ĐỊNH LÝ TA – LÉT VÀ HỆ QUẢ CỦA ĐỊNH LÝ TA – LÉT TÍNH CHẤT ĐƯỜNG PHÂN GIÁC CỦA TAM GIÁC CÁC TRƯỜNG HỢP ĐỒNG DẠNG CỦA TAM GIÁC
Trang 1ĐỊNH LÝ TA —- LET VA HE QUA CUA DINH LY TA - LET
1 Cho hình thang ABCD (AB // CD) Một đường thẳng song song với hai đáy, cắt
các cạnh bên AD và BC theo thứ tự tại E và F Tính FC, biết AE = 4 cm; ED = 2 cm;
BF = 6cm
BD l
2 Cho A48C Điểm D thuộc cạnh BC sao cho BC Điểm E thuộc đoạn thẳng
AK
AD sao cho AE = 2ED Gọi K là giao điểm của BE và AC Tính tỉ số Kc ?
3 Cho A48C, điểm D thuộc cạnh BC Qua D kẻ DE // AC (E € 48); DF // AB (
— + —?
F € AC) Tinh: 2B TC
4 Cho hình thang ABCD (AB // CD; AB < CD) Đường thẳng song song với hai đáy cắt các cạnh bên AD và BC theo thứ tự tại M và N So sánh các tỉ số:
AM | BN
— va —
AM | BN
Và —-
D4 YÀ Cg'
5 Cho A4Z8C (AB < AC), đường phân giác AD (D € ØC) Qua trung điểm M của
cạnh BC, kẻ đường thẳng song song với AD, cắt AC và AB theo thứ tự tại E và K Chứng minh rằng:
a AE=AK
b BK = EC
6 Cho AABC, 4 = 900, đường cao AD (D € 5C) Từ D kẻ DEL48 (E € 48):
DFLAC (F € AC) Chứng minh khi độ dài các cạnh AB, AC thay đổi thì tổng
AE AF
— + — không thay đổi
7.G la trong tam cua AABC Qua G vé GD // AB (D € BC); GE // AC (E € BC)
a
C
a Tính tỉ số —— ?
BC
b Chứng minh: 5D = DE = EC
8 Cho M là điểm bất kì thuộc miền trong của A48C Tia AM cắt BC tại N Dựng hinh binh hanh ADME (D € AB; E € AC)
Trang 2Ch + h a“ AD AE MN + =F kha đ Ae
ứng minh tổng 1B T1AC T Ta Có giá trị không đổi
9 Cho hình thang ABCD (48/ /CD) Đường thẳng đ/ /4B, cắt các cạnh bên và
đường chéo AD; BD; AC; BC theo thứ tự tại các điểm M; N; P; Q
Chứng minh rằng: MN = PQ
10 Cho hình thang cân ABCD (48/ /CD) Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại
O Gọi M; N theo thứ tự là trung điểm của BD và AC Biết MD = 3MO, đáy lớn CD
= 5,6 cm
a Tính MN; AB?
b So sánh MN với nửa hiệu các độ dài của CD và AB
11 Cho hinh thang ABCD (4B//CD) Lay E trên cạnh AD sao cho =ˆ
Ké EF//CD; F € BC Chứng minh rằng: EF = a
12 Cho hình thang ABCD (48/ (CD) Trên tia đối của tia BA lấy điểm E sao cho
BE = CD Gọi I, K lần lượt là giao điểm của AC với DB, DE Chứng minh = =
13 Cho hình thang ABCD (AB // CD) Một đường thẳng song song với hai đáy
AM l
MD 2
cắt các canh bén AD, BC tai M, N sao cho
Tính tỉ số BN 5
b Cho AB = 8 cm, CD = 17 cm Tinh MN?
