ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN 8 CẤP HUYỆN CÓ ĐÁP ÁN NĂM 20142015

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN 8 CẤP HUYỆN CÓ ĐÁP ÁN NĂM 20142015ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN 8 CẤP HUYỆN CÓ ĐÁP ÁN NĂM 20142015ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN 8 CẤP HUYỆN CÓ ĐÁP ÁN NĂM 20142015ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN 8 CẤP HUYỆN CÓ ĐÁP ÁN NĂM 20142015

Trang 1

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN 8 CẤP HUYỆN CÓ ĐÁP ÁN NĂM 2014-2015

ĐỀ 1

Môn thi: Toán lớp 8

Thời gian làm bài: 150 phút

Bài 1: (2 điểm) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) 5x2 - 26x + 24 c) x2 + 6x + 5

2

3 4

3 8

b) 5  3x  3x 5 d, x2 – y2 + 2x – 4y – 10 = 0 với x,y nguyên dương

Bài 5 : (2,75 điểm) Cho hình vuông ABCD Qua A vẽ hai đường thẳng vuông góc với nhau

lần lượt cắt BC tại P và R, cắt CD tại Q và S

a) Chứng minh AQR và APS là các tam giác cân

b) QR cắt PS tại H; M, N là trung điểm của QR và PS Chứng minh tứ giác AMHN làhình chữ nhật

c) Chứng minh P là trực tâm SQR

d) Chứng minh MN là đường trung trực của AC

e) Chứng minh bốn điểm M, B, N, D thẳng hàng

Bài 6 : (0,5 điểm)

a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = 13x2 + y2 + 4xy - 2y - 16x + 2015

b) Cho hai số a,b thỏa mãn điều điều kiện a + b = 1 Chứng minh a3 + b3+ ab 

2 1

- Hết

Trang 2

3 8

1 1 2

1 3 1 2

1 3 2

3 1 2

c) Cần chỉ ra giá trị lớn nhất của A, từ đó tìm được tất cả các giá trị

nguyên dương của A

Trang 3

của x và y, chẳng hạn:

2 1 x

2

2 3 y

x x x

 x = 0 hoặc x = 2 (thỏa mãn điền kiện)

Vậy tập nghiệm của phương trình: S =

a) a) ADQ = ABR vì chúng là hai tam

giác vuông (2 góc có cạnh t.ư vuông góc) và

DA = BD (cạnh hình vuông) Suy ra AQ=AR,

nên AQR là tam giác vuông cân Chứng

minh tương tự ta có: ABP = ADS

do đó AP =AS vàAPS là tam giác cân tại

A

b) AM và AN là đường trung tuyến của tam

giác vuông cân AQR và APS nên ANSP và

Trang 4

c) Theo giả thiết: QARS, RCSQ nên QA và RC là hai đờng cao của

SQR Vậy P là trực tâm của SQR

d) Trong tam giác vuông cân AQR thì MA là trung điểm nên AM = 21

Chứng minh tương tự cho tam giác vuông cân ASP và tam giác vuông

SCP, ta có NA = NC, nghĩa là N cách đều A và C Hay MN là trung trực

của AC

e) Vì ABCD là hình vuông nên B và D cũng cách đều A và C Nói cách

khác, bốn điểm M, N, B, D cùng cách đều A và C nên chúng phải nằm

trên đường trung trực của AC, nghĩa là chúng thẳng hàng

2

1

4 a 0 a (2) đpcm

Trang 5

DA lấy điểm I sao cho DI = DA Chứng minh rằng:

a/ AI = FH ; b/ DA  FH

Bài 7: (2 điểm)Cho hình bình hành ABCD có E, F thứ tự là trung điểm của AB, CD.

a/ Chứng minh rằng các đường thẳng AC, BD, EF cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

b/ Gọi giao điểm của AC với DE và BF theo thứ tự là M và N Chứng minh rằng EMFN là hình bình hành.

Bài 8: (1 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của: A x x 1 x 3 x 4 x 6 10

Trang 7

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN 8 CẤP HUYỆN CÓ ĐÁP ÁN NĂM 2014-2015 Vậy a = 0,5 ; b = -1.

AB=AF (gt), ABI FAH (cùng bù với BAC ),

BI = AH (cùng = AC)   ABI =  EAH (c.g.c)

 AI = FH (2 cạnh tương ứng).

b/ Gọi K là giao điểm của DA và FH ta có:

90

BAI FAK  , mà AFH BAI

hay AFK  BAI nên   0

F

// //

O N

M

E

Trang 8

- Hình vẽ:

- Gọi O là giao điểm hai đường chéo của hình bình hành ABCD, ta có O là trung điểm của BD.

