SO GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THCS TINH YEN BAI NĂM HỌC 2013-2014 MÔN THI: TOÁN - LỚP 8 Thời gian: 150 phút (không tính thời gian giao đề) Bài 1: (2,0 điểm) a) Tìm giá trị của a để (21x 2 - 9x 3 + x + x 4 + a) M ( x 2 - x - 2) b) Chứng minh rằng n 4 - 2n 3 - n 2 + 2n chia hết cho 24 với mọi n ∈ Z Bài 2: (2,0 điểm) a) Cho a + b + c = 0. Chứng minh rằng a 3 + b 3 + c 3 = 3abc b) Cho 1 1 1 0 x y z + + = , (với x ≠ 0, y ≠ 0, z ≠ 0) Tính giá trị của biểu thức 2 2 2 yz xz xy x y z + + Bài 3: (2,5 điểm) Cho biểu thức A = 2 2 2 4 8 1 2 : 2 4 2 x x x x x x x x − + − ÷ ÷ + − − a) Tìm điều kiện xác định, rồi rút gọn biểu thức A. b) Tìm x để A = -1 c) Tìm các giá trị của x để A < 0 Bài 4: (1,5 điểm) Chứng minh rằng trong một hình bình hành, khoảng cách từ một điểm trên đường chéo đến hai cạnh kề (hai cạnh kề và đường chéo cùng qua một đỉnh của hình bình hành), tỉ lệ nghịch với hai cạnh ấy. Bài 5: (2,0 điểm) Gọi M là điểm nằm trong xOy = m 0 (0< m < 90). Gọi P, Q lần lượt là hình chiếu của M trên Ox , Oy. Gọi H, K lần lượt là trung điểm của OM, PQ. a) Chứng minh: HK ⊥ PQ b) Tính số đo góc HPQ theo m. HẾT Trần Văn Hồng PGD&ĐT ĐỀ CHÍNH THỨC PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THCS QUẬN NGŨ HÀNH SƠN NĂM HỌC 2011-2012 MÔN THI: TOÁN - LỚP 8 HƯỚNG DẪN CHẤM Bài Câu Nội dung Điểm Bài 1 2,0đ Câu a 0,75đ Thực hiện phép chia tìm đúng thương: x 2 – 8x + 15 0,25đ và dư: a + 30 0,25đ Phép chia hết nên a + 30 = 0 suy ra a = -30 0,25đ Câu b 1,25đ n 4 - 2n 3 - n 2 + 2n = n(n 3 -2n 2 - n + 2) 0,25đ = n{n 2 (n – 2) - (n -2)} 0,25đ n(n 2 – 1)(n – 2) = n(n – 1)(n +1)(n – 2) 0,25đ n(n – 1)(n +1)(n – 2) là tích 4 số nguyên liên tiếp trong đó phải có một số chia hết cho 2; một số chia hết cho 3 và một số chia hết cho 4 0,25đ nên n(n – 1)(n +1)(n – 2) M 2.3.4 = 24 Kết luận n 4 - 2n 3 - n 2 + 2n M 24 0,25đ Bài 2 2,0đ Câu a 1,0đ (a + b + c) 3 = (a + b ) 3 + 3(a+b) 2 c + 3(a+b)c 2 + c 3 0,25đ =(a+b) 3 3(a+b)c.(a+b+c) + c 2 = (a+b) 3 + c 2 0,25đ a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 + c 3 = a 3 + b 3 + c 3 + 3ab(a+b) a 3 + b 3 + c 3 + 3ab(-c) ( do a + b + c = 0 nên a + b = -c) 0,25đ a 3 + b 3 + c 3 + 3ab(-c) = 0 suy ra a 3 + b 3 + c 3 = 3abc 0,25đ Câu b 1,0đ Với a = 1 x ; b = 1 y ; c = 1 z . Áp dụng kết quả câu a ta có 3 3 3 1 1 1 3 x y z xyz + + = 0,50đ 2 2 2 yz xz xy x y z + + = 3 3 3 3 3 3 1 1 1xyz xyz xyz xyz x y z x y z + + = + + ÷ 0,25đ = xyz. 3 xyz = 3 0,25đ Bài 3 2,5đ Câu a 1,25đ Điều kiện xác định x ≠ 0 ; x ≠ ± 2 . 