ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN 8 CẤP HUYỆN CÓ ĐÁP ÁN NĂM 20142015

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN 8 CẤP HUYỆN CÓ ĐÁP ÁN NĂM 20142015ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN 8 CẤP HUYỆN CÓ ĐÁP ÁN NĂM 20142015ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN 8 CẤP HUYỆN CÓ ĐÁP ÁN NĂM 20142015ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN 8 CẤP HUYỆN CÓ ĐÁP ÁN NĂM 20142015

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN 8 CẤP HUYỆN CÓ ĐÁP ÁN NĂM 2014-2015 ĐỀ 1 Môn thi: Toán lớp 8 Thời gian làm bài: 150 phút Bài 1: (2 điểm) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) 5x 2 - 26x + 24 c) x 2 + 6x + 5 b) 1 2 3 4 3 8 1 23 −+− xxx d) x 4 + 2015x 2 + 2014x + 2015 Bài 2: (1,5 điểm) a) Chứng minh rằng biểu thức sau không phụ thuộc vào biến: (6 x + 7)(2 x – 3) – (4 x + 1) 7 3 4 x   −  ÷   b) Tính giá trị biểu thức P = x y x y − + . Biết x 2 – 2 y 2 = x y (x + y ≠ 0, y ≠ 0). c) Tìm số dư trong phép chia của biểu thức ( ) ( ) ( ) ( ) 2 4 6 8 2015x x x x + + + + + cho đa thức 2 10 21x x + + . Bài 3 (1,25 điểm): Cho biểu thức 2 2 2 2 2 2 4xy 1 1 A : y 2x y x y xy x   = +  ÷ − − + +   a) Tìm điều kiện của x, y để giá trị của A được xác định. b) Rút gọn A. c) Nếu x; y là các số thực làm cho A xác định và thoả mãn: 3x 2 + y 2 + 2x – 2y = 1, hãy tìm tất cả các giá trị nguyên dương của A? Bài 4 : (2 điểm) Giải các phương trình sau: a) x 3 - 2x 2 - 5x + 6 = 0 c) 183 9 3 4 2410 2 45 3 222 −+ += ++ + ++ xxxxxx b) 5335 −=− xx d, x 2 – y 2 + 2x – 4y – 10 = 0 với x,y nguyên dương. Bài 5 : (2,75 điểm) Cho hình vuông ABCD. Qua A vẽ hai đường thẳng vuông góc với nhau lần lượt cắt BC tại P và R, cắt CD tại Q và S. a) Chứng minh ∆ AQR và ∆ APS là các tam giác cân. b) QR cắt PS tại H; M, N là trung điểm của QR và PS. Chứng minh tứ giác AMHN là hình chữ nhật. c) Chứng minh P là trực tâm ∆ SQR. d) Chứng minh MN là đường trung trực của AC. e) Chứng minh bốn điểm M, B, N, D thẳng hàng. Bài 6 : (0,5 điểm) a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = 13x 2 + y 2 + 4xy - 2y - 16x + 2015 b) Cho hai số a,b thỏa mãn điều điều kiện a + b = 1. Chứng minh a 3 + b 3 + ab ≥ 2 1 Hết 1 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN 8 CẤP HUYỆN CÓ ĐÁP ÁN NĂM 2014-2015 HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI NỘI DUNG THANG ĐIỂM Bài 1 (2 điểm) a) 5x 2 - 26x + 24 = 5x 2 - 6x - 20x + 24 = x(5x - 6) - 4(5x - 6) = (5x - 6)(x - 4) 0,5 điểm b) 1 2 3 4 3 8 1 23 −+− xxx = 32 23 11. 2 1 .31. 