mô phỏng tính toán vùng cấm quang của các tinh thể quang tử ba chiều có cấu trúc mạng tinh thể kim cương các hình cầu không khí đúc trong khối điện môi

Qua quá trình học môn Công nghệ nano trên giảng đường trường Đại HọcBách Khoa Hà Nội đã giúp chúng em phần nào hiểu được về tinh thể quang tử, cácdạng cấu trúc của tinh thể quang tử, cơ

LỜI MỞ ĐẦU

Nanophotonics (quang tử nano) là môn học nghiên cứu ánh sáng ở thangnano Nó là một nhánh của ngành quang học, nghiên cứu tương tác của ánh sángvới những hạt hoặc vật chất ở kích thước nhỏ hơn bước sóng Phạm vi nghiên cứucủa nanophotonics bao gồm hai chủ đề chính: 1.nghiên cứu tính chất kì lạ của ánhsáng ở kích thước nano 2.chế tạo ra những thiết bị có hiệu suất cao cho các ứngdụng trong kĩ thuật Những nghiên cứu này đã tạo ra tiềm năng to lớn để cách mạnghóa ngành viễn thông qua việc cung cấp những thiết bị không có hiệu ứng giaothoa, vận tốc cao, tiêu tốn năng lượng thấp chẳng hạn như các công tắc điện quanghoặc công tắc quang học trên chip Ngày nay với sự phát triển không ngừng củakhoa học kỹ thuật ngành quang tử học được ứng dụng rất rộng rãi trong đời sốngcũng như nghiên cứu

Qua quá trình học môn Công nghệ nano trên giảng đường trường Đại HọcBách Khoa Hà Nội đã giúp chúng em phần nào hiểu được về tinh thể quang tử, cácdạng cấu trúc của tinh thể quang tử, cơ sở lý thuyết của các phương trình sóng trongtrường điện từ…Để cụ thể hóa những hiểu biết đó chúng em đã thực hiện đề tài bàitập lớn này Mục đích của đề tài là làm thế nào hiểu được cơ sở lý thuyết củaphương trình Maxwell trong cấu trúc điện môi ba chiều cũng như cơ sở để có thể

mô phỏng tính toán vùng cấm quang của tinh thể quang tử ba chiều

Nhóm chúng em xin chân thành cảm ơn thầy TS Nguyễn Việt Hưng đã tận

tình hướng dẫn để chúng em có thể hoàn thành đề tài này Dù cho đã rất cố gắnghoàn thành đề tài một cách tốt nhất tuy nhiên vẫn không thể tránh khỏi những thiếuxót về kiến thức, nhóm chúng em mong rằng sẽ được thầy và các bạn góp ý, nhậnxét để có thể hoàn thiện hơn

T11/2015

CHƯƠNG I: TRUYỀN DẪN ÁNH SÁNG TRONG CÁC CẤU TRÚC

ĐIỆN MÔI BA CHIỀU.

• ∇ là toán tử Nabla Trong hệ tọa độ Đề Các ∇= ( ; ; )

• P là véc tơ phân cực điện môi, là số momen lưỡng cực điện trên mộtđơn vi thể tích

• M là véc tơ từ độ, là số momen lưỡng cực từ trên một đơn vị thể tích

ε0 là hằng số điện môi chân không ε0 = 8.859×10-12 As/Vm

• μ0 = 4π × 10-7 Vs/Am là độ từ thẩm trong chân không

2 Khảo sát hệ phương trình Maxwell khi truyền dẫn ánh sáng trong cấu trúc điện môi.

a) Hiện tượng phân cực điện môi

Hiện tượng phân cực điện môi: Do sự dịch chuyển của các điện tích trongphạm vi giới hạn cấu tạo nên nguyên tử, phân tử hoặc ion của môi trường Ở phạm

vi vĩ mô các lưỡng cực điện nguyên tố được mô hình hóa bằng sự phân cực của môitrường với vectơ momen lưỡng cực điện ứng với một đơn vị thể tích P Sự khôngđồng nhất của phân cực gây ra sự xuấthiện các điện tích phân cực cục bộ , sự biếnthiên theo thời gian của phân cực tạo thành dòng điện phân cực = và mật độ điệntích phân cực ρpol = - div [2]

b) Hiện tượng từ hóa

Hiện tượng từ hóa: Các mômen từ nguyên tố được biểu diễn ở mức vĩ môbằng mômen từ ứng với một đơn vị thể tích M

