PHÒNG GD- ĐT PHÙ MỸ TRƯỜNG THCS MỸ CÁT ĐỀ THI HSG LỚP 9 CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2010-2011 MÔN TOÁN – Thời gian làm bài 150 phút Bài 1: ( 3,0 điểm) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ta có: A = 7.5 2n + 12.6 n chia hết cho 19 Bài 2: ( 2,5 điểm) Tìm số tự nhiên có ba chữ số abc sao cho: ( ) 2 2 abc = n - 1 cba = n - 2 Bài 3: ( 2,5 điểm) Chứng minh: a + b = c thì a 4 + b 4 + c 4 = 2a 2 b 2 + 2b 2 c 2 + 2a 2 c 2 Bài 4: ( 3,0 điểm) a. Chứng minh: a 2 + b 2 + c 2 ≥ ab + ac + bc với mọi số a, b, c. b. Chứng minh cba c ab b ac a bc ++≥++ với mọi số dương a, b, c. Bài 5: (3,0 điểm) Giải phương trình: 6 4212 4 208 8 7216 2 64 2222 + ++ + + ++ = + ++ + + ++ x xx x xx x xx x xx Bài 6: (6,0 điểm) Cho hình vuông ABCD. M là điểm trên đường chéo BD. Hạ ME vuông góc với AB và MF vuông góc với AD. a. Chứng minh DE ⊥ CF; EF = CM b. Chứng minh ba đường thẳng DE, BF và CM đồng qui. c. Xác định vị trí của điểm M để tứ giác AEMF có diện tích lớn nhất HƯỚNG DẪN CHẤM Bài 1: ( 3,0 điểm) Với n = 0 ta có A(0) = 19 M 19 0,5 Giả sử A chia hết cho 19 với n = k nghĩa là: A(k) = 7.5 2k + 12.6 k M 19 0,5 Ta phải chứng minh A chia hết cho 19 với n = k + 1 nghĩa là phải chứng minh: A(k + 1) = 7.5 2(k + 1) + 12.6 k + 1 M 19 0,5 Ta có: A(k + 1) = 7.5 2(k + 1) + 12.6 k + 1 = 7.5 2k .5 2 + 12.6 n . 6 = 7.5 2k .6 + 7.5 2k .19 + 12.6 n . 6 = 6.A(k) + 7.5 2k .19 M 19 1,0 Vậy theo nguyên lý quy nạp thì A = 7.5 2n + 12.6 n chia hết cho 19 với mọi số tự nhiên n 0,5 Bài 2: ( 2,5 điểm) Ta có: abc = 100a + 10b + c = n 2 – 1 (1) cba = 100c + 10b + a = n 2 – 4n + 4 (2) 0,5 Lấy (1) – (2): 99(a – c) = 4n – 5 ⇒ 4n – 5 M 99 0,5 Mà 100 ≤ n 2 – 1 ≤ 999 ⇒ 101 ≤ n 2 ≤ 1000 ⇒ 11 ≤ n ≤ 31 ⇒ 39 ≤ 4n – 5 ≤ 119 0,75 Kết hợp với điều kiện 4n – 5 M 99 suy ra 4n – 5 = 99 ⇒ n = 26 Vậy số abc = 675 0,75 Bài 3: ( 2,5 điểm) Đặt P = a 4 + b 4 + c 4 - 2a 2 b 2 -2 b 2 c 2 - 2a 2 c 2 = (a 2 + b 2 + c 2 ) 2 - 4a 2 b 2 - 4b 2 c 2 - 4a 2 c 2 0,5 Thay c 2 = (a+b) 2 vào ta được: = (2a 2 + 2b 2 + 2ab ) 2 - 4(a 2 b 2 + b 2 c 2 + a 2 c 2 ) 0,5 = 4[(a 2 + b 2 + ab) 2 - a 2 b 2 - c 2 (a 2 +b 2 )] 0,5 Thay c 2 = (a+b) 2 vào ta được: = 4[ (a 2 +b 2 ) 2 +2(a 2 +b 2 )ab + a 2 b 2 - a 2 b 2 -(a+b) 2 (a 2 +b 2 )] = 4[ (a 2 +b 2 ) 2 +2(a 2 +b 2 )ab -(a+b) 2 (a 2 +b 2 )] 0,5 = 4(a 2 +b 2 )[ (a 2 +b 2 ) +2ab -(a+b) 2 ] = 0 ⇒ a 4 + b 4 + c 4 = 2a 2 b 2 + 2b 2 c 2 + 2a 2 c 2 0,5 Bài 4: ( 3,0 điểm) ⇔ 2(a 2 + b 2 + c 2 )≥ 2(ab + ac + bc) 0,5 ⇔ 2a 2 + 2b 2 + 2c 2 -2ab -2ac - 2bc ≥ 0 0,5 ⇔ (a-b) 2 + (a-c) 2 + (b-c) 2 ≥ 0 Bất đẳng thức cuối luôn đúng (Do (a-b) 2 ≥ 0 …) nên có đpcm 0,5 Câu b ⇔ cba abc ab abc ac abc bc ++≥++ 222 )()()( 0,5 Nhân hai vế với số dương abc được: ⇔ abcacbbcaabacbc 222222 )()()( ++≥++ 0,5 Áp dụng a) cho ba số ab, bc, ca ta có: ≥++ 222 )()()( abacbc abcacbbca 222 ++ ⇒ đpcm 0,5 Bài 5: (3,0 điểm) ⇔ 6 6)6( 4 4)4( 8 8)8( 2 2)2( 2222 + ++ + + ++ = + ++ + + ++ x x x x x x x x 0,5 ⇔ 6 6 6 4 4 4 8 8 8 2 2 2 + +++ + ++= + +++ + ++ x x x x x x x x 0,5 ⇔ 6 6 4 4 8 8 2 2 + + + = + + + xxxx ⇔ 6 3 4 2 8 4 2 1 + + + = + + + xxxx ⇔ )6)(4( 245 )8)(2( 165 ++ + = ++ + xx x xx x 0,5 ⇔ (5x+16)(x+4)(x+6) = (5x+24)(x+2)(x+8) ⇔ (5x+16)(x 2 +10x + 24) = (5x+24)( x 2 +10x + 16) 0,5 ⇔ 5x 3 + 50x 2 + 120x + 16x 2 + 160x + 16.24 = 5x 3 + 50x 2 + 80x + 24x 2 + 240x + 24.16 ⇔ 8x 2 + 40x = 0 0,5 ⇔ 8x(x + 5) = 0 x = 0; x = -5 Đối chiếu điều kiện và kết luận nghiệm 0,5 Bài 6: (6,0 điểm) Câu a: 2,5 điểm DF = AE ⇒ ∆DFC = ∆AED 0,5 ⇒ · · ADE = DCF ⇒ · · · · EDC + DCF = EDC + ADE 0,5 · · EDC + ADE = 90 0 nên DE ⊥ CF 0,5 MC = MA (BD là trung trực của AC) 0,5 MA = FE nên EF = CM 0,5 Câu b: 2,0 điểm ⇒ ∆MCF =∆FED ⇒ · · MCF = FED 0,5 Từ · · MCF = FED chứng minh được CM ⊥ EF 0,5 Tương tự a) được CE ⊥ BF 0,5 A B C D M E F ED, FB và CM trùng với ba đường cao của ∆FEC nên chúng đồng qui. 0,5 Câu c: 1,5 điểm ME + MF = FA + FD là số không đổi. 0,5 ⇒ ME.MF lớn nhất khi ME = MF 0,5 Lúc đó M là trung điểm của BD 0,5 . PHÒNG GD- ĐT PHÙ MỸ TRƯỜNG THCS MỸ CÁT ĐỀ THI HSG LỚP 9 CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2010-2011 MÔN TOÁN – Thời gian làm bài 150 phút Bài 1: ( 3,0 điểm) Chứng minh. là điểm trên đường chéo BD. Hạ ME vuông góc với AB và MF vuông góc với AD. a. Chứng minh DE ⊥ CF; EF = CM b. Chứng minh ba đường thẳng DE, BF và CM đồng qui. c. Xác định vị trí của điểm M để tứ. c 2 = (a+b) 2 vào ta được: = (2a 2 + 2b 2 + 2ab ) 2 - 4(a 2 b 2 + b 2 c 2 + a 2 c 2 ) 0,5 = 4[(a 2 + b 2 + ab) 2 - a 2 b 2 - c 2 (a 2 +b 2 )] 0,5 Thay c 2 = (a+b) 2 vào ta được: