Đề thi KSCL học sinh giỏi môn Toán 8 năm 2020-2021 có đáp án - Trường THCS Liên Châu (Lần 1)

Tham khảo Đề thi KSCL học sinh giỏi môn Toán 8 năm 2020-2021 có đáp án - Trường THCS Liên Châu (Lần 1) dành cho các bạn học sinh lớp 8 và quý thầy cô tham khảo, để hệ thống kiến thức học tập cũng như trau dồi kinh nghiệm ra đề thi. Hi vọng sẽ giúp các bạn đạt kết quả tốt trong kì thi.

PHÒNG GD& ĐT YÊN LẠC TRƯỜNG THCS LIÊN CHÂU ĐỀ KSCL HỌC SINH GIỎI LỚP LẦN NĂM HỌC 2020 – 2021 MƠN: TỐN Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1:(1.5 điểm)Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) x  b) x4 + 2020x2 + 2019x + 2020 Câu : (1.5 điểm) Cho a – b = a.b = Tính : a ) A = a3 – b3 b) B = 3(a4 + b4) + 2(a5 – b5) Câu 3: (2 điểm)Tìm số tự nhiên n để: a) A=n3-n2+n-1 số nguyên tố b) B= n5-n+2 số phương ( n  N; n  ) Câu 4: (1 điểm) a) Cho a , b , c cạnh tam giác Chứng minh : a b c   3 bca acb abc b)Cho a > b > so sánh số x , y với : x= 1 a 1 b ; y= 1 a  a  b  b2 Câu 5: (1,5 điểm) a)Tính tổng: S = 31 – 21 + 32 – 22 + 33 – 23 + … + 32019 – 22019 b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A = 13x2 + y2 + 4xy - 2y - 16x + 2015 Câu : (2,5 điểm) Cho hình vng ABCD Qua A vẽ hai đường thẳng vng góc với cắt BC P R, cắt CD Q S a) Chứng minh  AQR  APS tam giác cân b) QR cắt PS H; M, N trung điểm QR PS Chứng minh tứ giác AMHN hình chữ nhật c) Chứng minh P trực tâm  SQR d) Chứng minh MN đường trung trực AC e) Chứng minh bốn điểm M, B, N, D thẳng hàng PHÒNG GD- ĐT YÊN LẠC TRƯỜNG THCS LIÊN CHÂU Câu Nội dung a )x + = (x + 4x + 4) - 4x = ( x2+2)2- (2x)2 = (x2 + + 2x)(x2 + - 2x) Câu (1,5đ) HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN: TỐN NĂM HỌC 2020 - 2021 2 b) x4 + 2020x2 + 2019x + 2020 =  x  x    2020x  2020x  2020  Điểm 0,5 0.5 = x  x  1  x  x  1  2020  x  x  1 =  x  x  1 x  x  2020  0,5 a) A = (a – b)(a2 + ab + b2) = 5[(a – b)2 + 3ab] = 5(25 + 3.2) = 155 0,5 b) Câu (1.5đ) Câu (2đ) Câu (1đ) a4 + b4 = (a2 + b2)2 – 2a2b2 = [(a – b)2 + 2ab]2 – 2a2b2 = (25 + 2.2)2 – 2.22 = 833 5 2 3 a – b = (a + b )(a – b ) + a2b3 – a3b2 = [(a – b)2 + 2ab] (a – b)(a2 + ab + b2) + a2b2(b – a) = [(a – b)2 + 2ab] (a – b) [(a – b)2 + 3ab] + a2b2(b – a) = (25 + 4) (25 + 6) – 4.5 =4475 Vậy B = 833 + 4475 = 11449 a) p = n3 - n2 + n - 1= (n2 + 1)(n - 1) +)Nếu n = 0; không thỏa mãn đề +)Nếu n = thỏa mãn đề p = (22 + 1)(2 - 1) = +)Nếu n > khơng thỏa mãn đề p có từ ước trở lên 1; n – 1> n2 + > n – 1> - Vậy n = thìp = n3 - n2 + n - số nguyên tố b) B=n5-n+2=n(n4-1)+2=n(n+1)(n-1)(n2+1)+2 =n(n-1)(n+1) n  4  5 +2= n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2)+5 n(n-1)(n+1)+2 mà n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2)  (tích 5số tự nhiên liên tiếp) n(n-1)(n+1)  Vậy B chia