- Chứng minh BEDF là hình bình hành

- Có O là trung điểm của BD nên O cũng là trung điểm của EF

- Vậy EF, BD, AC đồng quy tại O.

b/ Xét  ABD có M là trọng tâm, nên 1

Bài 1 (3,5 điểm) Phân tích các đa thức thành nhân tử:

1) 18x 3 - 8

25x2) a(a + 2b) 3 - b(2a + b) 3

Trang 9

2) Chứng minh rằng khi giá trị của biểu thức được xác định thì nó không phụ thuộc vào giá trị của biến x.

Bài 3 (3,0 điểm)

1) (1,5 điểm) Cho a, b, c đôi một khác nhau thoả mãn: ab + bc + ca = 1

Tính giá trị của biểu thức: A =      

1) (1,5 điểm) Tìm dư khi chia x2015 + x 1945 + x 1930 - x 2 - x + 1 cho x 2 - 1

2) (1,5 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = (x2 + 3x + 4) 2

Trang 10

= a(a + b) 3 + 3ab(a + b) 2 + 3ab 2 (a + b) + ab 3 - a 3 b - 3a 2 b(a + b) –

- 3ab(a + b) 2 - b(a + b) 3

= a(a + b) 3 + 3ab 2 (a + b) + ab 3 - a 3 b - 3a 2 b(a + b) - b(a + b) 3

= (a + b)[a(a + b) 2 + 3ab 2 -ab(a - b) - 3a 2 b -b(a + b) 2 ]

= (a + b)(a 3 + 2a 2 b + ab 2 + 3ab 2 - a 2 b + ab 2 - 3a 2 b - a 2 b - 2ab 2 - b 3 ]

x

x x

Trang 11

1

x y

3 2

4

7 4

7 2

3 0

49 2

2

3 0

Trang 12

Vậy minA = 12,25 khi x =

Vì ABCD là hình bình hành nên hai đường chéo AC, BD cắt nhau tại O là trung

Ta có: AO, BE là trung tuyến của  ABD Mà: AO cắt BE tại P nên P là trọng tâm của  ABD 0,5

0,5 0,5

3

Vì I đối xứng với M qua E nên EI = EM

Ta có: AE = ED, EI = EM  AMDI là hình bình hành

 AI // MD (1) Chứng minh tương tự, ta có: BK // MC (2)

Từ (1), (2) và (3) suy ra I, A, B, K thẳng hàng hay I, K thuộc đường thẳng AB.

0,5 0,5

4

 KMI có E, F lần lượt là trung điểm của MI, MK

 EF là đường trung bình của  KMI

1 EF=

Ghi chú: Nếu học sinh làm cách khác mà đúng thì vẫn cho điểm tối đa

ĐỀ 4 Môn thi: Toán Lớp 8 Thời gian làm bài: 150 phút

Trang 13

Câu 2 (3,0 điểm)

a) Chứng minh rằng: Nếu x2 + y2 + z2 = xy + yz + zx thì x = y = z

b) Cho ba số a, b, c khác 0 thoả mãn: a22 b22 c22 a c b

b c a  c b a Chứng minh rằng a = b = c

Cho hình thang ABCD (AB // CD, AB < CD) Qua A vẽ đường thẳng song song với

BC cắt BD ở E và cắt CD ở K Qua B kẻ đường thẳng song song với AD cắt AC ở F và cắt

0,250,5b)

0,5

Trang 14

0,25

0,5

0,250,25

0,25

0,250,25

Trang 15

0,250,25

Trang 16

(không thuộc khoảng đang xét).

