ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 MỚI VÀ HOT NHẤT

đề thi học sinh giỏi toán Su tầm Bi 1: (2.5 im ) a Phõn tich a thc nhõn t: x + xy + y b Gii phng trỡnh: x x x x 2012 + + + + = 2012 2013 2012 2011 c Tỡm a thc f ( x) bit: f ( x) chia cho x d 5; f ( x) chia cho x d 7; f ( x) chia cho ( x 2)( x 3) c thng la x va a thc d bc nht i vi x Bi 2: (2.0 im) Cho: P = 7.2014n + 12.1995n vi n N ; Q = a b ( x + n)(1 + n) + n2 x + Chng minh: ( x n)(1 n) + n2 x + P chia ht cho 19 Q khụng ph thuc vao x va Q > Bi 3: (1,5 im) a Chng minh: a + 5b (3a + b) 3ab b Tỡm cac nghiờm nguyờn cua phng trỡnh: x + y + x = 19 Bi 4: (4.0 im) Cho tam giac ABC nhn (AB6 HE HF HG HNG DN CHM V BIU IM Cõu Cõu í Ni dung a x + xy + y = ( x2 9) + 2y(x + 3) = (x 3)(x + 3) + 2y(x + 3) =(x+ 3)(x + 2y 3) b x x x x 2012 + + + + = 2012 2013 2012 2011 x x2 x3 x 2012 1+ 1+ + + = 2013 2012 2011 x 2014 x 2014 x 2014 x 2014 1 + + + + = (x 2014)( + + + ) = 2013 2012 2011 2013 2012 x = 2014 Tuyển tập đề thi HSG Toán i m 0.5 0.5 0,25 Năm học: 2016 - 2017 C A B Cõu A Cõu B Gi d phộp chia f(x) cho x2 - la ax + b Ta cú : f(x) = (x 2)(x 3)(x2- 1) + ax + b Theo bai : f(2) = nờn ta cú 2a + b = ; f(3) = nờn 3a + b = HS tinh c a = ; b = Vy a thc cn tỡm la : f(x) = (x 2)( x 3)(x2 - 1) + 2x + P = 7.2014n + 12.1995n = 19.2014n -12.2014n + 12.1995n = 19.2014n - 12(2014n -1995n) Ta cú : 19 2014n M19 ; (2014n -1995n) M19 nờn P M19 0.25 ( x + n)(1 + n) + n x + x + x n + n + n + n x + = Q= ( x n)(1 n) + n x + x x n + n n + n x + x (n + n + 1) + n + n + (n + n + 1)( x + 1) (n2 + n + 1) = = 2 = x (n n + 1) + n n + (n n + 1)( x + 1) ( n n + 1) 0,25 Vy Q khụng ph thuc vao x 0.25 0.25 0.25 0.25 0.5 0.5 0.25 (n + ) + n + n +1 >0 = Q= n n + (n ) + a2 + 5b (3a + b) 3ab 2a2 + 10b2 6a -2b 6ab +10 a2 6ab +9b2 + a2 6a + + b2 - 2b +1 (a 3b)2 +(a 3)2 + (b 1)2 Du ô = ằ xy a = ; b = x + y + x = 19 2x2 + 4x + = 21 3y2 2(x + 1)2 = 3(7 y2) (*) Xột thy VT chia ht cho nờn 3(7 y2) M2 y l (1) Mt khac VT 3(7 y2) y2 (2) 0.25 0.25 0.25 0,25 0.25 T (1) va (2) suy y2 = thay vao (*) ta cú : 2(x + 1)2 = 18 HS tinh c nghiờm nguyờn ú la (2 ; 1) ; (2 ; -1) ; (-4 ; -1) ; (-4 ; 1) Cõu 0.25 0.25 A F K G H I B E M C N D A Ta cú AEC BFC (g-g) nờn suy Xột ABC va EFC cú B 0.75 CE CA = CF CB CE CA = va gúc C chung nờn suy ABC EFC ( c-g-c) CF CB Vỡ CN //IK nờn HM CN M la trc tõm HNC Tuyển tập đề thi HSG Toán 0.75 0.5 Năm học: 2016 - 2017 MN CH ma CH AD (H la trc tõm tam giac ABC) nờn MN // AD Do M la trung im BC nờn NC = ND IH = IK ( theo Ta let) AH S AHC S ABH S AHC + S ABH S AHC + S ABH = = = = Ta cú: HE SCHE S BHE SCHE + S BHE S BHC BH S BHC + S BHA CH S BHC + S AHC = = Tng t ta cú va BF S AHC CG S BHA C 0.25 0.25 0.25 0.5 0.25 AH BH CH S AHC + S ABH S BHC + S BHA S BHC + S AHC + + + + = S BHC S AHC S BHA HE HF HG S AHC S ABH S BHC S BHA S BHC S AHC 0.25 + + + + Du = tam giac ABC u, ma theo gt = + S BHC S BHC S AHC S AHC S BHA S BHA thỡ AB < AC nờn khụng xy du bng ************************************************************************************* Bi (2.5 im): a) Cho ba s a, b, c tho món: a + b + c = Chng minh rng: ab + bc + ca b) Cho f ( x) = ax + bx + c vi a, b, c la cac s tha món: 13a + b + 2c = Chng t rng: f ( 2) f (3) c) Tỡm gia tr nh nht cua biu thc: M = x + y xy x + y + Bi (2.0 im): Gii cac phng trỡnh sau: a) x x x x + = 2013 2012 2011 2010 b) (2 x 5) ( x 2) = ( x 3) Bi (2.5 im): Cho hỡnh vuụng ABCD M la mt im tu ý trờn ng chộo BD H ME vuụng gúc vi AB, MF vuụng gúc vi AD a) Chng minh DE CF b) Chng minh rng ba ng thng DE, BF, CM ng quy c) Xac nh v tri cua im M trờn BD diờn tich t giac AEMF ln nht Bi (2.0 im): Cho hỡnh bỡnh hanh ABCD (AC > BD) Gi G, H ln lt la hỡnh chiu cua C trờn AB va AD Chng minh : a) ABC ng dng vi HCG b) AC = AB.AG + AD.AH Bi (1.0 im): Chng minh rng vi mi s n nguyờn dng thỡ: 5n (5n + 1) 6n (3n + 2n ) M 91 HNG DN CHM Bi 1: Cú: a2 + b2 2ab; a2 + c2 2ac; b2 + c2 2ac Tuyển tập đề thi HSG Toán 0,25 Năm học: 2016 - 2017 Cng c: 2a2 + 2b2 + 2c2 2ab + 2ac + 2bc a2 + b2 + c2 ab + ac + bc (1) a + b + c = a2 + b2 + c2 +2ab + 2ac + 2bc = 0,25 -a b c =2ab + 2ac + 2bc (2) 2 Cng (1) vi (2) c 3ab + 3ac + 3bc ab + bc + ca 0,25 f(-2) = 4a 2b + c; f(3) = 9a + 3b + c 0,25 Cú f(-2) + f(3) = 13a + b + 2c = nờn: 0,25 Hoc: f(-2) = va f(3) = f(-2).f(3) = (1) Hoc: f(-2) va f(3) la hai s i f(-2).f(3) < (2) T (1) va (2) c f ( 2) f (3) 0,25 4M = 4x + 4y 4xy 4x + 4y + 0,50 = (2x y 1) + 3y + 2y + = (2x y 1) + 3(y + y + ) + = (2x y 1) + 3(y + ) + 3 Gia tr nh nht cua 4M la Gia tr nh nht cua M la 0,50 ti y = ; x = nờn 3 2 ti y = ; x = 3 Bi 2(2.0 im): x x2 x4 x 1+ = 1+ 2013 2012 2010 2011 x 2013 x 2012 x 2010 x 2011 + = + 2013 2013 2012 2012 2010 2010 2011 2011 0,25 0,25 x 2014 x 2014 x 2014 x 2014 + = + 2013 2012 2010 2011 1 (x 2014) + ữ= 2013 2012 2010 2011 Do 0,25 1 1 + nờn phng trỡnh cú nghiờm x = 2014 2013 2012 2010 2011 0,25 t 2x - = a; x - = b a - b = x -3 Phng trỡnh ó cho tr thanh: a3 - b3 = (a - b)3 Tuyển tập đề thi HSG Toán 0,50 Năm học: 2016 - 2017 (a-b) (a2 + ab + b2 ) = (a-b)(a2 -2ab + b2) 0,25 (a-b)( a2 + ab + b2 - a2 +2ab - b2) = 3ab(a-b) = a=0 x= ; b = x = 2; a = b x = 0,25 Bi (1.0 im): A = 5n (5n + 1) 6n (3n + n ) = 25n + 5n 18n 12 n 0,25 A = (25n 18n ) (12n 5n ) A chia ht cho 0,25 A = (25n 12n ) (18n 5n ) A chia ht cho 13 0,25 Do (13,7) =1 nờn A chia ht cho 91 0,25 Bi (2.5 im): Chng t c AE = DF (Cựng bng MF) 0,25 ã ã Chng t c CDF = DAE FCD = EDA 0,25 ã ã ã ã Cú EDA ph ECD ph hay CF DE va EDC va EDA 0,25 Tng t cú CE BF 0,25 Chng minh c CM EF: 0,50 ã ã Gi G la giao im cua FM va BC; H la giao im cua CM va EF MCG (Hai HCN = EFM bng nhau) ã ã ã ã (i nh) MHF = 900 CMG = FMH = MGC CM, FB, ED la ba ng cao cua tam giac CEF nờn chỳng ng quy (AE - ME) nờn (AE + ME) 2 ( AE + ME ) 4AE.ME AE.ME Tuyển tập đề thi HSG Toán 0,25 0,25 Năm học: 2016 - 2017 SAEMF 0,50 AB2 Do AB = const nờn SAEMF ln nht AE = ME Lỳc ú M la trung im cua BD Bi (2.0 im): Chng t c: CBG ng dng vi CDH 0,25 CG BC BC = = CH DC BA 0,25 ã ã ã (Cựng bự vi BAD ) ABC ng dng vi HCG ABC = HCG 0,50 Gi E, F ln lt la hỡnh chiu cua B, D trờn AC 0,25 AFD ng dng AHC: AF AD = AF.AC = AD.AH AH AC AEB ng dng AGC: AE AB = AE.AC = AG.AB AG AC 0,25 Cng c: AF.AC + AE.AC = AD.AH+AG.AB AC(AF+AE) = AD.AH+AG.AB 0,25 Chng t c AE = FC Thay c: 0,25 AC(AF+FC) = AD.AH+AG.AB AC2 = AD.AH+AG.AB ******************************************************************************* Cõu 1: (2,5 im) Cho 1 b c c a a 2b + + = vi a, b, c va M = + + a b c a b c Chng minh rng M= 3abc Cõu 2: (2,5 im) a) Chng minh rng (x+2)3 > + x + x2 + x3 vi mi gia tr x b) Gii phng trỡnh tỡm nghiờm nguyờn: + x + x2 + x3 = y3 Cõu 3: (2,5 im) Cho biu thc A = 3x + x + x2 + x + a) Tỡm gia tr cua x A nhn gia tr nguyờn b) Tỡm gia tr ln nht cua A Cõu 3: (2,5 im) Cho tam giac ABC T im M thuc cnh AC k cac ng thng song song vi cac cnh AB va BC ct BC ti E va AB ti F Hóy xac nh v tri cua M trờn AC cho