các định lí hình học nổi tiếng

I.1) Đị n h lí Menelaus Địn h lí: Cho tam giác ABC để i m M,N,P l ần l ượ t thu ộc BC,CA,AB Khi M,N,P th ẳng hàng ch ỉ khi: MBMC.NCNA.PAPB=1(1) Chứng minh: a)Khi M,N,P thẳng hàng Trên MN lấy điểm Q cho AQ//BC Theo Thales ; NCNA=MCQA PAPB=QAMB Từ dễ có đẳng thức (1)trên b)Ngược lại ,khi có (1): Giả sử PN cắt BC M' Theo phần trước ta có: M′BM′C.NCNA.PAPB=1 Kết hợp với (1) suy MBMC=M′BM′C Do M trùng M' tức M,N,P thẳng hàng Vậy ta có điều phải chứng minh Y so serious? I.2)Mở rộng định lí Menelaus theo diện tích Định lí:Cho $\Delta $ ABC điểm M,N,P nằm BC,CA,AB.Khi ta có: SMNPSABC=BM.CN.AP−CM.AN.BPAB.BC.CA Chứng minh : Gọi $e_{1},e_{2},e_{3}$ vector phương BC,CA,AB Ta có: SABC=SMAB+SMCA mặt khác : ⇒SABC=SPMA+SPBM+SNMC+SNAM ⇒SABC=SMNP+SBMP+SCNM+SAPN tương tự: SCNMSABC=CN.CMCA.CB SAPNSABC=AP.ANAB.AC Ta suy ra: SMNPSABC=1−SBMPSABC−SCNMSABC−SAPNSABC ⇒SMNPSABC=1−BM.BPBC.BA−CN.CMCA.CB−AP.ANAB.AC ⇒SMNPSABC=BM.CN.AP−CM.AN.BPAB.BC.CA ⇒ đpcm I.3)Định lí Menelaus cho tứ giác: Định lí:Cho tứ giác ABCD đường thẳng d cắt AB,BC,CD,DA M,N,P,Q Khi ta có: MAMB.NBNC.PCPD.QDQA=1 Chứng minh: Ta làm giống cách chứng minh tam giác:) Trên d lấy hai điểm I,J cho AI//BJ//CD Theo Thales ta có: MAMB=IAJB NBNC=JBPC QDQA=PDIA Từ dễ có điều cần chứng minh **Các bạn lưu ý rằng: 1)Khi áp dụng cho tứ giác ,định lí Menelaus phát biểu dạng thuận dạng đảo nói chung không đúng! 2) Các bạn thử suy nghĩ xem với dạng thuận mở rộng cho đa giác không? -M ột vấn đề thú vị I.4) Định lý Ceva Định lý: Cho $\Delta$ ABC.Gọi E,F,G ba điểm tương ứng nằm BC,CA,AB Ba đường thẳng AE,BF,CG cắt điểm O khi: AGGB.BEEC.CFFA=1 Chứng minh: Phần thuận: Giả sử ba đường thẳng AE,BF,CG cắt điểm O TỪ A C, kẻ đường song song với BF, chúng cắt CGvà AE K,I tương ứng Ta có:CFFA=COOK CIAK=COOK (Sử dụng định lý Thales) ⇒CFFA=ICAK Các cặp Δ đồng dạng IEC OEB, AKG BOG : BECE=BOCI AGBG=AKBO Do đó: AGGB.BEEC.CFFA=AKOB.BOIC.ICAK=1 Phần đảo: Giả sử ta có: $\frac{AG }{GB}.\frac{BE}{EC}.