Vậy phương trình có nghiệm là 1 5

2 x 2

Cách 5:

0 1 5

Ta có: 2x 1 là khoảng cách từ điểm 2x đến điểm 1;

2x  5 là khoảng cách từ điểm 2x đến điểm 5

 2x 1  2x 5 là tổng các khoảng cách từ điểm 2x đến

điểm 1 và điểm 5

Tổng này bằng 4 khi điểm 2x ở giữa điểm 1 và 5 hoặc trùng

với điểm 1, hoặc trùng với điểm 5

0,25

0,250,25

16

Trang 17

Các giá trị trên đều thoả mãn ĐKXĐ

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = 0 ;1; 6

0,250,25

0,250,250,250,25

B = 2015x  5 với x là số nguyênXét x 3  x  3 0   B > 0

2,0

0,5

Trang 18

Xét x 3 thì do x Z nên x 0;1; 2 + Khi x 0 thì B = - 403

+ Khi x   1 x 1 thì B = - 503,75+ Khi x   2 x 2 thì B = - 2015 Vậy min B = -2015 x =  2

0,5

0,50,5

AF AB=

FC IC (4) Mà: DK = IC (câu a) (5)

Từ (3), (4), (5) suy ra: AE AF=

EK FC

AKC có AE AF=

EK FC  EF // KC (định lý Ta-lét đảo)  EF // CD

c)

Ta có: AB CK=

CD CD (vì AB = CK) (6) BCD có EK // BC, theo định lý Ta-lét ta có:

CK BE=

CD BD (7)

2,0

0,250,250,250,50,250,5

Trang 19

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MễN TOÁN 8 CẤP HUYỆN Cể ĐÁP ÁN NĂM 2014-2015

BDI cú EF // DI, theo định lý Ta-let ta cú:

EF

= AB

 AB CD

a) Tam giỏc MHD đồng dạng với tam giỏc CMD

b) E là trực tõm tam giỏc ABN

Cõu 6 (2,0 điểm): Cho hình chữ nhật ABCD Gọi M là trung điểm của cạnh CD và N là một

điểm trên đờng chéo AC sao cho BNM  90 0 Gọi F là điểm đối xứng của A qua N Chứng

minh rằng FB  AC

Trang 20

Cách 2 f(x) = (x2 + 4x + 3)(x2 + 12x + 35) + 9

= x4 + 4x3 + 3x2 + 12x3 + 48x2 + 36x + 35x2 + 140x + 105 + 9

= x4 + 16x3 + 86x2 + 176x + 114 Thực hiện phép chia đa thức x4 + 16x3 + 86x2 + 176x + 114

cho x2 + 8x + 12 được thương là x2 + 8x + 10 và số dư là - 6

Vậy số dư trong phép chia f(x) cho x2 + 8x + 12 là - 6

Cách 3 Bậc của đa thức thương là 2 nên đa thức dư có dạng

ax + b

Gọi đa thức thương là Q(x), ta có:

(x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 9 = (x2 + 8x + 12)Q(x) + ax + b Cho x = - 2, ta có: - 1.1.3.5 + 9 = - 2a + b

 - 2a + b = -6

Cho x = - 6, ta có: - 5.(- 3)(-1) 1 + 9 = - 6a + b

2,0

0,250,250,250,250,50,50,25

0,250,25

0,750,5

0,25

20

Trang 21

0,250,250,250,5

0,250,250,50,250,250,5b)

Thực hiện phép chia đa thức B = x3 - 2x2 + 7x - 7 cho

C = x2 + 3, ta được: Đa thức thương: x – 2; đa thức dư: 4x – 1

Suy ra: x3 - 2x2 + 7x - 7 = (x2 + 3)(x - 2) + 4x - 1

Do đó: B  (x2 + 3)  (4x 1) (3  x2  3) (1)

Vì 4x 1 và 4x  1 nên(1)  (4x - 1)(4x + 1)  (x2 + 3)

 (16x2 - 1)  (x2 + 3)  16(x2 - 3) - 49  (x2 + 3)

 49  (x2 + 3)

Vì x2 + 3  3 nên chỉ xảy ra một trong hai trường hợp sau:

 x2 + 3 = 49, không có gía trị nào thoả mãn

0,5

0,50,25

a b

3

4 0 4

1 0

x x x

0,25

0,5

Trang 22



12 16 3 1

x x x

3 64

 3x3 + 17x2 – 212x + 192 = 0

 (x – 1)(x + 12)(3x – 16) = 0



12 16 3 1

x x x

Trang 23

3

3 2 2

1

x x x

  , phương trình vô nghiệm

- Với b = 2, từ (3) ta có a = 1 Suy ra:

3 2 1

1

x x x

  , phương trình vô nghiệm

Vậy tập nghiệm của phương trình là S =  1

0,250,25

0,25

0,250,250,25

0,25

0,250,5

0,25

0,250,25

4

a)

HS có thể làm một trong hai cách sau:

Cách 1: Áp dụng tính chất a a, dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi

0,5

0,25

Trang 24

0,25

0,25 b)

HS có thể làm một trong hai cách sau:

Trang 25

B

A

a)

Vì M là trung điểm của BC nên AM là đường trung tuyến của

tam giác ABC

Mà ABC cân tại A (gt)

Suy ra: AM là đường cao của ABC

6

E I F N

M

D

C B

A

Gọi I là trung điểm của BF, đường thẳng NI cắt BC tại E

Trang 26

Ta có: F đối xứng với A qua N (gt)  N là trung điểm của AF.

