PHÒNG DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÁI THỤY ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 2015 - 2016 Môn: Toán Thời gian làm bài: 120 phút Bài (4,0 điểm) 2x − x − 2x + 8x − 4x + Cho biểu thức: P = + 4x − 8x + a Rút gọn P b Tìm giá trị x để P = Bài (4,0 điểm) a Cho số a, b, c, d nguyên dương đôi khác thoả mãn: 2a + b 2b + c 2c + d 2d + a + + + = Chứng minh A = abcd số phương a+ b b+c c+ d d +a b Tìm a nguyên để a3 – 2a2 + 7a – chia hết cho a2 + Bài (3,0 điểm) a Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A = (x – 1)(2x – 1)(2x2 – 3x – 1) + 2017 2 x +1 x +1 2x - b Giải phương trình: - 3 ÷ + ÷ =0 x-2 x-4 x-4 Bài (3,0 điểm) a Gọi a, b, c độ dài ba cạnh tam giác thỏa mãn: a + b3 + c3 = 3abc Chứng minh tam giác b Cho x, y, z dương x + y + z =1 Chứng minh : 1 + + ≥9 x + yz y + xz z + xy Bài (5,0 điểm) Cho O trung điểm đoạn AB Trên nửa mặt phẳng có bờ cạnh AB vẽ tia Ax, By vuông góc AB Trên tia Ax lấy điểm C (khác A), qua O kẻ đường thẳng vuông góc với OC cắt tia By D a Chứng minh AB2 = AC.BD b Kẻ OM vuông góc CD M Chứng minh AC = CM c Từ M kẻ MH vuông góc AB H Chứng minh BC qua trung điểm MH d Tìm vị trí C tia Ax để diện tích tứ giác ABDC nhỏ Bài (1,0 điểm) Tìm nghiệm nguyên dương phương trình 2016 x y 2015 + + + =2 x + y y + 2015 4031 x + 2016 HẾT -Họ tên học sinh:……………………………Số báo danh: ………… …… HƯỚNG DẪN CHẤM TOÁN 8– NĂM HỌC 2015-2016 Bài Nội dung Cho biểu thức: P = Biểu điểm 2x − x − 2x + 8x − 4x + + 4x − 8x + a Rút gọn P b Tìm giá trị x để P = 2x − x − 2x + 8x − 4x + + 4x − 8x + x (2x − 1) − (2x − 1) 2(4x − 2x + 1) + = (2x − 1)(2x + 1) (2x + 1)(4x − 2x + 1) (x − 1)(2x − 1) x −1 x4 +1 + = + = = (2x − 1)(2x + 1) 2x + 2x + 2x + 2x + x4 +1 Vậy P = 2x + 1 b) ĐK: x ≠ ± x +1 = ⇔ x + = 12x + P=6 ⇔ 2x + ⇔ x + 4x + = 4x + 12x + ⇔ (x + 2) = (2x + 3) ⇔ x + = 2x + (1) x + = −2x − (2) Ta có (1) ⇔ x − 2x + = ⇔ (x − 1) = a) P = x −1 = x = + ⇔ ⇔ (tmđk) x − = − x = − (2) ⇔ x + 2x + = −4 ⇔ (x + 1) = −4 vô nghiệm x = 1+ Vậy x = − 2 0.25 1 0.25 0.25 0.25 0.25 0,25 0.25 0.25 a Cho số a, b, c, d nguyên dương đôi khác thoả mãn: 2a + b 2b + c 2c + d 2d + a + + + = a+ b b+c c+ d d +a Chứng minh A = abcd số phương b Tìm a nguyên để a3 – 2a2 + 7a – chia hết cho a2 + a) 2a + b 2b + c 2c + d 2d + a + + + =6 a+ b b+c c + d d +a ⇔ 1+ ⇔ a b c d +1+ + 1+ +1+ =6 a+b b+c c+ d d +a a b c d + + + =2 a+ b b+c c+ d d +a ⇔ 1− a b c d − + 1− − =0 a+ b b+c c+ d d +a 0,25 0,25 ⇔ b b d d − + − =0 a+ b b+c c + d d +a ⇔ b(c - a) d(a - c) + =0 (a + b)(b + c) (c + d )(d + a) 0,25 0,25 ⇔ b(c + d )(d + a) − d (a + b)(b + c) = ⇔ abc − acd + bd − b d = ⇔ (b − d )(ac − bd ) = ⇔ ac − bd = ⇔ ac = bd (vì b ≠ d) Vậy A = abcd = (ac)2 số phương +) Thực phép chia a3 – 2a2 + 7a – cho a2 + 3, kết : a3 – 2a2 + 7a – = (a2 + 3)(a - 2) + (4a – 1) +) Lập luận để phép chia hết 4a -1 phải chia hết cho a2 + (4a − 1)M(a + 3) ⇒ (4a − 1)(4a + 1)M ( a + 3) (vì a ∈ Z nên 4a + 1∈ Z ) ⇒ (16a − 1)M(a + 3) ⇒ 16(a + 3) − 49 M ( a + 3) 0,25 0,25 0,25 0,5 0,5 0,5 0,5 ⇒ 49M( a + 3) +) Tìm a, thử lại kết luận a ∈ { −2; 2} 0,25 a Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A = (x – 1)(2x – 1)(2x2 – 3x – 1) + 2017 2 x +1 x +1 2x - b Giải phương trình: - 3 ÷ + ÷ =0 x-2 x -4 x -4 a) A = (x – 1)(2x – 1)(2x2 – 3x – 1) +2017 = (2x2 – 3x + 1)(2x2 – 3x – 1) +2017 = (2x2 – 3x )2- + 2017 =(2x2 – 3x )2 + 2016 ≥ 2016 x = Dấu "=" xảy ⇔ 2x − 3x = ⇔ x(2x − 3) = ⇔ x= x = Vậy A = 2016 ⇔ x= 0.5 0.5 2 x +1 x +1 2x - - 3 b) ÷ + ÷ = x-2 x-4 x-4 0.25 0,25 x +1 x +1 x - ⇔ -12 ÷ + ÷ =0 x-2 x-4 x-4 Đặt Điều kiện x∉ { 2;4} 0.75 (*) x +1 x-2 x +1 = a = b suy ab = x-2 x-4 x-4 Phương trình (*) trở thành : a2 + ab – 12b2 = 0, 25 ⇔ (a – 3b)(a + 4b) = ⇔ a = 3b a = −4b 0,25 x +1 x-2 = x-2 x-4 ⇒ (x+ 1)(x - 4) = 3(x-2)2 + Nếu a = 3b 0,5 Giải phương trình kết luận phương trình vô nghiệm x +1 x-2 = −4 x-2 x-4 ⇒ (x+ 1)(x -4) = -4(x-2)2 + Nếu a = -4b x = Giải phương trình ta (tmđk) x= + Kết luận nghiệm phương trình S = { 3; } 0,5 0,25 a Gọi a, b, c độ dài ba cạnh tam giác thỏa mãn: a3 + b3 + c3 = 3abc Chứng minh tam giác b Cho x, y, z > x + y + z =1 Chứng minh : 1 + + ≥9 x + yz y + xz z + xy a) C/m: a3 + b3 + c3 - 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca) 0,5 +) Từ giả thiết suy ra: (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca) = ⇒ a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca = ( a + b + c > ) +) Biến đổi kết quả: (a – b)2 + (b – c)2 + (c – a)2 = a − b = ⇒ b − c = ⇒ a = b = c ⇒ Tam giác (đpcm) c − a = 0,25 0,5 0,25 b) Đặt a = x2 + 2yz; b = y2 + 2xz; c = z2 +2xy ⇒ a, b, c > a + b + c = (x + y + z)2 = 0,5 1 1 +) C/m: ( a + b + c ) + + ÷ ≥ a b c 0,5 1 1 1 + + ≥ (đpcm) = hay x + yz y + xz z + xy a b c a+ b+ c ⇒ + + ≥ Cho O trung điểm đoạn AB Trên nửa mặt phẳng có bờ cạnh AB vẽ tia Ax, By vuông góc AB Trên tia Ax lấy điểm C (khác A), qua O kẻ đường thẳng vuông góc với OC cắt tia By D a Chứng minh AB2 = AC.BD b Kẻ OM vuông góc CD M Chứng minh AC = CM c Từ M kẻ MH vuông góc AB