0,25đ A = 2 2 2 4 8 1 2 : 2 4 2 x x x x x x x x − + − ÷ ÷ + − − = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 4 2 8 1 2 2 : 2 2 2 x x x x x x x x x − + − − − + − − 0,50đ ( ) ( ) ( ) 2 2 8 4 8 1 2 4 : 2 2 2 x x x x x x x x x − + − − + + − − = ( ) ( ) ( ) 2 8 4 3 : 2 2 2 x x x x x x x + − + − − 0,25đ = ( ) ( ) ( ) ( ) 4 2 2 . 2 2 3 x x x x x x x + − + − − = 2 4 3 x x − 0,25đ Câu b 0,75đ A =-1 ⇔ 2 4 3 x x − = -1 ⇔ 4x 2 = -x+3 ⇔ 4x 2 + x – 3 = 0 0,25đ x 2 + x + 3x 2 -3 = 0 ⇔ (x+1)(4x-3) = 0 0,25đ x= -1 ; x = 3/4 0,25đ Trần Văn Hồng PGD&ĐT Câu c 0,50đ A < 0 ⇔ 2 4 3 x x − < 0 ⇔ x - 3 < 0 (do x ≠ 0 nên 4x 2 > 0 ) 0,25đ Kết luận: Vậy x < 3 ; x ≠ 0 ; x ≠ ± 2 thì A < 0 0,25đ Bài 4 1,5đ Kẻ PH ⊥ AD; PK ⊥ CD; PM // CD; PN // AD. Chứng minh ∆ HMP ∆ KNP (g-g) 0,50đ ⇒ PH PM PK PN = ⇒ PH DN PK PN = (Do PMDN là hình bình hành) 0,25đ Chứng minh ∆ DNP ∆ DCB (g-g) ⇒ DN PN DC BC = 0,25đ ⇒ DN DC PN BC = ⇒ PH DC PK BC = ⇒ PH.BC = PK.DC 0,25đ PH.AD = PK.DC ⇒ Điều phải chứng minh 0,25đ Bài 5 2,0đ Câu a 1,0đ ∆ MPO vuông tại P, đường trung tuyến PH = 1 2 .OM 0,25đ ∆ MQO vuông tại Q, đường trung tuyến QH = 1 2 .OM 0,25đ PH = QH ⇒ ∆ HPQ cân tại H 0,25đ HK ⊥ PQ 0,25đ Câu b 1,0đ ∠ MHQ = 2. ∠ MOQ 0,25đ ∠ MHP = 2. ∠ MOP 0,25đ ∠ PHQ = 2. ∠ POQ = 2.m 0 0,25đ ∠ PHK = m 0 ⇒ ∠ HPQ = 90 0 - m 0 0,25đ Chú ý: Trần Văn Hồng PGD&ĐT A B C D P K N H M O Q M P x K H y -Trên đây là sơ lược hướng dẫn chấm trong quá trình chấm các nhóm thống nhất chi tiết đáp án và chia nhỏ điểm đến 0,25đ. - Học sinh có cách giải khác đáp án nếu đúng vẫn cho điểm tối đa phần ấy. Trần Văn Hồng PGD&ĐT . SO GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THCS TINH YEN BAI NĂM HỌC 2013-2014 MÔN THI: TOÁN - LỚP 8 Thời gian: 150 phút (không tính thời gian giao đề) Bài. PGD&ĐT ĐỀ CHÍNH THỨC PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THCS QUẬN NGŨ HÀNH SƠN NĂM HỌC 2011-2012 MÔN THI: TOÁN - LỚP 8 HƯỚNG DẪN CHẤM Bài Câu Nội dung Điểm Bài 1 2,0đ Câu. = 2 2 2 4 8 1 2 : 2 4 2 x x x x x x x x − + − ÷ ÷ + − − = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 4 2 8 1 2 2 : 2 2 2 x x x x x x x x x − + − − − + − − 0,50đ ( ) ( ) ( ) 2 2 8 4 8 1 2 4 : 2