Đề và đáp án thi học sinh giỏi môn Toán 9- THCS Mỹ Châu 2010-2011.

PHÒNG G D&Đ T PHÙ MỸ ĐỀ THI HỌC GIỎI CẤP HUYỆN CẤP HUYỆN TRƯỜNG THCS MỸ CHÂU Năm học :2010-2011 Môn :TOÁN,LỚP 9 Thời gian làm bài :150 phút(không kể thời gian phát đề) ĐỀ BÀI. Câu 1:(3.0điểm) Chứng minh rằng: 3 7 11 15 4 1 7 2 4 8 16 2 n n − + + + + + < với mọi số nguyên dương n. Câu 2:(3,0điểm) Cho hai biểu thức f(x)=(x-2) 2008 + (2x-3) 2007 +2006x và g(x)=y 2009 -2007y 2008 +2005y 2007 Giả sử f(x) sau khi khai triển và thu gọn ta tìm được tổng tất cả các số hạng của nó là k.Hãy tính k và tính giá trị của g(k). Câu 3:(4.0điểm) Giải phương trình : 3 3 3 3 3 1 5 2 9 4 3 0(1)x x x x+ + − + − − − = Câu 4: ( 3, 0 điểm) Cho a ≥ 0, b ≥ 0, c ≥ 0 , chứng minh rằng: a 4 + b 4 + c 4 ≥ abc ( a+b+c) Câu 5:(3,0điểm) Cho tam giác ABC có AB =a;AC=b;AB=c .Tìm điểm M nằm bên trong tam giác sao cho a b c x y z + + có GTNN .Trong đó x,y,z thứ tự là khoảng cách từ M đến BC, AC, AB. Câu 6 :(4,0điểm) Cho tam giác ABC ,các tia phân giác trongBM, CN (M thuộcAC,N thuộc AB) cắt nhau tạiD Chứng minh rằng tam giác ABC vuông khi và chỉ khi 2BD.CD=BM.CN …………………………………………….Hết ……………… PHÒNG GD&ĐT PHÙ MỸ TRƯỜNG THCS MỸ CHÂU HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ HSG MÔN TOÁN 9 Câu 1: (3,0điểm) Với mọi 2m ≥ ta có 1 4 1 4 3 4 7 2 2 2 m m m m m m − − + + = − (1,0đ) Ap dụng hệ thức trên với mỗi m bằng 2,3, ,n ta có: S= 1 3 7 11 15 4( 1) 1 4 1 2 4 8 16 2 2 n n n n − − − − + + + + + + = 2 2 3 2 1 1 3 11 15 15 19 4 1 4 3 4 3 4 7 2 2 2 2 2 2 2 2 2 n n n n n n n n − − − − + + +         + − + − + + − + −  ÷  ÷  ÷  ÷         (1,25đ) = 4 7 7 7 2 n n + − < (0,50đ) Vậy S<7 với mọi số nguyên dương n. (0,25đ) Câu 2:(3,0điểm) Dễ thấy rằng tổng các hệ số của f(x) sau khi khai triển và thu gọn chính là giá trị của đa thức f(x) tại x=1.Ta có s=f(1)=(1-2) 2008 +(2.1-3) 2007 +2006.1 =2006 (1,50đ) Khi đó thay 2007=s+1,2005=s-1 ta được g(s)= s 2009 -(s+1) 2008 +(s-1) 2007 =-2006 2007 (1,25đ) Vậy s=2006 và g(s)=-2006 2007 (0,25đ) Câu 3:(4.0điểm) Đặt a= 3 3 1x + ,b= 3 5 x− ,c= 3 2 9x − (0,5đ) Suy ra a 3 +b 3 +c 3 =4x-3.Khi đó từ (1) có (a+b+c) 3 = a 3 +b 3 +c 3 (0,5đ) ⇔ a 3 +b 3 +c 3 +3(a+b)(b+c)(c+a)= a 3 +b 3 +c 3 ⇔ (a+b)(b+c)(c+a)=0 0 0 0 a b b c c a + =   ⇔ + =   + =  (1,0đ) 3 3 3 3 3 3 3 1 5 5 9 2 9 2 3 1 x x x x x x  + = −  ⇔ − = −   − = +   (0,75đ) 3 4 8 5 x x x   = −  ⇔ =   =   (1,0đ) Vậy phương trình có ba nghiệm là x=-3;x=4;x= 8 5 (0,25đ) Câu 4: ( 3, 0 điểm) Ap dụng bất đẳng thức côsi với các số không âm, ta có a 4 +b 4 +c 4 = 222 444444 accbba + + + + + (0,75đ) ≥ 44 ba + 44 cb + 44 ac = a 2 b 2 +b 2 c 2 +c 2 a 2 (0,5đ) = a 2 222 22 2 22 2 22 ba c ac b cb + + + + + (0,5đ) ≥ a 2 22 cb + b 2 22 ac + c 2 22 ba (0,5đ) = a 2 bc + b 2 ca +c 2 ab = abc (a+b+c) (0,5đ) Vậy ta có điều phải chứng minh (0,25đ) Câu 5:(3,0điểm) -HS vẽ hình và lập luận được 2S=ax+by+cz (1,0đ) -Khi đó ta có 2 ( ).( ) ( ) a b c ax by cz a b c x y z + + + + ≥ + + (BĐT Bunhiacopxki) (1,0đ) 2 ( ) 2 a b c a b c x y z S + + ⇒ + + ≥ (0,5đ) -Do đó min 2 ( ) ( ) 2 a b c a b c x y z S + + + + = . -Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khix=y=z hay M là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC(0,5đ) Câu 6:(4,0điểm) -HS vẽ hình và lập luận được : BM là phân giác góc B MA AB MC BC ⇒ = MA AB c bc MA MA MC AB BC c a c a ⇒ = = ⇒ = + + + + (1,0đ) AD là phân giác góc BAM BD AB BD AB a c DM AM BM AB AM a b c + ⇒ = ⇒ = = + + + (0,75đ) Tương tự : CD b a CN a b c + = + + (0,75đ) Từ trên ta có các phép biến đổi tương đương sau : 2BD.CD=MB.CN 2(c+a)(b+a)=(a+b+c) 2 b 2 +c 2 =a 2 Hay tam giác ABC vuông. (1,5đ) *Ghi chú:Mọi cách giải khác đúng và hợp lí đều cho điểm tối đa. y z x A B C M D A B C M N . PHÒNG G D&Đ T PHÙ MỸ ĐỀ THI HỌC GIỎI CẤP HUYỆN CẤP HUYỆN TRƯỜNG THCS MỸ CHÂU Năm học :2010-2011 Môn :TOÁN,LỚP 9 Thời gian làm bài :150 phút(không kể thời gian phát đề) ĐỀ BÀI. Câu 1:(3.0điểm) . minh rằng tam giác ABC vuông khi và chỉ khi 2BD.CD=BM.CN …………………………………………….Hết ……………… PHÒNG GD&ĐT PHÙ MỸ TRƯỜNG THCS MỸ CHÂU HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ HSG MÔN TOÁN 9 Câu 1: (3,0điểm) Với mọi 2m ≥ . + (2x-3) 2007 +2006x và g(x)=y 2009 -2007y 2008 +2005y 2007 Giả sử f(x) sau khi khai triển và thu gọn ta tìm được tổng tất cả các số hạng của nó là k.Hãy tính k và tính giá trị của g(k). Câu