thực hành AlAs Kết mơ tổng hợp hình bên Ống trụ án kính 0.1a: Hình 11 Cấu trúc vùng cấm mode TE với ống trụ bán kính 0.1a 28 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Hình 12 Cấu trúc vùng cấm mode TM với ống trụ bán kính 0.1a Ống trụ bán kính 0.3a: Hình 13 Cấu trúc vùng cấm mode TE với ống trụ bán kính 0.3a 29 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Hình 14 Cấu trúc vùng cấm mode TM với ống trụ bán kính 0.3a Ống trụ bán kính 0.4a: Hình 15 Cấu trúc vùng cấm quang mode TE với ống trụ bán kính 0.4a 30 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Hình 16 Cấu trúc vùng cấm quang mode TM với ống trụ kích thước 0.4a Từ kết mơ phỏng, ta rút kết luận Khi thay đổi kích thước trụ điện mơi cấu trúc vùng cấm tinh thể quang tử thay đổi theo với mode TE mode TM Cụ thể, kích thước trụ điện môi tăng từ 0.1 đến 0.4 lần khoảng cách phần tử số lượng độ rộng vùng cấm quang tăng lên 31 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Danh mục tài liệu tham khảo [1] M S Wartak, Computational Photonics: An Introduce with MATLAB, Cambridge University Press, 2013 [2] John D.Joannopoulos, Stephen G.Johnson, Joshuo N Winn, Robert D.Meade, Photonic Crystals: Molding the Flow of Light (2nd Edition), Princeton University Press, 2008 [3] TS Nguyễn Việt Hưng, Ths Nguyễn Bích Huyền, Slide Công Nghệ Nano, Đại học Bách khoa Hà Nội [4] “Cấu trúc vùng lượng vật rắn,” [Trực tuyến] Available: http://mientayvn.com/N_Cau_truc_vung_nang_luong_trong_vat_ran.pdf [Đã truy cập 11 2019] [5] “Ống dẫn sóng điện từ,” Wikimedia Foundation, Inc., [Trực tuyến] Available: https://vi.wikipedia.org/wiki/Ống_dẫn_sóng_điện_từ [Đã truy cập 13 2019] [6] A J Danner, “An introduction to the plane wave expansion method for calculating photonic crystal band diagrams,” 31 2011 [Trực tuyến] Available: https://www.ece.nus.edu.sg/stfpage/eleadj/planewave.htm [Đã truy cập 14 2019] [7] K Sakoda, Optical Properties of Photonic Crystals 2nd, Springer, 2004 [8] OptiSystem, OptiSystem Tutorial 32 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt ... phát triển đề tài Tính tốn cấu trúc vùng cấm tinh thể quang tử hai chiều Đề tài gồm có lý thuyết truyền sóng tính tốn, mơ vùng cấm quang tinh thể quang tử hai chiều có cấu trúc mạng hình lục giác... 4.2 Phân tích vùng cấm quang Sau thiết kế tinh thể hai chiều, tiến hành phân tích vùng cấm quang mode TE TM Hình Cấu trúc vùng cấm mode TE Vùng cấm quang mode TE tìm có ba vùng, vùng có dải giá... Hình Cấu trúc vùng cấm mode TE tinh thể SiO2 26 Hình 10 Cấu trúc vùng cấm mode TM tinh thể SiO2 27 Hình 11 Cấu trúc vùng cấm mode TE với ống trụ bán kính 0.1a 28 Hình 12 Cấu trúc