hỡnh bỡnh hanh BEMF cú diờn tich ln nht Tuyển tập đề thi HSG Toán Năm học: 2016 - 2017 Tuyển tập đề thi HSG Toán Năm học: 2016 - 2017 Tuyển tập đề thi HSG Toán 8 Năm học: 2016 - 2017 ************************************************************************************* Câu ( 2,0 điểm) Giải phơng trình : x(x+2)(x2+2x+5) = Câu : ( 4,0 điểm) a) Tính giá trị biểu thức : A = x8 31x7 + 31x6 31x5 +31x4 31x3 + 31x2 31x + 27 với x = 30 b) Cho a - b = tính giá trị biểu thức B = a3 12ab - b3 Câu : ( 2,0 điểm) Rút gọn phân thức : 2a a 12a + 45 3a 19a + 33a Câu : ( 3,5 điểm) Một ngời quãng đờng tử A đến B với vận tốc 15km/h , phần lại với vận tốc 30km/h Tính vận tốc trung bình ngời toàn quãng đờng AB 2 Câu 5:(2,0 điểm) Chứng minh rằng: S a + b với S diện tích tam giác có độ dài hai cạnh a , b Câu :( 6,5 điểm) Cho tam giác IKP cân A có KP = cm , M trung điểm KP lấy D, E thứ tự = K thuộc cạnh IK , IP cho DME a) Chứng minh tích KD PE không đổi b) Chứng minh DM tia phân giác góc KDE c) Tính chu vi IED IKP tam giác hớng dẫn chấm Câu (4,0 điểm) Tóm tắt lời giải Điểm a) Ta có A = x6 19x5 + 19x4 19x3 +19x2 19x + 25 = x5 ( x 18 ) x4( x- 18 ) + x3 ( x-18) x2( x-18) + x(x- 18) - ( x 18 ) + Tuyển tập đề thi HSG Toán 1,00 Năm học: 2016 - 2017 Do với x = 18 giá trị biểu thức A = 1,00 b) Với x+y = ta có : B = ( x3 + y3 )+ 3xy = ( x +y ) ( x2 - xy +y2) + 3xy 1,00 = x2 +2xy +y2 = ( x+y )2 = 1,00 Câu (4,0 điểm) Tóm tắt lời giải Điểm (2 x + x ) (12 x + 30 x) + (18 x + 45) a) ta có x3 x 12 x + 45 = = 2 (3x x ) (18 x x) + (27 x 9) x 19 x + 33x = 1,00 x (2 x + 5) x(2 x + 5) + 9(2 x + 5) (2 x + 5)( x x + 9) (2 x + 5)( x 3) = = x (3x 1) x (3 x 1) + 9(3x 1) (3 x 1)( x x + 9) (3 x 1)( x 3) 0,50 = 2x + 0.50 3x 0.50 b) Giải phơng trình : (x2-x+1)(x2-x+2) = 12 (1) Đặt t = x2-x+1 thay vào phơng trình (1) ta đợc pt : 0.75 t ( t+1 ) = 12 t2 + t 12 = ( t2 - 3t ) + (4t 12) = t( t - 3) + 4(t 3) = (t - 3) (t+ 4) = t = hoc t = - 0.25 - Với t = => x2-x+1 = x2-x-2 = x2-2x + x -2 = x(x-2) + (x -2 ) = (x-2) (x +1 ) = x = hoc x = - 1 19 - Với t = - => x -x+1 = - x -x + = ( x- ) + = phơng trình vô 19 nghiệm ( x- ) + > với x 0.25 0.25 Vậy phơng trình (1) có hai nghiệm : x = , x = -1 Tuyển tập đề thi HSG Toán 10 Năm học: 2016 - 2017 x2 x x2 ữ Ta cú A = 2 ữ 2x + 8 4x + 2x x x x x2 x x x 2x2 = ữ ữ 2 x2 2( x + 4) 4(2 x) + x (2 x) = 0,75 im 0,75 im ( x x)(2 x ) x x + x x 2( x + 4)(2 x) x2 x x x + x x x( x + 1) 2( x 1) = 2( x + 4)(2 x ) x2 0,75 im x( x + 4) ( x + 1)( x 2) x + = 2( x + 4)(2 x) x2 2x b) (1,0 im) Tỡm gia tr nguyờn cua x A nhn gia tr nguyờn x +1 * Z x +1 M2x 2x + M2x Ma 2x M2x 2x M2x Mx x = hoc x = -1 0,75 im = 0,5 im 0,25 im * Ta thy x = hoc x = -1 (TMKX) Vy A= x +1 Z x = hoc x = -1 2x 0,25 im Giải phơng trình sau: (4 im) a) (1,5 im) x( x + 2)( x + x + 2) + = (x2 + 2x) (x2 + 2x + 2) + = (x2 + 2x)2 + 2(x2 + 2x) + = (x2 + 2x + 1)2 = (x+1)4 = x + = x = -1 Vy PT ó cho cú nghiờm nht x = -1 b) (1,5 im) y + x + y x +1 + = y + y + + (2 x )2 2.2 x + = ( y + 1) + (2 x 1)2 = y + = hoc x = y = -1 hoc x = Vy PT ó cho cú nghiờm nht (x, y) = (0; -1) 0,5 im 0,5 im 0,25 im 0,25 im 0,5 im 0,25 im 0,25 im 0,25 im 0,25 im x + x + x + 16 x + 72 x + x + 20 x + 12 x + 42 + = + c) (1,0 im) (1) x+2 x+8 x+4 x+6 - KX: x -2; x -4; x -6; x -8 ( x + 2) + ( x + 8) + ( x + 4) + ( x + 6) + + = + - PT (1) x+2 x+8 x+4 x+6 + x +8+ = x+4+ + x+6+ x+2+ x+2 x+8 x+4 x+6 = x + x + x +6 x +8 x + x x + 48 x 48 = ( x + 2)( x + 4) ( x + 6)( x + 8) Tuyển tập đề thi HSG Toán 100 0,25 im 0,25 im Năm học: 2016 - 2017 x x = ( x + 2)( x + 4) ( x + 6)( x + 8) x = hoc ( x + 2)( x + 4) = ( x + 6)( x + 8) 0,25 im x = hoc x2 + 6x + = x2 + 14x + 48 x = hoc 8x = - 40 x = - (tha KX) 0,25 im 1) (1,0 im) Tỡm s t nhiờn n s p la s nguyờn t bit: p = n3 - n2 + n - - HS bin i c : p = (n2 + 1)(n - 1) - Nu n = 0; khụng tha bai - Nu n = tha bai vỡ p = (22 + 1)(2 - 1) = - Nu n > khụng tha bai vỡ ú p cú t c tr lờn la 1; n 1> va n2 + > n 1> - Vy n = thỡ p = n3 - n2 + n - la s nguyờn t 2) (1,0 im) * g ( x ) = x + x = (x -1)(x - 2) 0,25 im 0,25 im 0,25 im 0,25 im 0,25 im * f ( x ) = ax + bx + 10x Mg ( x ) f ( x ) = ax + bx + 10x = (x 1)(x - 2).Q(x) (1) (mi x R) - Thay x1 = 1, x2 = vao (1) ta cú: a + b + = va 8a + 4b + 16 = a = va b = -8 3 (3 im) 0,25 im 0,25 im 3) (1,0 im) Cho 4a2 + b2 = 5ab 2a > b > 0.Tính: P = ab 4a b 2 - HS bin i c : 4a2 + b2 = 5ab (4a - b)(a -b) = b = 4a hoc b = a - Ma 2a > b > 4a > 2b > b nờn a = b - Ta cú : P = 0,25 im 0,25 im a = 4a a 0,25 im - Vy 4a + b = 5ab va 2a > b > thỡ P = 2 - Hỡnh v 0,25 im 0,25 im A B K H P N (6,5 im) D C a) (2,25 im) Chng minh: DH vuụng gúc vi BM - HS CM : CD = BC, PC = CM, DCB = BCM = 900 - CM: DPC = BMC (cgc) Tuyển tập đề thi HSG Toán 101 M 0,75 im 0,75 im Năm học: 2016 - 2017 - Chng minh c BHP = 900 b) (2,0 im) Tinh Q = - HS CM : MP BD - 0,75 im PC PH KP + + BC DH MK DM PC PC S =2 = PDM BC DM BC S BDM 0,5 im ; 0,5 im 1 DB.KP DB.KP PH S PBM PH S 2 = = = = PBD Tng t : DH DB.MK S BDM DH DB.MK S BDM 2 S PDM + S PBM + SPBD =1 Q= SBDM 0,5 im 0,5 im c) (2,0 im) Chng minh: MP MK + DK BD = DM - CM: MCP MKD (g.g) MP MK = MC MD (1) - CM: DBC DKM (g.g) DK BD = DC DM (2) - T (1) va (2) MP MK + DK BD = DM (MC + DC) MP MK + DK BD = DM2 0,5 im 0,25 im 0,5 im 0,25 im 0,25 im 0,25 im 1) (0,75 im) x y + vi mi x, y > y x x y x y + -2 0; + - y x y x x y x y ( + -2)( + -1) y x y x 2 x y x y x y + + ( + ) 2( + ) + y x y x y x 2 x y x y + + + y x y x - HSCM: (1,5 im) Du = xy x = y > 2) (0,75 im) Tỡm gia tr nh nht cua biu thc: B = xy( x 2)( y + 6) + 12 x 24 x + y + 18 y + 2045 *) x2 - 2x +1 = (x-1)2 x2 -2x +3 mi x R (1) 2 y + 6y +9 = (y+3) y + 6y + 12 mi y R (2) + B = xy ( x 2)( y + 6) + 12 x 24 x + y + 18 y + 2045 = (x2 - 2x)( y2 + 6y) + 12(x2 - 2x) + 3(y2 + 6y) + 36 + 2009 = (x2 - 2x)( y2 + 6y + 12) + 3(y2 + 6y +12) + 2009 = (x2 - 2x + 3)( y2 + 6y + 12) + 2009 (3) + T (1) ; (2) va (3) B 2.3 + 2009 B 2015 *) B = 2015 x = va y = -3 *) Min B = 2015 x = v y = - 0,25 im 0,25 im 0,25 im 0,25 im 0,25 im 0,25 im ************************************************************************************* Tuyển tập đề thi HSG Toán 102 Năm học: 2016 - 2017 38 x x + x2 2x + ữ ữ x x + x + Cõu 1: (3 im) Cho A = a) Rỳt gn A b) Tỡm x A > c) Tỡm gia tr ln nht cua A Cõu 2: (6 im) a) Gii phng trỡnh: x x x x = 18 b) Gii bt phng trỡnh: |2x-7| < x2 + 2x + ( x + y )( x y ) = 45 c) Gii hờ phng trỡnh: ( x y )( x + y ) = 85 Cõu : (4 im) a) Cho a + b + c = , tinh gia tr cua biu thc: 1 P= 2 + 2 + 2 b +c a a +c b a + b2 c2 b) Tỡm s t nhiờn n cho A = n + n + la s chinh phng Cõu : (5 im) a) T mt im A nm ngoai (O;R) k hai tip tuyn AM, AN (M,N (O;R)) Trờn cung nh MN ly im P khac M va N Tip tuyn ti P ct AM ti B, ct AN ti C Cho A c nh va AO = a Chng minh chu vi tam giac ABC khụng i P di ng trờn cung nh MN Tinh gia tr khụng i y theo a va R b) Cho tam giac ABC cú diờn tich bng 36 (n v diờn tich) Trờn cnh BC va cnh CA ln lt ly im