ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN (MŨI NHỌN ) 8

Giáo viên Trần Văn Đồng(b) * Trường THCS Thạch Kim SỐ Bài 1(3 điểm): Tìm x biết: a) x2 – 4x + = 25 x − 17 x − 21 x + + + =4 b) 1990 1986 1004 c) 4x – 12.2x + 32 = 1 + + = 0. x y z yz xz xy + + Tính giá trị biểu thức: A = x + yz y + 2xz z + xy Bài (1,5 điểm): Cho x, y, z đôi khác Bài (1,5 điểm): Tìm tất số phương gồm chữ số biết ta thêm đơn vị vào chữ số hàng nghìn , thêm đơn vị vào chữ số hàng trăm, thêm đơn vị vào chữ số hàng chục, thêm đơn vị vào chữ số hàng đơn vị , ta số phương. Bài (4 điểm): Cho tam giác ABC nhọn, đường cao AA’, BB’, CC’, H trực tâm. HA' HB' HC' + + a) Tính tổng AA' BB' CC' b) Gọi AI phân giác tam giác ABC; IM, IN thứ tự phân giác góc AIC góc AIB. Chứng minh rằng: AN.BI.CM = BN. IC.AM. (AB + BC + CA ) c) Tam giác ABC biểu thức đạt giá trị nhỏ AA' + BB' + CC' nhất? ĐÁP ÁN • Bài 1(3 điểm): a) Tính x = 7; x = -3 b) Tính x = 2007 c) 4x – 12.2x +32 = ⇔ 2x.2x – 4.2x – 8.2x + 4.8 = ⇔ 2x(2x – 4) – 8(2x – 4) = ⇔ (2x – 8)(2x – 4) = ⇔ (2x – 23)(2x –22) = ⇔ 2x –23 = 2x –22 = ⇔ 2x = 23 2x = 22 ⇔ x = 3; x = ( điểm ) ( điểm ) ( 0,25điểm ) ( 0,25điểm ) ( 0,25điểm ) ( 0,25điểm ) • Bài 2(1,5 điểm): 1 xy + yz + xz + + =0⇒ = ⇒ xy + yz + xz = ⇒ yz = –xy–xz ( 0,25điểm ) x y z xyz x2+2yz = x2+yz–xy–xz = x(x–y)–z(x–y) = (x–y)(x–z) ( 0,25điểm ) Giáo viên Trần Văn Đồng(b) * Trường THCS Thạch Kim Tương tự: y2+2xz = (y–x)(y–z) ; z2+2xy = (z–x)(z–y) Do đó: A = yz xz xy + + ( x − y)( x − z ) ( y − x )( y − z ) ( z − x )(z − y) Tính A = ( 0,25điểm ) ( 0,25điểm ) ( 0,5 điểm ) • Bài 3(1,5 điểm): Gọi abcd số phải tìm a, b, c, d ∈ N, ≤ a , b, c, d ≤ 9, a ≠ (0,25điểm) Ta có: abcd = k với k, m ∈ N, 31 < k < m < 100 (a + 1)(b + 3)(c + 5)(d + 3) = m (0,25điểm) ⇔ ⇔ abcd = k abcd + 1353 = m (0,25điểm) Do đó: m2–k2 = 1353 ⇒ (m+k)(m–k) = 123.11= 41. 33 ( k+m < 200 ) (0,25điểm) m+k = 123 m+k = 41 ⇒ m–k = 11 m–k = 33 m = 67 m = 37 ⇔ k = 56 k= (0,25điểm) Kết luận (0,25điểm) abcd = 3136 • Bài (4 điểm): Vẽ hình (0,25điểm) .HA'.BC S HBC HA' = = a) ; S ABC AA' .AA'.BC (0,25điểm) Tương tự: S HAB HC' S HAC HB' = = ; S ABC CC' S ABC BB' (0,25điểm) Giáo viên Trần Văn Đồng(b) * Trường THCS Thạch Kim HA' HB' HC' SHBC S HAB S HAC + + = + + =1 AA' BB' CC' S ABC S ABC S ABC (0,25điểm) b) Áp dụng tính chất phân giác vào tam giác ABC, ABI, AIC: BI AB AN AI CM IC = ; = ; = IC AC NB BI MA AI (0,5điểm ) BI AN CM AB AI IC AB IC (0,5điểm ) . . = . . = . =1 IC NB MA AC BI AI AC BI (0,5điểm ) ⇒ BI .AN.CM = BN.IC.AM c)Vẽ Cx ⊥ CC’. Gọi D điểm đối xứng A qua Cx (0,25điểm) -Chứng minh góc BAD vuông, CD = AC, AD = 2CC’ (0,25điểm) - Xét điểm B, C, D ta có: BD ≤ BC + CD (0,25điểm) - ∆ BAD vuông A nên: AB2+AD2 = BD2 ⇒ AB2 + AD2 ≤ (BC+CD)2 AB2 + 4CC’2 ≤ (BC+AC)2 4CC’2 ≤ (BC+AC)2 – AB2 (0,25điểm) Tương tự: 4AA’2 ≤ (AB+AC)2 – BC2 4BB’2 ≤ (AB+BC)2 – AC2 -Chứng minh : 4(AA’2 + BB’2 + CC’2) ≤ (AB+BC+AC)2 (AB + BC + CA ) ⇔ ≥ (0,25điểm) AA'2 + BB'2 + CC'2 Đẳng thức xảy ⇔ BC = AC, AC = AB, AB = BC ⇔ ⇔ ∆ ABC AB = AC =BC Kết luận (0,25điểm) *Chú ý :Học sinh giải cách khác, xác hưởng trọn số điểm câu SỐ Bài (4 điểm)  − x3  − x2   − x : Cho biểu thức A =   − x − x + x với x khác -1 1.  1− x  a, Rút gọn biểu thức A. b, Tính giá trị biểu thức A x = −1 . c, Tìm giá trị x để A < 0. Bài (3 điểm) 2 Cho ( a − b ) + ( b − c ) + ( c − a ) = 4.( a + b + c − ab − ac − bc ) . Chứng minh a = b = c. Giáo viên Trần Văn Đồng(b) * Trường THCS Thạch Kim Bài (3 điểm) Giải toán cách lập phương trình. Một phân số có tử số bé mẫu số 11. Nếu bớt tử số đơn vị tăng mẫu lên đơn vị phân số nghịch đảo phân số cho. Tìm phân số đó. Bài (2 điểm) Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = a − 2a + 3a − 4a + . Bài (3 điểm) Cho tam giác ABC vuông A có góc ABC 600, phân giác BD. Gọi M,N,I theo thứ tự trung điểm BD, BC, CD. a, Tứ giác AMNI hình gì? Chứng minh. b, Cho AB = 4cm. Tính cạnh tứ giác AMNI. Bài (5 điểm) Hình thang ABCD (AB // CD) có hai đường chéo cắt O. Đường thẳng qua O song song với đáy AB cắt cạnh bên AD, BC theo thứ tự M N. a, Chứng minh OM = ON. b, Chứng minh 1 + = . AB CD MN c, Biết SAOB= 20082 (đơn vị diện tích); SCOD= 20092 (đơn vị diện tích). Tính SABCD. Đáp án Bài 1( điểm ) a, ( điểm ) Với x khác -1 : A= 0,5đ 1− x − x + x (1 − x)(1 + x) : 1− x (1 + x)(1 − x + x ) − x(1 + x) (1 − x)(1 + x + x − x) (1 − x)(1 + x ) : = 1− x (1 + x)(1 − x + x ) = (1 + x ) : (1 − x) = (1 + x )(1 − x) 0,5đ 0,5đ 0,5đ b, (1 điểm) = − A = 3 25 = (1 + )(1 + ) 34 272 = . = = 10 27 27 Tại x = − 2    1 + (− )  − 1 − ( − )  c, (1điểm) Với x khác -1 A với x nên (1) xảy − x < ⇔ x > KL 0,25đ 0,25đ 0,5đ 0,25đ 0,5đ 0,25đ Giáo viên Trần Văn Đồng(b) * Trường THCS Thạch Kim Bài (3 điểm) Biến đổi đẳng thức để 0,5đ a + b − 2ab + b + c − 2bc + c + a + 2ac = 4a + 4b + 4c − 4ab − 4ac − 4bc Biến đổi để có (a + b − 2ac) + (b + c − 2bc) + (a + c − 2ac) = Biến đổi để có (a − b) + (b − c) + (a − c) = (*) Vì (a − b) ≥ ; (b − c) ≥ ; (a − c) ≥ ; với a, b, c nên (*) xảy (a − b) = ; (b − c) = (a − c) = ; Từ suy a = b = c 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ Bài (3 điểm) Gọi tử số phân số cần tìm x mẫu số phân số cần tìm x+11. Phân số cần tìm x (x số nguyên khác -11) x + 11 Khi bớt tử số đơn vị tăng mẫu số đơn vị ta phân số (x khác -15) Theo ta có phương trình x−7 x + 15 x x + 15 = x + 11 x − 0,5đ 0,5đ Giải phương trình tìm x= -5 (thoả mãn) Từ tìm phân số − 0,5đ 1đ 0,5đ Bài (2 điểm) 0,5đ Biến đổi để có A= a (a + 2) − 2a(a + 2) + (a + 2) + = (a + 2)(a − 2a + 1) + = (a + 2)(a − 1) + Vì a + > ∀a (a − 1) ≥ 0∀a nên (a + 2)(a − 1) ≥ 0∀a 0,5đ 0,5đ (a + 2)(a − 1) + ≥ 3∀a Dấu = xảy a − = ⇔ a = KL Bài (3 điểm) 0,25đ 0,25đ B N M A D I a,(1 điểm) Chứng minh tứ giác AMNI hình thang Chứng minh AN=MI, từ suy tứ giác AMNI hình thang cân C 0,5đ 0,5đ Giáo viên Trần Văn Đồng(b) * Trường THCS Thạch Kim b,(2điểm) 0,5đ cm ; BD = 2AD = cm 3 AM = BD = cm Tính NI = AM = cm DC = BC = cm , MN = DC = cm 3 Tính AI = cm Tính AD = 0,5đ 0,5đ 0,5đ B A M Bài (5 điểm) O N D C a, (1,5 điểm) OM OD ON OC = = , AB BD AB AC OD OC = Lập luận để có DB AC OM ON ⇒ ⇒ OM = ON = AB AB Lập luận để có 0,5đ 0,5đ 0,5đ b, (1,5 điểm) OM DM OM AM = = (1), xét ∆ADC để có (2) AB AD DC AD 1 AM + DM AD + = =1 Từ (1) (2) ⇒ OM.( )= AB CD AD AD 1 ) =1 Chứng minh tương tự ON. ( + AB CD 1 1 )=2 ⇒ + = từ có (OM + ON). ( + AB CD AB CD MN Xét ∆ABD để có 0,5đ 0,5đ 0,5đ b, (2 điểm) S AOB OB S BOC OB S S = = ⇒ AOB = BOC ⇒ S AOB .S DOC = S BOC .S AOD , S AOD OD S DOC OD S AOD S DOC Chứng minh S AOD = S BOC ⇒ S AOB .S DOC = ( S AOD ) Thay số để có 20082.20092 = (SAOD)2 ⇒ SAOD = 2008.2009 Do SABCD= 20082 + 2.2008.2009 + 20092 = (2008 + 2009)2 = 40172 (đơn vị DT) 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ Giáo viên Trần Văn Đồng(b) * Trường THCS Thạch Kim SỐ Bài 1: Cho x = a − (b − c)2 b2 + c2 − a ;y= (b + c) − a 2bc Tính giá trị P = x + y + xy Bài 2: Giải phương trình: 1 1 a, = +b+ a+b− x a x b, (x ẩn số) (b − c)(1 + a ) (c − a )(1 + b) (a − b)(1 + c) + + =0 x + a2 x + b2 x + c2 (a,b,c số đôi khác nhau) Bài 3: Xác định số a, b biết: (3 x + 1) = a + b ( x + 1) ( x + 1)3 ( x + 1) Bài 4: Chứng minh phương trình: 2x2 – 4y = 10 nghiệm nguyên. Bài 5: Cho ∆ ABC; AB = 3AC Tính tỷ số đường cao xuất phát từ B C SỐ Bài 1: (2 điểm)  1    x − A = + + + Cho biểu thức:   ÷  ÷ : x x + 2x + x x +      x ( )  a/ Thu