Sáng kiến kinh nghiệm KHAI THÁC VÀ PHÁT TRIỂN BÀI TOÁN hình học 8

Sáng kiến kinh nghiệm KHAI THÁC VÀ PHÁT TRIỂN BÀI TOÁN hình học 8 Sáng kiến kinh nghiệm KHAI THÁC VÀ PHÁT TRIỂN BÀI TOÁN hình học 8Sáng kiến kinh nghiệm KHAI THÁC VÀ PHÁT TRIỂN BÀI TOÁN hình học 8Sáng kiến kinh nghiệm KHAI THÁC VÀ PHÁT TRIỂN BÀI TOÁN hình học 8Sáng kiến kinh nghiệm KHAI THÁC VÀ PHÁT TRIỂN BÀI TOÁN hình học 8Sáng kiến kinh nghiệm KHAI THÁC VÀ PHÁT TRIỂN BÀI TOÁN hình học 8Sáng kiến kinh nghiệm KHAI THÁC VÀ PHÁT TRIỂN BÀI TOÁN hình học 8Sáng kiến kinh nghiệm KHAI THÁC VÀ PHÁT TRIỂN BÀI TOÁN hình học 8Sáng kiến kinh nghiệm KHAI THÁC VÀ PHÁT TRIỂN BÀI TOÁN hình học 8Sáng kiến kinh nghiệm KHAI THÁC VÀ PHÁT TRIỂN BÀI TOÁN hình học 8Sáng kiến kinh nghiệm KHAI THÁC VÀ PHÁT TRIỂN BÀI TOÁN hình học 8Sáng kiến kinh nghiệm KHAI THÁC VÀ PHÁT TRIỂN BÀI TOÁN hình học 8Sáng kiến kinh nghiệm KHAI THÁC VÀ PHÁT TRIỂN BÀI TOÁN hình học 8Sáng kiến kinh nghiệm KHAI THÁC VÀ PHÁT TRIỂN BÀI TOÁN hình học 8Sáng kiến kinh nghiệm KHAI THÁC VÀ PHÁT TRIỂN BÀI TOÁN hình học 8Sáng kiến kinh nghiệm KHAI THÁC VÀ PHÁT TRIỂN BÀI TOÁN hình học 8Sáng kiến kinh nghiệm KHAI THÁC VÀ PHÁT TRIỂN BÀI TOÁN hình học 8Sáng kiến kinh nghiệm KHAI THÁC VÀ PHÁT TRIỂN BÀI TOÁN hình học 8Sáng kiến kinh nghiệm KHAI THÁC VÀ PHÁT TRIỂN BÀI TOÁN hình học 8Sáng kiến kinh nghiệm KHAI THÁC VÀ PHÁT TRIỂN BÀI TOÁN hình học 8Sáng kiến kinh nghiệm KHAI THÁC VÀ PHÁT TRIỂN BÀI TOÁN hình học 8Sáng kiến kinh nghiệm KHAI THÁC VÀ PHÁT TRIỂN BÀI TOÁN hình học 8Sáng kiến kinh nghiệm KHAI THÁC VÀ PHÁT TRIỂN BÀI TOÁN hình học 8Sáng kiến kinh nghiệm KHAI THÁC VÀ PHÁT TRIỂN BÀI TOÁN hình học 8Sáng kiến kinh nghiệm KHAI THÁC VÀ PHÁT TRIỂN BÀI TOÁN hình học 8

Ví dụ 1 : KHAI THÁC VÀ PHÁT TRIỂN BÀI TOÁN HÌNH TRONG SGK

.Chẳng hạn sau tiết 25‘‘Vị trí tương đối của hai đường tròn”, khi giải bài toán 39

tr.123 SGK toán 9 tập 1”,khi sinh hoạt chuyên môn nhóm toán 8-9 tổ chúng tôi đã

thảo luận xây dựng tiết luyện tập khai thác mở rộng kết quả từ Bài 39 tr.123 SGK

toán 9 tập 1” như sau ,xin trao đổi cùng các bạn đồng nghiệp:

I.

NỘI DUNG Bài toán gốc 1:( Bài 39.tr.123 SGK )

Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A.Kẻ tiếp tuyến chung ngoài

BC.B(O),C(O’),tiếp tuyến chung trong tại A cắt tiếp tuyến chung ngoài BC tại I.

a ) CMR: BAC 90 

b) Tính số đo: OIO '

c) Tính độ dài BC,biết: OA= 9cm,O’A= 4cm.

