Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 29 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
29
Dung lượng
1,84 MB
Nội dung
ĐỊNH LÝ CEVA VÀ MENELAUS P AB CD= ∩ !"#$%%&' %&()* AB AB BC BC = uuur uuur + ,$-. & / AB BC > %01 / AB BC < 2 1. Định Lý Ceva &"!%3%450&-&671%%"86-9 :&;; <"< !%3%4=(&1>&" <"? · · · · · · : : : " " < : : : ABE BCF CAD DAB EBC FCA = " <"@ " " < AE CD BF EC DB FA = " Chứng minh: A&:B86-<"<)C$<"?%<"?)C $<"@% <"@)C$<"<" DE:F<"<A"D!%3%4" GH:I:&6&!%&J · · · · : : " : : ABE ABP AP BP DAB BAP = = +<2 G;&K%&LJ · · : M : BCF BP CP EBC = +?2 · · : " : CAD CP AP FCA = +@2 #N&O $+<2%+?2%+@2&0<"?" DE:F<"?A"GH:I:&6&! &!&J · · · · : : M " : : ADB AB CAD CD DB CA BAD ACD = = !J · · : " " : CAD AB CD CA DB BAD = · · ( ) / <P/BDA ADC+ = +Q2 G;&K%&LJ · · : " " : BCF CA BF BC FA FCA = +R2 · · : " " : ABE BC AE AB EC EBC = +S2 #N&O $+Q2%+R2%+S2&0<"@" DE:F<"@A%& < % "P CF BE D AP BC= =I I GH<"< <"?%&J < < " " " " < CD AE BF AE CD BF EC D B FA EC DB FA = = < < " CD CD D B DB = !J < D D≡ " Nhận xét. < TH %&J&80U&6&$%U%UVN &6&=(&1>&"J50&&6&N+D2%&6K&N+W2%&N U&6X>&$V&+Y2"#$U&6X>&$V&Z&%%50&&1 4%!%3"[J%&J3\4M4\!M!\4"-H %&80!%3%4 =(&1>&%JGergonne (Ge)&+)2" Lưu ý:]H J&0:6>^_.-& `*&&$&VE-&6J"T ,%!%3%4J&-1%% ^7" Ta)b::B&*6c&)bH " Bài toán.dYef?//<g6&h:&i < &N `>&$V&J j-&671" < % < L50&&N `>&$V& >&1-&67 "86- < % < % < =(" Lời giải: D ? < " ? ? 0k &;&K" GH:I:%&J · · < < < < : : SA SAA AA A SA = · µ ( ) < ? / < : : QR SA BAA AA B = + G;&K · µ ( ) < ? / < : : QR TA CAA AA C = + µ ( ) · / < < ? : QR : C AA TA CAA + = ? !J%&0 · · µ ( ) µ ( ) / ? < < / < < ? : QR : " " <" : : QR C BAA AA SA TA AA CAA B + = = + +<2 8&&;&K%&L0 · · µ ( ) µ ( ) / ? / ? : QR : " <" : : QR B BCC ACA A + = + +?2 · · µ ( ) µ ( ) / ? / ? : QR : " <" : : QR A ABB CBB C + = + +@2 #N&O $+<2%+?2%+@2$&0VH &0958" Bài tp áp dng: 1. !-&67U&6XlU&$V&$%AZ&&1 g"G67!* "U&' !Z&&1% U&' !Z&&1f"86-U&'8f" 2. G671& 9Va&)K `" < % < % < % &61 `-I 1%%&;8" 86-U&' < % < % < =(" 3. 8U%U&6&$%&NU&6X>&$V%1&$V& =(&1>&" 4. G671%%&* < % < % < :U &' < % < % < =(&1>&"86-U&' ? % ? % ? Ik8 U&'J(UVN&;8%L=(" 2. Định Lý Menelaus &"W%4%D50&-&67%%"[J e%#%&' j " " <" AH BF CG HB FC GA = − Chứng minh 5&, gF)b:&6&DW%4W%D4%&0 · · · · · · : : : M M : : : AH AGH BF BHF CG GFC GA HB FC AHG HFB CGF = = = " + 6- · · · · · · : : M: : M: : "AGH CGF AHG BHF HFB GFC= = = 2 #N&O $&09VE8" 5ED m "F GH BC= I W&&;&K&J0 ( ) m " " " " < " m AH BF CG AH BF CG HB F C GA HB FC GA = = − W m m BF BF F C FC = %:6 m"F F ≡ @ Nhận xét.]eHH:J6*&98)b&6E&"#9n&$0 8>&)o)UeHH:H %:%!H:6H:+:B07 _V5^&,V)N2" V! d#: %%%!