Tuyển tập các đề thi chọn học sinh giỏi môn toán 8

Tuyển tập đề thi chọn học sinh giỏi mơn Tốn 2014 Đề số (Thời gian làm 150 phút.) Câu (3,0 điểm ) Chứng minh rằng: a) 85 + 211 chia hết cho 17 b) 1919 + 6919 chia hết cho 44 Câu (3,0 điểm ) a) Rút gọn biểu thức: x2  x  x  4x  18x  yz xz xy 1    (x, y, z  0) Tính   x y z x y z Câu (3,0 điểm ) Cho tam giác ABC Lấy điểm D,E theo thứ tự thuộc tia đối tia BA, CA cho BD = CE = BC Gọi O giao điểm BE CD Qua O vẽ đường thẳng song song với tia phân giác góc A, đường thẳng cắt AC K Chứng minh AB = CK Câu (1,0 điểm ) Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức sau (nếu có): M = 4x2 + 4x + b) Cho Hết -Cán coi thi khơng giải thích thêm Tuyển tập đề thi chọn học sinh giỏi mơn Tốn 2014 Đề số (Thời gian làm 150 phút.) Câu ( 2,0 điểm ) Tìm số có chữ số: a1a  a thỗ mãn điều kiện a b sau:   a) a1a 2a = a 7a ;   b) a 4a 5a 6a a  a 7a Câu ( 3,0 điểm ) Chứng minh rằng: ( xm + xn + ) chia hết cho x2 + x + ( mn – 2)  Áp dụng phân tích đa thức thành nhân tử: x7 + x2 + Câu ( 1,0 điểm ) Giải phương trình:   1    x  1.2.3 2.3.4 2005.2006.2007    1.2  2.3  3.4    2006.2007  Câu ( 3,0 điểm ) Cho hình thang ABCD (đáy lớn CD) Gọi O giao điểm AC BD; đường kẻ từ A B song song với BC AD cắt đường chéo BD AC tương ứng F E Chứng minh: a) EF // AB b) AB2 = EF.CD c) Gọi S1 , S2, S3 S4 theo thứ tự diện tích tam giác OAB; OCD; OAD Và OBC Chứng minh: S1.S2 = S3.S4 Câu ( 1,0 điểm ) Tìm giá trị nhỏ nhất: A = x2 - 2xy + 6y2 – 12x + 2y + 45 Hết -Cán coi thi khơng giải thích thêm Tuyển tập đề thi chọn học sinh giỏi mơn Tốn 2014 Đề số (Thời gian làm 150 phút.) Câu ( 2,0 điểm ) a) Rút gọn biểu thức: A= (2 + 1)(22 + 1)(24 + 1) .( 2256 + 1) + b) Nếu x2 = y2 + z2 Chứng minh rằng: (5x – 3y + 4z)( 5x –3y –4z) = (3x –5y)2 Câu ( 2,0 điểm ) x y z a b c    (1)    (2) Tính giá trị biểu thức a) Cho a b c x y z x y2 z2 A   a b c ab bc ca   a  b2  c2 b  c2  a c  a  b x  x  10 x  19    (1) Câu ( 2,0 điểm ) Tìm x, biết : 2006 1997 1988 Câu ( 2,0 điểm ) Cho hình vng ABCD, M  đương chéo AC Gọi E,F theo thứ tự hình chiếu M AD, CD Chứng minh rằng: a) BM  EF b) Các đường thẳng BM, EF, CE đồng quy Câu ( 2,0 điểm ) Cho a, b, c, số dương Tìm giá trị nhỏ biểu thức: 1 P = (a+ b+ c) (   ) a b c b) Biết a + b + c = Tính : B  Hết -Cán coi thi khơng giải thích thêm Tuyển tập đề thi chọn học sinh giỏi mơn Tốn 2014 Đề số (Thời gian làm 150 phút.) Câu ( 2,0 điểm ) 1) Phân tích đa thức sau thành nhân tử : a) x2 + 7x + 12; b) a10 + a5 + x  x  x 6 x 8    2) Giải phương trình: ; 98 96 94 92 Câu (2,0 điểm) Tìm giá trị ngun x để biểu thức P  2x  3x  có giá trị 2x  ngun Câu (4,0 điểm) Cho tam giác ABC ( AB > AC ) 1) Kẻ đường cao BM; CN tam giác Chứng minh rằng: a) ABM đồng dạng ACN ; b) góc AMN góc ABC 2) Trên cạnh AB lấy điểm K cho BK = AC Gọi E trung điểm BC; F trung điểm AK Chứng minh rằng: EF song song với tia phân giác Ax góc BAC x  2x  2007 Câu ( 2,0 điểm ) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A  , ( x  0) 2007x Hết -Cán coi thi khơng giải thích thêm Tuyển tập đề thi chọn học sinh giỏi mơn Tốn 2014 Đề số (Thời gian làm 150 phút.)  x2   10  x  Câu ( 3,0 điểm ) Cho biểu thức : A     :x    x2   x  4x  3x x    a) Tìm điều kiện x để A xác định ; b) Rút gọn biểu thức A; c ) Tìm giá trị x để A > x  4x  x  5x  2 Câu ( 1,5 điểm ) Giải phơng trình sau : x 1 2x  Câu ( 3,5 điểm) Cho hình vng ABCD Qua A kẽ hai đường thẳng vng góc với cắt BC tai P R, cắt CD Q S a) Chứng minh  AQR  APS tam giác cân; b) QR cắt PS H; M, N trung điểm QR PS Chứng minh tứ giác AMHN hình chữ nhật; c) Chứng minh P trực tâm  SQR; d) MN trung trực AC; e ) Chứng minh bốn điểm M, B, N, D thẳng hàng Câu ( 1,0 điểm) Cho biểu thức A = 2x  3x  Tìm giá trị ngun x để A nhận 2x  giá trị ngun Câu ( 1,0 điểm) a) Chứng minh x  y3  z   x  y   3xy. x  y   z ; b) Cho 1 yz xz xy    Tính A    x y z x y z Hết -Cán coi thi khơng giải thích thêm Tuyển tập đề thi chọn học sinh giỏi mơn Tốn 2014 Đề số (Thời gian làm 150 phút.)  x2  1   1 x4  Bài (2,0 điểm) Cho biểu thức : M =    x   x  x  x  1  x    a) Rút gọn M; b) Tìm giá nhỏ M Bài (2,0 điểm) Tìm giá trị ngun x để biểu thức A có giá trị ngun, biết: 4x  3x  2x  83 ; x 3 Bài (2,0 điểm ) Giải phương trình: a) x2 - 2005x - 2006 = b) x  + x  + 2x  = A Bài (3,0 điểm ) Cho hình vng ABCD Gọi E điểm cạnh BC Qua A kẻ tia Ax vng góc với AE Ax cắt CD F Trung tuyến AI tam giác AEF cắt CD K Đường thẳng qua E song song với AB cắt AI G Chứng minh : a) AE = AF tứ giác EGKF hình thoi ;  CAF AF = FK.FC ; b)  AKF c) Khi E thay đổi BC chứng minh : EK = BE + DK chu vi tam giác EKC khơng đổi Bài (1,0 điểm ) Chứng minh : B = n4 - 14n3 + 71n2 -154n + 120 chia hết cho 24 Hết -Cán coi thi khơng giải thích thêm Tuyển tập đề thi chọn học sinh giỏi mơn Tốn 2014 Đề số (Thời gian làm 150 phút.) 6x   x  36  6x  Câu 1.(2,0 điểm) Cho biểu thức: A=  (Với x  0; x   )    x  6x x  6x  12x  12 a) Rút gọn biểu thức A; b) Tính giá trị biểu thức A với x  94 Câu ( 1,0 điểm ) a) Chứng minh đẳng thức: x2 + y2+1  x.y + x + y ( với x , y) x2 b) Tìm giá trị lớn biểu thức sau: A = x  x2  x  Câu ( 4,0 điểm ) Cho hình chữ nhật ABCD Trên đường chéo BD lấy điểm P, gọi M điểm đối xứng C qua P a) Tứ giác AMDB hình ? b) Gọi E, F hình chiếu điểm M AD , AB Chứng minh: EF // AC ba điểm E,F,P thẳng hàng ; c) Chứng minh tỉ số cạnh hình chữ nhật MEAF khơng phụ thuộc vào vị trí điểm P; PD  Tính cạnh hình chữ nhật d) Giả sử CP  DB CP = 2,4 cm; PB 16 ABCD Câu ( 2,0 điểm ) Cho hai bất phương trình: 3mx - 2m > x+1 (1) ; m - 2x < (2) Tìm m để hai bất phương trình có tập nghiệm Hết -Cán coi thi khơng giải thích thêm Tuyển tập đề thi chọn học sinh giỏi mơn Tốn 2014 Đề số (Thời gian làm 150 phút.) Câu ( 2,5 điểm) a) Cho a + b +c = Chứng minh a3 +a2c – abc + b2c + b3 = ; b) Phân tích đa thức sau, thành nhân tử: A = bc(a + d)(b - c) –ac( b + d)( a-c) + ab( c + d)( a - b) x , ( x > 0) Tìm x để biểu thức đạt giá Câu ( 1,5 điểm) Cho biểu thức: y  (x  2004) trị lớn Tìm giá trị Câu (2,5 điểm) a) Tìm tất số ngun x thoả mãn phương trình: ( 12x – ) ( 6x – ) ( 4x – ) ( 3x – ) = 330 ; b) Giải bất phương trình: x   Câu ( 3,5 điểm) Cho góc vng xOy điểm I nằm góc Kẻ IC vng góc với Ox; ID vng góc với Oy Biết IC = ID = a Đường thẳng kẻ qua I cắt Ox A cắt Oy B a) Chứng minh tích AC DB khơng đổi đường thẳng qua I thay đổi; CA OC2  ; b) Chứng minh DB OB2 c) Biết SAOB = 8a Tính CA; DB theo a Hết -Cán coi thi khơng giải thích thêm Tuyển tập đề thi chọn học sinh giỏi mơn Tốn 2014 Đề số (Thời gian làm 150 phút.) x2 y2 x2 y2 Câu (2,0 điểm) Cho biểu thức : P     x  y 1  y   x  y 1  x   x  11  y  a) Rút gọn P ; b) Tìm cặp số (x; y)   cho giá trị P = Câu (2,0 điểm) Giải phương trình: 1 1     x  5x  x  7x  12 x  9x  20 x  11x  30 2x  ; Câu (2,0 điểm) Tìm giá trị lớn biẻu thức: M  x 2 Câu 4.