2 1 .3 2 1 −       +       −       xxx = 3 1 2 1       −x 0,5 điểm c) x 2 + 6x + 5 = x 2 + x + 5x + 5 = x(x + 1) + 5(x + 1) = ( )( ) 51 ++ xx 0,5 điểm d) x 4 + 2015x 2 + 2014x + 2015 = x 4 + x 3 + x 2 – x 3 – x 2 – x + 2015x 2 + 2015x +2015 = x 2 (x 2 + x + 1) – x(x 2 + x + 1) + 2015(x 2 + x + 1) = (x 2 + x + 1)(x 2 – x + 2015) 0,5 điểm Bài 2 (1,5 điểm) a) ( 6 x + 7)(2 x – 3) – (4 x + 1) 7 3 4 x   −  ÷   = 12x 2 – 18x + 14x - 21 – 12x 2 + 7x – 3x + 7 4 = 77 4 − 0,5 điểm b) x 2 – 2y 2 = xy ⇔ x 2 – xy – 2y 2 = 0 ⇔ (x + y)(x – 2y) = 0 Vì x + y ≠ 0 nên x – 2y = 0 ⇔ x = 2y .Khi đó A = 2 1 2 3 3 y y y y y y − = = + 0,5 điểm c) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 ( ) 2 4 6 8 2015 10 16 10 24 2015P x x x x x x x x x= + + + + + = + + + + + Đặt 2 10 21 ( 3; 7)t x x t t= + + ≠ − ≠ − , biểu thức P(x) được viết lại: ( ) ( ) 2 ( ) 5 3 2015 2 2000P x t t t t= − + + = − + Do đó khi chia 2 2 2000t t− + cho t ta có số dư là 2000 0,5 điểm Bài 3 (1,25 a) Điều kiện: x ≠ ± y; y ≠ 0 0,25 điểm b) A = 2x (x+y) 0,5 điểm 2 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN 8 CẤP HUYỆN CÓ ĐÁP ÁN NĂM 2014-2015 điểm) c) Cần chỉ ra giá trị lớn nhất của A, từ đó tìm được tất cả các giá trị nguyên dương của A Từ (gt): 3x 2 + y 2 + 2x – 2y = 1 ⇒ 2x 2 + 2xy + x 2 – 2xy + y 2 + 2(x – y) =1 ⇒ 2x(x + y) + (x – y) 2 + 2(x – y) + 1 = 2 ⇒ A + (x – y + 1) 2 = 2 ⇒ A = 2 – (x – y + 1) 2 2≤ (do (x – y + 1) 0≥ (với mọi x ; y) ⇒ A ≤ 2. + A = 2 khi ( ) x y 1 0 2x x y 2 x y;y 0 − + =   + =   ≠ ± ≠  ⇔ 1 x 2 3 y 2  =     =   + A = 1 khi ( ) 2 (x y 1) 1 2x x y 1 x y;y 0  − + =  + =   ≠ ± ≠  Từ đó, chỉ cần chỉ ra được một cặp giá trị của x và y, chẳng hạn: 2 1 x 2 2 3 y 2  − =    +  =   + Vậy A chỉ có thể có 2 giá trị nguyên dương là: A = 1; A = 2 0,25 điểm 0,25 điểm Bài 4 (2 điểm) a) x 3 - 2x 2 - 5x + 6 = 0 ⇔ x 3 - x 2 - x 2 + x - 6x + 6 = 0 ⇔ (x - 1)(x 2 - x - 6) = 0 ⇔ (x - 1)(x + 2)(x - 3) = 0      = −= = ⇔ 3 2 1 x x x 0,5 điểm b) 5335 −=− xx 5353 −=−⇔ xx 053 ≥−⇔ x 3 5 ≥⇔ x 0,5 điểm c) ĐKXĐ: x ≠ -1; -4; -6; 3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 2 4 9 1 4 4 6 3 3 6 1 1 1 1 4 1 1 1 4 4 6 3 3 6 3 3 4 1 3 3 1 1 4 1 1 3 3 3 1 3 3 1 3 3 1 3 4 8 0 4 2 0 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ⇔ + = + + + + + − +       ⇔ − + − = + −  ÷  ÷  ÷ + + + + − +       − + − + ⇔ = + ⇔ = + + − + − + − + − ⇒ − = ⇔ − = ⇔ x = 0 hoặc x = 2 (thỏa mãn điền kiện) Vậy tập nghiệm của phương trình: S = 0,25 điểm 0,25 điểm d, x 2 – y 2 + 2x – 4y – 10 = 0 với x,y nguyên dương. x 2 - y 2 + 2x - 4y - 10 = 0 ⇔ (x 2 +2x+1) - (y 2 +4y+4) – 7 = 0 ⇔ (x+1) 2 - (y+2) 2 = 7 ⇔ (x – y - 1)(x + y + 3) = 7 Vì x, y nguyên dương Nên x + y + 3 > x – y – 1 > 0 ⇒ x + y + 3 = 7 và x – y – 1 = 1 ⇒ x = 3; y = 1 Phương trình có nghiệm dương duy nhất (x , y) = (3 ; 1) 0,5 điểm 3 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN 8 CẤP HUYỆN CÓ ĐÁP ÁN NĂM 2014-2015 Bài 5 (2,75 điểm Vẽ đúng hình, cân đối đẹp. a) a) ∆ ADQ = ∆ ABR vì chúng là hai tam giác vuông (2 góc có cạnh t.