Mà I là trung điểm của BF

 NI là đường trung bình của tam giác ABF

 NI // AB và NI = 1

2AB Mặt khác AB // CD; AB = CD (ABCD là hình chữ nhật và M

là trung điểm của CD)

0,50,250,25

0,250,25

Ghi chú: Nếu học sinh làm cách khác mà đúng thì vẫn cho điểm tối đa.

A = 3

c b a

c b c a

b a c b

Bài 4: (3,5 điểm) Cho hình bình hành ABCD có đường chéo AC lớn hơn đường chéo BD

Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của B và D xuống đường thẳng AC Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của C xuống đường thẳng AB và AD

a) Tứ giác BEDF là hình gì ? Hãy chứng minh điều đó ?

b) Chứng minh rằng : CH.CD = CB.CK

c) Chứng minh rằng : AB.AH + AD.AK = AC2

26

Trang 27

6 (

1 )

6 )(

5 (

1 )

5 )(

4 (

y x c z x b z

z z

y x

z z

x y

x x

y z

y x y

z x x

z y

Trang 28

Bài 4: (3,5 điểm)

a)Ta cĩ : BEAC (gt); DFAC (gt)  BE // DF (0,25 điểm)

Chứng minh : BEODFO g c g(   )  BE = DF (0,5 điểm)

Suy ra : Tứ giác : BEDF là hình bình hành (0,25 điểm)

b) Chứng minh:ABC= ADC  HBC=  KDC (0,25 điểm)

 CHB ∽ CKD(g-g) CH CD CK CB

CD

CB CK

GIẢI MỘT SỐ ĐỀ THI

Đề 1 Bài 1: a) Thực hiện phép chia: (x3 - 2x - 4) : (x2 + 2x + 2)

b) Xác định a sao cho ax3 - 2x - 4 chia hết cho x - 2

c) Tìm nghiệm của đa thức: x3 - 2x - 4

Bài 4: Cho  ABC vuơng tại A Vẽ ra phía ngồi tam giác đĩ các tam giác ABD vuơng cân ở

B, ACE vuơng cân ở C CD cắt AB tại M, BE cắt AC tại N

a) Chứng minh ba điểm D, A, E thẳng hàng; các tứ giác BCE; ACBD là hình thang

28

Trang 29

b) Tính DM biết AM = 3cm; AC = 4 cm; MC = 5cm

c) Chứng minh AM = AN

Bài 5: Cho M là điểm nằm trong  ABC, từ M kẻ MA’  BC, MB’ AC, MC’  AB

(A’ BC; B’ AC; C’ AB) Chứng minh rằng:

MA ' MB' MC '

h  h  h = 1(Với ha, hb, hc là ba đường cao của tam giác hạ lần lượt từ A, B, C xuống ba cạnh của  ABC)

Bài giải

Bài 1:

a) Thực hiện phép chia: (x3 - 2x - 4) : (x2 + 2x + 2) = x - 2

b) Xác định a sao cho ax3 - 2x - 4 chia hết cho x - 2

Vì ax3 - 2x - 4 chia hết cho x - 2 nên x = 2 là nghiệm của đa thức ax3 - 2x - 4 , nên ta có: a

23 - 2 2 - 4 = 0  8a - 8 = 0  a = 1

c) Tìm nghiệm của đa thức: x3 - 2x - 4

Nghiệm của đa thức là các giá trị của x để

Trang 30

Cho  ABC vuông tại A Vẽ ra phía ngoài tam giác đó các tam giác ABD vuông cân ở B, ACE vuông cân ở C CD cắt AB tại M, BE cắt AC tại N

a) Chứng minh ba điểm D, A, E thẳng hàng; các tứ giác BCE; ACBD là hình thang

Cho M là điểm nằm trong  ABC, từ M kẻ MA’  BC, MB’ AC, MC’  AB

(A’ BC; B’ AC; C’ AB) Chứng minh rằng:

MA ' MB' MC '

h  h  h = 1(Với ha, hb, hc là ba đường cao của tam giác hạ lần lượt từ A, B, C xuống ba cạnh của  ABC)Giải

Kẻ đường cao AH, ta có:

30

N

M

E D

C B

A

Trang 31

a) Trong ba số a, b, c có 1 số dương, 1 số âm và 1 số bằng 0; ngoài ra còn biết thêm

2

a  b (b c)  Hỏi số nào dương, số nào âm, số nào bằng 0

b) Cho x + y = 1 Tính giá trị biểu thức A = x3 + y3 + 3xy

Câu 2: a) Giải phương trình: x 2 3 1   

b) Giả sử a, b, c là ba số đôi một khác nhau và a b c 0

b c c a    a b  

0 (b c)  (c a)  (a b)  

Câu 3: Cho tam giác ABC; gọi Ax là tia phân giác của BAC, Ax cắt BC tại E Trên tia Ex lấy điểm H sao choBAE ECH    Chứng minh rằng:

a) BE EC = AE EH

b) AE2 = AB AC - BE EC

Câu 4: Cho tứ giác ABCD Từ A kẻ đường thẳng song song với BC cắt BD tại E; từ B kẻ

đường thẳng song song với AD cắt AC tại F



c a ac + cb - b (a - b) (a - b)(c - a)(b - c)

x

C B

A

Trang 32

 AB AC - BE EC = AE (AH - EH) = AE AE = AE2

Bài 3: Cho hình bình hành ABCD có đường chéo lớn AC Hạ CE vuông góc với AB, CF

vuông góc với AD và BG vuông góc với AC Chứng minh:

a) ACE ABG và AFC CBG

b) AB AE + AD AF = AC2

Bài 4: Cho hình thoi ABCD cạnh a, có Â = 600 Một đường thẳng bất kỳ qua C cắt tia đối của tia BA và DA lần lượt tại M và N

a) Chứng minh: Tích BM DN có giá trị không đổi

b) Gọi K là giao điểm của BN và DM Tính số đo góc BKD

E

C B A

Trang 33

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN 8 CẤP HUYỆN CĨ ĐÁP ÁN NĂM 2014-2015

Cộng (5) và (6) vế theo vế ta có:

AB AE + AF AD = AC AG + AC CG

 AB AE + AF AD = AC(AG + CG) = AC AC

Vậy: AB AE + AD AF = AC2

TÝnh gi¸ trÞ cđa biĨu thøc: A = (a3 + b3)(b3 + c3)(c3 + a3)

C©u 5:

Trang 34

Cho ABC cân tại A có BC = 2a, M là trung điểm của BC Lấy D, E theo thứ tự thuộc AB,

AC sao cho: DME B   

a) Chứng minh rằng: tích BD CE không đổi

b) Chứng minh rằng DM là tia phân giác của góc BDE

c) Tính chu vi của ADE nếu ABC là tam giác đều

a) Ta coự DMC = DME + CME = B + BDM      , maứ DME = B   (gt)

neõn CME = BDM   , keỏt hụùp vụựi B = C   (ABC caõn taùi A)

(do BM = CM) DME DBM (c.g.c)  MDE = BMD  

hay DM laứ tia phaõn giaực cuỷa BDE

c) chửựng minh tửụng tửù ta coự EM laứ tia phaõn giaực cuỷa DEC

keỷ MH CE ,MI DE, MK DB thỡ MH = MI = MK  DKM = DIM

 DK =DI  EIM = EHM  EI = EH

Chu vi AED laứ PAED = AD + DE + EA = AK +AH = 2AH (Vỡ AH = AK)

ABC laứ tam giaực ủeàu neõn suy ra CH = MC2 a2

 AH = 1,5a  PAED = 2 AH = 2 1,5 a = 3a

đề 5 Cõu 1 : Giải phương trỡnh: a) x x 21 x x 43(x 2)2.(4 x)

) ( ) ( )

z y x

A

Trang 35

OD 2 Gọi K là giao điểm của BO và AC

Tính tỉ số AK : KC

Câu 5 : Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, trực tâm H Một đường thẳng qua H cắt AB, AC

thứ tự ở P và Q sao cho HP = HQ Gọi M là trung điểm của BC Chứng minh rằng tam giác MPQ cân tại M

C D

B A

Định dạng
Số trang	48
Dung lượng	3,48 MB