(3,0 điểm) Cho hình vng ABCD có cạnh a Gọi E, F trung điểm cạnh AB, BC M giao điểm CE DF a) Chứng minh CE vng góc với DF ; b) Chứng minh  MAD cân ; c) Tính diện tích  MDC theo a Câu (1,0 điểm) Cho số a, b, c thoả mãn : a + b + c = a2 + b2 + c2  Chứng minh : Hết -Cán coi thi khơng giải thích thêm Tuyển tập đề thi chọn học sinh giỏi mơn Tốn 2014 Đề số 10 (Thời gian làm 150 phút.) Câu (2,0 điểm ) Rút gọn biểu thức : A = 1 1 + + ++ 2.5 5.8 8.11 (3n  2)(3n  5) Câu (2,0 điểm ) Tìm số a, b, c cho : Đa thức x4 + ax + b chia hết cho (x2 - 4) Câu (2,0 điểm) Tìm giá trị ngun x để biểu thức có giá trị x  x 1 ngun Câu (2,0 điểm) Cho a,b,c độ dài ba cạnh tam giác Chứng minh rằng: a2 + b2 + c2 < (ab + ac + bc) Câu (2,0 điểm ) Chứng minh tam giác, trọng tâm G, trực tâm H, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác O Thì H, G, O thẳng hàng Hết -Cán coi thi khơng giải thích thêm 10 Tuyển tập đề thi chọn học sinh giỏi mơn Tốn 2014 Đề số 68 ( Thời gian làm 150 phút.) x3 3x   8x   : Câu (5,0 điểm) Cho biểu thức P   2 x  5x   4x  8x 3x  12 x   a) Rút gọn P; b) Tìm giá trị x để P = 0; P = 1; c) Tìm giá trị x để P > Câu (4,0 điểm) a) Tìm nghiệm ngun dương phương trình 3x + 4x = x ; b) Tìm điều kiện số a, b, c cho đa thức ax19 + bx98 + cx1998 chia hết cho + x + x2 Câu (4,0 điểm) a) Cho a, b, c ba cạnh tam giác Chứng minh : (a + b2 + c2)2 > 2(a + b4 + c4)  1  1  1 1      29   4  4  4 b) Tính giá trị biểu thức: M    1  1  1       30   4  4  4  Câu (5 ,0 điểm) Cho tam giác ABC có BC cạnh lớn nhất, O giao điểm đường phân giác Trên cạnh BC lấy hai điểm M, N cho BM = BA, CN = CA Gọi D, E, F hình chiếu O BC, CA, AB Chứng minh rằng: a) Các tứ giác AMDF AEDN hình thang cân MF = NE ; b) Tam giác OMN tam giác cân Câu (2,0 điểm) Cho a, b, c > a + b + c = Chứng minh : (1 + a)(1 + b) + (1 + b)(1 + c) + (1 + c)(1 + a) > -Hết -Cán coi thi khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh:………………………………………………SBD :…………………………… 68 Tuyển tập đề thi chọn học sinh giỏi mơn Tốn 2014 Đề số 69 ( Thời gian làm 150 phút.) 2x  2x  x   x   Câu (4,0 điểm) Cho biểu thức : Q    2   x   2x  x  2x  4x    x a) Rút gọn Q ; b) Tìm giá trị ngun x để Q có giá trị ngun Câu (5,0 điểm) a) x, y, z số đo độ dài đoạn thẳng thỏa mãn điều kiện: x  y2  z y2  z  x z  x  y    Chứng minh x, y, z độ dài ba 2xy 2yz 2xz cạnh tam giác b) Giải phương trình nghiệm ngun: x4 + x2 – y2 + y + 10 = Câu (4,0 điểm) a) Cho abc  Giải phương trình: a bx a cx cbx 4x    1; c b a abc b) Cho x, y, z khác -1 Chứng minh giá trị biểu thức sau khơng phụ thuộc vào biến x, y, z : Q xy  2x  yz  2y  zx  2z    xy  x  y  yz  y  z  zx  z  x  Câu (5 ,0 điểm) Cho hình thang cân ABCD (AB // CD, AB < CD) Từ A kẻ AH vng góc với AB cắt