ư vuông góc) và DA = BD (cạnh hình vuông). Suy ra AQ=AR, nên ∆ AQR là tam giác vuông cân. Chứng minh tương tự ta có: ∆ ABP = ∆ ADS do đó AP =AS và ∆ APS là tam giác cân tại A. b) AM và AN là đường trung tuyến của tam giác vuông cân AQR và APS nên AN ⊥ SP và AM ⊥ RQ. 0,25 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,5 điểm Mặt khác : · · PAN PAM = = 45 0 nên góc MAN vuông. Vậy tứ giác AHMN có ba góc vuông, nên nó là hình chữ nhật. c) Theo giả thiết: QA ⊥ RS, RC ⊥ SQ nên QA và RC là hai đờng cao của ∆ SQR. Vậy P là trực tâm của ∆ SQR. d) Trong tam giác vuông cân AQR thì MA là trung điểm nên AM = 2 1 QR ⇒ MA = MC, nghĩa là M cách đều A và C. Chứng minh tương tự cho tam giác vuông cân ASP và tam giác vuông SCP, ta có NA = NC, nghĩa là N cách đều A và C. Hay MN là trung trực của AC e) Vì ABCD là hình vuông nên B và D cũng cách đều A và C. Nói cách khác, bốn điểm M, N, B, D cùng cách đều A và C nên chúng phải nằm trên đường trung trực của AC, nghĩa là chúng thẳng hàng. Bài 6 (0,5 điểm a) A = 13x 2 + y 2 + 4xy - 2y - 16x + 2015 = y 2 + 4xy - 2y + 13x 2 - 16x + 2015 = y 2 + 2y(2x - 1) + (2x -1) 2 + 9x 2 - 12 x + 2015 = (y + 2x - 1) 2 + (3x - 2) 2 + 2010 Chứng tỏ A ≥ 2010, dấu " =" xảy ra khi và chỉ khi (x = 3 2 ; y = 3 1 − ) Vậy min A = 2010 khi (x = 3 2 ; y = 3 1 − ) 0,25 điểm b) Ta có a 3 + b 3 + ab ≥ 2 1 (1) ⇔ a 3 +b 3 +ab - 2 1 ≥ 0 ⇔ (a+b)(a 2 + b 2 -ab) + ab- 2 1 ≥ 0 ⇔ a 2 +b 2 - 2 1 ≥ 0 (vì a + b =1) ⇔ 2a 2 +2b 2 -1 0 ≥ ⇔ 2a 2 +2(1-a) 2 -1 0 ≥ (vì b = 1- a) ⇔ 2a 2 +2 - 4a + 2a 2 - 1 0 ≥ ⇔ 4(a 2 - a + 4 1 ) 0 ≥ ⇔ ≥       − 2 2 1 4 a 0 a ∀ (2) đpcm. 0,25 điểm 4 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN 8 CẤP HUYỆN CÓ ĐÁP ÁN NĂM 2014-2015 ĐỀ 2 Bài 1: (4,0 điểm) Phân tích thành nhân tử: a/ a 2 – 7a + 12 b/ x 4 + 2015x 2 + 2014x + 2015 c/ x 3 + y 3 + z 3 – 3xyz d/ (x 2 - 8) 2 + 36 Bài 2: (4,0 điểm) Tìm x, biết: a/ 2 4 12 3 x + = − ; b/ 3 1 : 3 4 4 x+ = − ; c/ 3 5 4x − = ; d/ 4 3 2 1 2011 2012 2013 2014 x x x x+ + + + + = + Bài 3: (2,0 điểm) a/ Cho A = 2 3 2 4 4 2 4 8 a a a a a + + + − − . Tìm a Z ∉ để A là số nguyên. b/ Tìm số tự nhiên n để n 5 + 1 chia hết cho n 3 + 1 Bài 4: (2,0 điểm) a/ Tìm a, b, c biết 5a - 3b - 4c = 46 và 1 3 5 2 4 6 a b c− + − = = . b/ Tìm 2 số hữu tỉ a và b biết: a + b = ab = a : b (b ≠ 0) Bài 5: (2,0 điểm) a/ Cho a + b + c = 1 và 1 1 1 a b c + + = 0. Tính 2 2 2 a b c+ + b/ Cho a + b + c = 2014 và 1 1 1 1 2014a b a c b c + + = + + + . Tính: S = a b c b c a c a b + + + + + Câu 6: (3,0 điểm) Cho tam giác ABC có góc A nhỏ hơn 90 0 . Trên nửa mặt phẳng không chứa điểm C, bờ là đường thẳng AB vẽ AF vuông góc với AB và AF = AB. Trên nửa mặt phẳng không chứa điểm B, bờ là đường thẳng AC vẽ AH vuông góc với AC và AH = AC. Gọi D là trung điểm của BC. Trên tia đối của tia DA lấy điểm I sao cho DI = DA. Chứng minh rằng: a/ AI = FH ; b/ DA ⊥ FH Bài 7: (2 điểm)Cho hình bình hành ABCD có E, F thứ tự là trung điểm của AB, CD. a/ Chứng minh rằng các đường thẳng AC, BD, EF cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. b/ Gọi giao điểm của AC với DE và BF theo thứ tự là M và N. Chứng minh rằng EMFN là hình bình hành. Bài 8: (1 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 3 4 6 10 x A x x x x= − − − − + HẾT 5 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN 8 CẤP HUYỆN CÓ ĐÁP ÁN NĂM 2014-2015 HƯỚNG DẪN CHẤM Bài 1: (4 điểm) a/ a 2 – 7a + 12 = a 2 – 3a – 4a + 12 = a(a – 3) – 4(a – 3) = (a – 3)(a – 4) b/ x 4 + 2015x 2 + 2014x + 2015 = x 4 + x 3 + x 2 + 2014x 2 + 2014x + 2014 – x 3 + 1 = x 2 (x 2 + x + 1) + 2014(x 2 + x + 1)–(x – 1)(x 2 + x + 1) = (x 2 + x + 1)(x 4 + 2014 – x + 1) = (x 2 + x + 1)(x 4 – x + 2015) c/ x 3 + y 3 + z 3 – 3xyz = (x + y) 3 – 3xy(x + y) + z 3 – 3xyz = = (x + y + z) 3 – 3z(x + y)(x + y + z) – 3xy(x + y + z) = (x + y + z)[(x + y + z) 2 – 3z(x + y) – 3xy] = (x + y + z)[x 2 + y 2 + z 2 + 2xy + 2yz + 2zx – 3zx – 3zy – 3xy] = (x + y + z)(x 2 + y 2 + z 2 – xy – yz – zx) d/ (x 2 - 8) 2 + 36 = (x 2 + 6x+10)(x 2 -6x +10) Bài 2: (4 điểm) a/ 2 2 4 12 16 24 3 3 x x x+ = − ⇔ = − ⇔ = − . Vậy x = -24 b/ 3 1 1 15 1 15 1 : 3 : : 4 4 4 4 4 4 15 x x x x   + = − ⇔ = − ⇔ = − ⇔ = −  ÷   . Vậy x = 1 15 − c/ 3 5 4x − = . Xét 2 trường hợp: * Nếu x ≥ 5/3 ta có: 3x - 5 = 4 ⇔ 3x = 9 ⇔ x = 3 (t/m ĐK trên) * Nếu x < 5/3 ta có: 3x-5 = - 4 ⇔ 3x = 1 ⇔ x = 1/3 (t/m ĐK đang xét) Vậy x = 3 ; x = 1/3. d/ 4 3 2 1 4 3 2 1 1 1 1 1 2011 2012 2013 2014 2011 2012 2013 2014 x x x x x x x x+ + + + + + + +         + = + ⇔ + + + = + + +  ÷  ÷  ÷  ÷         ( ) 2015 2015 1015 2015 2011 2012 2013 2014 1 1 1 1 2015 0 2011 2012 2013 2014 1 1 1 1 2015 0 2015 v 0 2011 2012 2013 2014 x x x x x x x ì + + + + ⇔ + = +   ⇔ + + − − =  ÷   ⇔ + = ⇔ = − + − − ≠ Vậy x = - 2015 Bài 3: (2,0 điểm) a/ Rút gọn A = 1 2a − Để A nguyên 1 2a ⇔ − nguyên ⇔ 1 M ⇔ a = 1; a = 3 b/ n 5 + 1 M n 3 + 1 ⇔ n 2 (n 3 + 1) - (n 2 - 1) M (n 3 + 1) ⇔ (n + 1)(n - 1) M (n 3 + 1) ⇔ (n + 1)(n - 1) M (n + 1)(n 2 – n + 1) ⇔ (n - 1) M (n 2 – n + 1) (vì n + 1 ≠ 0) + Nếu n = 1 thì 0 M 1 + Nếu n > 1 thì (n - 1) < n(n - 1) + 1 < n 2 – n + 1 nên không thể xảy ra n - 1 M n 2 – n + 1 Vậy giá trị của n tìm được là n = 1 Bài 4: (2,0 điểm) a/ Ta có: 6 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN 8 CẤP HUYỆN CÓ ĐÁP ÁN NĂM 2014-2015 ( ) 1 3 5 5 5 3 9 4 20 2 4 6 10 12 24 5 3 4 5 9 20 1 3 5 2 4 