D va E cho DC = 3DB va EA = 2EC; AD ct BE ti I Tinh diờn tich tam giac BID x 10 y 10 16 16 2 Cõu 5: (2 im) Tỡm gia tr nh nht cua biu thc: Q = + + ( x + y ) (1 + x y ) y x Cõu ý a ỏp ỏn v hng dn chm KX: x 0, x 0.25 0.75 A = x ( x 1) A > x ( x 1) > x ( x 1) < b c a im x > (vỡ x > x ) < x x x 2 b Nờn: |2x-7| < x2 + 2x + 0.5 x + > x + x > 0.25 0.25 x2+4x+4>9 (x+2)2 >9 |x+2| >3 x + > c 0.5 0.25 ( x + y )( x y ) = 45 ( x y )( x + y ) = 45 (1) Bin i ( x y )( x + y ) = 85 ( x y )( x + y ) = 85 (2) 0.25 T hờ ta cú x y > Nhõn hai v cua (1) vi 17 va nhõn hai v cua (2) vi ri ng nht sau nhõn ta c: 17(x y)(x + y)2 = 9(x - y)(x2 +y2) 4x2 + 17xy + 4y2 = Nu y = thỡ x = => khụng tha hờ Nu y , chia hai v cua 4x2 + 17xy + 4y2 = cho y2 va t t = x/y c: 4t2 +17t + = (t+4)(4t+1) = t = - hoc t = - 1/4 x = -4y hoc y = - 4x Thay vao hờ phng trỡnh trờn c nghiờm cua phng trỡnh ó cho la: (x ; y) {(4;-1);(1;-4)} Vy nghiờm cua phng trỡnh (x ; y) {(4;-1);(1;-4)} 1 + 2 + 2 2 b +c a a + c b a + b2 c2 1 = 2 + 2 + 2 2 b + c (b + c) a + c ( a + c) a + b ( a + b) 1 a+b+c = + + = =0 (voi : abc 0) 2bc 2ac 2ab 2abc A = n + n + la s chinh phng nờn A cú dng P= a x > x + < x < Kt lun nghiờm bt phng trỡnh 0.25 0.5 0.5 0.25 0.25 b Tuyển tập đề thi HSG Toán (dk : abc 0) 1 0.5 104 Năm học: 2016 - 2017 0.5 A = n + n + = k (k N * ) 4n + 4n + 24 = 4k (2k ) (2n + 1) = 23 2k + 2n + = 23 (2k + 2n + 1)(2k 2n 1) = 23 2k 2n = 0.75 (Vỡ 23 la s nguyờn t va 2k + 2n + 1> 2k 2n -1) 0.25 2k + 2n + = 23 k = 2k 2n = n = a Vy vi n = thỡ A la s chinh phng C ABC = AB+BC+CA M B = AB+BP+PC+CA = (AB+BM)+(CN+CA) P O A (t/c tt ct nhau) = AM + AN = 2AM (t/c tt ct nhau) C = OA2 OM = a R N Vỡ A c nh nờn OA=a khụng i vy P di chuyn trờn cung nh MN thỡ chu vi tam giac ABC khụng i C ABC = a R Ghi chỳ: - Khụng cú im v hỡnh - Chng minh m khụng cú hỡnh v hoc hỡnh v sai thỡ khụng c cụng nhn (khụng cú im) (Cỏc ng nột t c v thờm gi ý chng minh chm, hc sinh phi trỡnh by k thờm ng ph chng minh - nu cn) = S BIA 0.25 0.5 0.25 0.5 0.25 0.25 Trỡnh bay c/m: S BID = S BIC Trỡnh bay c/m: S BIC b 0.5 A 1.0 => S BID = S BIA = S ABD Trỡnh bay c/m: S ABD = => S BID S ABC 36 S ABC = =1 36 36 0.5 E 0.5 I B D C Ghi chỳ: - Khụng cú im v hỡnh - Chng minh m khụng cú hỡnh v hoc hỡnh v sai thỡ khụng c cụng nhn (khụng cú im) K: x0, y0 x 10 y 10 16 Q = + + ( x + y 16 ) (1 + x y ) 2 y x 1 x 10 y 10 = + + + + ( x 16 + y 16 + + 1) (1 + x y ) y x p dng bt ng thc Cụ-si cho bn s dng ta cú: Tuyển tập đề thi HSG Toán 105 0.5 0.5 0.25 Năm học: 2016 - 2017 x 10 y 10 + + + x y 2 y x 16 ( x + y 16 + + 1) x y 4 0.25 0.5 2 4 2 4 => Q x y + x y x y x y = 2 0.5 Vy gia tr nh nht cua Q la Q = 5/2 x2 = y2 = ************************************************************************************* 39 Cõu 1: a, Tỡm nghiờm nguyờn dng cua phng trỡnh: x y = 2013 b, Chng minh rng, tng bỡnh phng cua p s nguyờn liờn tip ( p la s nguyờn t, p > 3) chia ht cho p Cõu 2: a, Trờn mt phng, xột li cac ụ vuụng 1ì1 Chng minh rng khụng tn ti tam giac u cú nh la cac mỳt cua li b, Cho a; b; c > va tha iu kiờn a 3c + b3a + c 3b = abc Tỡm gia tr nh nht cua biu thc P = b c a + + a + ab b + bc c + ca Cõu 3: + x2 ( + x ) a, Rỳt gn biu thc M = + x2 b, Gii phng trỡnh x3 + x x = (1 x) Cõu 4: T mt im A ngoai ng trũn tõm O, k hai tip tuyn AB va AC vi B, C la cac tip im Trờn on OB ly im N cho BN=2ON ng trung trc cua on thng CN ct OA ti M Tinh t s Cõu 5: AM AO y = ( x + ) ( x ) a, Gii hờ phng trỡnh 2 y x xy + 16 x