BD H, từ B kẻ BK vng góc với AB cắt AC K a) Tứ giác AHKB hình ? Vì ? b) Gọi E trung điểm AB, F trung điểm DC, I G theo thứ tự giao điểm AC với BD CH với DK Chứng minh bốn điểm E, I, G, F thẳng hàng Câu (2,0 điểm) Cho < a < a2 <  < a 12 Chứng minh rằng: a  a    a a  a    a 12   a3  a6  a9 a  a  a12 -Hết -Cán coi thi khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh:………………………………………………SBD :…………………………… 69 Tuyển tập đề thi chọn học sinh giỏi mơn Tốn 2014 Đề số 70 ( Thời gian làm 150 phút.) 5x Câu (4,0 điểm) cho phân thức : A  2  5y  5z   x  y  z    xy  yz  zx   5x  5y  5z    25xy  25yz  25zx  a) Tìm giá trị x, y, z để phân thức xác định ; b) Rút gọn A Câu (5,0 điểm) a) Tìm giá trị a để h(x) = 3x2 + ax – 32 chia x + có số dư 3; b) Giải phương trình nghiệm ngun : + x + x2 + x3 = y3 ; c) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: p(x) = x3 + 6x – 13x – 42 Câu (4,0 điểm) a) Cho M  a  16 Tìm giá trị ngun a để M có giá trị a  4a  8a  16a  16 ngun ; b) Biết ax + by + cz = a + b + c = Tính: 1993 ax  by  cz N 2 bc  y  z   ac  x  z   ab  x  y  Câu (5 ,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC, trực tâm H Trên nửa mặt phẳng bờ BC khơng chứa điểm A, vẽ tia Bx  AB, Cy  CA chúng cắt D a) Tứ giác BHCD hình ? Vì ? b) Gọi E điểm cho BC đường trung trực EH Chứng minh tứ giác BCDE hình thang cân ; c) BD cắt EH K Tam giác ABC phải có thêm điều kiện để tứ giác HCDK hình thang cân Câu (2,0 điểm) Cho  x, y, z  Chứng minh  x + y + z – xy – yz – xz  -Hết -Cán coi thi khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh:………………………………………………SBD :…………………………… 70 Tuyển tập đề thi chọn học sinh giỏi mơn Tốn 2014 Đề số 71 ( Thời gian làm 150 phút.) a  2a  a  Câu (4,0 điểm) Cho biểu thức : B  n 2 a  2a n 1  3a n   a  2  a     , với n   a  a   4a  a) Rút gọn B ; b) Khi n = 1, tìm giá trị a để B = Câu (5,0 điểm) a) Giải phương trình : x 1 x  x  x 1 x  x       ; 2012 2011 2010 2014 2015 2016 b) Tìm nghiệm ngun dương phương trình: xy + 3x + 2y = ; c) Cho x – y = 7, tính giá trị biểu thức x2 – 2xy + y2 – 5x + 5y + Câu (4,0 điểm) a) Với a, b, c, n   n = b + c (b < c) Chứng minh :   a  b  a  c  ; bc  a a  n a a  n      b) Tính A    1       1.4  2.5   100.103  Câu (5 ,0 điểm) a) Cho tam giác nhọn ABC diện tích S, đường cao AH Qua H kẻ đường thẳng song song AK với AB, cắt AC K Biết diện tích tam giác AHK S Tính tỉ số ; KC b) Cho hình vng ABCD E điểm nằm bên hình vng cho   ECB   15o Chứng minh tam giác AED tam giác EBC Câu (2,0 điểm) Cho số dương a, b, c, d thỏa mãn abcd = Chứng minh rằng: a2 + b2 + c2 + d2 + a(b + c) + b(c + d) + d(c + a)  10 -Hết -Cán coi thi khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh:………………………………………………SBD :…………………………… 71 Tuyển tập đề thi chọn học sinh giỏi mơn Tốn 2014 Đề số 72 ( Thời gian làm 150 phút.) Câu (4,0 điểm)Cho biểu thức: C  x2 y2 x y  x y3 ; D   x  y  xy x  y  xy  x  x  y  xy a) Tính C – D; b) Tìm cặp giá trị ngun (x ; y) để C – D = 10 Câu (5,0 điểm) a) Giải phương trình: x 1 x 1 x  x  x  x  x  x         0; 99 101 98 102 97 103 96 104 b) Tìm nghiệm ngun dương phương trình: x2 – y2 = 2011; c) Tìm x, y z, biết: x2 – 2x + y2 + 4y + + (2z – 3)2 = Câu (4,0 điểm) a) Với a, b, c, n   n = b + c (b < c) Chứng minh : 1 a a  n  bc ;   a  b  a  c   a  b  a  c       b) Tính A  1  1  1     2.3  3.4   101.102  Câu (5 ,0 điểm)   30o Kẻ BH  AC Gọi M, K theo thứ tự a) Cho hình chữ nhật ABCD, AB = 4, ACB trung điểm AH CD Tính tổng MB2 + MK2 ; b) Cho tam giác ABC, điểm D thuộc cạnh BC Vẽ hình bình hành AEDF có E  AB F  AC Biết diện tích tam giác EBD FDC theo thứ tự a2 b2 Chứng minh diện tích tam giác ABC (a + b)2 Câu (2,0 điểm) Chứng minh : a + b2 + c2 + d + e2  a(b + c + d + e) -Hết -Cán coi thi khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh:………………………………………………SBD :…………………………… 72 Tuyển tập đề thi chọn học sinh giỏi mơn Tốn 2014 Đề số 73 ( Thời gian làm 150 phút.) Câu (4,0 điểm) a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử A   a  1 a  3 a  5 a    15 ; b) Với giá trò a b đa thức:  x  a  x  10   phân tích thành tích đa thức bậc có hệ số nguyên Câu (5,0 điểm) a) Tìm số nguyên a b để đa thức A(x) = x  3x  ax  b chia hết cho đa thức B(x)  x  3x  ; b) Chứng minh P  1 1     1 2 100 Câu (4,0 điểm) a) Chứng minh a + b + c = a b   a  b b  c c  a  c     A  9 ; a b  a  b b  c c  a   c b) Một tơ phải qng đường AB dài 60 km thời gian định Nửa qng đường đầu với vận tốc lớn vận tốc dự định 10km/h Nửa qng đường sau với vận tốc vận tốc dự định km/h Tính thời gian tơ qng đường AB biết người đến B Câu (6 ,0 điểm) 1) Cho tam giác ABC, đường cao AH,vẽ phân giác Hx góc AHB phân giác Hy góc AHC Kẻ AD vuông góc với Hx, AE vuông góc Hy Chứng minh tứ giác ADHE hình vuông; 2) Cho hình vng ABCD cạnh BC lấy điểm E Từ A kẻ đường thẳng vng góc vơi AE cắt đường thẳng CD F Gọi I trung điểm EF AI cắt CD M Qua E dựng đường thẳng song song với CD cắt AI N a) Chứng minh tứ giác MENF hình thoi ; b) Chứng minh chi vi tam giác CME khơng đổi E chuyển động BC Câu (1,0 điểm) Tìm nghiệm ngun phương trình: x  3x   y -Hết -Cán coi thi khơng giải thích thêm 73 Tuyển tập đề thi chọn học sinh giỏi mơn Tốn 2014 Đề số 74 ( Thời gian làm 150 phút.)   10  x   x Câu (4,0 điểm) Cho biểu thức: A      :  x   x   x 4 2x x2   a) Rút gọn biểu thức A b) Tính giá trị A , Biết x = c) Tìm giá trị x để A < d) Tìm giá trị ngun x để A có giá trị ngun Câu (5,0 điểm) a) Cho a b c a2 b2 c2    Chứng minh rằng:    0; bc ca ab bc ca ab b) Giải phương trình: x  30x2  31x  30  c) Cho a, b dương a2000 + b2000 = a2001 + b2001 = a 2002 + b 2002 Tính: a2011 + b2011 Câu (4,0 điểm) a) Cho a , b , c cạnh tam giác Chứng minh : a b c    3; bca acb a bc b) Tìm giá trị x để biểu thức : P = (x – 1)(x + 2)(x + 3)(x + 6) có giá trị nhỏ Tìm giá trị nhỏ Câu (5 ,0 điểm) Cho hình vng ABCD, M điểm tuỳ ý  AB, MF  AD đường chéo BD Kẻ ME a) Chứng minh: DE  CF b) Chứng minh ba đường thẳng: DE, BF, CM đồng quy c) Xác định vị trí điểm M để diện tích tứ giác AEMF lớn Câu (2,0 điểm) Tìm tất tam giác vng có số đo cạnh số ngun dương số đo diện tích số đo chu vi -Hết -Cán coi thi khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh:………………………………………………SBD :…………………………… 74 Tuyển tập đề thi chọn học sinh giỏi mơn Tốn 2014 Đề số 75 ( Thời gian làm 150 phút.) Câu (4,0 điểm) a) Chứng minh tổng hai số ngun chia hết cho tổng