PHÒNG GD & ĐT PHÙ MỸ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN TRƯỜNG THCS MỸ ĐỨC Môn : Toán – Lớp 9 - Năm học : 2010 – 2011 Thời gian làm bài : 150 phút ĐỀ THI ĐỀ NGHỊ (không kể thời gian phát đề) Câu 1.(3,0 điểm): Tìm các số nguyên x để biểu thức sau là số chính phương: A = x 4 – x 2 + 2x + 2. Câu 2.(3,0 điểm): Chứng minh rằng tổng bình phương của 5 số nguyên liên tiếp không thể là một số chính phương. Câu 3.(5,0 điểm): a) Cho x, y thỏa mãn x 2 + y 2 = 1. Tìm giá trò lớn nhất, giá trò nhỏ nhất của: A = x 6 + y 6 . b) Tìm giá trò lớn nhất của biểu thức: B = x 2 9 x− . Câu 4.(3,0 điểm): Chứng minh rằng nếu các số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện: 1 1 1 2 1 1 1a b c + + ≥ + + + , thì abc 1 . 8 ≥ Câu 5.(3,0 điểm): Cho tam giác ABC. Qua điểm O tùy ý trong tam giác kẻ các đường thẳng AO, BO, CO cắt BC, CA, AB lần lượt tại A ’ , B ’ , C ’ . Chứng minh hệ thức: ' ' ' ' ' ' 1. OA OB OC AA BB CC + + = Câu 6.(3,0 điểm): Không dùng bảng lượng giác và máy tính. Tính cos15 0 . 1 PHÒNG GD & ĐT PHÙ MỸ ĐÁP ÁN - HD CHẤM - ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TRƯỜNG THCS MỸ ĐỨC CẤP HUYỆN – NĂM HỌC : 2010 – 2011 Môn : Toán – lớp 9 Câu 1 (3,0 điểm) A = x 4 – x 2 + 2x + 2 = (x 4 – 2x 2 + 1) + (x 2 + 2x + 1) = (x 2 – 1) 2 + (x + 1) 2 = (x 2 – 1)(x 2 – 1) + (x + 1) 2 = (x -1)(x +1)(x – 1)(x + 1) +(x + 1) 2 = (x +1) 2 (x – 1) 2 + (x + 1) 2 = (x + 1) 2 ( ) 2 1 1x − + . Để A là số chính phương thì phải có: (x + 1) 2 = 0 và (x -1) 2 + 1 tùy ý; hoặc (x + 1) 2 ≠ 0 và (x -1) 2 + 1 là số chính phương. • Nếu (x + 1) 2 = 0 ⇔ x + 1 = 0 ⇔ x = -1. • Nếu (x + 1) 2 ≠ 0 và (x -1) 2 + 1 là số chính phương, ta đặt (x -1) 2 + 1 = y (y ∈ N). Do đó y 2 - (x -1) 2 = 1 ⇔ ( ) ( ) 1 1 1y x y x+ − − − = . Vì y ∈ N và 1x N− ∈ nên chỉ xảy ra : y + 1 1x − = và y - 1 1x − = . ⇒ x – 1 = 0 ⇔ x = 1. Thử lại ta thấy với x = 1, x = -1 thì A = x 4 – x 2 + 2x + 2 là số chính phương. Điểm 0,5 0,25 0,25 0,25 0,5 0,5 0,5 0,25 Câu 2 (3,0 điểm) Tổng bình phương của 5 số nguyên liên tiếp có dạng : S = (n – 2) 2 + (n – 1) 2 + n 2 + (n +1) 2 + (n +2) 2 (n ∈ Z). S = n 2 + 4 – 4n + n 2 + 1 – 2n + n 2 + n 2 + 1 + 2n + n 2 + 4 + 4n S = 5n 2 + 10 = 5(n 2 + 2). Ta chứng minh n 2 + 2 không chia hết cho 5 với mọi n: • Nếu n M 5 thì n 2 + 2 chia cho 5 dư 2. • Nếu n = 5k ± 1 thì n 2 + 2 = (5k ± 1) 2 + 2 chia cho 5 dư 3. • Nếu n = 5k ± 2 thì n 2 + 2 = (5k ± 2) 2 + 2 chia cho 5 dư 1. Vậy n 2 + 2 / M 5 nên S là số chia hết cho 5 nhưng không chia hết cho 25, do đó S không thể là một số chính phương. 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 Câu 3 (5,0 điểm) Câu a (3,0 điểm) * Với x 2 + y 2 = 1 (gt) ta có : A = x 6 + y 6 = (x 2 ) 3 + (y 2 ) 3 = (x 2 + y 2 ) 3 – 3x 2 y 4 – 3x 4 y 2 = (x 2 + y 2 ) 3 – 3x 2 y 2 (x 2 + y 2 ) = 1 - 3x 2 y 2 . Ta có - 3x 2 y 2 ≤ 0. Do đó A ≤ 1. Dấu “=” xảy ra { 2 2 2 2 0 0, 1 1, 0 1 x y x y x y x y = = =± =± = + = ⇔ ⇔ Vậy A(max) = 1 0, 1 1, 0 x y x y = =± =± = ⇔ * p dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm, ta có: 2 2 2 2 x y x y≤ + , mà x 2 + y 2 = 1 (gt) nên ta có : 0,5 0,25 0,5 0,25 0,25 2 Câu 3a (3,0 điểm) x 2 y 2 ≤ 2 1 1 2 4 = ÷ ⇔ -3 x 2 y 2 3 4 ≥ − . Do đó A = 1 - 3x 2 y 2 3 1 1 4 4 ≥ − = . Dấu “=” xảy ra { 2 2 2 2 2 1 2 2 2 x y x y x y x y = = + = − = = = ⇔ ⇔ Vậy A(min) = 1 4 2 2 x y⇔ = = ± . 