6 10 12 24 a b c a b c a b c a b c − + − − + − = = = = = − − − − + − + − ⇒ = = = − + Vì 5a - 3b - 4c = 46 nên: 1 3 5 46 6 52 2 2 4 6 26 26 a b c− + − + = = = = = − − − Suy ra a - 1 = - 4 ⇔ a = -3; b + 3 = - 8 ⇔ b = -11; c - 5 = -12 ⇔ c = - 7 Vậy a = -3; b = - 11 ; c = - 7. b/ Ta có a + b = ab ⇔ a = ab - b = b(a-1). Do đó: a : b = b(a - 1) = a - 1 nên a + b = a - 1 ⇔ b = -1 và a = -1(a - 1) ⇔ a = -a + 1 ⇔ 2a = 1 ⇔ a = 0,5. Vậy a = 0,5 ; b = -1. Bài 5: (2,0 điểm) a/ Phân tích 2 giả thiết để suy ra đfcm Phân tích 1 1 1 a b c + + Phần nào có a+b+c thì thay = 1 b/ Ta có: 1 1 1 1 2011a b a c b c + + = + + + a + b + c = 2014 ⇒ a = 2014- (b + c); b = 2014-(a + c); c = 2014 - (a + b) Do đó: ( ) ( ) ( ) 2014 2014 2014b c a c a b S b c a c a b − + − + − + = + + + + + 2014 2014 2014 1 1 1 1 1 1 2014 3 b c a c a b b c a c a b = − + − + − + + +   = + + −  ÷ + + +   = 1 2014. 3 1 3 2 2014 − = − = − . Vậy S = - 2. Câu 6: (3,0 điểm) a/ - Xét ∆ BDI và ∆ CDA có: DB = DC (gt), · · BDI CDA= (đối đỉnh), DA = DI (gt) ⇒ ∆ BDI = ∆ CDA (c.g.c) ⇒ BI = CA (2 cạnh tương ứng), 7 A B C D I H K F ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN 8 CẤP HUYỆN CÓ ĐÁP ÁN NĂM 2014-2015 · · BID CAD= (2 góc tương ứng). Mặt khác 2 góc này ở vị trí so le trong nên suy ra BI//AC. - Xét ∆ ABI và ∆ FAH có: AB=AF (gt), · · ABI FAH= (cùng bù với · BAC ), BI = AH (cùng = AC) ⇒ ∆ ABI = ∆ EAH (c.g.c) ⇒ AI = FH (2 cạnh tương ứng). b/ Gọi K là giao điểm của DA và FH ta có: · · 0 90BAI FAK+ = , mà · · AFH BAI= hay · · AFK BAI= nên · · 0 90AFH FAK+ = - Xét ∆ AFK có · · 0 90AFH FAK+ = · 0 90FKA AK FK AI FH⇒ = ⇒ ⊥ ⇒ ⊥ (vì I, K thuộc đường thẳng AD, K thuộc EH) Bài 7: (2 điểm) a/ - Hình vẽ: - Gọi O là giao điểm hai đường chéo của hình bình hành ABCD, ta có O là trung điểm của BD. - Chứng minh BEDF là hình bình hành - Có O là trung điểm của BD nên O cũng là trung điểm của EF - Vậy EF, BD, AC đồng quy tại O. b/ Xét ∆ ABD có M là trọng tâm, nên 1 3 OM OA= - Xét ∆ BCD có N là trọng tâm, nên 1 3 ON OC= - Mà OA = OC nên OM = ON - Tứ giác EMFN có OM = ON và OE = OF nên là hình bình hành. Bài 8: (1 điểm) ( ) ( ) ( ) 2 2 7 6 7 12 10 x A x x x x= − + − + + Đặt 2 7 6x x− + = t ( ) ( ) ( ) 2 2 6 10 6 9 1 3 1 1 t A t t t t t ⇒ = + + = + + + = + + ≥ ( ) 1 Min t A = đạt được khi t = -3 ( ) 1 x Min A⇒ = đạt được khi 2 7 6x x− + = -3 ⇔ x 2 - 7x + 9 = 0 ⇒ x = 7 13 2 + ; x = 7 13 2 − 8 / / / / / / // O N M F E D C A B ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN 8 CẤP HUYỆN CÓ ĐÁP ÁN NĂM 2014-2015 ĐỀ 3 Môn thi: Toán Lớp 8 Thời gian làm bài: 150 phút Bài 1 (3,5 điểm) Phân tích các đa thức thành nhân tử: 1) 18x 3 - 8 25 x 2) a(a + 2b) 3 - b(2a + b) 3 3) (x – 2)(x – 3)(x – 4)(x – 5) + 1 Bài 2 (2,5 