Lời giải vắn tắt

a) Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau

ta có: ;

2

BC

IA IB IB IC   IA IB IC  

ABC

  vuông tại A (vì có trung tuyến

2

BC

AI  )  BAC 90

b) Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau ta có:

OI là phân giác BIA,O’I là phân giác AIC mà BIA và AIC là hai góc kề bù

 ' 90

OIO

c) Ta có: OIO'vuông tại I có IA là đường cao Theo hệ thức lượng trong tam giác

vuông ta có: IA2 OA OA '  IA2  9.4 36 6   2  IA 6cm BC 2.IA 2.6 12  cm.

KHAI THÁC VÀ PHÁT TRIỂN BÀI TOÁN

Khai thác1.1 : theo hướng thay đổi giả thiết, tìm bài toán mới:

Nhận xét1: Việc giải bài toán1 coi như xong, ta thử đặt vấn đề: “ Nếu thay đổi kết

luận a: (BAC 90 ) của bài toán làm giả thiết và điều kiện: ( hai đường tròn (O) và

(O’) tiếp xúc ngoài tại A) làm kết luận khi đó ta có bài toán khác:

Bài toán 1.1: (Bài toán đảo) Cho ABC vuông tại A.Vẽ đường tròn tâm (O) đi qua

A và tiếp xúc với BC tại B,vẽ đường tròn tâm (O’) đi qua A và tiếp xúc với BC tại

C Chứng minh rằng:

a) (O) và (O’) tiếp xúc nhau tại A

b) Trung tuyến AM của ABC là tiếp tuyến chung của hai đường tròn tại A

Lời giải

a) Các AOB& AO C' là các tam giác cân

Nên:AOB OBA  và O AC O CA '   '

Tacó: OBA ABC    90 & '  O CA ACB    90 

O AC BAO

Do đó: O AC CAB BAO '      180 

 ba điểm O,A,O’ thẳng hàng và

OO’ = OA + O’A.Vậy (O) tiếp xúc với (O’)

tại A

b) AM là trung tuyến thuộc cạnh huyền BC

B

C

I

O'

của ABC vuông tại A nên MA = MC.MO’A =MO’C (c.c.c) nên

MAO MCO   AM  tại A nên AM là tiếp tuyến chung của (O) và (O’)

*Khai thác 1.2: Từ bài toán gốc, tiếp tục khai thác, với chú ý rằng điểm quan trọng

trong điều kiện ở giả thiết của hai bài toán 1 và bài toán 2 là “ Có hai đường tròn

(O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A.Kẻ tiếp tuyến chung ngoài BC.B(O),C(O’),tiếp

tuyến chung trong tại A cắt tiếp tuyến chung ngoài BC tại I.”Bằng cách linh hoạt

vẫn đảm bảo các điều kiện đó, nhưng thay đổi kết luận , ta có được các bài toán mới

lạ hơn như sau:

Bài toán 1 2: Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A.Kẻ tiếp tuyến

chung BC.B(O),C(O’) Tiếp tuyến chung trong tại A cắt tiếp tuyến chung ngoài

BC tại I.Gọi D là giao điểm của CA với đường tròn tâm O (DA) Chứng minh

rằng:

a) Ba điểm B,O,D thẳng hàng

b) BC là tiếp tuyến đường tròn đường kính OO’

c) OO’ là tiếp tuyến đường tròn đường kính BC

Lời giải

a) Các tam giác cân O’AC và OAD có hai góc ở đáy bằng nhau nên hai góc ở đỉnh

bằng nhau  OD // O’C Ta lại có: OB // O’C (vì cùng vuông góc với BC) Vậy

theo tiên đề Ơclit thì B,O,D thẳng hàng

b) Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau,ta có:

OI là tia phân giác BIA,O’I là tia phân giác AIC.Mà BIA kề bù với AIC  OIO ' 90  

'

OIO

  nội tiếp đường tròn đường kính OO’.Ta có:IB = IC =IA

Gọi J là trung điểm của OO’ thì IJ là đường trung bình của hình thang O’CBO Mà

OBBC IJ BC BC là tiếp tuyến của đường tròn đường kính OO’

c) ABC vuông tại A có AI là trung tuyến

2

BC

AI  ABC nội tiếp đường tròn đường kính BC vì AI OO'nên OO’ là tiếp tuyến đường tròn tâm I bán kính IA

Bài toán 1.3: Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A.Kẻ tiếp tuyến

chung ngoài BC B(O),C (O’).Tiếp tuyến chung trong tại A cắt tiếp tuyến chung

ngoài BC tại I

a) Tính độ dài BC,biết OA = R,O’A = r

b) Tính độ dài OI và O’I theo R,r

c) Tính các cạnh của ABC theo R,r

Lời giải

a) Ta có: BAC 90 và OIO  ' 90 (theo bài 1)

Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông,

Ta có:IA2 OA OA ' R r. IA R r.