H Chứng minh BC qua trung 0,5 điểm MH d Tìm vị trí C tia Ax để diện tích tứ giác ABDC nhỏ Vẽ hình ghi GT, KL 0,5 a) Chứng minh: ΔOAC ∽ΔDBO (g - g) 0,5 OA AC = ⇒ OA.OB = AC.BD DB OB AB AB ⇒ = AC.BD ⇒ AB2 = 4AC.BD (đpcm) 2 ⇒ b) Theo câu a ta có: ΔOAC ∽ΔDBO (g - g) ⇒ Mà OA = OB ⇒ 0,25 0,25 OC AC = OD OB OC AC OC OD = ⇒ = OD OA AC OA · · +) Chứng minh: ΔOAC ∽ΔDOC (c - g - c) ⇒ ACO = OCM +) Chứng minh: ΔOAC = ΔOMC (ch - gn) ⇒ AC = MC (đpcm) c) Ta có ΔOAC = ΔOMC ⇒ OA = OM; CA = CM ⇒ OC trung trực AM ⇒OC ⊥ AM, 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Mặc khác OA = OM = OB ⇒∆AMB vuông M ⇒OC // BM (vì vuông góc AM) hay OC // BI 0,25 +) Xét ∆ABI có OM qua trung điểm AB, song song BI suy OM qua trung điểm AI ⇒ IC = AC 0,25 +) MH // AI theo hệ định lý Ta-lét ta có: ⇒ MK BK KH = = IC BC AC Mà IC = AC ⇒ MK = HK ⇒BC qua trung điểm MH (đpcm) 0,5 0,25 d) Tứ giác ABDC hình thang vuông ⇒ SABDC = (AC + BD).AB 0,25 Ta thấy AC, BD > 0, nên theo BĐT Cô-si ta có AB2 = AB ⇒ SABDC ≥ AB2 AB = OA Dấu “=” xảy ⇔ AC = BD = AC + BD ≥ AC.BD = Vậy C thuộc tia Ax cách điểm A đoạn OA 0,25 0,25 0,25 Tìm nghiệm nguyên dương phương trình: 2016 x y 2015 + + + =2 x + y y + 2015 4031 x + 2016 +) Với a, b, c, d dương, ta có a b c d + + + b+ c c+ d d + a a+ b c b d a (d + a) + c(b + c) b(a + b) + d (c + d ) a = + + + ≥ ÷+ ÷= (b + c)(d + a ) (c + d )(a + b) b+ c d + a c+ d a+ b a + c + ad + bc b + d + ab + cd 4(a + b + c + d + ab + ad + bc + cd) ≥ + = 2 (a + b + c + d )2 ( b + c + d + a) ( c + d + a + b) 4 (theo bất đẳng thức xy ≤ (x + y)2 ) 2 2 2(a + b + c + d + ab + ad + bc + cd) − (a + b + c + d) F= +) Mặc khác: = a + b2 + c2 + d − 2ac − 2bd = (a − c) + (b − d) ≥ 0,5 0,25 Suy F ≥ đẳng thức xảy ⇔ a = c; b = d +) Áp dụng với a = 2016, b = x, c = y, d = 2015 ta có: 2016 x y 2015 + + + ≥2 x + y y + 2015 4031 x + 2016 0,25 Đẳng thức xảy ⇔ y = 2016; x = 2015 Lưu ý : - Hướng dẫn chấm trình bày ý bản, học sinh có cách giải khác mà Giám khảo cho điểm không vượt thang điểm ý - Phần hình học, học sinh không vẽ hình không cho điểm - Tổng điểm toàn tổng điểm câu không làm tròn ... Nội dung Cho biểu thức: P = Biểu điểm 2x − x − 2x + 8x − 4x + + 4x − 8x + a Rút gọn P b Tìm giá trị x để P = 2x − x − 2x + 8x − 4x + + 4x − 8x + x (2x − 1) − (2x − 1) 2(4x − 2x + 1) + = (2x −... 2015 Lưu ý : - Hướng dẫn chấm trình bày ý bản, học sinh có cách giải khác mà Giám khảo cho điểm không vượt thang điểm ý - Phần hình học, học sinh không vẽ hình không cho điểm - Tổng điểm toàn