điểm) Cho biểu thức: A = 2 2 3 1 3 5 : 1 2 2 2 2 4 4 x x x x x x + +   + −  ÷ − − + −   1) Hãy tìm điều kiện của x để giá trị của biểu thức A được xác định. 2) Chứng minh rằng khi giá trị của biểu thức được xác định thì nó không phụ thuộc vào giá trị của biến x. Bài 3 (3,0 điểm) 1) (1,5 điểm) Cho a, b, c đôi một khác nhau thoả mãn: ab + bc + ca = 1. Tính giá trị của biểu thức: A = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 1 1 1 a b b c c a a b c + + + + + + 2) (1,5 điểm) Cho 2 2 2 2 x y a b x y a b + = +   + = +  . Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta có: x n + y n = a n + b n Bài 4 (3,0 điểm) 1) Tìm x: a) 1 3 5 4x x x x+ + + + + = b) (x 2 – 5x + 6). 1 x− = 0 2) Tìm x, y biết: 7x 2 + y 2 + 4xy – 24x – 6y + 21 = 0 Bài 5 (3,0 điểm) 1) (1,5 điểm) Tìm dư khi chia x 2015 + x 1945 + x 1930 - x 2 - x + 1 cho x 2 - 1 2) (1,5 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = (x 2 + 3x + 4) 2 Bài 6 (5,0 điểm) Cho hình bình hành ABCD. Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của cạnh AD, BC. Đường chéo AC cắt đường chéo BD tại O và các đoạn BE, DF lần lượt tại P, Q. 1) Chứng minh rằng: P là trọng tâm của tam giác ABD. 2) Chứng minh rằng: AP = PQ = QC. 3) Lấy M bất kỳ thuộc đoạn DC. Gọi I, K theo thứ tự là các điểm đối xứng của M qua tâm E, F. Chứng minh rằng I, K thuộc đường thẳng AB. 4) Chứng minh: AI + AK không đổi khi M thuộc đường thẳng AB. HẾT 9 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN 8 CẤP HUYỆN CÓ ĐÁP ÁN NĂM 2014-2015 HƯỚNG DẪN CHẤM Bài Câu Nội dung Biểu điểm 1 1 18x 3 - 8 25 x = 2x 2 4 9 25 x   −  ÷   0,5 2 2 2 3 3 5 5 x x x    = + −  ÷ ÷    0,5 2 a(a + 2b) 3 - b(2a + b) 3 = a[(a + b) + b] 3 - b[a + (a + b)] 3 = a[(a + b) 3 + 3(a + b) 2 b + 3(a + b)b 2 + b 3 ] - b[a 3 + 3a 2 (a + b) + + 3a(a + b) 2 + (a + b) 3 = a(a + b) 3 + 3ab(a + b) 2 + 3ab 2 (a + b) + ab 3 - a 3 b - 3a 2 b(a + b) – - 3ab(a + b) 2 - b(a + b) 3 = a(a + b) 3 + 3ab 2 (a + b) + ab 3 - a 3 b - 3a 2 b(a + b) - b(a + b) 3 = (a + b)[a(a + b) 2 + 3ab 2 -ab(a - b) - 3a 2 b -b(a + b) 2 ] 0,5 = (a + b)(a 3 + 2a 2 b + ab 2 + 3ab 2 - a 2 b + ab 2 - 3a 2 b - a 2 b - 2ab 2 - b 3 ] = (a + b) (a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3 ) = (a + b)(a - b) 3 0,5 3 Đặt A = (x – 2)(x – 3)(x – 4)(x – 5) + 1 A = (x – 2)(x – 5)(x – 4)(x – 5) + 1 = (x 2 – 7x + 10)(x 2 – 7x + 12) + 1 = (x 2 – 7x + 11 – 1)(x 2 – 7x + 11 + 1) + 1 = (x 2 – 7x + 11) 2 – 1 + 1 = (x 2 – 7x + 11) 2 1,0 x 2 – 7x + 11 = x 2 – 2x. 2 7 7 49 11 2 2 4   + + −  ÷   = 2 2 7 5 2 2 x     − −  ÷  ÷  ÷     = 7 5 7 5 2 2 x x    + − − −  ÷ ÷  ÷ ÷    Vậy A = 2 2 7 5 7 5 2 2 x x     + − − −  ÷  ÷  ÷  ÷     0,5 2 1 a) Giá trị của biểu thức A được xác định với điều kiện: 2 2 2 1 0 1 2 2 0 1 1 2 2 0 1 4 4 0 x x x x x x x x  − ≠  ≠  − ≠   ⇔ ≠ ⇔ ≠ ±   + ≠   ≠ −   − ≠  0,5 2 Với 1x ≠ ± , ta có: A = 2 3 1 3 4 4 . ( 1)( 1) 2( 1) 2( 1) 5 x x x x x x x   + + − + −   − + − +   = 2 6 ( 1) ( 3)( 1) 4( 1)( 1) . 