Tìm giá trị nhỏ nhất đó.. Gọi M là một điểm nằm trên cạnh AB, hai đờng thẳng DM và BC cắt nhau tại N, CM cắt AN tại E.
Trang 1Phòng giáo dục và đào tạo Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện Thanh Miện Năm học 2010 - 2011
Môn: Toán - lớp 8
Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 23 tháng 04 năm 2011
Đề thi gồm: 01 trang
Câu I: (2 điểm)
a) Rút gọn biểu thức: = + +
x x x 1 x 2x 1
b) Xác định các hệ số a, b để đa thức f(x) = x3+ax b+ chia hết cho đa thức x2+ −x 6
Câu II: (2 điểm)
Giải các phơng trình sau:
2
1
x 3x 4 x 4 x 1
b) x x 2 x 1 x 1( − ) ( − ) ( + =) 24
Câu III: (2 điểm)
a) Cho x, y, z là các số khác 0 và đôi một khác nhau thỏa mãn: 1 1 1+ + =0
Tính giá trị của biểu thức: = + +
A
x 2yz y 2xz z 2xy.
b) Cho biểu thức M = 2− +
2
x 2x 2011
x với x > 0
Tìm x để M có giá trị nhỏ nhất Tìm giá trị nhỏ nhất đó
Câu IV: (3 điểm )
Cho hình thoi ABCD có ã = 0
BAD 120 Gọi M là một điểm nằm trên cạnh AB, hai đờng
thẳng DM và BC cắt nhau tại N, CM cắt AN tại E Chứng minh rằng:
a) ∆AMD∽∆CDN và 2 =
AC AM.CN
b) ∆AME∽∆CMB
Câu V: (1 điểm)
Cho a , b là các số dơng thỏa mãn: a3+b3 = +a5 b5 Chứng minh rằng: a2+b2 ≤ +1 ab
=============Hết============
Họ và tên thí sinh: Số báo danh:
Chữ ký của giám thị số 1: Chữ ký của giám thị số 2:
Trang 2Đáp án và biểu điểm:
I
2 đ
a)
1 đ ĐKXĐRút gọn A:
( ) ( )
+
− +
=
−
=
2
2
x x x 1 x 2x 1
x x 1 x 1 x 1
x 1
1 x
x x 1 x 1
x 1 A
x
0,25 đ
0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ
b)
1 đ f(x) chia hết cho 2+ −
x x 6 ⇒ f(x) chia hết cho (x + 3)(x -2)
⇒ f(- 3) = 0 ⇔ − + =3a b 27 (1) Tơng tự ta có f(2) = 0⇔2a b+ = −8 (2) Trừ hai vế của (1) cho (2) ta đợc: - 5a = 35 ⇔ = −a 7 Thay a = - 7 vào (1) tìm đợc b = 6
0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ
II
2 đ
a)
1 đ ĐKXĐ: x≠ −4 ; x 1≠
( )
( )
=
⇔ + = ⇔ = −
2
2 2
x 3x 4 x 4 x 1
1
x 4 (x 1) x 4 x 1 15x 12 x 1 4 x 4 x 3x 4
x 4x 0
x 0
x x 4 0
x = 0 (thỏa mãn đ/k) ; x = - 4(không thỏa mãn đ/k) Vậy nghiệm của phơng trình là x = 0
0,25 đ
0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ
b)
1 đ x x 2 x 1 x 1( − ) ( − ) ( + =) 24
( ) ( ) ( )
x x 1 x 2 x 1 24
x x x x 2 24
Đặt 2−
x x = t Phơng trình trở thành:
( − =)
t t 2 24
t 2t 24 0
Giải phơng trình tìm đợc t = - 4 ; t = 6
* Với t = - 4 => x2− = −x 4
2
4 4 (phơng trình vô nghiệm)
* Với t = 6 => x2− = ⇔x 6 (x 2 x 3+ ) ( − =) 0
Giải phơng trình đợc: x= - 2 ; x = 3
0,25 đ
0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ
Trang 32 đ
a)
1 đ Từ giả thiết: 1 1 1+ + = ⇒ yz xz xy+ + = ⇒ + + =
(vì x,y,z >0)
( ) ( )
yz xy xz x 2yz x yz xy xz x z x y
Tơng tự ta có: 2+
z 2xy=(z x z y− ) ( − )
y2+2xz=(y z y x− ) ( − )
Khi đó: =( − ) ( − ) (+ − ) ( − ) (+ − ) ( − )
A
− + − + −
=
− − − + − − −
=
− − − + − − −
=
=
x z x y y z
x z x y y z
x z x y y z
x z x y y z
x z x y y z
1
x z x y y z
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ b)
1 đ Ta có: M = − + = − +
=
2
2011x
Dấu “=” xấy ra ⇔( − )2 = ⇔ =
Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 2010
2011 đạt đợc khi x 2011 =
0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ
IV
1 đ 1,5 đa)
M
A
B
C
D N
E
Vẽ hình chính xác
0,25 đ
* Xét ∆AMD và ∆CDN có
ã =ã AMD CDN ( so le trong)
ã =ã ADM CND ( so le trong)
⇒ ∆AMD ∽ ∆CDN ( g g )
* Vì ∆AMD ∽ ∆CDN
0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ
Trang 4⇒ AM CN = AD CD Vì ã = 0⇒ ã = 0⇒ ∆
BAD 120 CAD 60 ACD đều
⇒ AD = CD = AC
⇒ AM CN = AC2
0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ
b)
1,25 đ
Vì AM CN = AC2 theo (a)
⇒ AM = AC
Chứng minh ã =ã = 0
MAC ACN 60
⇒ ∆MAC ∽ ∆CAN ( c g c)
⇒ ãACM CNA= ã
Mà ãACM ECN 60+ã = 0
⇒ ãCNA ECN 60+ã = 0
⇒ ãAEC 60= 0
Xét ∆AMEvà ∆CMBcó
ã =ã AME BMC ( đối đỉnh); AEM MBC 60ã = ã = 0
⇒ ∆AME∽∆CMB ( g g)
0,25 đ
0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ
0,25 đ
V
1 đ 1 đ
a b 1 ab
a b ab 1
a b a b ab a b
2a b ab a b
ab a 2a b b 0
⇔ 2− 2 2 ≥
ab a b 0 đúng ∀ a, b > 0
0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ
0,25 đ
Ghi chú: Nếu HS có cách làm khác mà kết quả đúng vẫn cho điểm tối đa