14 Cho AABC, A= 120°, AB = 3 cm, AC = 6 cm Tính độ dài đường phân giác AD (D € BC)
15 Cho AABC can tai A Cac dwong phan giac BD, CE (D € AC, E € AB)
a Chứng minh DE // BC
b Tính độ dài AB, biết DE = 6 cm, BC = 15 cm
16 Cho hình bình hành ABCD, một đường thẳng đi qua D cắt AC, AB, CB theo thứ tự tại M,N, K
a Chtyng minh: DM? = MN MK
— + — =?
b Tinh: DN * DK
Trang 317 Cho AABC, gọi I là trung điểm của AB, E là trung điểm của BI, D thuộc cạnh
AC sao cho CD = 3 CA Goi F la giao điểm của BD và CE Tính các tỉ số FD: FC’
TINH CHAT DUONG PHAN GIAC CUA TAM GIAC
18 Cho AABC co AB = 12 cm, AC = 20 cm, BC = 28 cm Ké duong phan giac AD
A
của 84C (D 6 8C) Qua D kẻ DE // AB (E € 4C)
a Tính BD, DC, DE?
b Cho biết S.„„c = a em2 Tính S „sp: SAzpr: ŠApcr?
19 Cho AABC, A = 90°, AB = 15 em, AC = 20 em, đường cao AH (H € BC)
Tia phan giac cua HAB cat HB tai D Tia phan giac cua HAC cat HC tai E
a Tinh AH
b Tinh DH, HE
20 Cho AABC, AB = AC = 10 cm, BC = 12 em Gọi I là giao điểm các đường
phan giac cua AABC Tinh BI
21 Cho AABC, A= 90°, AB =21 cm, AC = 28cm Duong phan giac AD (
D € BC), DELAC (E € AC)
a Tinh BD, DC, DE
b Tính SA¿sp: SAz4cp ?
22 Cho A4ĐC, AB = AC = 15 cm, BC = 10 cm Duong phan giac BD (D € AC)
a Tinh AD, DC
b Đường vuông góc với BD cắt đường thẳng AC tại E Tính EC
23 Cho A4ZĐC, các đường phân giác BD và CE (D € 4C, £ € 48) Biết
DC 3° EB 6
Tinh cac canh ctia AABC, biét chu vi cua AABC bang 45 cm
24 Cho AABC, AB = 12 cm, AC = 18 cm, dwong phan giac AD (D € BC) Diém
I thuéc doan thang AD sao cho A/ = 2/D Goi E 1a giao diém cua BI va AC
a Tính tỉ số —
EC
b Tính AE, EC.
Trang 425 Cho AABC, AB = AC=b BC=a, A = 36"
Chứng minh: aˆ + a — bˆ = 0
26 Cho AABC, AB = AC, A = 36" Tinh a
27 Cho AABC cé AB + AC = 2BC Gọi I là giao điểm các đường phân giác A48C
và G la trong tam cua AABC Chitng minh IG // BC
28 Cho AABC (AB < AC) Trén canh AC lay diém D sao cho CD = AB Goi M, N
“A A
lần lượt là trung điểm của AD, BC Tính CAX, biết 84C = 50°
CAC TRUONG HOP DONG DANG CUA TAM GIAC
29 Cho hình thang vuông ABCD (4 =B= 90°), AD =a, BC =b (a> b), AB = c Tính các khoảng cách từ giao điểm các đường chéo hình thang đến đáy AD và cạnh bên AB
MB l
30 Cho A4ĐC Điểm M thuộc cạnh BC sao cho C = 2 Ké MD // AC (D € AB),
ME // AB(E € AC)
a Tìm các cặp tam giác đồng dạng và tỉ số đồng dạng
b Tinh chu vi ADBM; AEMC, biét chu vi A48C bằng 24 cm
4
2
31 Cho AABC ~ AH/K theo tỉ số đồng dạng k = 5
a Tính tỉ số chu vi của hai tam giác đã cho
b Tinh chu vi AH/K biết chu vi A48C bằng 60 cm
MB = = 5 Ké MH // AC (H € AQ), 2
32 Cho AABC, diém M thudéc canh BC sao cho
MK // AB (K € AC)
a Tính MB, MC biết BC = 25 cm
b Tính chu vi A48C, biết chu vi AKMC bằng 30 cm
c Chứng minh: ⁄Z M4C = B.M KM
33 Cho hình thang ABCD (AB // CD, AB > CD), AC cat BD tại F Từ C vẽ CK // AD
AB (K € AB), CK cat BD tại L biết DF = BL Tinh oD
34 Cho tứ giác ABCD có E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh AD, BC Đường
thẳng EF cắt các đường thẳng AB, CD lần lượt tại M, N Chứng minh
MA NC = MB ND
d
Trang 535 Cho AABC co BC = 9 em, 4C = 6 cm, 4B = 4 cm Gọih h,, h là chiều cao tương ứng với các cạnh BC, AC, AB Chứng minh A48C đồng dạng với tam
giác có ba cạnh bangh,, h,, h
36 Cho A48C có ba đường trung tuyến cắt nhau tại O Gọi P, Q, R, D, H, K theo thứ tự là trung điểm của các đoạn thẳng OA, OB, OC, AB, AC, BC
a Chứng minh AKHD ~ APOR, tìm tỉ số đồng dạng
b Tinh chu vi APOR, AABC, biét chu vi AKHD bang 100 cm
37 Cho diém H nam trong AABC Goi K, M, N theo thứ tự là trung điểm của các doan thang AH, BH, CH Goi D, E, F theo thứ tự là trung điểm của các đoạn thẳng
KM,KN,MN
a Chứng minh AFED ~ A4BC, tìm tỉ số đồng dạng?