= rot

Các điện tích và dòng điện: Gắn liền với sự dịch chuyển trong phạm vi rấtgiới hạncủa các điện tích; được gọi là các điện tích và dòng điện liên kết

c) Điện môi tuyến tính, đồng nhất và đẳng hướng

Trong nhiều trường hợp tính chất từ của môi trường không đáng kể Khi đó

≈ 0; B ≈ μ0× H Trong vật liệu điện môi thì J= 0 và ρ =0 Biểu diễn phương trìnhMaxwell trong cấu trúc điện môi ba chiều thông qua hệ tọa độ Đề Các:

H H

2 0

ϖϖµ

Nghiệm riêng của phương trình trên là:

[1]

Với w là tần số riêng Nghiệm tổng quát là tổ hợp của các nghiệm riêng

CHƯƠNG II: CƠ SỞ LÝ THUYẾT CỦA PHƯƠNG PHÁP TRIỂN

KHAI SÓNG PHẲNG (PWEM).

1 Lý thuyết Bloch của điện từ học.

Trong một môi trường điện môi tuần hoàn, nghĩa là ε(r +a) = ε(r) thì nghiệmH(r) của phương trình Master là:

∇ × ∇ × H(r) =(2 H(r) phải thỏa mãn hệ thức sau:

H(r) = ei(k-r) uk(r) với uk(r) là một hàm tuần hoàn

• Chứng minh lý thuyết Bloch

Trong trường hợp mạng 1 chiều: Xét N điểm mạng giống nhau trên mộtvòng dài Na

Hình 2: Vòng tuần hoàn Na[1]

Hàm điện môi tuần hoàn theo a, với ε(x)=ε(x+sa), ở đây s là số nguyên

Đối xứng tịnh tiến  Nghiệm mong đợi của phương trình sóng là:

H(x+a) = C H(x)Mỗi khi đi một vòng: H(x+Na) = H(x) = CN H(x)

2.Các phương pháp mô hình hóa sợi quang tử (modeling).

Trong phần này chúng ta sẽ tìm hiểu về các phương pháp dùng để mô hìnhhóa sợi quang Các phương pháp này sẽ đưa ra cơ sở lý thuyết nhằm tạo cơ sở choquá trình mô phỏng tính toán sợi quang tử Thực tế cho thấy, các phương pháp phứctạp sẽ mang lại kết quả tính toán với độ chính xác rất cao Thông thường cácphương pháp mô hình hóa cho sợi quang thường rất khó áp dụng đối với sợi tinh thểquang tử (PCFs) Những sợi này có hệ số phản xạ cao và có cấu trúc tuần hoàn vớihằng số mạng cỡ bước sóng ánh sáng Bởi vậy những phương pháp modeling trongtinh thể quang tử tương tự trong sóng điện từ Một số phương pháp mô hình hóa sợiPCFs phổ biến:

• Phương pháp chiết suất hiệu dụng (Effective Index Approach Method –EIM): Phương pháp này dựa vào cấu trúc sắp xếp của các lỗ khí ở lớp vỏ,sau đó dựa vào các đặc tính dẫn sóng của nó để đưa ra một giá trị chiết suấthiệu dụng cho toàn bộ thành phần vỏ của sợi

• Phương pháp định vị hàm cơ bản (Localized Basis Funtions Method – LBF):Phương pháp này ban đầu được sử đụng để mô hình hóa PCFs (PhotonicCrystal Fibers) cấu trúc dạng tổ ong, nhưng sau đó được các nhà nghiên cứuphát triển và ứng dụng vào PCFs với những cấu trúc khác.

• Phương pháp FDTD: Đây là phương pháp phổ biến linh hoạt, suy luận đơngiản Trở ngại lớn nhất của phương pháp này là tốn nhiều thời gian và cónhiều thuật toán Khi PCFs có cấu trúc ba chiều với chiết suất phân bố theohai chiều Chỉ những khoảng ngắn của sợi có thể mô tả được bằng phươngpháp này Ngoài ra phương pháp này có thể dễ dàng thực hiện được các thuậttoán song song

• Phương pháp triển khai sóng phẳng (Plane Wave Expansion Method):Phương pháp này sẽ được xét ở phần 3 của chương này