%3%4-&67>&U &6X+J&k$V&H&8&K&672"D % % "P AB DE Q BC EF R CD FA= = =I I I 8 6-%%p&'" Chứng minh: D % % "X EF AB Y AB CD Z CD EF= = =I I I qV)beHH:%!3%4+I &rst2%&J ( ) " " " " " " < " ZQ XB YC XP YD ZE YR ZF XA QX BY CZ PY DZ EX RZ FX AY = = = − !J " " < ZQ XP YR QX PY RZ = − "GH eHH:&0%%p&'" Bài tp áp dng: 1. ]-&67U&6X1&$V&% < % < % < 50&N U `J1&OkI%%"86- < % < % < &'" 2. G6& `lU[&OjJ `%X&6& [lUVN3"!&61%4U &'!3 ["84uu3" 3. U&' < % < % < =(&1f"86- U&' < < % < < % < < -&67>&U&'" Q P Y Z R Q O F A C D E B X 4. &%vvv"#$U&'v%v%v=(&1>& f%&%%p&'%&6J m m% m m% m m"P BC B C Q CA C A R AB A B= = =I I I R DIỆN TÍCH TAM GIÁC THỦY TÚC Ivan Borsenco Translator: Duy Cuong. Trong Toán học, Hình Học luôn giải quyết các bài toán với những kết quả ch!nh xác và hấp dẫn. Bài viết sau đây trình bày về một trong những kết quả tuyệt đẹp trong bài toán hình học – Định lý Euler cho tam giác thùy túc và ứng d#ng của nó. Chúng ta hãy bắt đầu với phép chứng minh định lý, sau đó cùng nhau thảo luận các Bài toán Olympiad. Định lý 1.C(O,R) U&6X1&$V&"rw&>&e&x-&6 &"[A 1 %B 1 %C 1 $e7y&&& < < < ? ? ? " Q A B C ABC R OM S S R − = Chứng minh. ]5&7&6-AB 1 MC 1 %BC 1 MA 1 %CA 1 MB 1 .&8>&$V"qV)b _ 6> & AB 1 C 1 & 0 < < :B C AM α = " G; &K% & 0 < < :AC BM β = < < :BC CM γ = "GOJ:6 < < < < < < % % " ? ? ? B C AM AC BM A B CM BC R AC R BC R = = = DE:FAM%BM%CMZ&U&6XC(O,R)&1X%Y%Z" GJ < < < < < < < < < "A B C A B M MB C ACM MAC ZYB BYX ZYX∠ = ∠ +∠ = ∠ + ∠ = ∠ +∠ = ∠ G; &K% < < < B C A YZX∠ = ∠ < < < "B AC YXZ∠ = ∠ !J% < < < A B C ∆ =)1 XYZ ∆ < < < < < " A B C R A B XY R = ey&% MAB ∆ =)1 MYX ∆ 7&J " XY MX AB MB = GO$&(E& 9&0 < < < < < < ? ? < < < < < < ? ? " " " " " " " " " ? ? Q Q A B C ABC A B C R OM S R A B B C AC MX MA MB MA MX S R AB BC AC MB R R R R − = = = = GOJ&J&&*^&8&67`Vb&> &6aM+E&6U &6X2" S Hệ quả 1:#$M -&67U&6X%$e71&:B&' +]g:2" e>&.A&`I&+`82$^1định lý Lagrangen&$" Định lý 2 e>&-&6y&V'&ABC ^>:I + % % 2u v w "T>& P ^*&x-&6mp(ABC)"G0 ? ? ? ? ? ? ? " " " + 2 " vwa uwb uvc u PA v PB w PC u v w PM u v w + + + + = + + + + + 8J&&&*V)b]g&Hz6&>&:I5"]J>&(E 6*&P&6{ &NOU&6X1&$V&ABC"[J%&0 ? ? ? ? ? ? " + 2 vwa uwb uvc R OM u v w + + − = + + GO(E$&0V3H6&&{&A%&0: Định lý 3:M-&6y&V'& ABC% ^>:I(u,v,w)"[A 1 , B 1 , C 1 $M71&"G0 < < < ? ? ? ? ? " Q + 2 A B C ABC S vwa uwb uvc S R u v w + + = + + Từ kết quả trên chúng ta có thể thấy Định lý 1 và Định lý 3 đã đưa chúng ta nhận thức phần nào về diện t!ch tam giác thùy túc. Định lý Euler về diện t!ch tam giác thùy túc thật sự là một công c# tiện !ch cho việc giải các bài toán hình học. Ứng d#ng đầu tiên mà chúng tôi sắp giới thiệu sau đây nói về những điểm Brocard Định nghĩa điểmBrocardG6&ABC%U&6X(A &$VkA BC&1B%U &6X(B &$VkA AC&1C U&6X(C&$VkA AB&1A"AZ&&1>& %Brocard"e>&&n(&%&JBrocard%&8k*&& (09==:K&$VkAU&6X" Bài toán 1: < Ω ? Ω Brocard&ABC"8&|6- < ? O OΩ = Ω % O&NU&6X1&$V&ABC. Hướng dẫn:GO}Brocard%&&* < < < < AB BC CA w∠Ω = ∠Ω = ∠Ω = %&;&K ? ? < ? BA AC CB w∠Ω = ∠Ω = ∠Ω = "G8 < ? w w = " ]6- < ? < < < ? " : : " : : B C ABC S B BC w w S AB BC β β Ω Ω = = &;&K% < < ? ? < < ? ? : : % " : : C A A B ABC ABC S S w w S S γ α Ω Ω = = ~ >)&a&0 < < < ? ? ? < < < ? ? ? : : : < : : : B C C A A B ABC S S S w w w S α β γ Ω Ω Ω + + = = + + ? ? ? ? < < < < < : : : :w α β γ = + + +<2 &a&;&K%&L0 ? ? ? ? ? < < < < : : : :w α β γ = + + +?2 GO+<2%+?2:6 < ? "w w w= = •&_8&67^Z&=&O]3H6&&{&A"]6- < Ω ? Ω `-&6&ABC%^_ €FU&6X&679&>mp(ABC)"GOJ% < Ω ? Ω `-&6&"]8 < ? O OΩ = Ω &8)&a&&{ &AA^-"#$ ,%&J ? ? ? ? < ? R O R O − Ω = − Ω "GOJ:6đpcm. [ < < < % %A B C 50&$ < Ω 71BC%CA%AB"gJ%:F)b g_6>%&0 < < < :AC B b= Ω % < B Ω UaU&6X1&$V&8 < < < BA C Ω "LV)bg & < AB Ω &0 < : : B c w b Ω = !C$ < < < : : "AC B b c w= Ω = G;&K%&J < < :B C b w = < < :A B a w = "!o)&&*& < < < A B C =)1 &ABC&H&j:I=)1 : w " GO < ? w w w = = %&$&,0&&{&A8 < Ω ? Ω J{)&a"g6 < ? O OΩ = Ω " Chú ý: DUI&6&6&K 0Lemoine"G J&80 < ? K KΩ = Ω "W;&$.% O% < Ω % K% ? Ω -&67U&6X UaOKđường tròn Brocard. A&•{&>&&&A :N Bài toán 2:&ABC%O%I%H50&&NU&6X1&$V%>&$V &6K&N&ABC"86- "OI OH ≤ P Hướng dẫn#98:B^Z&5&OOIOH%A&•>& %Jy&)&a>&$V I H"e>&;E%&NU&6X>&$V`-^7 &6&ABC% $ OH R≥ %&0958"T ,%E:F OH R < "]9J )C$&&"]8 OI OH ≤ &J&:F)b3H6 &&{&A 8)&a&&{&A&NI% I S ;)&a&&{ &A&NW% H S "GOJ%) I H S S ≥ 7 ? ? ? ? R OI R OH − ≥ − "OH OI ≥ NUA&•&E)&a"[ < < < % %A B C 50&$ H ? ? ? % %A B C 50&$I7BC%CA%AB"GJ < < < % %A B C -&67U&6X3H6^ aR/2%&OJ < < < < < < < < < " " " Q" u ? A B C A B B C C A S R = gF)bg%)o)&0 < < < < < < : % : % :B C a AC b A B c α β γ = = = &$ < < < ": : : ? : : : " ? A B C abc S S R α β γ α β γ = = ]&a)&a& ? ? ? A B C %6- ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? < + 2 +: : : 2 ? Q A B C A IB A IC B IC r a b c S S S S r R α β γ + + = + + = + + = " e : : : Q ? ? ?R π α β γ = G0 ? ? ? ? ? : : : " Q ? ? ? A B C r S S S R α β γ = = GOJ8 : : : : : : " ? ? ? α β γ α β γ ≥ NUA&•:F)bBất Đẳng Thức Jensensc /% % + 2 : " ? f R f x x π → = ÷ GOJ + 2 + 2 + 2" ? ? ? a b b c c a f f f f a f b f c + + + + + ≥ + + ÷ ÷ ÷ T ,% ( ) : : : : : : ? ? ? α β γ α β γ ≥ ÷ % ^&•0E($&" W a)b$&$V)CE>&Z>&:I^&fV)^-:F)b ]h3H6 9&&{&A" Bài toán 3:+Olympiad Toán Balkan2" &ABC"[ < < < % %A B C $&6&NG 7y&&" 86- < < < ? < " ‚ Q A B C ABC S S ≤ ≤ Hướng dẫn#A&•&*%7N^&A&:F)b&6K&$V3H6 9&&{&A"qV)b&0 ? ? ? ? < " ‚ Q Q R OG R − ≤ ≤ ‚ *&'&8^7VE`A"G8^*&'&8^7&6A"#1^&8 A&•^$& ? ? ? ‚ +< P: : : 2OG OH R α β γ = = − T&ABC7&J : : : / α β γ ≥ %)C$ P: : : / α β γ ≥ " T ,% ? ? ‚OG R ≤ ? ? " ‚ R OG ≤ ]$$&,: Bài toán 4. (Toán đối xứng, Ivan Borsenco) T M ^*&-&6&%k ^>^+ < ? @ % %d d d 250&E&O M $1 % %BC AC AB "86-&,V0V M &|•9 @ < ? @ " "d d d r≥ % r ^aU&6X>&$V&%- &6 X&6X&N O ^a OI " Lời giải. D < < < % %A B C $ M &671 % %BC AC AB "rw& < < < A B CV &&{&A M %&J ¼ ¼ ¼ < < < < < < <P/ % <P/ % <P/B MC A MC A MB α β γ = − = − = − %7 < < < < ? @ < @ < ? ? ? " ": " ": " ": A B C S S d d d d d d α β γ = = + + V T$&1%&0 < < < < ? @ < < ? @ " " ? ? " " ? A B C d d d a b c S S R d d d = = + + ÷ V e&•^$& < ? @ ? ? " " " " ABC S S a d b d c d= = + + V qV)b]Gƒgz6„&0 ( ) ( ) ? < ? @ < ? @ < < ? @ < ? @ " " " " " Q " " " " " ? ? d d d a b c d d d a b c S S a d b d c d R d d d R + + = + + + + ≥ ÷ gF)ba3H6&&{&A%&J ( ) ( ) ( ) ? ? ? ? ? @ < ? @ ? Q " " " " " Q ? ? S R OM d d d a b c r a b c R R R − + + + + ≥ ≥ GONJ&:6 ? ? ? ? "OI R Rr OM= − ≥ T, M &6&,V0V%&J OM OI≤ +9VE82" Bài toán 5: (Ivan Borsenco đề nghị) M -&6& ABC J&> ( ) M Mx y z "D M R ^aU&6X >&$V&&{&A M "86- ( ) ? ? ? " S @" " M a b c x y z R x y z + + + + ≥ ÷ Lời giải. [a N ' M " A&5?^n9: n9<#$ < < < A B C ? ? ? A B C ?& &{&A?' M N & S-&67>& X&6X" </ [...]... phải có những suy nghĩ sáng tạo và tinh tế Trong lĩnh vực này cũng xuất hiện không ít những định lí, phương pháp nhằm nâng cao tính hiệu quả trong quá trình giải quyết các bài toán, giúp ta chinh phục những đỉnh núi ngồ ghề và hiểm trở Trong bài viết này zaizai xin giới thiệu đến các bạn một vài điều cơ bản nhất về định lí Ptolemy trong việc chứng minh các đặc tính của hình . nó. Chúng ta hãy bắt đầu với phép chứng minh định lý, sau đó cùng nhau thảo luận các Bài toán Olympiad. Định lý 1.C(O,R) U&6X1&$V&"rw&>&e&x-&6 &"[A 1 %B 1 %C 1 $e7y&&& <. a)b$&$V)CE>&Z>&:I^&fV)^-:F)b ]h3H6 9&&{&A" Bài toán 3:+Olympiad Toán Balkan2" &ABC"[ < < < % %A B C $&6&NG