0,5 0,5 0,25 Câu 3b (2,0 điểm) * Điều kiện : 9 – x 2 ≥ 0 ⇔ x 2 ≤ 9 ⇔ -3 ≤ x ≤ 3. * p dụng bất đẳng thức cho hai số không âm, ta có : B = x 2 9 x− ( ) 2 2 2 2 2 9 9 9 2 2 2 x x x x + − + − ≤ = = . Dấu “=” xảy ra ⇔ x = 2 9 x− ⇔ x 2 = 9 - x 2 ⇔ x 2 = 9 3 2 2 2 x ± ⇔ = (TMĐK). Vậy max B = 9 3 2 2 2 x ± ⇔ = . 0,5 0,5 0,75 0,25 Câu 4 (3,0 điểm) • Ta có 1 1 1 2 1 1 1a b c + + ≥ + + + (gt) ⇒ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 b c a b c b c ≥ − + − = + + + + + + (1) • p dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương, ta có : ( ) ( ) 2 1 1 1 1 b c bc b c b c + ≥ + + + + (2) * Từ (1) và (2) suy ra ( ) ( ) 1 2 1 1 1 bc a b c ≥ + + + (3) * Chứng minh tương tự, ta được : ( ) 1 2 1 (1 ) 1 ac b a c ≥ + + + (4) ( ) 1 2 1 (1 ) 1 ab c a b ≥ + + + (5) • Nhân các vế tương ứng của (3), (4), (5) ta được : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 8. 1 1 1 1 1 1 abc a b c a b c ≥ + + + + + + ⇔ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 8. 1 1 1 1 1 1 abc a b c a b c ≥ + + + + + + (vì a, b, c > 0) ⇔ 1 ≥ 8abc (vì a, b, c > 0) ⇔ abc ≤ 1 8 (đpcm). 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 0,5 0,25 0,25 3 Câu 5 (3,0 điểm) * Vẽ hình đúng theo đề bài (h.1) * Kẻ AH ⊥ BC, OI ⊥ BC (H, O ∈ BC). Khi đó OI // AH (cùng ⊥ BC). Xét ∆AHA’ có OI // AH theo hệ quả của đònh lí Talet ta có: ' AA' OA OI AH = (1) * Mặt khác có : 1 . 2 1 . 2 OBC ABC BC OI S OI S AH BC AH = = (2) • Từ (1) và (2) suy ra ' AA' OBC ABC S OA S = (3) • Chứng minh tương tự, ta có : ' ' OAC ABC S OB S BB = (4) ' ' OAB ABC S OC S CC = (5) * Cộng các vế tương ứng của (3), (4), (5) ta được : ' ' ' 1 AA' ' ' OBC OAC OAB SBC ABC ABC S S S S OA OB OC BB CC S S + + + + = = = . 0,25 0,25 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 0,5 Câu 6 (3,0 điểm) * Vẽ ∆ABC vuông tại A có µ 0 15B = (hình 2). * Đặt AC = b. Vẽ đường trung trực của BC cắt BC, AB lần lượt tại I, K. Khi đó : KB = KC ⇒ ∆KBC cân tại K ⇒ µ µ 0 1 15C B= = . * Xét ∆AKC vuông tại A có · µ µ 0 0 0 1 15 15 30AKC C B= + = + = (góc ngoài của ∆KBC) 2 2KC AC b⇒ = = (đònh lí về tam giác vuông có góc 30 0 ). Và AK = 2 2 2 2 4 3BC AC b b b− = − = (đlíPytago). Do đó AB = AK + KB = AK + KC = b 3 + 2b = b( 3 +2). * Xét ∆ABC vuông tại A, theo đònh lí Pytago ta có: BC 2 = AB 2 + AC 2 = b 2 ( 3 +2) 2 + b 2 = b 2 (3 + 4 + 4 3 + 1) = 4b 2 (2+ 3 ). ⇒ BC = ( ) 2 4 2 3 2 2 3b b+ = + ⇒ cos15 0 = cosB = = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 1 2 3 2 2 2 3 2 2 3 2 2 3 b AB BC b + + + + + = = = = + + + + . ♣ Mọi cách gải khác đúng, chặt chẽ đều được điểm tối đa của từng câu. 0,25 0,5 0,25 0,5 0,25 0,25 0,5 0,5 4 5 . & ĐT PHÙ MỸ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN TRƯỜNG THCS MỸ ĐỨC Môn : Toán – Lớp 9 - Năm học : 2010 – 2011 Thời gian làm bài : 150 phút ĐỀ THI ĐỀ NGHỊ (không kể thời gian phát đề) Câu 1.(3,0. bảng lượng giác và máy tính. Tính cos15 0 . 1 PHÒNG GD & ĐT PHÙ MỸ ĐÁP ÁN - HD CHẤM - ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TRƯỜNG THCS MỸ ĐỨC CẤP HUYỆN – NĂM HỌC : 2010 – 2011 Môn : Toán – lớp 9 Câu. có: (x + 1) 2 = 0 và (x -1) 2 + 1 tùy ý; hoặc (x + 1) 2 ≠ 0 và (x -1) 2 + 1 là số chính phương. • Nếu (x + 1) 2 = 0 ⇔ x + 1 = 0 ⇔ x = -1. • Nếu (x + 1) 2 ≠ 0 và (x -1) 2 + 1 là