lập phương chúng chia hết cho 3; b) Tìm x, y, z thỏa mãn phương trình sau : 9x + y2 + 2z2 – 18x + 4z - 6y + 20 = Câu (5,0 điểm) a) Cho x y2 z2 a b c x y z       Chứng minh :    ; a b c x y z a b c 1 1 1 1 Tính giá trị biểu thức: P  n  n  n  n ,    a b b abc a b b a  bn  cn với n số ngun dương lẻ b) Cho Câu (4,0 điểm) 1 x4  x ; z x x   Hãy tính z theo y ; a) Cho y  1 x2  x4  x x x2  b) Cho xy + xz + yz = x, y, z khác  Chứng minh : x y z 4xyz    2 2 1 x 1 y 1 z  x  y2  z2     Câu (5 ,0 điểm) Cho tam giác ABC , gọi M trung điểm BC Một góc xMy o 60 quay quanh điểm M cho cạnh Mx , My ln cắt cạnh AB AC D E Chứng minh :  BC  a) BD.CE =   ;   b) DM, EM tia phân giác góc BDE CED ; c) Chu vi tam giác ADE khơng đổi Câu (2,0 điểm) Tìm giá trị nhỏ biểu thức : y  x  2x  1999 x3 : x  3x  x  3x  2x -Hết -Cán coi thi khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh:………………………………………………SBD :…………………………… 75 Tuyển tập đề thi chọn học sinh giỏi mơn Tốn 2014 Đề số 76 ( Thời gian làm 150 phút.) Câu (4,0 điểm) a) Giả sử y  y  0, biết : x1  y 1 x 1 x 1 ; x  ; x  ; Tìm y y 1 x1  x2  x1986  ; 2     y  yz  z  x y z     x  y  z b) Rút gọn biểu thức A    x yz  1     y z  yz xy xz Câu (5,0 điểm) a) Phân tích đa thức C = (x – 2)(x – 4) (x – 6)(x – 8) + 15 thành nhân tử ; b) Chứng minh với số ngun a a5 – 5a3 + 4a  120 Câu (4,0 điểm) a) Tìm n   để n10 +  10 ; b) Cho P   52  53  54    598  599  5100 Tìm chữ số cuối P Câu (6 ,0 điểm) Cho hình bình hành ABCD có đường chéo AC lớn đường chéo BD Gọi E, F hình chiếu B D xuống đường thẳng AC Gọi H K hình chiếu C xuống đường thẳng AB AD a) Tứ giác BEDF hình ? Hãy chứng minh điều ? b) Chứng minh : CH.CD = CB.CK c) Chứng minh : AB.AH + AD.AK = AC2 Câu (2,0 điểm) Tìm nghiệm ngun phương trình x  x  y -Hết -Cán coi thi khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh:………………………………………………SBD :…………………………… 76 Tuyển tập đề thi chọn học sinh giỏi mơn Tốn 2014 Đề số 77 ( Thời gian làm 150 phút.) Câu (4,0 điểm) a) Phân tích đa thức A = (x – 2)(x – 4) (x – 6)(x – 8) + 16 thành nhân tử ; b) Chứng minh với số ngun a a4 + 6a3 + 11a2 + 6a  24 Câu (5,0 điểm) a) Tìm n   để 2n + 2015  ; b) Giải phương trình nghiệm ngun x3 + 3y3 + 9z = 9xyz ; c) Giải phương trình x   2x    4x  Câu (4,0 điểm) a) Rút gọn biểu thức:   1 1  2  1  B        4    x  y  x y   x  y  x y   x  y  x y  x  4x  12  x  4x  x  4x  Câu (6 ,0 điểm) gọi O giao điểm hai đường chéo AC BD hình thang ABCD với đáy lớn CD Các đường thẳng kẻ từ A, B song song với BC AD cắt đường chéo BD AC tương ứng E F Chứng minh rằng: b) Giải phương trình: a) EF song song với AB; b) AB2 = EF CD ; c) Gọi S1; S2; S3 S4 theo thứ tự diện tích tam giác OAB; OCD; OAD OBC Chứng minh S1.S2 = S3.S Câu (1,0 điểm) Cho x + 2y = Chứng minh x2 + y2  -Hết -Cán coi thi khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh:………………………………………………SBD :…………………………… 77 Tuyển tập đề thi chọn học sinh giỏi mơn Tốn 2014 Đề số 78 ( Thời gian làm 150 phút.) Câu (4,0 điểm) a) Phân tích đa thức B = (x2 + 3x + 2) (x2 + 7x + 12) – 24 thành nhân tử ; b) Chứng minh với số ngun a 3a4 – 14a3 + 21a – 10a  24 Câu (5,0 điểm) a) Tìm n   để n2 – 4n + 29  ; b) Tìm nghiệm