2( 1)( 1) 5 x x x x x x x + + − + − − + − + 1,0 10 [...]... CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2014-2015 MƠN THI: TỐN LỚP 8 – VỊNG 4 Thời gian làm bài 150 phút, khơng kể thời gian giao đề Câu 1 (4,0 điểm) 1 Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x 4 + 2013 x 2 + 2012 x + 2013  x2 − 2 x 2 x2  1 2  − 1 − − 2 ÷ 2 Rút gọn biểu thức sau: A =  2 2 3 ÷  2x + 8 8 − 4x + 2x − x   x x  Câu 2 (4,0 điểm) 28 C ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN 8 CẤP HUYỆN CĨ ĐÁP ÁN NĂM... 0,25 0,25 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN 8 CẤP HUYỆN CĨ ĐÁP ÁN NĂM 2014-2015 Ghi chú: Nếu học sinh làm cách khác mà đúng thì vẫn cho điểm tối đa ĐỀ 5 Mơn thi: Tốn Lớp 8 Thời gian làm bài: 150 phút Câu 1 (2,0 điểm) x 3 − y 3 − z 3 − 3 xyz Rút gọn biểu thức: B = ( x + y)2 + ( y − z )2 + ( x + z )2 Câu 2 (4,0 điểm) a) Tìm số dư trong phép chia đa thức (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 9 cho x2 + 8x + 12 b)... theo vế ta có: ⇒ EG // CD B A E F D OE OF = OD OC 22 C ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN 8 CẤP HUYỆN CĨ ĐÁP ÁN NĂM 2014-2015 ĐỀ 3 Bài 1: Cho phân thức: P= 2 x−4 x 2 + x − 20 a) Tìm TXĐ của P b) Rút gọn P c) Tính giá trị của P khi x − 5 = 1,5 Bài 2: So sánh A và B biết: a) A = 2002 2004 và B = 20032 b) A = 3.(22 + 1)(24 + 1)( 28 + 1)(216 + 1)(232 + 1) và B = 264 Bài 3: Cho hình bình hành ABCD có đường chéo... 0,25 0,25 0,25 0,5 0,5 2,0 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,75 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 0,25 0,25 0,5 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN 8 CẤP HUYỆN CĨ ĐÁP ÁN NĂM 2014-2015 Ghi chú: Nếu học sinh làm cách khác mà đúng thì vẫn cho điểm tối đa ĐỀ 6 Mơn thi: Tốn Lớp 8 Thời gian làm bài: 150 phút Bài 1: (2 điểm)Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) (x + y + z) 3 – x3 – y3 – z3 b) x4... (0,25 điểm) (0,25 điểm) AF AD = ⇒ AD AK = AF AC AK AC 18 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN 8 CẤP HUYỆN CĨ ĐÁP ÁN NĂM 2014-2015 CF CD Chứng minh : ∆ CFD ∽ ∆ AHC(g-g) ⇒ = (0,25 điểm) AH AC CF AB ⇒ = ⇒ AB AH = CF AC AH AC Mà : CD = AB (0,25 điểm) Suy ra : AB.AH + AD.AK = CF.AC + AF.AC = (CF + AF)AC = AC2 (0,25 điểm) H C B F O E A K D GIẢI MỘT SỐ ĐỀ THI Đề 1 Bài 1: a) Thực hiện phép chia: (x - 2x - 4) : (x2... a) HS có thể làm một trong các cách sau: Cách 1: Đặt f(x) = (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 9 Ta có: A = (x + 1)(x + 7)(x + 3)(x + 5) + 9 = (x2 + 8x + 7)(x2 + 8x + 15) + 9 = (x2 + 8x + 7)[(x2 + 8x + 12) + 3] + 9 = (x2 + 8x + 7)(x2 + 8x + 12) + 3(x2 + 8x + 7) + 9 = (x2 + 8x + 7)(x2 + 8x + 12) + 3(x2 + 8x + 12) + 9 – 15 = (x2 + 8x + 12)(x2 + 8x + 10) - 6 Vậy số dư trong phép chia f(x) cho x2 + 8x + 12... = 8, 5 = 17 Bài 2: a) A = 2002 2004 = (2003 - 1)(2003 + 1) = 20032 - 1 < 20032 ⇒ A < B b) Ta có: A = 3.