Gọi O là giao điểm của AC với BD và I là giao điểm của AD với BC.Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD.[r]
(1)PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THCS QUẬN NGŨ HÀNH SƠN NĂM HỌC 2008-2009
MƠN THI: TỐN - LỚP 8
Thời gian: 150 phút (khơng tính thời gian giao đề)
Bài 1: (1,5 điểm)
a) Cho x > y > so sánh A = xx yy B = 2 2
y x
y x
b) Cho a + b =
Tính giá trị biểu thức C = 2(a3 + b3) – 3(a2 + b2 )
Bài 2: (2,0 điểm) Giải phương trình sau: a) (x2 + x)2 + 4(x2 + x) = 12
b)
2003 2004
5 2005
4 2006
3 2007
2 2008
1
x x x x x
x
Bài 3:(1,5 điểm)
Cho biểu thức : D = : 10 2525
2
2
x
x x
x y
y y
a) Rút gọn biểu thức D
b) Tính giá trị biểu thức D với giá trị x y thỏa mãn đẳng thức x2 + x 2 + 4y2 – 4xy = 0.
Bài 4: (2,0 điểm)
a) Tìm giá trị nhỏ M = (x - 1)(x + 2)(x + 3)(x + 6) b) Cho a,b,c,d > Chứng tỏ giá trị
N = a ab c b cb d c dc a d da b
số nguyên
Bài 5:(3,0 điểm)
Cho hình thang ABCD (AB //CD) Gọi O giao điểm AC với BD I giao điểm AD với BC.Gọi M N trung điểm AB CD a) Chứng minh : OCOA OBOD ICIA IDIB
b) Chứng tỏ : I; M; O; N thẳng hàng
c) Giả sử 3AB = CD diện tích hình thang ABCD a Hãy tính diện tích tứ giác IAOB theo a
HẾT
(2)MƠN THI: TỐN LỚP 8 ĐÁP ÁN - BIỂU ĐIỂM Bài ( 1,5 đ)
a) Vì x > 0; y > suy x+y 0 0,1đ
A = xx yy = ( )2 ) )( (
y x
y x y x
0,2đ x2 +y2
+2xy > x2 +y2 ; x2 – y2 > 0,2đ
A = 2
2
2xy x y y x
< 2 2
y x
y x
x 0,2đ
Vậy A < B
b) C = 2(a3 + b3) – 3(a2 + b2) = 2( a+b)(a2 – ab + b2) - 3(a2 + b2 ) 0,2đ
= (a2 – ab + b2) - 3(a2 + b2 ) 0,2đ
= (a2 + b2) – 2ab - 3(a2 + b2 ) 0,2đ
= - (a2 + b2) – 2ab = - ( a+b)2 = -1 0,2đ
Bài 2: ( 2,0 đ)
a) (x2 + x )2 + 4(x2 + x) = 12 đặt y = x2 + x 0,1đ
y2 + 4y -12 = y2 + 6y - 2y -12 = 0 0,2đ
(y + 6)(y -2) = y = - 6; y = 0,1đ
* x2 + x = - vơ nghiệm x2 + x +6 > với x 0,2đ
* x2 + x = x2 + x -2 = x2 +2x -x -2 = 0 0,2đ
x(x + 2) – (x + 2) = (x + 2)(x - 1) = x = -2; x = 1 0,1đ
Vậy nghiệm phương trình x = -2 ; x =1 0,1đ
b) 2008x12007x22006x3 2005x42004x52003x6
) 2003
6 ( ) 2004
5 ( ) 2005
4 ( ) 2006
3 ( ) 2007
2 ( ) 2008
1
(x x x x x x 0,2đ
2003 2009 2004
2009 2005
2009 2006