ngun phương trình : + x + x2 = y2 ; c) Giải phương trình x   x   Câu (4,0 điểm)  a  b  c  a  c  b  b + c – a  0; bc  0; a + b + c  b  c2  a ; y 2bc  a  b  c  b  c  a  Tính giá trị biểu thức P = (x + y + xy + 1)3 a) Cho x  b) Chứng minh a, b, c khác : bc ca ab 2       a  b  a  c   b  c  b  a   c  a  c  b  a  b b  c c  a Câu (5 ,0 điểm) a) Biết b > a > 3a2 + b2 = 4ab Tính S  ab ; ab b) Cho hình thang ABCD, đáy lớn AB Đường thẳng kẻ từ C song song với AD cắt đường chéo BD M, cắt AB F Đường thẳng kẻ từ D song song với BC cắt đường chéo AC N cắt AB E Các đường thẳng kẻ từ E F song song với BD AC cắt AD BC theo thứ tự P Q Chứng minh bốn điểm M, N, P, Q thẳng hàng Câu (2,0 điểm) Cho x, y, z > Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P x y z   yz xz yx -Hết -Cán coi thi khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh:………………………………………………SBD :…………………………… 78 Tuyển tập đề thi chọn học sinh giỏi mơn Tốn 2014 Đề số 79 ( Thời gian làm 150 phút.) Câu (4,0 điểm) a) Phân tích đa thức B = (x2 + 3x + 2) (x2 + 7x + 12) + thành nhân tử ; b) Tìm n   để (n2 + 2n + 6)  (n + 4) ; Câu (5,0 điểm) a) Tìm nghiệm ngun phương trình x – y – 2y2 – 3y – = ; b) Giải phương trình 2x   2x   ; c) Cho 3x – 4y = 10 Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = x2 + y2 Câu (4,0 điểm) a) Cho 1 1 1 1 Tính: Q  2015  2015  2015  2015 ;    2015 a b b abc a b b a  b  c 2015 1 x 2n  2n n x  y  (n ngun dương) x b) Chứng minh y  1 2y x 2n  2n xn  n x x xn  Câu (6 ,0 điểm) 3 x y xy x  y 1) Cho    2 Tính M       ; a b ab a b 2) Cho O điểm tam giác ABC Các tia AO; BO; CO cắt cạnh đối diện A’; B’; C’ a) Chứng minh giá trị biểu thức: T  OA' OB' OC' khơng phụ thuộc vào vị   AA' BB' CC' trí điểm O; b) Chứng minh ba tỉ số OA OB OC có tỉ số khơng nhỏ ; OA' OB' OC' Có tỉ số khơng lớn Câu (1,0 điểm) Cho a, b, c > Chứng minh a  b  c a  b  c a  b  c    2a 2b 2c -Hết -Cán coi thi khơng giải thích thêm 79 Tuyển tập đề thi chọn học sinh giỏi mơn Tốn 2014 Đề số 80 ( Thời gian làm 150 phút.) Câu (4,0 điểm)  a  b  c  a) Biết abc  a3 + b3 + c3 = 3abc Tính A  1  1  1    b  c  a  b) Rút gọn tính giá trị biểu thức : A  6x  x   x  1 5x n  x n 1 Câu (5,0 điểm) a) Tìm nghiệm tự nhiên phương trình x + 2y + 2z = 512 ; b) Giải phương trình 3x    2x  x  ;  c) Giải phương trình x  3x    x  2x  3 x  4x  5 Câu (4,0 điểm) ab bc ca a + b, b + c, c + a, abc khác Chứng minh ; y ; z ab bc ca (1 + x)(1 + y)(1 + z) = (1 – x )(1 – y )(1 – z) ; a) Cho x  rằng: b) Xác định hệ số a, b, c, d để đẳng thức sau với x: x  2x a b cx  d    x  x  x 1 x  Câu (5 ,0 điểm) a) Cho tam giác ABC, trọng tâm G O điểm thuộc miền tam giác O khác G Đường thẳng OG cắt đường thẳng BC, BA AC theo thứ tự A’, B’, C’ OA' OB' OC' Chứng minh rằng:    3; GA' GB' GC' b) Từ điểm P thuộc miền tam giác ABC Hạ đường vng góc PD, PD  PE  PF PE PF xuống cạnh BC, CA AB Tính BD  CE  AF Câu (2,0 điểm) Cho x  1; y  Chứng minh xy  xy -Hết -Cán coi thi khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh:………………………………………………SBD :…………………………… 80 Tuyển tập đề thi chọn học sinh giỏi mơn Tốn 2014 Đề số 81 ( Thời gian làm 150 phút.) Câu ( điểm ) a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x7 + x5 + ; b) Chứng minh n4 – 10n2 + chia hết cho 384, với n lẻ   Câu ( điểm ) a   3a ax    x 1 x  x  x  Với giá trị a phương trình có nghiệm khơng nhỏ ; b) Cho hai số thực x, y thỏa mãn: x3 – 3xy2 = 10 y3 – 3x2y = 30 Tính giá trị biểu thức P = x2 + y2 Câu (4 điểm ) a) Cho phương trình : x y2 z2 x y z a b c a) Cho       Chứng minh :    ; a b c a b c x y z b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A = x2 + y2 + xy – 4x + 4y + 2030 Câu ( điểm ) Cho hình bình hành ABCD có đường chéo AC lớn đường chéo BD Gọi E, F hình chiếu B D xuống đường thẳng AC Gọi H K hình chiếu C xuống đường thẳng AB AD a) Tứ giác BEDF hình ? b) Chứng minh rằng: CH.CD = CB.CK ; c) Chứng minh : AB.AH + AD.AK = AC2 Câu ( điểm ) Cho ABC vng A, có AB < AC Kẻ phân giác AD Gọi M N hình chiếu D AB AC BN cắt CM K, AK cắt DM I, BN cắt DM E, CM cắt DN F a) Chứng minh EF // BC; b) Chứng minh K trực tâm AEF -Hết -Cán coi thi khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh:………………………………………………SBD :…………………………… 81 Tuyển tập đề thi chọn học sinh giỏi mơn Tốn 2014 82 [...]... nhất Câu 5 (1,0 điểm ) Cho các số dương a, b, c có tích bằng 1 Chứng minh rằng : (a + 1) (b + 1)(c + 1)  8 Hết -Cán bộ coi thi khơng giải thích gì thêm 19 Tuyển tập các đề thi chọn học sinh giỏi mơn Tốn 8 2014 Đề số 20 (Thời gian làm bài 150 phút.) Câu I (3,0 điểm ) a) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: A = x3 +8x2 + 19x +12 ; B = x3 +6x2 +11x +6 A x 3  8x 2  19x  12 b) Rút gọn... bộ coi thi khơng giải thích gì thêm 27 Tuyển tập các đề thi chọn học sinh giỏi mơn Tốn 8 2014 Đề số 28 (Thời gian làm bài 150 phút.) a 3  4a 2  a  4 Câu 1 (2,0 điểm) Cho P = 3 a  7a 2  14a  8 a) Rút gọn P; b) Tìm giá trị ngun của a để P nhận giá trị ngun Câu 2 (2,0 điểm) a) Chứng minh rằng nếu tổng của hai số ngun chia hết cho 3 thì tổng các lập phương của chúng chia hết cho 3 b) Tìm các giá... phân giác của các góc BDE và CED; c) Chu vi tam giác ADE khơng đổi Câu 5 (1,0 điểm) Tìm tất cả các tam giác vng có số đo các cạnh là các số ngun dương và số đo diện tích bằng số đo chu vi Hết -Cán bộ coi thi khơng giải thích gì thêm 28 Tuyển tập các đề thi chọn học sinh giỏi mơn Tốn 8 2014 Đề số 29 ( Thời gian làm bài 150 phút.) Câu 1 (2,0 điểm) Phân tích đa thức sau thành nhân tư û:... bất đẳng thức : Hết -Cán bộ coi thi khơng giải thích gì thêm 24 Tuyển tập các đề thi chọn học sinh giỏi mơn Tốn 8 2014 Đề số 25 (Thời gian làm bài 150 phút.)  2 1  1  1  x  1 1 1    Câu 1.(5,0 điểm ) Cho biểu thức: A   3    2  : 3 2   x   x  1  x  x  2x  1  x a) Thu gọn A; b) Tìm các giá trị của x để A ... -Cán coi thi khơng giải thích thêm Tuyển tập đề thi chọn học sinh giỏi mơn Tốn 2014 Đề số 10 (Thời gian làm 150 phút.) Câu (2,0 điểm ) Rút gọn biểu thức : A = 1 1 + + ++ 2.5 5 .8 8.11 (3n ... SAOB= 20 082 (đơn vị diện tích); SCOD= 20092 (đơn vị diện tích) Tính SABCD Hết -Cán coi thi khơng giải thích thêm 37 Tuyển tập đề thi chọn học sinh giỏi mơn Tốn 2014 Đề số 38 (Thời... < (2) Tìm m để hai bất phương trình có tập nghiệm Hết -Cán coi thi khơng giải thích thêm Tuyển tập đề thi chọn học sinh giỏi mơn Tốn 2014 Đề số (Thời gian làm 150 phút.) Câu ( 2,5