b Biết nửa chu vi của A48C là 12 cm Tính chu vi AFED
38 Cho A4BC có 4B: BC: AC = 2:5:4 Biết ADEF ~ A4BC và chu vi của ADEEF
là 55 cm Tính các cạnh cua ADEF
39 Cho AABC c6 BC = a, AC =b, AB = cvaa’ = be Goih,, h,, hla chiéu cao tương ứng với các cạnh BC, AC, AB Chứng minh A48C đồng dạng với tam giác có ba cạnh bằng độ dài các đường cao của AABC
40 Cho AABC, A =90° vaAd4 BC ,A =90° Biet —— = — =k
AC
a Tinh ——
AC
b Chứng minh: A48C ~ A4 8C”
c Tính tỉ số diện tích của A4B8C và A4 8 C
41 Cho A4BH, H = 90°, 4B = 20 cm, BH = 12 cm Trên tia đối của tia HB lấy
5
diém C sao cho AC = 3 AH
a Chung minh: AABH ~ ACAH
b Tinh BAC = ?
42 Cho tứ giác ABCD có: BAD = 90°, CBD = 90°, AB=4 cm, BD =6 cm,
CD = 9 cm
a Chứng minh A4BD ~ ABDC
b Tứ giác ABCD là hình thang vuông
Trang 643 Cho hình thoi ABCD có 4 = 60 Qua C kẻ đường thẳng d cắt các tia đối của
các tia BA, DA theo thứ tự ở E, F Goi I là giao điểm của DE và BF
a So sánh BA va DF:
b Chứng minh AEBD ~ ABDF
^
c Tinh BJD = ?
44 Cho hình thang vuông ABCD (4 = D = 90°), AB = 10cm, CD = 30 cm, AD =
Diém E nam trén canh AD sao cho AE = 15 cm Tinh BEC?
45 Cho hình bình hành ABCD, AC cat BD tai O, AC = 2AB Vẽ trung tuyến BE của AABO (E € nh Gọi ” là trung điểm của BC
a So sánh ABE và ACB
b Chứng minh EÀA/1 BD
46 Cho A4BC Đường thẳng đ/ / 8C cắt AB, AC lần lượt tại D, E sao cho
DC* = BC DE
a So sánh ADEC va ACDB
b Nêu cách dựng DE
47 Cho A48C và G là điểm thuộc miền trong tam giác, tia AG cắt BC tại K va tia
CG cat AB tai M Biét rang AG = 2GK; CG = 2GM Chitng minh rang G 1a trong
tam cua AABC
48 Cho hinh thang ABCD (AB//CD) Biét
“A
AB = 9cm: BD = 12cm: CD = 16cm: ADB = 45° Tinh BCD ?