2009 2007
2009 2008
2009
x x x x x
x 0,2đ
2003 2009 2004
2009 2005
2009 2006
2009 2007
22009 2008
2009
x x x x x
x 0,1đ
)
2003 2004
1 2005
1 2006
1 2007
1 2008
1 )( 2009
(x 0,2đ
Vì 20081 20051 ;
2004 2007
1
;
2003 2006
1
Do :
2003 2004
1 2005
1 2006
1 2007
1 2008
1
0,2đ
(3)Bài 3:( 1,5 đ)
a) Rút gọn D =
25 25 10 : 2 2 x x x x y y y
(y2; x0, x5 ) 0,2đ
= ) )( ( ) 25 10 ( : 2 2 x x x x x y y y y = ) )( ( ) ( : ) ( ) ( x x x x y y y y 0,2đ
= ( 5)2
) )( ( ) )( ( x x x x y y y 0,1đ
= ( 2)( 5)2
) )( )( )( ( x y x x x y y
=(yx(x1)(x5)5) 0,2đ
b) Vì x2 + x 2 + 4y2 – 4xy = 0
x2 – 4xy +4y2 + x 2 = (x -2y)2 + x 2 = 0 0,2đ
(x -2y)2 = x =
(x -2y)2 0 với x; y x 2 0 với x 0,2đ
x -2y = x = x = 2y x -2 = x = y = 0,2đ
D =
) ( ) )( ( x x x y 7 ) ( ) )( 1 ( 0,2đ Bài 4: ( 2,0 đ)
a)M = ( x-1)(x+2)(x+3)(x+6) = (x2 + 5x + 6)( x2 + 5x - 6) 0,2đ
= (x2 + 5x)( x2 + 5x) – 36 0,2đ
= (x2 + 5x)2 – 36 - 36 (x2 + 5x)20 với x 0,2đ
M - 36 với x 0,2đ
Vậy GTNN M -36 0,2đ
b)Ta có a ab c a bac d
; a b c d
b d c b b ;
c dc a a bcc d
; a b c d
d b a d d 0,2đ
Suy N =
b a d d a d c c d c b b c b a a
>
1
a b c d
d c b a d c b a d d c b a c d c b a b d c b a a 0,2đ
Ta có: a ab c aac c dc a acc
; ; b d
d b a d d d b b d c b b
; 0,2đ
N =a ba c b cb d c dc a d da b
< b d
d d b b c a c c a a
= 112
d b d b c a c a 0,2đ
(4)a) OAB ∾OCD
0,2đ
OD OC
OB OA CD
AB OD
OB OC OA
0,2đ
IAB ∾ IDC 0,2đ
IDIA ICIB CDAB ICIAIDIB 0,2đ
Suy :
OD OC
OB OA
ID IC
IB IA
0,2đ
b) OCOA CDAB OCOA AMNC 0,2đ
OAM ∾OCN(c-g-c) 0,1đ
= 0,1đ M;O;N thẳng hàng 0,1đ
DN AM IC IA CD
AB ID
IA
0,2đ
IAM ∾IDN ( c-g-c) 0,1đ
0,1đ I;M;N thẳng hàng 0,1đ
Vậy I;M;O;N thẳng hàng c) 31
CD AB OD OB
AOD AOB
S S
=31
AOB AOD
AOB
S S
S
1
0,2đ
ABD AOB
S S
= 14 SAOB SABD
4
0,2đ
3
CD AB S
S
BDC ABD
1
1
ABD BDC
ABD
S S
S
4
ABCD ABD
S S
SABD =
SABCD 0,2đ
SAOB SABD
16
9
ICD IAB
S S
1
1
IAB ICD
IAB
S S
S
8
ABCD IAB
S S
SIAB
SABCD 0,2đ
SIAOC = SIAB + SAOB = 8
1
SABCD + 16
1
SABCD= 163 SABCD = 16
3
a 0,2đ
Chú ý:
-Học sinh có giải cách khác làm cho điểm tối đa. -Trong trình chấm nhóm thống chia nhỏ điểm đến 0,1đ.
AOM CON
AMI = DNI
O
C N
M I
A B