M là điểm trên đường chéo BD.. Hạ ME vuông góc với AB và MF vuông góc với AD.. Chứng minh ba đường thẳng DE, BF và CM đồng qui.. Xác định vị trí của điểm M để tứ giác AEMF có diện tích l
Trang 1PHÒNG GD- ĐT PHÙ MỸ
TRƯỜNG THCS MỸ CÁT ĐỀ THI HSG LỚP 9 CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2010-2011
MÔN TOÁN – Thời gian làm bài 150 phút
Bài 1: ( 3,0 điểm)
Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ta có:
A = 7.52n + 12.6n chia hết cho 19
Bài 2: ( 2,5 điểm)
Tìm số tự nhiên có ba chữ số abc sao cho:
2 2
abc = n - 1 cba = n - 2
Bài 3: ( 2,5 điểm)
Chứng minh: a + b = c thì a4 + b4 + c4 = 2a2b2 + 2b2c2 + 2a2c2
Bài 4: ( 3,0 điểm)
a Chứng minh: a2 + b2 + c2 ab + ac + bc với mọi số a, b, c
c
ab b
ac a
bc
với mọi số dương a, b, c
Bài 5: (3,0 điểm)
Giải phương trình:
6
42 12 4
20 8 8
72 16 2
6
2
x
x x x
x x x
x x x
x x
Bài 6: (6,0 điểm)
Cho hình vuông ABCD M là điểm trên đường chéo BD Hạ ME vuông góc với
AB và MF vuông góc với AD
a Chứng minh DE CF; EF = CM
b Chứng minh ba đường thẳng DE, BF và CM đồng qui
c Xác định vị trí của điểm M để tứ giác AEMF có diện tích lớn nhất
Trang 2HƯỚNG DẪN CHẤM
Bài 1: ( 3,0 i m) điểm) ểm)
Giả sử A chia hết cho 19 với n = k nghĩa là: A(k) = 7.52k + 12.6k 19 0,5
Ta phải chứng minh A chia hết cho 19 với n = k + 1 nghĩa là phải chứng
minh:
A(k + 1) = 7.52(k + 1) + 12.6k + 1 19 0,5
Ta có: A(k + 1) = 7.52(k + 1) + 12.6k + 1
= 7.52k.52 + 12.6n 6 = 7.52k.6 + 7.52k 19 + 12.6n 6 = 6.A(k) + 7.52k 19 19
1,0
Vậy theo nguyên lý quy nạp thì A = 7.52n + 12.6n chia hết cho 19 với mọi số
Bài 2: ( 2,5 i m) điểm) ểm)
Ta có: abc = 100a + 10b + c = n2 – 1 (1)
cba = 100c + 10b + a = n2 – 4n + 4 (2) 0,5 Lấy (1) – (2): 99(a – c) = 4n – 5 4n – 5 99 0,5
Mà 100 n2 – 1 999 101 n2
1000
11 n 31
39 4n – 5 119
0,75
Kết hợp với điều kiện 4n – 5 99 suy ra 4n – 5 = 99
n = 26
Bài 3: ( 2,5 điểm)
Đặt P = a4 + b4 + c4 - 2a2b2 -2 b2c2 - 2a2c2
= (a2 + b2 + c2 )2 - 4a2b2 - 4b2c2 - 4a2c2 0,5 Thay c2 = (a+b)2 vào ta được:
= (2a2 + 2b2 + 2ab )2 - 4(a2b2 + b2c2 + a2c2) 0,5 = 4[(a2 + b2 + ab)2 - a2b2 - c2(a2+b2)] 0,5 Thay c2 = (a+b)2 vào ta được:
= 4[ (a2+b2)2 +2(a2+b2)ab + a2b2 - a2b2 -(a+b)2 (a2+b2)]
= 4[ (a2+b2)2 +2(a2+b2)ab -(a+b)2(a2+b2)]
0,5
= 4(a2+b2)[ (a2+b2) +2ab -(a+b)2]
= 0 a4 + b4 + c4 = 2a2b2 + 2b2c2 + 2a2c2 0,5
Bài 4: ( 3,0 i m) điểm) ểm)
(a-b)2 + (a-c)2 + (b-c)2 0
Bất đẳng thức cuối luôn đúng (Do (a-b)2 0 …) nên có đpcm) nên có đpcm
0,5
Trang 3Câu b
abc
ab abc
ac
abc
bc
2 2
2 ( ) ( )
)
Nhân hai vế với số dương abc được:
(bc) 2 (ac) 2 (ab) 2 a2bcb2acc2ab
0,5
Áp dụng a) cho ba số ab, bc, ca ta có: (bc)2 (ac)2 (ab)2
ab c ac
b
bc
0,5
Bài 5: (3,0 điểm)
6
6 ) 6 ( 4
4 ) 4 ( 8
8 ) 8 ( 2
2
)
2
x
x x
x x
x x
x
0,5
6
6 6 4
4 4 8
8 8 2
2
2
x
x x
x x
x x
6
6 4
4 8
8
2
2
3 4
2 8
4 2
1
x
) 6 )(
4 (
24 5 )
8 )(
2
(
16
5
x x
x x
x
(5x+16)(x+4)(x+6) = (5x+24)(x+2)(x+8)
(5x+16)(x2 +10x + 24) = (5x+24)( x2 +10x + 16) 0,5
5x3 + 50x2 + 120x + 16x2 + 160x + 16.24
= 5x3 + 50x2 + 80x + 24x2 + 240x + 24.16
8x(x + 5) = 0
x = 0; x = -5
Đối chiếu điều kiện và kết luận nghiệm
0,5
Bài 6: (6,0 điểm)
Câu a: 2,5 điểm
ADE = DCF
EDC + DCF = EDC + ADE
0,5
EDC + ADE = 900nên DE CF 0,5
MC = MA (BD là trung trực của AC) 0,5
Câu b: 2,0 điểm
Từ MCF = FED chứng minh được CM EF 0,5
ED, FB và CM trùng với ba đường cao của FEC nên chúng đồng qui 0,5
Câu c: 1,5 điểm
C D
M
E F
Trang 4ME + MF = FA + FD là số không đổi 0,5