y + 16 = b, Cho tam giac nhn ABC Chng minh rng SinA + SinB + SinC < ( cos A + cos B + cos C ) Cõu Ni dung im 1(2) a, Vỡ x y l suy x l 0,25 t x = 2m + , m Z , thay vao phng trỡnh ta c 2m ( m + 1) y = 1006 (1) Tuyển tập đề thi HSG Toán 106 0,25 Năm học: 2016 - 2017 T (1) suy y chn t y=2n+1, n Z 0,25 Thay vao (1) , ta c m ( m + 1) = 2n + 503 , suy m(m+1) l ( vụ lý) 0,25 Vy phng trỡnh khụng cú nghiờm nguyờn b, Gi s p s nguyờn liờn tip la a + 1, a + 2, a + 3, , a + p , ( a Z ) 2 2 2 t A = ( a + 1) + ( a + ) + + ( a + p ) A = pa + ( + + + p ) a + ( + + + p ) A = pa + p ( p + 1) a + p ( p + 1) ( p + 1) 0,25 0,25 ( ) A = p 6a + ( p + 1) a + ( p + 1) ( p + 1) Mp 0,25 Do p la s nguyờn t, p>3 suy (p,6)=1 Vy A chia ht cho p 0,25 2(2) a, B M N C P A Gi s tn ti tam giac u ABC cú cac nh la cac nỳt li Xột hỡnh ch nht bao quanh tam giac ABC ( cac nh A,B,C nm trờn cnh cua hỡnh ch nht) Ta cú th chn cho mt nh cua hỡnh ch nht trựng vi mt nh cua tam giac ABC, nh hỡnh v Vỡ cac cnh cua HCN la mt s nguyờn, suy S( AMNP ) Q , S( AMB ) Q , S( NCB ) Q , 0,25 S( ACP ) Q Suy S( ABC ) = S( AMNP ) S( AMB ) S( NCB ) S( ACP ) Q (*) Gi cnh cua tam giac u la a thỡ S( ABC ) 0,25 0,25 a2 = Vỡ a = AM + MB Z , nờn S( ABC ) Q mõu thun vi (*) Suy PCM 0,25 b, p dng BT AM-GM, ta cú 0,25 a 3c + b3 a + c 3b a b c ( a + b + c ) = + + = a+b+c abc b c a a+b+c a 3c + b3 a + c 3b = abc = 32 9 P= + + = 2 2 a b c a b c a b c +a +b + c + + ữ+ ( a + b + c ) + + ữ b c a c a c a b b 1 Tuyển tập đề thi HSG Toán 107 0,5 Năm học: 2016 - 2017 Vy GTNN cua P= 0,25 va ch a = b = c = 3(2) a, KX la x 0,25 Ta cú + x = + x + x + x = + x + x ( 1+ x) ( x) -Suy M = ( = )( ( + x x + x2 1+ x + x )( 0,25 ) )( + x x + x2 + x2 0,25 )= 0,25 2x b, Ta cú x3 + x x = x ( x x + 12 x ) = 0,25 x3 = ( x ) x = x 0,25 3 ( + + 16 x= = 3 4(2) ) 0,5 B K N M O A C Gi K la trung im cua BN Ta cú OA la trung trc cua on BC 0,5 Do M thuc OA nờn MB=MC 0,25 Do M thuc trung trc cua CN nờn MC=MN Suy MB=MN 0,25 Do ú M thuc trung trc cua BN, suy MK BN 0,25 Vỡ OB BA ( Tinh cht tip tuyn) MK / / AB 0,25 Xột tam giac OBA, theo nh li Ta-Lột ta cú 0,5 AM BK = = AO BO 5(2) Bin i PT th hai ta c Tuyển tập đề thi HSG Toán 0,25 108 Năm học: 2016 - 2017 y ( x + ) y x + 16 x + 16 = ( y x ) ( y + x ) = y = 5x + y = x - Vi y=5x+4, thay vao PT u ta c ( 5x + 4) 0,25 x = y=0 = ( 5x + ) ( x ) x = y = -Vi y=4-x, thay vao phng trỡnh u ta c ( x) 0,25 x = y = = ( 5x + 4) ( x ) = x = y = 0,25 Vy nghiờm cua hờ phng trỡnh la ( x, y ) = ( 0; ) , ( 4;0 ) , ;0 ữ b, Gi O la tõm ng trũn ngoi tip tam giac ABC va H, K, L tng ng la trung im cua BC,CA, AB Ta cn chng minh AB+BC+CA HK = AB ; OL + OK > KL = BC ; OH + OL > HL = AC 0,5 Suy AB+BC+CA tha a + b + c = Chng minh rng: + + + 64 a b c Cõu (3 im): Tỡm tt c cac s thc x, y, z tha phng trỡnh: Tuyển tập đề thi HSG Toán 109 Năm học: 2016 - 2017 x + y + z + = x2 + y + z xyz x + y = xyz =1 Cõu (4 im): Gii hờ phng trỡnh sau: y+ z xyz =1 x + z Cõu (2 im): Cho x= +1 +1 + Tinh gia tr cua biu thc: A = (x4 x3 x2 + 2x 1)2003 Cõu (4 im): Cho hỡnh thoi ABCD cú gúc A = 120 0, tia Ax to vi tia AB gúc BAx bng 150 va ct cnh BC ti M, ct ng thng DC ti N Chng minh: 1 + = 2 AM AN AB Cõu (4 im): Cho tam giac ABD vuụng ti D, ly C la im thuc cnh AB K CH vuụng gúc vi AD (H AD) ng phõn giac cua gúc BAD ct ng trũn ng kinh AB ti E, ct CH ti F; DF ct ng trũn trờn ti K a) Chng minh rng t giac AFCK ni tip b) Chng minh ba im K, C, E thng hang c) Cho BC = AD, k CI