49 Cho AABC va ADEF có B = E; BA = 2,5DE; BC = 2,5EF; AC + DF = 49cm
Tinh AC va DF
50 Cho góc xOy có tia phan giác Ot Trên tia Ox lay cac diém A va C’ sao cho
OA = 4cm; OC = 9cm Trén tia Oy lay cdc diém A’ va C sao cho
OA = 12cm; OC = 3cm Trén tia Ot lay cac diém B va B’ sao cho
OB = 6cm: OB = 18cm
a Chứng minh rằng AO4ð ~ AOA B8
AB BC AC
51 Trên một cạnh của một góc có đỉnh là O, đặt các đoạn thắng
OÓA = 5cm; OB = 16cm Trên cạnh thứ hai của góc đó, đặt các đoạn thang
b Tính các tỉ số
Trang 7OC = 8cm: OD = 10cm
a Chứng minh rằng AOCB ~ AOAD
b Gọi giao điểm của các cạnh AD và BC là I Chứng minh rằng 47 JD = JB IC
52 Cho A4ØC có 4 = 90, dựng 4H LBC (H € BC) Đường phân giác BE cắt AH tại F
FH EA Chứng minh rằng ——
FA EC
53 Tính độ dài x của đoạn thẳng BD trong h hình vel biét rang ABCD 1a hinh thang, AB//CD; 4B = 12, 5cm; CD = 28, 5 cm; DAB = DBC
A 12,5 B
28,5
54 Cho hinh thang ABCD, (AB//CD) Goi O là giao điểm của hai đường chéo AC
và BD
a Chiyng minh rang: OA OD = OB OC
b Đường thẳng qua O vuông góc với AB và CD theo thứ tự tại H và K Chứng
minh rang OK CD
55 Cho AABC c6 cạnh 48 = 24cm: AC = 28cm dwong phân giác của góc 4 cắt canh BC tai D Goi M, N theo thứ tự là hình chiếu của B và C trên đường thang
AD
„ „ ĐÀM
a Tính tỉ số ——
CN
b Chứng minh rằng —— = ——
56 Cho AABC can tai A, M là trung điểm của BC Trên cạnh AB lấy điểm D, trên
“A
cạnh AC lấy diém E sao cho DM là tia phân giác của 8DE Chứng minh rằng
BC?
BD CE = — 4
“A A ,
57 Cho A48C và A4 B C biết 4+ 4ˆ = 1800: 8 = 8ˆ Chứng minh rằng
AB.A B +AC.A C =BC.BC
=
58 Cho AABC có 4 = 2B = 4È Chứng minh rằng:
Trang 859 Cho AABC cé AB = c: BC = a: AC = b: A = 2B Chứng minh rằng
a’ = b* +be
60 Cho hình vuông ABCD Trên các cạnh BA, BC đặt 5P = BO vẽ BHLCP Chứng
minh rằng DH LHỌ
61 Cho A48C đều, gọi M là trung điểm của BC Lấy điểm P trên cạnh AB và điểm
Q trên cạnh AC sao cho PMO = 60° Chứng minh:
a APBM ~ AMCO
b AMBP ~ AQMP
Sasc 2C
62 Cho AABC déu, O 1a trọng tâm của tam giác và điểm 1⁄ € BC, M không trùng với trung điểm của BC Kẻ MP và MQ lần lượt vuông góc với AB và AC, các đường
vuông góc này lần lượt cắt OB và OC tai I và K
a Chứng minh rằng tứ giác MIOK là hình bình hành
b Gọi R là giao điểm của PQ và OM Chứng minh R là trung điểm của PQ
63 Cho hình bình hành ABCD có AC là đường chéo lớn Gọi E và F theo thứ tự là
hình chiếu của C trên AB và AD Gọi H là hình hình chiếu của D trên AC Chứng minh rằng:
a AD AF = AC AH
b AD AF + AB AE = AC?
64 Cho AABC QuaD € BC lan luot ké DE//AC (E € AB); DF//AB (F € AC)
Biét Sypep = 16 cm7; Sapec = 25 cm Tinh Sy yac?