J

I

C B

D

O

I

C B

O

A O'

r

R

I

C

B

O'

A

O

Mà BC 2.IA 2. R r.

b)Ta có: OI2 IA2 OA2 R r R  2 R R r(  )

OI R R r

O I IA O A R r r r R r

O I  r R r

c) Gọi D là giao điểm của CA với (O);(DA).Theo bài 5a) ta có: B,O,D thẳng

hàng.Xét CBD vuông tại B,ta có: BC 2 R r. ; BD = 2R

Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:

AB



 Tương tự ta có: AC 2r R

R r



 Vậy các cạnh của ABC là:

Tiếp tục khai thác bài thoán theo các hướng khác và theo kiến thức mới khác ta

được 9 bài toán khác song thời gian hạn chế nên ở đây chúng tôi chỉ đưa ra 3 bài

Khai thác từ bài toán gốc

Trong tiết 17 ‘‘Ôn tập chương 1 ”đại số 9, sau khi giải Bài 100/19 BTT9 /Tập 1”

giáo viên yêu cầu khai thác và phát triển từ kết quả bài toán gốc , các em học sinh

lớp 9A1đã thảo luận và đưa ra các bài toán mở rộng như sau:

NỘI DUNG BÀI TOÁN GỐC :‘‘Bài 100/19 BTT9 /Tập 1’’

Rút gọn các biểu thức : 15 6 6  33 12 6

Giải

ĐặtA= 15 6 6  33 12 6  3 2  2.3 6 ( 6)  2  (3 2  2.3.2 6 (2 6)  2

Vì 3 6 nên 3 6 0 và vì3 2 6 nên 3 2 6 0 

*Khai thác 1.: Thay đổi lệnh đề bài toán

Bài toán 1.1 C/ minh giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trbiến

: 15 6 6  33 12 6

Bài toán 1.2 Chứng minh đẳng thức : 15 6 6  33 12 6 = 6

*Khai thác 2.: Thay đổi kết quả bài toán

Bài toán 2.1 Rút gọn biểu thức : 15 6 6  33 12 6 6 - 6)

Giải

Đặt B= 15 6 6  33 12 6  3 2  2.3 6 ( 6)  2  (3 2  2.3.2 6 (2 6)  2

Vì 3 6 nên 3 6 0 và vì3 2 6 nên 3 2 6 0 

*Khai thác 3: Đặt bài toán tổng quát:

Bài toán 3.1 a) Rút gọn biểu thức : a2 b với a x y   và b xy 

Áp dụng câu aRút gọn biểu thức Rút gọn các biểu thức sau :

a) 11 2 10  b) 9 2 14 

b) So sánh :

a) 6  20 và 1+ 6 b) 17 12 2 và 2 1   c) 28 16 3 và 3 2  

50 Tính : a) 4 2 3  b) 11 6 2  c) 27 10 2 

51 Rút gọn biểu thức : 8 41

M

45 4 41 45 4 41



72 Cho biểu thức A  7 4 3   7 4 3  Tính giá trị của A theo hai cách.

76 So sánh 4  7  4  7  2 và số 0.

d) A  m  8m 16   m  8m 16  e) B  n 2 n 1    n 2 n 1  

BIẾN ĐỔI VÀ RÚT GỌN BIỂU THỨ CHỨA CĂN THỨC BẬC HAI

2.LỊCH SỬ NGHIÊN CỨU:

Vấn Đề“Khai thác và phát triển từ kết quả một bài toán ” là một đề tài đã được

một số tác giả đề cập tới với đối tượng là học sinh lớp 6,7,8,9 với những bài toán

gốc khác nhau và tên tác giả khác nhau Trong chương trình Toán học bậc THCS,

đề tài về“Khai thác và phát triển từ kết quả một bài toán ” là một trong những

chuyên đề xuyên suốt 4 năm học của học sinh, bắt đầu từ những bài toán “Tìm số đo

góc biết ” dành cho học sinh lớp 6 Rồi tới ‘’Một số bài toán khai thác từ hằng

đẳng thức đẹp’’ trên tạp chí Toán học tuổi thơ vv Đó là những chùm bài toán đã

được tác giả thâu tóm rất bổ ích cho học sinh bậc THCS Đặc biệt, với những học

sinh tham gia các kì thi học sinh giỏi thì đây là một trong những chiếc chìa khoá

giúp các em mở rộng thêm cách cửa để vào chiêm ngưỡng kho tàng tiềm ẩn của

môn toán học.

Xong , Làm thế nào giúp cho học sinh phát hiện , giải thành thạo các dạng

bài toán hay những chùm bài toán và giúp các em nắm một cách có hệ thống

được các bài tập cùng dạng để dễ nhớ, dễ vận dụng một số bài toán ? Điều quan

trọng là phải để cho các em thấy rằng : sau khi giải xong một bài toán mà coi như

là xong thì thật là đáng tiếc , vì như thế là các em đã bỏ lỡ cơ hội rèn luyện và

khám phá tri thức cho mình Không ai ngoài các thày cô giáo là người giáo viên

đứng lớp phải thấy được nhiệm vụ quan trọng hàng đầu của mình là dạy cho học

sinh phương pháp tự học - vận dụng đơn vị kiến thức đã học đó vào các hoạt động

toán học: tạo cho các em thói quen tự đặt câu hỏi: “ có cách nào giải được bài

toán này ưu việt hơn không ? và Có thể khai thác- phát triển bài toán này theo

nhiều hướng khác nhau được không ? Khi đó các em sẽ thấy được nhiều điều bổ ích

và lý thú

Bởi lẽ như vậy nên:

Vấn Đề phát huy tính tích cực ,sáng tạo của học sinh thông qua “Khai thác

và phát triển mở rộng từ kết quả một bài toán ” đã được PGD TP Hạ long quan

tâm chỉ đạo thực hiện

là tổ trưởng chuyên môn tổ Toán –Lý Tin tôi nhận thấy

Chương trình mới dựa trên quan điểm lấy học sinh làm trung tâm, giáo viên

đóng vai trò hướng dẩn, tổ chúc hoạt động dạy học Định hướng đổi mới phương

pháp dạy học hiện nay đã xác định “phương pháp dạy học Toán trong nhà trường

các cấp phải phát huy tính tích cực, tự giác chủ động của người học, hình thành và

phát triển năng lực tự học, trau dồi các phẩm chất linh hoạt , độc lập sáng tạo của tư

duy”.Bắt nguồn từ định hướng đó giáo viên cần phải học hỏi nghiên cứu, tìm tòi và

áp dụng vào dạy học sao cho phù hợp với từng vùng miền, từng đối tượng học sinh,

từng kiểu bài để đạt được hiệu quả học tập cao nhất

nhiệm vụ của năm học của trường THCS Việt Hưng và của tổ chuyên môn tổ

toán-Lý –Tin học trong năm học 2012 – 2013 - Căn cứ vào kế hoạch

Dạy học sinh học Toán không đơn thuần chỉ là cung cấp những kiến thức cơ bản,

hay là dạy học sinh cách giải bài tập sách giáo khoa, sách bài tập tham khảo vv mà

điều quan trọng ở đây là hình thành cho học sinh thói quen hoạt động, tìm tòi, tích

cực sáng tạo để dần hoàn thiện kĩ năng, kĩ xảo, nâng cao tri thức, hoàn thiện nhân

cách học sinh

Tôi là tổ trưởng chuyên môn tổ Toán –Lý Tin , là giáo viên giảng dạy Toán

bậc THCS ,lại được nhà trường giao trách nhiệm bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi

Toán tham dự kì thi các cấp Vấn đề đặt ra là làm thế nào nâng cao hiệu quả học tập

cho các em học sinh? Việc khai thác và cùng học sinh khai thác một bài toán cơ bản

nào đó để xây dựng được hệ thống bài tập rồi phát triển nâng cao hơn yêu cầu của

bài toán trở thành bài toán khác khó hơn là một hoạt động thiết thực không thể

thiếu đối với người giáo viên day đội tuyển Bởi vậy, tôi luôn quan tâm đến vấn đê

này và xin trình bày đề tài “Khai thác và phát triển từ kết quả một bài toán hình

học ”, với hi vọng góp một phần nhỏ bé vào việc giải quyết vấn đề nhiều người

đang lưu tâm tới

Chương trình mới dựa trên quan điểm lấy học sinh làm trung tâm, giáo viên

đóng vai trò hướng dẩn, tổ chúc hoạt động dạy học Định hướng đổi mới phương

pháp dạy học hiện nay đã xác định “phương pháp dạy học Toán trong nhà trường

các cấp phải phát huy tính tích cực, tự giác chủ động của người học, hình thành và

phát triển năng lực tự học, trau dồi các phẩm chất linh hoạt , độc lập sáng tạo của tư

duy”.Bắt nguồn từ định hướng đó giáo viên cần phải học hỏi nghiên cứu, tìm tòi và