song song vi AD (I DK) Chng minh CI = CB va DF la ng trung tuyn cua tam giac ADC HNG DN CHM Cõu (3 im): Ta cú + a +1 a+a+b+c = a = a a (0,5 im) Do a, b, c > 0, theo bt ng thc Cauchy ta cú: 1+ a+a+b+c a + bc 2.2 = a a a Vy: + 44 a bc a a a bc = a bc a a (0,5 im) Tng t: Tuyển tập đề thi HSG Toán 110 Năm học: 2016 - 2017 1+ 44 b ac b b (0,5 im) 1+ 44 c ab c c (0,5 im) T ú, suy ra: a 4b c = 64 (pcm) + + + 64 a b c abc (1 im) Cõu (3 im): K: x ; y ; z Ta cú: x + y + z + = x + y + z (x - - x + 1) + (y - - 2.2 y + 4) + (z-5 - 2.3 z + 9) = (0,5 im) ( x -1)2 + ( y - 2)2 + ( z - 3)2 = (0,5 im) x = y = z = (0,5 im) x2 =1 y = z = (0,5 im) x = y = z = (0,5 im) x = y = z = 14 (0,5 im) Cõu (4 im): Gii hờ phng trỡnh: Tuyển tập đề thi HSG Toán 111 Năm học: 2016 - 2017 x + y 1 1 xyz = yz + xz = (1) y+ z 1 xyz = xz + xy = (2) x + z 1 = = (3) + xyz yz xy xyz x + y = xyz =1 y+ z xyz =1 x + z 1 (1) + (2) + (3): xz + xy + yz = (4) Ly 1 1 (1 im) (0,5 im) (4) (1): xy = (0,5 im) (4) (2): yz = (0,5 im) 1 = xz (0,5 im) (4) (3): Vy xy = 2, yz = 6, xz = Ta cú: (xyz)2 = 36 xyz = hay xyz = -6 Trng hp 1: xyz = Ta cú: x = 1, y = 2, z = Trng hp 2: xyz = -6 Ta cú: x = -1, y = -2, z = -3 (0,5 im) (0,5 im) Cõu (2 im): Ta cú x= +1 1 +1 + 2 +1 +1 = +1 +1 (0,5 im) +11 = = 2 (0,5 im) Ta li cú: A = (x4 x3 x2 + 2x 1)2003 = [( x 1) ( x x + 1) ] Thay x = 2003 (0,5 im) vao A, ta c: Tuyển tập đề thi HSG Toán 112 Năm học: 2016 - 2017 A= [( )] )( 2 +1 2003 = [( )( )] +1 2003 = 12003 = (0,5 im) Cõu (4 im): V hỡnh; vit GT, KL ỳng (0,75 im) Trờn cnh DC ly im E cho gúc DAE bng 150, suy NAE = 900 (0,5 im) DAE = BAM (g.c.g) (0,5 im) AE =AM (0,25 im) Xột tam giac EAN vuụng ti A, ng cao AH, 1 + = 2 AE AN AH ta cú: suy ra: (0,5 im) 1 + = 2 AM AN AH (1) (0,5 im) Xột tam giac u ADC, ng cao AH 4 ta cú: AH2 = AD = AB T (1), (2) suy 1 + = 2 AM AN AB (2) (0,5 im) (pcm) (0,5 im) Cõu (4 im): V hỡnh va vit gi thit kt lun ỳng va y u (0,5 im) E D H F A B C I a) Ta cú CH AD va BD AD (gt) HCA DKA = DBA = S DA ( hai gúc ng v) ma = DBA Tuyển tập đề thi HSG Toán 113 K (0,5 im) Năm học: 2016 - 2017 HCA = DKA Ma HCA, DKA cựng chn FA nờn t giac AFCK ni tip (0,5 im) b) Ta cú DKE = DAE = S DE FAC = DKC = SFC t giac AFCK ni tip (0,5 im) Ma FAC = DAE (gt) DKE = DKC vy hai tia KC va KE trựng Vy K, C, E thng hang (0,5 im) c) Ta cú AD//IC (gt) suy DAB = ICA (ng v) Ma DAB = DKB = S DEB (0,25 im) DKB = ICA nờn t giac KBCI ni tip ICB + ICA = ICB + DKB = 180 EKB = CIB = S BC va DKE = IBA = S IC 2 (0,25 im) Mt khac EKB = DKE ( vỡ cựng chn hai cung EB, ED bng nhau) vy tam giac BIC cõn ti C nờn BC = IC IBA = CIB (0,5 im) * Ta cú AD = BC va AD//IC (gt) IC = AD va AD//IC nờn t giac ADCI la hỡnh bỡnh hanh DF i qua trung im cua AC (tinh cht ng chộo hỡnh bỡnh hanh ) Vy DF la ng trung tuyn cua tam giac ADC Tuyển tập đề thi HSG Toán 114 (0,5 im) Năm học: 2016 - 2017 [...]... = 0 x(x-4)(x+3) = 0 1.0 Vy x = 4 hoc x= -3 hoc x=0 1.0 x 214 x 132 x 54 + + =6 86 84 82 b (2.0 im) ( 0.75 x 214 x 132 x 54 1) + ( 2) + ( 3) = 0 86 84 82 x 300 x 300 x 300 + + =0 86 84 82 1 1 1 (x-300) + + = 0 x-300=0 x=300 86 84 82 0.5 0.25 Vậy S = { 300} Tuyển tập đề thi HSG Toán 8 0.5 29 Năm học: 2016 - 2017 *************************************************************************************... CHM THI HC SINH GII LP 8 CP HUYN MễN: TON 8 Cõu Bai 1 Ni dung Biu im 1110 - 1 = ( 11 -1 )( 119 + 1 18 + + 11 + 1 ) 0.5 = 10(119 + 1 18 + + 11 + 1 ) 0.25 Vỡ 10 10 va ( 119 + 1 18 + + 11 + 1 ) cú ch s tn cựng ( hang n v) bng 0 0.25 Nờn: ( 119 + 1 18 + + 11 + 1 ) chia ht cho 10 0.5 Vy: 1110 - 1 chia ht cho 10 0.5 Bai 2: X2( y - z ) + y2( z - x ) + z2( x - y ) Tuyển tập đề thi HSG Toán 8 0.25... x + 1) x + x2 + x +1 3 Bi 5 (2 im): a.