dư Do số B có tận 7nên B khơng phải số phương Vậy khơng có giá trị n để B số phương a) Đặt b+c-a=x >0; c+a-b=y >0; a+b-c=z >0 Từ suy a= yz xz x y ;b  ;c  ; 2 0.25 0,5 0,25 0.25 0.5 0.25 0.5 0.25 0.25 0,25 =>A= yz xz x y 1 y x x z y z     (  )  (  )  (  ) 2x 2y 2z 2 x y z x z y  Từ suy A  (2   2) hay A  0.25 b)Ta có x,y > 1  a  a2 a2 1 1   1  1  1  1   a 1 1 x 1 a 1 a y   2 a a a b b 1 1 Vì a> b > nên   Vậy x < y a b a b 0,5 a)S = 31 – 21 + 32 – 22 + 33 – 23 + … + 32019 – 22019 = (31 + 32 + 33 + … + 32019) – (21 + 22 + 23 + …+ 22019) Đặt A = 31 + 32 + 33 + … + 32019, B = 21 + 22 + 23 + …+ 22019  A=3 +3 +3 +…+3 2018 +3 0.25 2019 3A = 32 + 33 + 34 + … + 32019 + 32020  3A – A = 32020 - 31 2020  A = 0,25  B = 21 + 22 + 23 + …+ 22018 + 22019 Câu (1,5 đ) 2B = 22 + 23 + 24 + … + 22019 + 22020  2B – B = 22020 - 21  B = 22020 – 0,25 2020  3 2020  2021  2020  2  Vậy S = 2   b )A = 13x2 + y2 + 4xy - 2y - 16x + 2015 = y2 + 4xy - 2y + 13x2 - 16x + 2015 = y2 + 2y(2x - 1) + (2x -1)2 + 9x2 - 12 x + 2015 = (y + 2x - 1)2 + (3x - 2)2 + 2010 Chứng tỏ A  2010, dấu " =" xảy (x = ; y =  ) 3 Vậy A = 2010 (x = ; y =  ) 3 0,25 0,25 0,25 Hình vẽ Vẽ hình, cân đối đẹp a)  ADQ =  ABR chúng hai tam giác vng (2 góc có cạnh t.ư vng góc) DA = BD (cạnh hình vng) Suy AQ=AR, nên  AQR tam giác vuông cân Chứng minh tương tự ta có:  ABP =  ADS AP =AS  APS tam giác cân A 0,5 b) AM AN đường trung tuyến tam giác vuông cân AQR APS nên AN  SP AM  RQ Mặt khác : PAN  PAM = 450 nên góc MAN vng Vậy tứ giác AHMN có ba góc vng, nên hình chữ nhật 0,5 c) Theo giả thiết: QA  RS, RC  SQ nên QA RC hai đường cao  SQR Vậy P trực tâm  SQR 0,5 d) Xét tam giác vng cân AQR có MA trung tuyến nên AM = QR  MA = MC, nghĩa M cách A C Chứng minh tương tự cho tam giác vuông cân ASP tam giác vuông 0,25đ SCP, ta có NA = NC, nghĩa N cách A C Hay MN trung trực AC 0,25đ e) Vì ABCD hình vng nên B D cách A C Nói cách khác, bốn điểm M, N, B, D cách A C nên chúng phải nằm đường trung trực AC, nghĩa chúng thẳng hàng 0,5đ Chú ý: - Học sinh làm cách khác cho điểm tối đa - Học sinh khơng vẽ hình vẽ sai khơng chấm hình ... + > n – 1> - Vậy n = thìp = n3 - n2 + n - số nguyên tố b) B=n5-n+2=n(n 4-1 )+2=n(n +1)( n -1 )( n2 +1)+ 2 =n(n -1 )( n +1) n  4  5 +2= n(n -1 )( n +1)( n-2)(n+2)+5 n(n -1 )( n +1)+ 2 mà n(n -1 )( n +1)( n-2)(n+2) ... =4475 Vậy B = 83 3 + 4475 = 11449 a) p = n3 - n2 + n - 1= (n2 + 1)( n - 1) +)Nếu n = 0; không thỏa mãn đề +)Nếu n = thỏa mãn đề p = (22 + 1)( 2 - 1) = +)Nếu n > không thỏa mãn đề p có từ ước trở...PHÒNG GD- ĐT YÊN LẠC TRƯỜNG THCS LIÊN CHÂU Câu Nội dung a )x + = (x + 4x + 4) - 4x = ( x2+2) 2- (2x)2 = (x2 + + 2x)(x2 + - 2x) Câu (1,5đ) HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN: TỐN NĂM HỌC 2020 - 2021 2 b)