Đề và đáp án thi học sinh giỏi môn Toán 9- THCS Mỹ Lộc 2010-2011.

PHÒNG GD - ĐT PHÙ MY ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN TRƯỜNG THCS MỸ LỘC NĂM HỌC : 2010 - 2011 Môn : TOÁN (ĐỀ ĐỀ XUẤT ) Thời gian làm bài : 150 phút ( không kể phát đề ) Bài 1 : (6.0 điểm) a- Cho tổng : A = 5 + 5 2 + 5 3 + ………+ 5 2010 . Chứng minh rằng : A chia hết cho 126 . b- Tìm số tự nhiên a để (23 – a) ( a – 3 ) là số chính phương . Bài 2 : (4.0 điểm) a- Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác . CMR : a b c a+ − + b a c a+ − + c a b c+ − ≥ 3 b- Giải phương trình : ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 8 4 4 4x x x x x x x x x        + + + − + + = +  ÷  ÷  ÷ ÷        Bài 3 :(3.0 điểm) Cho x,y dương thỏa : x+y= 2009 2010 . Tìm GTNN của S = 2008 x + 1 2008y Bài 4 :(4.0 điểm) Cho ABC ∆ cân tại A, gọi I là giao điểm của các đường phân giác trong. Biết IA = 2 5 , IB = 3. Tính độ dài AB ? Bài 5 : (3.0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC. Tìm điểm P trong tam giác ABC sao cho tổng các khoảng cách từ P đến ba cạnh của tam giác ABC đạt giá trị nhỏ nhất ? ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM Bài Đáp án Điểm Bài 1 (6.0 đ) Câu a A = 5 + 5 2 + 5 3 + … + 5 2010 = (5 + 5 4 ) + (5 2 + 5 5 ) +(5 3 + 5 6 ) + … + (5 2007 +5 2010 ) = 5(1+5 3 )+5 2 (1+5 3 ) +5 3 (1+5 3 )+ … + 5 2007 (1+5 3 ) = 126.(5 + 5 2 + 5 3 + … + 5 2007 ) Vì : 126  126 ⇒ A  126 1.0đ 1.0đ 0.5đ 0.5đ Câu b Đặt (23 – a) ( a – 3 )= b 2 . Biến đổi được: 26a – a 2 - 69 = b 2 . ( a – 13) 2 = 100 - b 2 . Suy ra 100 – b 2 là số chính phương. Tìm được : Trường hợp: b = 10 ⇒ a = 13. b = 8 ⇒ a = 19 . b = 6 ⇒ a = 21. Vậy các số a là 13; 19, 21. 0.5đ 0,5đ 0,5đ 1,0đ 0,5đ Bài 2 (4.0 đ) Câu a Đặt x = b + c – a , y = a + c – b , z = a + b – c Vì a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác nên x , y ,z > 0 Khi đó ta có : , , 2 2 2 z y x z y x a b c + + + = = = Do đó : a b c a+ − + b a c a+ − + c a b c+ − = 1 2 x y y z z x z x y   + + + + +  ÷   = 1 1 (2 2 2) 3 2 2 x y x z y z y x z x z y   + + + + + ≥ + + =  ÷   Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi : x = y = z ⇔ a = b = c 0,5đ 0,5đ 0,75đ 0,25đ Câu b Điều kiện : 0x ≠ Ta có : ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 8 4 4 4x x x x x x x x x        + + + − + + = +  ÷  ÷  ÷ ÷        ⇔ ( ) 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 8 4 4x x x x x x x x x           + + + + − + = +    ÷  ÷  ÷  ÷             ⇔ ( ) 2 2 2 2 1 1 8 8 4x x x x x     + − + = +  ÷  ÷     ( ) 2 4 16x⇔ + = ( ) 8 0x x⇔ + = 0 ( ) 8 x loai x =  ⇔  = −  Vậy phương trình có một nghiệm : x = -8 . 0,25đ 0,5đ 0,5đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ Bài 3 (3.0 đ) Ap dụng bất đẳng thức Bunhiacopsky , ta có : ( ) 2 2 2008 1 2008 1 . . 2008 2008 1 1 2008 2010 2008 2008 x y x y x y x y     + + ≥ +  ÷  ÷  ÷       = + =  ÷  ÷   Suy ra : 1 2009 1 2010 : 2011 2008 2010 1004 s ≥ = Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi : 2008 2008 2008 1 2010 2009 2008 1 2010 2009 2010 2010 y x x y x x y x y y x y  =   = =       ⇔ ⇔    + =    =     + =   Vậy MinS = 1 2011 1004 đạt được khi 2008 2010 x = ; 1 2010 y = 1,5đ 0,5đ 0,75đ 0,25đ Bài 4 (4.0đ) - Từ A kẻ AM ⊥ AC (M ∈ tia CI) - Chứng minh được : AMI∆ cân tại A ⇒ AM = AI = 2 5 Kẻ AH ⊥ MI => MH = HI Đặt HM = HI = x (x>0) Tam giác AMC vuông tại A , có AM 2 MH . MC => ( ) ( ) 2 2 5 2 3x x= + 2 2 3 30 0x x⇔ + − = ( ) ( ) 2 5 4 0x x⇔ − + = => x = 2,5 hoặc x = -4 (loại) Do đó : MC = 2.2,5+3=8 AC 2 = MC 2 – AM 2 = 8 2 - ( ) 2 2 5 = 44 => AC = AB = 2 11 1,0đ 1,0đ 1,0đ 0,5đ 0,5đ Bài 5 (3.0đ) Gọi a,b,c là độ dài các cạnh đối diện A,B,C và h a ,h b ,h c là các đường cao tương ứng Giả sử : a b c≥ ≥ , khi đó a b c h h h≤ ≤ Ta có : S ABC = S PAC + S PBC + S PAB => 2S ABC =a.PH + b.PK + c.PI ≤ a(PH + PK + PI) => PH + PK + PI 2 ABC S a ≥ = h a Vập PH + PK + PI đạt giá trị nhỏ nhất khi P ≡ A 0,5đ 0,5đ 0,5đ 1,0đ 0,5đ C B N I H M A P I H K C B A . PHÒNG GD - ĐT PHÙ MY ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN TRƯỜNG THCS MỸ LỘC NĂM HỌC : 2010 - 2011 Môn : TOÁN (ĐỀ ĐỀ XUẤT ) Thời gian làm bài : 150 phút ( không kể phát đề ) Bài 1 : (6.0 điểm). tổng các khoảng cách từ P đến ba cạnh của tam giác ABC đạt giá trị nhỏ nhất ? ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM Bài Đáp án Điểm Bài 1 (6.0 đ) Câu a A = 5 + 5 2 + 5 3 + … + 5 2010 = (5 + 5 4 ) + (5 2 . = 1 1 (2 2 2) 3 2 2 x y x z y z y x z x z y   + + + + + ≥ + + =  ÷   Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi : x = y = z ⇔ a = b = c 0,5đ 0,5đ 0,75đ 0,25đ Câu b Điều kiện : 0x ≠ Ta có : ( ) 2