(Phn danh cho thi sinh trng tra) Cho a, b, c la 3 cnh cua tam giac,p la na chu vi CMR : 1 1 1 1 1 1 + + 2( + + ) p a p b p c a b c b (Phn danh cho thi sinh trng THCS Yờn Phong) Cho a,b,c,d la cac s dng Chng minh rng : a b bc cd a d + + b+c c+d d +a a+b HNG DN CHM V BIU IM Tuyển tập đề thi HSG Toán 8 28 Năm học: 2016 - 2017 Cõu 1 Hng dn gii + KX: x 1; x a... ************************************************************************************* Tuyển tập đề thi HSG Toán 8 27 Năm học: 2016 - 2017 10 2 5 x 1 2x 1 + : 2 Bi 1 (5 im): Cho biu thc: A = 2 ữ 1 x x +1 1 x x 1 a Rỳt gn biu thc A b Tỡm cac gia tr nguyờn cua x biu thc A nhn gia tr nguyờn c Tỡm x A = A Bi 2 (4 im): Gii cac phng trỡnh sau: a x3 x2 12x = 0 b x 214 x 132 x 54 + + =6 86 84 82 Bi 3 (5 im): Cho hỡnh thang ABCD vuụng ti A... 4, x 5 0.25 0.5 0.25 0.25 1 1 1 1 1 + + + = (2) (x + 1)(x + 2) (x + 2)(x + 3) (x + 3)(x + 4) (x + 4)(x + 5) 8 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + + + = (x + 1) (x + 2) (x + 2) (x + 3) (x + 3) (x + 4) (x + 4) (x + 5) 8 1 1 1 = (x + 1) (x + 5) 8 8( x + 5) 8( x + 1) = (x + 1)(x + 5) (1) 8x + 40 8x 8 = x 2 + 6x + 5 x 2 + 6x 27 = 0 (x 3)(x + 9) = 0 x = 3 (tha món) hoc x = 9 (tha món) Vy tp nghiờm cua pt... 3a Tuyển tập đề thi HSG Toán 8 35 0.5 0.5 0.5 Năm học: 2016 - 2017 Cõu 6 (1,5 im): 2 2 Ta cú 1 1 A = 1 + ữ + 1 + ữ y x 2 2 2 y x = 2 + ữ + 2 + ữ x y x y x 2 y2 = 8 + 4 + ữ+ 2 + 2 ữ x y x y 2 x+ y x+y = 1 + ữ (Vỡx + y = 1) ữ + 1 + x y y x Vỡ x, y > 0 > 0, > 0 nờn ap dng BT cụ si ta cú: x y 0.25 0.25 x y xy x 2 y2 x 2 y2 + 2 = 2 2 + 2 2 2 2 = 2 A 8 + 4.2 + 2 = 18 y x yx y x... x2 2 x 1 2 2 x2 A = 1 2 ữ 2 Rỳt gn biu thc sau: 2 2 3 ữ 2 x + 8 8 4 x + 2 x x x x Cõu 2 (2,0 im) 1 Gii phng trỡnh sau: (2 x + x 2013) + 4( x 5 x 2012) = 4(2 x + x 2013)( x 5 x 2012) ******************************************************************************* 2 2 2 Tuyển tập đề thi HSG Toán 8 2 2 19 2 Năm học: 2016 - 2017 2 Tỡm cac s nguyờn x, y tha món x 3 + 2x 2 + 3x + 2 =... nờn Vi x = 2, ta cú: 24 9.23 + 21.22 + 2a + b = 0 2a + b = 28 (2) 0.5 0.5 0.25 0.5 0.5 0.25 0.25 0.5 0.25 0.25 Vi x = -1, ta cú: (1) 4 9.(1)3 + 21.(1) 2 a + b = 0 b = a 31 (3) Thay (3) vao (2) cú: 2a + a 31 = 28 a = 1 b = 1 31 = 30 a = 1 Vy vi thỡ f(x) chia ht cho x 2 x 2 b = 30 Tuyển tập đề thi HSG Toán 8 34 0.25 0.25 0.25 Năm học: 2016 - 2017 Cõu 4 (2.5 im) KX: x 7 Bin i pt v dng: (1... 2)2 = 3 ( 1) 4 x = 8 x = 2 phng trỡnh 6x - 5m = 3 + 3mx cú nghiờm gp ba ln nghiờm cua phng trỡnh ( x + 1)( x - 1) - ( x + 2)2 = 3 hay x =-6 Ta cú: 6(-6) - 5m = 3 +3m(-6) 5m + 18m = 39 13m = 39 m=3 Vy: Vi m = 3 thỡ phng trỡnh 6x - 5m = 3 + 3mx cú nghiờm s gp ba nghiờm s cua phng trỡnh: ( x + 1)( x - 1) - ( x + 2)2 = 3 Bai 5 x2 -25 = y( y+6) Tuyển tập đề thi HSG Toán 8 31 Năm học: 2016 - 2017 x... DH = DI , EH = EK , do đó chu vi AED bằng AI MC a + AK = 2AK Ta lại có CK = , AC = 2a nên AK = 1,5a = 2 2 0.50 0.50 Vậy chu vi tam giác ADE bằng 3a Câu 5 : HS vẽ hình và ghi GT,KL đúng 0.50 0.50 Tuyển tập đề thi HSG Toán 8 11 Năm học: 2016 - 2017 a) Gọi h là chiều cao tơng ứng với cạnh a , ta có S = 1 ah 2 0.50 => 4S = 2ah 2ab a2 + b2 0.50 B 2 2 Vậy S a + b A a 4 0.50 d Dấu bằng xảy ra h =