áp dụng vào dạy học sao cho phù hợp với từng vùng miền, từng đối tượng học sinh,

từng kiểu bài để đạt được hiệu quả học tập cao nhất

Việc khai thác, phát triển một bài toán cho trước góp phần rất quan trọng trong việc

nâng cao năng lực tư duy cho HS khi học môn Toán - nhất là việc bồi dưỡng HS

giỏi Qua quá trình giảng dạy và nghiên cứu, bản thân tôi nhận thấy:

- Các GV giảng dạy toán đều đánh giá cao tầm quan trọng của việc khai thác, phát

triển từ một bài toán mà HS đã giải được Mở rộng, phát triển thêm các bài toán

khác (đơn giản hoặc thường là phức tạp hơn) nhằm phát triển tư duy sáng tạo, linh

hoạt, độc lập, tích cực suy nghĩ cho cả người dạy và người học

- Trong quá trình giảng dạy và học tập toán, việc khai thác, tìm hiểu sâu thêm kết

quả của bài toán là rất quan trọng và rất có ích Nó không chỉ giúp chúng ta nắm bắt

kĩ kiến thức của một dạng toán mà nó còn nâng cao tính khái quát hoá, đặc biệt hoá,

tổng quát hoá một bài toán; từ đó phát triển tư duy, nâng cao tính sáng tạo, linh hoạt

cho các em HS; giúp cho HS nắm chắc, hiểu sâu rộng kiến thức hơn một cách lôgic,

khoa học; tạo hứng thú khoa học yêu thích bộ môn toán hơn

Sau một thời gian kiên trì, nghiêm túc và nỗ lực thực hiện với sự giúp đỡ của

đồng nghiệp, tôi đã hoàn thành sáng kiến kinh nghiệm với đề tài " Khai thác và phát

triển từ kết quả một bài toán hình học" Tôi mong muốn được học hỏi, trao đổi

thêm cùng tất cả đồng nghiệp và bạn đọc quan tâm vấn đề này Đồng thời, tôi cũng

hi vọng đề tài này sẽ đóng góp một phần nhỏ trong việc bổ sung hiểu biết, góp phần

làm tài liệu tham khảo cho công tác giảng dạy toán cũng như học toán, từ đó nâng

cao được chất lượng dạy và học môn toán trong nhà trường

Trong hoạt động dạy và học Toán nói chung, thì vấn đề khai thác, nhìn nhận

một bài toán cơ bản dưới nhiều góc độ khác nhau nhiều khi cho ta những kết quả

khá thú vị Ta biết rằng ở trường phổ thông, việc dạy toán học cho học sinh thực

chất là việc dạy các hoạt động toán học cho các em Cụ thể khi cung cấp truyền tải

cho học sinh một đơn vị kiến thức thì ngoài việc cho học sinh tiếp cận, nắm vững

đơn vị kiến thức đó thì nhiệm vụ quan trọng hàng đầu của người giáo viên đứng

lớp là dạy cho học sinh phương pháp tự học - vận dụng đơn vị kiến thức đã học đó

vào các hoạt động toán học: đó là ; khai thác phát triển mở rộng nó

Xuất phát từ quan điểm trên , với trình độ hiểu biết còn hạn chế của bản

thân , song với sự chuyên tâm của mình về vấn đề “Khai thác và phát triển từ kết

quả một bài toán ’’ tôi đã khai thác và cùng học sinh khai thác mở rộng một số

bài toán cơ bản trong sách giáo khoa để từ đó xây dựng được một hệ thống bài tập

từ cơ bản nâng mức độ khó dần lên , đến bài toán khó hơn có hiệu quả Bởi vậy ,

với bài viết này tôi mạnh dạn đề cập tới việc “ Khai thác và phát triển từ kết

quả một bài toán hình học lớp 8’’ để từ đó xây dựng cho học sinh thói quen tìm tòi

sáng tạo, nắm được đường lối chung để giải chùm các bài toán xây dựng được một

hệ thống bài tập từ cơ bản nâng dần lên đến bài toán khó làm đề tài liệu nghiên cứu

cho cả thầy và trò trường Việt Hưng