3 Tìm hiểu cơ sở lý thuyết của phương pháp triển khai sóng phẳng (PWEM)

ta tiếp cận một cách hiệu quả và gần với mô hình của PCFs Phương phápnày được áp dụng đối với các PCFs có cấu trúc mang tính lặp lại, tức làcác PCFs hoạt động theo nguyên lý dải cấm Phương pháp cho phép phântích chính xác tinh thể quang và có thể ápdụng trong tất cả các phương phápkhác Phương pháp cung cấp một công cụ phân tích nhanh trong miền tần sốđối với các tinh thể quang có cấu trúc lặp

trường từ Trong mô hình này trường tuần hoàn cũng như vị trí phụ thuộcvào hằng số điện môi sử dụng khai triển Fourier của hàm tuần hoàn được xácđịnh bởi bởi véc tơ mạng tương hỗ

Từ phương trình sóng đầy đủ đối với trường từ:

∇ × [ ∇ × Hk ] = -( )2 Hk (1)Trong đó:

k là véc tơ sóng

εr là hằng số điện môi trong cấu trúc Hắng số điện môi ε(r) được triển khaitheo Fourie = Exp (iG.r) với Vg = exp(-iG.r)dr và Au là diện tích ô đơn vị (2)

Một mô hình cấu trúc PCFs được mô tả giống như một mạng tuần hoàn chứacấu trúc tinh thể và những lỗ khuyết Do tính tuần hoàn đó mà ta có thể biểu diễn Hk

là tổng của nhiều sóng phẳng cơ sở theo lý thuyết Bloch

Hk =

k G G

h− −i k G r−

∑

(3)Trong đó:

G là véc tơ mạng không gian đối xứng Thế (2) và (3) vào phương trình (1)

ta có bài toán trị riêng (Eigenvalue problem) Khi ta giải bài toán này có thể tìmđược tất cả các tần số có thể của mode

cấm của quang tử trong những cấu trúc điên môi tuần hoàn (hình 3) Nó cóthể được ứng dụng với bất kỳ loại cấu trúc tinh thể nào, bao gồm cả nhữngtinh thể bất thường Điều này cho phép xác định cấu trúc dải quang tử trong

cơ chế dẫn của PBG, cũng như những mode trong chiết suất của cơ chế dẫnsóng Đây là phương pháp tương đối nhanh, chính xác, tuy nhiên nó có một

số nhược điểm như không thể sử dụng để tính toán cấu trúc của những vậtliệu có tính chất hoạt hoá (hấp thụ và khuếch đại ) Ngoài ra, nó không manglại bất kỳ thông tin về tổn thất do tán xạ, truyền tải và phản xạ của ánh sángtới trong PCFs

Hình 3: Hình mô tả phương pháp PWEM.[4]

Ở hình 3a cho ta thấy cấu trúc PCFs được mở rộng như mạng tuần hoàn chứacấu trúc tinh thể và những lỗ khuyết, còn ở hình 3b ví dụ kết quả mô phỏng vớiPWEM (Phân bố cường độ trong mạng tuần hoàn (periodic supercells ))

CHƯƠNG III: KHÁI NIỆM VÙNG BRILLOUIN RÚT GỌN, MẠNG

ĐẢO, CÁC “ĐƯỜNG VECTO K”.

1 Khái niệm vùng Brillouin rút gọn.

• Vùng Brillouin thứ nhất được định nghĩa là một vùng của không gian đảo hình thành bởi các điểm gần gốc khảo sát hơn bất cứ đỉnh nào khác của mạng đảo

• Vùng brillouin rút gọn là vùng được vẽ bởi các đường trung trực (đối vớitrường hợp 1 chiều, và trường hợp 2 chiều) hoặc các mặt phẳng phân giác(đối với trường hợp 3 chiều) của mỗi vector mạng nối gốc tọa độ khảo sátđến các đỉnh gần nhất của mạng đảo mỗi đường phân giác hay mặt phângiác chia không gian đảo thành hai nửa không gian, gốc tọa độ được nằmtrong một nửa không gian đó vùng brillouin thứ nhất là vùng giao nhau củatất cả các nửa không gian chứa gốc tọa độ

Hình 4:Tinh thể quang tử 1D và vùng Brillouin tương ứng [2]

Hình 5: Tinh thể quang tử 2D và vùng Brillouin tương ứng [2]

Hình 6: Tinh thể quang tử 3D và vùng Brillouin tương ứng [2]