\frac{CF}{FA}=1$ Qua giao điểm đường thẳng AEvàBF,kẻđườngthẳngCC_{1}$ với C1 nằm cạnh AB Khi đó, theo chứng minh phần thuận: AC1C1B.BEEC.CFFA=AGGB.BEEC.CFFA=1 Suy AC1C1B=AGGB, hay C1≡G, ta có điều phải chứng minh I.5) Định lý Ceva sin Định lý: Gọi E,F,G ba điểm tương ứng nằm đường thẳng BC,CA,AB Δ ABC Ba đường thẳng AE,BF,CG cắt điểm O khi: sinABFsinCBF.sinBCGsinACG.sinCAEsinBAE=1 Chứng minh: Phần thuận: Giả sử AE,BF,CG đồng quy O Khi hai Δ ABE ACE có chiều cao hạ từ đỉnh A ⇒BEEC=SABESACE=AB.AE.sinBAEAC.AE.sinCAE=AB.sinBAEAC.sinCAE Tương tự CFFA=BC.sinCBFBA.sinABE Và AGGB=CA.sinACGCB.sinBCG Nhân vế ba đẳng thức được: sinABFsinCBF.sinBCGsinACG.sinCAEsinBAE=BEEC.CFFA.AGGB=1(Theo định lý Ceva) Từ suy đpcm Phần đảo: CM tương tự phần đảo mục I.6) Định lý Desargues Định lý: Cho Δ ABC A′B′C′ Khi AA′,BB′,CC′ đồng quy giao điểm BC B′C ′, CA C′A′, AB A′B′ thẳng hàng Chứng minh: Gọi X,Y,Z giao điểm cặp cạnh Phần thuận: Giả sử đường thẳng BC B′C′, CA C′A′, AB A′B′ AA′, BB′, CC′ đồng quy S Ta chứng minh X,Y,Z thẳng hàng Áp dụng định lí Menelaus cho Δ SBC với cát tuyến XB′C′ ta có: XBXC.C′CCS.B′SB′B=1hay XBXC=SC′SB′.BB′CC′ Tương tự, ta có: YCYA=SA′SC′.CC′AA′ ZAZB=SB′SA′.AA′BB′ Nhân vế đẳng thức lại với nhau, theo định lí Menelaus suy X,Y,Z thẳng hàng Phần đảo: Giả sử điểm X,Y,Z thẳng hàng Ta chứng minh đường thẳng AA′,BB′,CC′ đồng quy Gọi S giao điểm AA′ BB′ SC cắt đường thẳng AC′ C” Xét Δ ABC A′B′C” có đường nối đỉnh tương ứng đồng quy, theo phần thuận giao điểm cạnh tương ứng đồng quy Ta thấy AB cắt A′B′ Z, AC cắt A′C” Y(do A′,C′,C” thẳng hàng), suy giao điểm X ′ BC B′C” phải thuộc YZ Tức X′ giao YZ BC nên X′ trùng với X Suy C” trùng với C′, hay AA′,BB′,CC′ đồng quy Y so serious? I.7)Định lí Pappus Định lí: Cho ba điểm A,B,C nằm đường thẳng a, X,Y,Z nằm đường thẳng b.Gọi M,N,P giao điểm cặp đường thẳng (AY,BX) ,(AZ,CX),(CY,BZ) Khi M,N,P thẳng hàng Chứng minh: Định lí có cách chứng minh dùng Menelaus ,nếu có điều kiện post lên,còn sau m ột cách dựa kiến thức sở tỉ số kép phép chiếu xuyên tâm Ta có bổ đề sau chứng minh dễ dàng nhờ hiểu biết ban đầu tỉ số kép phép chiếu xuyên tâm: Bổ đề: Cho xOyˆ điểm A,B,C thuộc Ox; D,E,F thuộc Oy Khi AD,BE,CF đồng quy khi: (OABC) =(ODEF) Bổ đề bạn tự chứng minh, ta trở lại toán Kí hiệu FE phép chiếu xuyên tâm E Gọi T,Q giao điểm BX AZ; CX BZ Sử dụng bổ đề ta cần chứng minh: (BTMX) =(BZPQ) +)Trường hợp a//b bạn chứng minh nhờ Thales +)Khi a không song song với b.Gọi S giao a b Ta thấy: Với :FA:(BTMX)=(SZYX) Với FC:(SZYX)=(BZPQ) Từ suy điều cần chứng minh Y so serious? I.8)Một trường hợp đặc biệt định lí Pappus qua góc nhìn hình xạ ảnh Ở phần tớ dùng hình xạ ảnh để dẫn dắt đến kết nội dung định lí cách chứng minh hoàn toàn phù hợp với kiến thức hình THCS! Ta có kết sau liên quan đến hình xạ ảnh: Các đường thẳng song song với gặp m ột ểm vô cực ngược lại Vận dụng vào định lí Pappus , cho điểm A,B,C vô cực theo kết hình xạ ảnh ta có YM//ZN ( Vì YM,ZN qua điểm (A) vô cực )Tương tự :XN//YP,XM//ZP Và M,N,P thẳng hàng Ta phát biểu lại định lí đơn giản hữu dụng sau đây: Định lí:Trên mặt phẳng cho ba điểm X,Y,Z thẳng hàng ba điểm M,N,P thỏa mãn XN//YP,YM//ZN,XM//ZP Khi ta có M,N,P thẳng hàng Chứng minh: Trường hợp MP//XYZ đơn giản,bạn đọc tự chứng minh Ta xét MP không song song với XYZ Gọi S giao điểm MP với XYZ Đường thẳng qua X song song với YP cắt MP N′ Bài toán gải ta chứng minh ZN′//YM (Vì ấyN′≡N Thật vậy,chú ý YP//XN′, ZP//XM nên theo Thales ta có: SYSZ=SYSX.SXSZ=SPSN′.SMSP=SMSN′ Đến theo Thales đảo ta suy ZN′//YM ⇒ đpcm I.9)Đẳng thức Ptolemy Định lí Với tứ giác nội tiếp ABCD thì: AB.CD+AD.BC=AC.BD Chứng minh: Lấy điểm E thuộc AC cho DECˆ=ADBˆ ⇒ΔADB∼ΔDEC ⇒ADDE=BDDC=ABEC Tương tự ΔADE∼ΔBDC⇒AE.BD=AD.BC⇒AD.BC+AB.CD=BD(EA+EC)=BD.AC (đpcm ) Y so serious? I.10) Bất đẳng thức Ptolemy Định lý: Cho tứ giác ABCD Khi có AC.BD≤AB.CD+AD.BC Chứng minh: Lấy E nằm tứ giác ABCD cho EDCˆ=ADBˆvà ECDˆ=ABDˆ Khi đóΔABD∼ΔECD⇒ABBD=ECDC⇔AB.DC=EC.BD Hơn ΔADE∼ΔBDC(c.g.c)⇒ADAE=BDBC⇔AD.CB=BD.AE Vậy ⇒AB.CD+BC.AD=BD(EA+EC)≥BD.AC(đpcm) Y so serious? I.11) Định lý Pascal Định lý: Cho điểm A,B,C,D,E,F thuộc đường tròn Khi giao điểm cặp cạnh AB DE, BC EF, CD FA thẳng hàng Chứng minh: Gọi P,M,N giao điểm AF CD, AB DE, BC EF Gọi P′,M′,N′ giao điểm BC DE, BC AF, DE AF Áp dụng định lí Menelaus cho $\Delta P'M'N'vớicáttuyếnPCD$: CP′CM′.DN′DP′.PM′PN′=1 ⇔PM′PN′=CM′CP′.DP′DN′ Tương tự ta có: NP′NM′=FN′FM′.EP′EN′vàMN′MP′=AN′AM′.BM′BP′ Nhân biểu thức lại kết hợp với biểu thức phương tích sau: BM′.CM′=AM′.FM′ EN′.DN′=FN′.AN′ CP′.BP′=DP′.EP′ Ta có : NP′NM′.MN′MP′.PM′PN′=1 Áp dụng định lí Menelaus đảo ta có đpcm Y so serious? I.12) Định lý Brianchon Định lý: Cho lục giác ABCDEF ngoại tiếp (O) Chứng minh ba