PHÒNG GD-ĐT PHÙ MỸ KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN TRƯỜNG THCS MỸ CHÁNH NĂM HỌC: 2010-2011 Đề đề nghị Môn: TOÁN, LỚP 9 Thời gian làm bài 150 phút (không kể thời gian phát đề) Câu 1: (2,5 điểm) Tìm số tự nhiên n sao cho: n + 24 và n – 65 là hai số chính phương Câu 2: (3,0 điểm) Với n ∈ N và n > 1, sao cho 2 n -2 M n Chứng minh rằng : 2 1 2 2 2 1 n n − − − M Câu 3: (4,0 điểm) Cho a +b +c = 0. Tính giá trị của biểu thức : a b b c c a c a b A c a b a b b c c a − − − = + + + + ÷ ÷ − − − Câu 4: (3,0 điểm) Tìm giá trị lớn nhất của : 1 1 y x B x y − − = + Câu 5: (2,5 điểm) Giải phương trình : 3 2 2 3 2 x x x x − + = − Câu 6: (5,0 điểm) Cho hình vuông ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, AD. Gọi E và F lần lượt là giao điểm của BN với MC và AC. Cho biết AB =30cm, tính diện tích các tam giác BEM và AFN. PHÒNG GD-ĐT PHÙ MỸ KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN TRƯỜNG THCS MỸ CHÁNH NĂM HỌC: 2010-2011 HƯỚNG DẪN CHẤM Môn: TOÁN, LỚP 9 Thời gian làm bài 150 phút Câu Nội dung B. điểm 1 Ta có: =− =+ 2 2 65 24 hn kn 2 2 k 24 h 65 ⇔ − = + ( )( ) 89.189 ==+−⇔ hkhk = = ⇒ =− =+ ⇔ 44 45 1 89 h k hk hk Vậy: n = 45 2 – 24 = 2001 0,5 0,5 0,5 0,75 0,25 2 Ta có: 2 2 2 2 ( ) n n n kn k N − ⇒ − = ∈ M ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 4 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 1 2 1 n n n n k kn n k n n n − − − − = − = − = − ÷ ÷ = − = − = − + + − M 0,25 0,5 1,0 0,75 0,5 3 Đặt a b b c c a M c a b − − − = + + Ta có: 2 2 . 1 1 . ( )( ) ( ) 1 . ( )( ) 1 . ( )( ) 1 . c c b c c a M a b a b a b c b bc ac a a b ab c b a b a c b a a b ab c b a a b c a b ab c a b c a b a b ab − − = + + ÷ − − − + − = + − − + − − = + − − + − = + − − − − = + − ( ) 1 c c c ab + = + (vì: a + b+ c =0 => c = - a - b) 0,25 0,5 0,5 0,5 2 3 2 2 1 1 c c ab abc = + = + Tương tự: 3 3 2 2 . 1 ; . 1 a a b b M M b c abc c a abc = + = + − − Vậy: 3 3 3 3 3 3 2 2 2 2( ) 3 3 a b c a b c A abc abc abc abc + + = + + + = + 2.3 3 9 abc abc = + = (vì khi a +b+c =0 thì 3 3 3 a b c + + = 3abc) 0,5 1,0 0,25 0,5 4 ĐK : x ≥ 1, y ≥ 2 Áp dụng BĐT Cô - si, ta có: ( 1) 1( 1) 1 1 1 ; 2 2 ( 2) 2( 2) 2 2 1 2 2 4 2 2 2 x x x x x x y y y y y − − + − = ≤ = − − + − = ≤ = = 1 2 2 2 2 4 4 B + ⇒ ≤ + = Vậy: 1 1 2 2 2 max 2 2 4 4 x x B y y − = = + = ⇔ ⇔ − = = (TM) 0,25 0,75 0,75 0,5 0,75 5 ĐK: 2 3 x > Áp dụng BĐT 2 a b b a + ≥ với a>0, b>0 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b Với 2 3 x > thì 3 2 2 3 2 x x x x − + = − 2 1 2 3 2 3 2 0 ( 1)( 2) 0 1; 2( ) x x x x x x x x TM ⇔ = − ⇔ − + = ⇔ − − = ⇔ = = Vậy tập nghiệm : { } 1;2 0,25 0,75 0,5 0,5 0,5 6 Ta có : µ µ µ · 0 1 1 1 ( . . ) 90 ABN BCM c g c B C B BME ∆ = ∆ ⇒ = ⇒ + = Do đó: BN CM⊥ tại E Trong ∆ ABN vuông tại A Có: 2 2 2 2 2 30 15 1125BN AB AN= + = + = Ta lại có: ∆ BEM ∆ BAN (g.g) 2 225 1 1125 5 BEM BAN S BM S BN ⇒ = = = ÷ 1,0 0,5 0,75 1 1 E F M N A B D C Mà: S BAN = 1 2 .20.15= 225 => S BEM = 225. 1 5 = 45 (cm 2 ). Ta cũng có: ∆ AFN ∆ CFB (g.g) 1 1 1 2 2 3 FN AN FN BF BN FB BC ⇒ = = ⇒ = = Nên S AFN = 1 3 S ABN = 1 3 .225 = 75 (cm 2 ) Vậy: S BEM = 45 (cm 2 ); S AFN = 75 (cm 2 ) 0,5 0,5 1,0 0,75 • Mọi cách giải khác nếu đúng và lập luận chặt chẽ vẫn được tính điểm tối đa theo biểu điểm của từng bài từng câu. . PHÒNG GD-ĐT PHÙ MỸ KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN TRƯỜNG THCS MỸ CHÁNH NĂM HỌC: 2010-2011 Đề đề nghị Môn: TOÁN, LỚP 9 Thời gian làm bài 150 phút (không kể thời gian phát đề) Câu 1: (2,5. E và F lần lượt là giao điểm của BN với MC và AC. Cho biết AB =30cm, tính diện tích các tam giác BEM và AFN. PHÒNG GD-ĐT PHÙ MỸ KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN TRƯỜNG THCS MỸ CHÁNH NĂM HỌC:. GD-ĐT PHÙ MỸ KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN TRƯỜNG THCS MỸ CHÁNH NĂM HỌC: 2010-2011 HƯỚNG DẪN CHẤM Môn: TOÁN, LỚP 9 Thời gian làm bài 150 phút Câu Nội dung B. điểm 1 Ta có: =− =+ 2 2 65 24 hn kn 2