2 Mạng đảo và các đường véc tơ k

a) Khái niệm mạng thuận

Mạng thuận (Bravais): dùng để mô tả dạng hình học của mạng tinh thể quang

tử, là tập hợp tất cả các điểm có bán kính R được xác định:

=n1 + n2 + n3.Với a1; a2;a3 là 3 véc tơ cơ sở được chọn trên 3 hướng thích hợp n1; n2; n3 là các sốnguyên

Hình 7: Mạng Bravais

b) Khái niệm và ý nghĩa của mạng đảo

Mạng đảo là khái niệm hết sức quan trọng của vật lý chất rắn, do JosiahWilllard Gibbs đề xuất Sự xuất hiện của mạng đảo là hệ quả tất yếu của tính tuầnhoàn tịnh tiến của mạng thuận

Mạng không gian được xây dựng từ 3 vecto cơ sở là a1, a2, a3 các vecto cơ sở củamạng đảo:

1 2 3

2 2 2

là tích ô cơ sở của mạng thuận

Các vecto b1, b2, b3 là véc tơ cơ sở của mạng đảo Vị trí các nút mạng đảo được xácđịnh vởi vecto mạng đảo có dạng: G=m1.b1 +m2.b2 +m3.b3

Ví dụ về mạng đảo của tinh thể quang tử 3D như trên hình là mạng lập phương có tâm và cấu trúc vùng Brillouin thứ nhất là một hình khối 12 mặt Vùng Brillouin tối giản là một đa điện có 4 mặt, các đỉnh trên hình được ký hiệu bởi Г, L, U, X, W và K

Ý nghĩa vật lý của mạng đảo:

• Mạng đảo là khung của không gian chuyển động

• Mạng đảo thể hiện tính chất: Tinh thể tuần hoàn dẫn đến chuyển động cũngtuần hoàn

• Ý nghĩa thực tế: khi nghiên cứu cấu trúc tinh thể bằng phương pháp nhiễu xạtia X thì bức tranh thu được chỉ là ảnh của chum tia bị nhiễu xạ (chứ khôngphải ảnh chụp cách sắp xếp các nguyên tử trong tinh thể), bức tranh nàychính là hình ảnh mạng đảo của tinh thể và từ đó có thể suy ra được mạngthuận

c) Các đường véc tơ k

Các vector sóng (hoặc wavevector) đề cập đến một vector mô tả sự thay đổi của sóng phẳng, trong hệ tọa độ 3 trục-trực giao (x, y, z ) độ lớn của wavevector làwavenumber

Đối với một phương truyền sóng trong một hướng được mô tả bởi các tọa độ cầu,các wavevector k được cho bởi:

2 (k ,k ,k )x y z sin cos ,sin sin ,cos

CHƯƠNG IV: CÁC MODE PHÂN CỰC HỖN HỢP (HYBRID

POLARIZATION MODES).

1 Tìm hiểu về mode phân cực hỗn hợp

Trong sợi quang đơn mode vẫn tồn tại vài mode phân cực (Polirizationmode, PM) và hoàn toàn có thể nghiên cứu các mode phân cực này tương tự nhưđối với các mode lan truyền trong sợi đa mode Mode bậc thấp nhất là mode cơ bảnHE11(còn gọi là phân cực tuyến tính LP01) có trường điện truyền lan theo hướngtrục x của sợi thì phân cực trực giao là mode độc lập được mô tả trên hình

Hình 8: Hai thành phần vector phân cực trường điện của mode HE11 trong sợiquang [3]

Trong sợi quang lý tưởng, vector trường điện từ truyền lan dọc theo trục zđược biểu thị bằng tổ hợp tuyến tính của hai phân cực trong mặt phẳng ngang (xy)trực giao với trục z như trong biểu thức sau:

• là hệ số phức biểu diễn biên độ Ex và pha x của mode phân cực dọc theo

x khi lan truyền dọc theo z

• là hệ số phức biểu diễn biên độ Ex và pha y của mode phân cực dọc theo

y khi lan truyền dọc theo z

• và ) là các vector trường điện của mode phân cực PM dọc theo trục x vàdọc theo trục y

• là hằng số truyền lan của sợi phân cực dọc theo hướng x (có chỉ số khúc

xạ nx, phụ thuộc � thông qua x) và hằng số truyền lan của sợi phân cựcdọc theo hướng y (có chỉ số khúc xạ ny, phụ thuộc � thông qua y)

• k=2�v/c =2 �/� =�/c là số sóng truyền lan ứng với bước sóng � trongmôi trường chân không (v là tần số quang có đơn vị là 1/s hay Hz; � làtần số góc quang có đơn vị rad/s; c là vận tốc ánh sáng trong chânkhông)

• Tỷ lệ phức Ax(z)/Ay(z) biểu thị trạng thái phân cực (State of PolarizationSOP) của sóng xác định trên mặt phẳng xy khi lan truyền theo z

• Đối với sợi quang lý tưởng có đối xứng tâm tuyệt đối thì �x = �y, khi đóhai phân cực theo trục x và y kết hợp lại sau khi lan truyền, và hệ quả làbất kỳ một sóng nào với trạng thái đó trong suốt quá trình lan truyền đếntận đầu ra của sợi Tuy nhiên, trên thực tế do sự không hoàn hảo trongquá trình sản xuất hay lắp đặt đã làm phá vỡ tính đối xứng của sợi Trongtrường hợp này: �x ≠ �y, tức kéo theo lệch về chiết suất (nx ≠ny) và nhưvậy tạo ra sự chênh lệch về vận tốc pha Dv giữa chúng Lúc này, việc kếthợp lại của hai phân cực sẽ bị trượt đi, và trạng thái phân cực đầu ra thayđổi trong quá trình truyền lan từ đầu vào đến đầu ra dọc theo z (do mộtmode truyền lan nhanh và mode truyền lan chậm) trong sợi

• Độ lệch �x và �y được ký hiệu là △�, và được gọi là lưỡng chiết pha(đơn giản là lưỡng chiết) có đơn vị là nghịch đảo của đơn vị chiều dài.Lưỡng chiết có thể biểu diễn thông qua độ chênh lệch chiết suất △ n Độlệch này đối với sợi đơn mode thông dụng thường vào khoảng đến .Quan hệ giữa △� và △n được xác định:

△� =�y – �x =k (ny –nx) = k△n [3]

CHƯƠNG V: MÔ PHỎNG TÍNH TOÁN VÙNG CẤM QUANG CỦA CÁC TINH THỂ QUANG TỬ BA CHIỀU CÓ CẤU TRÚC MẠNG TINH THỂ KIM CƯƠNG CÁC HÌNH CẦU KHÔNG KHÍ ĐÚC

TRONG KHỐI ĐIỆN MÔI.

1 Thiết kế layout cho mô hình tinh thể quang tử 3 chiều có cấu trúc mạng kim cương.

Để thiết kế layout cho mạng tinh thể trước hết ta phải tạo ra 1 lưới hình chữnhật của mặt cầu điện môi Sau khi tạo được lưới này ta dùng công cụ DrawPBGCrystal Structure Click đúp vào mô hình lưới và thiết lập thông số như hình dướiđây

Hình 9: Crystal Lattice Properties

Sau khi thiết lập xong các thông số ta sẽ được mô hình layout hoàn chỉnh:

Từ trường:

Hình 17: Thành phần từ trường 3D

c) Mô phỏng tính toán vùng cấm quang

Để thực hiện bước này ta vào tab Simulation trên thanh công cụ và chọnPWE band Solver Parameters Ta thiết lập thông số như hình dưới đây

Hình 18: PWE Parameters

Và kết quả:

Từ đây chúng ta có thể thấy được cấu trúc kim cương của tinh thể quang tử 3D, véc

tơ k Vùng màu xanh cho ta thấy rõ chính là vùng bangap của tinh thể quang tử này.Sau quá trình mô phỏng tính toán cho ta kết quả:

Bandgap (0.494975; 0.665109).Gap = 0.170134

Hình 19: PWE Band Solver

-The

end -PHỤ LỤC I: PHÂN CHIA CÔNG VIỆC TRONG NHÓM

Giang Văn Hiến Nhóm trưởng: Phân chia công việc trong

nhóm, tham gia mô phỏng hệ thống, viếtbáo cáo

Trần Quốc Huy

Nguyễn Văn Triệu

Tìm hiểu về truyền dẫn ánh sáng trongcấu trúc điện môi 3 chiều

Nguyễn Văn Thường

Tìm hiểu về các mode phân cực hốn hợp

Đàm Văn Hưởng Tìm hiểu về Khái niệm vùng Brillouin

rút gọn, mạng đảo, các “đường vectơ k”Nguyễn Mạnh Toàn

Trần Mạnh Toàn

Tìm hiểu về phương pháp triển khaisóng phẳng PWEM