đường chéo lớn AD,BE,CF đồng quy Chứng minh: Ta kí hiệu tiếp điểm (O) AB,BC,CD,DE,EF,FA M,N,P,Q,R,S Xét cực đối cực (O) Gọi K,I,J giao điểm cặp đường thẳng (SM,PQ) ,(MN,QR), (NP,RS) Vì SM PQ đường đối cực A D nên AD đường đối cực K Tương tự BE FC đường đối cực I J Dùng định lí Pascal cho lục giác nội tiếp MNPQRS ta có I,J,K thẳng hàng Nên ta có đường đối cực I,J,K (lần lượt BE,CF,AD) qua cực đường thẳng (đường thẳng qua I,J,K) nên AD,BE,CF đồng quy (đpcm) Tương tự ngược lại chứng minh định lí pascal thông qua Brianchon cực đối cực Y so serious? I.13)Định lí Miquel Định lí: Cho $\Delta ABCvàbađiểmM,N,PlầnlượtnằmtrênBC,CA,AB$ Khi đường tròn ngoại tiếp Δ APN,BPM CMN đồng quy Chứng minh: Gọi S giao điểm (BPM) (CMN).Ta chứng minh S nằm (APN) Thật vậy: (SN,SP)≡(SN,SM)+(SM,SP)≡(CN,CM)+(BM,BP)≡(CA,CB)+ (BC,BA)≡(CA,BA)≡(AN,AP)(modπ) ⇒ đpcm Y so serious? I.14) Công thức Carnot Định lý: Cho $\Delta ABCnộitiếp(O,R).Gọix,y,zlầnlượtlàkhoảngcáchtừOđếnBC,AC,AB.Gọir$ bán kính đường tròn nội tiếp $\Delta ABC$ Ta có: a)Nếu$\Delta ABC$ nhọn công thức Carnot x+y+z=R+r b)Nếu Aˆ>90∘ công thức carno y+z−x=R+r Chứng minh: a)Nếu $\Delta ABC$ nhọn Gọi F,E,D trung điểm BC,CA,AB Như ta có OF=x,OE=y,OD=z ĐặtBC=a,AC=b,AB=c OFBD ta có: OB.DF=OF.BD+FB.ODhay R.b2=z.a2+x.c2 Tương tự ta có R.c2=y.a2+x.b2và R.a2=y.c2+z.b2 ta lại có r(b2+a2+c2)=SABC=SOBC+SAOC+SABO=x.a2+y.b2+z.c2 Áp đụng bất đẳng thức Ptolemy cho tứ giác nội tiếp Cộng bốn biểu thức lại ta có (r+R)(a+b+c2)=(x+y+z)(a+b+c2)⇒ đpcm b)Nếu Aˆ>90∘ chứng minh tương tự Viết dạng lượng giác, công thức Carnot hệ thức thức với tam giác cosA+cosB+cosC=1+rR Chú ý hệ ... định lí Pappus qua góc nhìn hình xạ ảnh Ở phần tớ dùng hình xạ ảnh để dẫn dắt đến kết nội dung định lí cách chứng minh hoàn toàn phù hợp với kiến thức hình THCS! Ta có kết sau liên quan đến hình. .. I.7 )Định lí Pappus Định lí: Cho ba điểm A,B,C nằm đường thẳng a, X,Y,Z nằm đường thẳng b.Gọi M,N,P giao điểm cặp đường thẳng (AY,BX) ,(AZ,CX),(CY,BZ) Khi M,N,P thẳng hàng Chứng minh: Định lí có cách... AD,BE,CF đồng quy (đpcm) Tương tự ngược lại chứng minh định lí pascal thông qua Brianchon cực đối cực Y so serious? I.13 )Định lí Miquel Định lí: Cho $Delta ABCvàbađiểmM,N,PlầnlượtnằmtrênBC,CA,AB$