65 Cho AABC, ba trung tuyén AK, BN, CM cat nhau tai O Goi A ¡: 49; Az laba điểm lần lượt trên AK, BN, CM sao cho
|
Tính Sx¿.z,c, biết Sa „zc = 128 cm”
66 Cho AABC cé A = 90°: C = 30” và đường phân giác BD (D € AC)
a Tính tỉ số —— CD
b Cho biết độ dài 48 = 12, 5cm, tính chu vi của A48C
c Gọi M là trung điểm của BC, chứng minh rằng A4DB = AMDC
Trang 967 Cho A4BC vuông tại A, đường cao AH, gọi P là trung điểm của BH, Q là trung
điểm của AH Chứng minh rằng:
a AABP ~ ACAQ
b APLCOQ
68 Cho AABC, dwong cao AH, ké H/ LAB; HK LAC Cheng minh rang:
a AH* = Al AB
b AAIK ~ AACB
c Đường phân giác của 48 cắt AB tại E Biết dee Tinh —
69 Cho hình vuông 48C?D Trén canh AB lay diém M, ké BH LCM, noi DH, vẽ
HN LDH(N € BC) Chứng minh rằng:
a ADHC ~ ANHB
b AMHB ~ ABHC
c NB=MB
70 Cho hình chữ nhat ABCD cé AD = 6cm; AB = §em và hai đường chéo cắt
nhau tại O Qua D kẻ đường thẳng đ L Dð, d cắt BC tại E
a Chứng minh rằng: A8DE ~ ADCE
b Kẻ CHL DĐ tại H, chứng minh DC” = CH DB
c Gọi K là giao điểm của OE và HC Chứng minh K là trung điểm của HC
3EHC
d Tính tỷ số
EDB
71 Cho A4ðC vuông tại A có AH là đường cao, gọi D và E lần lượt là hình chiếu
vuông góc của H lên AB, AC
a Chứng minh rằng A4ED ~ A4BC
b Giả sử S¿„c = 2S ;p„„c Chứng minh rằng A48C vuông cân tại A
72 Cho hinh thang ABCD cé (AB//CD), AB = m; CD = n(n > m), cac diém P, Q lần lượt trên các cạnh AD, BC sao cho PQ//AB//CD;S , BỌP ” S POCD: Chứng
m2 +n?
2
73 Cho AABC can tai đỉnh A và H là trung điểm của cạnh BC Gọi I là hình chiếu vuông góc của H lên cạnh AC và O là trung điểm của HI Chứng minh rằng
ABJC ~ AAOH
74 Cho hinh cht nhat ABCD, cé AB = 12cm, BC = 9cm Goi H là chân đường
vuông góc kẻ từ A xuống BD
minh rang: PO? =
Trang 10a Chirng minh rang AAHB ~ ABCD
b Tính độ dài đoạn thang AH
75 Tứ giác ABCD có hai đường chéo AC và BD cat nhau tai 0, ABD = ACD Gọi E
là giao điểm của hai đường thẳng AD và BC Chứng minh rằng:
a AAOB ~ ADOC
b AAOD ~ ABOC
c EA ED = EB EC
76 Cho AABC vuong tai A, AB = 15cm; AC = 20cm đường phân giác BD
a Tinh dé dai AD
b Gọi H là hình chiếu của A trên BC, tính độ dài HA, HB
c Ilà giao của AH va BD Chứng minh rằng A47D cân
77 Cho A4ĐC vuông tại A, 4B = 36 em; AC = 48 cm Đường phân giác AK Tia
phân giác của ð cắt AK ở I, qua I kẻ đường thẳng song song với BC, cắt AB và AC
theo thứ tự ở D và E
a Tính độ dài BK
AI
b Tính tỉ số —
AK
c Tính độ dài DE
78 Cho AABC vuong tai A, AB = a; AC = 3a, trên cạnh AC lấy các điểm DE sao cho AD = DE = EC
DB DC
a Tinh các tỉ số ——: ——
DE DB
b Chteng minh rang ABDE ~ ACDB
A ^
c Tính tổng 4EB + 4CB
d Tinh chu vi ABDE
79 Cho A4ZC, các đường trung tuyến BD và CE cắt nhau tại G, qua điểm O thuộc
canh BC, vé OM // CE, ON // BD(M € AB: N € 4C), MN cắt BD, CE theo thứ tự
ol, K
MH
a Goi H là giao điểm của OM và BD Tính tỷ số MO
i
l
b Chứng minh rang M/ = sMN
c Chiyng minh rang M/ = IK = KN