(22 + 1)(24 + 1)( 28 + 1)(216 + 1)(232 + 1) = (22 - 1)(22 + 1)(24 + 1)( 28 + 1)(216 + 1)(232 + 1) = (24 - 1)( 24 + 1)( 28 + 1)(216 + 1)(232 + 1) = ( 28 - 1)( 28 + 1)(216 + 1)(232 + 1) = (216 - 1)(216 + 1)(232 + 1) = (232 - 1)(232 + 1) = 264 - 1 < 264 ⇒ A < B Bài 3: 23 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN 8 CẤP HUYỆN... 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN 8 CẤP HUYỆN CĨ ĐÁP ÁN NĂM 2014-2015 1 ⇒ EF= KI ⇒ KI = 2.EF 2 Suy ra AI + AK = IK = 2.EF (4) BF // AE và AF = AE ⇒ Tứ giác ABFE là hình bình hành ⇒ EF = AB (5) Từ (4) và (5) suy ra: AI + AK = 2.AB khơng đổi khi M di động trên cạnh CD Ghi chú: Nếu học sinh làm cách khác mà đúng thì vẫn cho điểm tối đa 0,5 ĐỀ 4 Mơn thi: Tốn Lớp 8 Thời gian làm bài: 150... đó: f ( x) = ( x 2 − 4).(−5 x) + ax+b Theo đề bài, ta có: 7   f (2) = 24 2a + b = 24 a = ⇔ ⇔ 2   f (−2) = 10 −2a + b = 10 b = 17  30 0.25 0.5 0.25 (4 điểm) 0.5 0.5 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN 8 CẤP HUYỆN CĨ ĐÁP ÁN NĂM 2014-2015 7 2 Do đó: f ( x) = ( x − 4).(−5 x) + x+17 0.5 2 47 3 Vậy đa thức f(x) cần tìm có dạng: f ( x) = −5 x + x + 17 0.5 2 Ta có: a (b − c)(b + c − a ) 2 + c (a − b)(a... luận x 4 + 2013 x 2 + 2012 x + 2013 = ( x + x + 1) ( x − x + 2013) 2 (2.0 điểm) x ≠ 0 x ≠ 2 0.25 ĐK:   x2 − 2 x 0.5 2 x2  1 2  − 1− − 2 ÷ Ta có A =  2 2 3 ÷  2x + 8 8 − 4x + 2x − x   x x  29 0.25 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN 8 CẤP HUYỆN CĨ ĐÁP ÁN NĂM 2014-2015  x2 − 2 x  x 2 − x − 2  2x2 = − ÷ ÷ 2 2 x2  2( x + 4) 4(2 − x) + x (2 − x)   0.25  x2 − 2x   ( x + 1)( x − 2)   x( x . 6 2,0 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,75 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 0,25 0,25 0,5 0,25 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN 8 CẤP HUYỆN CÓ ĐÁP ÁN NĂM 2014-2015 Ghi chú: Nếu học sinh làm cách khác mà đúng thì vẫn cho điểm tối đa. ĐỀ 6 Môn thi: Toán Lớp 8 Thời gian làm bài:. ⇒ x = 7 13 2 + ; x = 7 13 2 − 8 / / / / / / // O N M F E D C A B ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN 8 CẤP HUYỆN CÓ ĐÁP ÁN NĂM 2014-2015 ĐỀ 3 Môn thi: Toán Lớp 8 Thời gian làm bài: 150 phút Bài. ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN 8 CẤP HUYỆN CÓ ĐÁP ÁN NĂM 2014-2015 ĐỀ 1 Môn thi: Toán lớp 8 Thời gian làm bài: 150 phút Bài 1: (2 điểm) Phân