gọn A b/ Tìm giá trị x để A 0, CMR: b, Cho a,b,c,d > CMR: Bài 4: 1 + ≥ a b a+b a−d d −b b−c c−a ≥ + + + d +b b+c c+a a+d x + xy + y a, Tìm giá trị lớn nhất: E = với x,y > x − xy + y x b, Tìm giá trị lớn nhất: M = ( x + 1995)2 với x > Bài 5: a, Tìm nghiệm ∈ Z PT: xy – 4x = 35 – 5y b, Tìm nghiệm ∈ Z PT: x2 + x + = y2 Bài 6: Giáo viên Trần Văn Đồng(b) * Trường THCS Thạch Kim Cho VABC M điểm ∈ miền VABC . D, E, F trung điểm AB, AC, BC; A’, B’, C’ điểm đối xứng M qua F, E, D. a, CMR: AB’A’B hình bình hành. b, CMR: CC’ qua trung điểm AA’ SỐ Bài 1: (2 điểm) a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a (b + c) (b − c) + b(c + a) (c − a ) + c(a + b) (a − b) 1 b) Cho a, b, c khác nhau, khác + + = a b c 1 + + Rút gọn biểu thức: N = a + 2bc b + 2ca c + 2ab Bài 2: (2điểm) a) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: M = x + y − xy − x + y + b) Giải phương trình: ( y − 4,5) + ( y − 5,5) − = Bài 3: (2điểm) Một người xe máy từ A đến B với vận tốc 40 km/h. Sau 15 phút, người gặp ô tô, từ B đến với vận tốc 50 km/h. ô tô đến A nghỉ 15 phút trở lại B gặp người xe máy một địa điểm cách B 20 km. Tính quãng đường AB. Bài 4: (3điểm) Cho hình vuông ABCD. M điểm đường chéo BD. Kẻ ME MF vuông góc với AB AD. a) Chứng minh hai đoạn thẳng DE CF vuông góc với nhau. b) Chứng minh ba đường thẳng DE, BF CM đồng quy. c) Xác định vị trí điểm M để tứ giác AEMF có diện tích lớn nhất. Bài 5: (1điểm) Tìm nghiệm nguyên phương trình: 3x + y = 345 §Ò thi hsg líp SỐ MÔN TOÁN Thời gian: 120 phút Bài 1: (2,5điểm) Phân tích đa thức thành nhân tử a) x5 + x +1 b) x4 + c) x x - 3x + x -2 với x > Bài : (1,5điểm) Cho abc = Rút gọn biểu thức: A= Bài 3: (2điểm) a b 2c + + ab + a + bc + b + ac + 2c + 10 Giáo viên Trần Văn Đồng(b) * Trường THCS Thạch Kim Cho 4a2 + b2 = 5ab 2a > b > ab Tính: P = 4a − b Bài : (3điểm) Cho tam giác ABC cân A. Trên BC lấy M cho BM < CM. Từ N vẽ đường thẳng song song với AC cắt AB E song song với AB cắt AC F. Gọi N điểm đối xứng M qua E F. a) Tính chu vi tứ giác AEMF. Biết : AB =7cm b) Chứng minh : AFEN hình thang cân c) Tính : ANB + ACB = ? d) M vị trí để tứ giác AEMF hình thoi cần thêm điều kiện ∆ ABC AEMF hình vuông. Bài 5: (1điểm) Chứng minh với số nguyên n : 52n+1 + 2n+4 + 2n+1 chia hết cho 23. §Ò thi hsg líp SỐ 10 MÔN TOÁN Thời gian: 120 phút Bài 1: (2 điểm) a) Phân tích thành thừa số: (a + b + c) − a − b − c b) Rút gọn: x − x − 12 x + 45 x − 19 x + 33x − Bài 2: (2 điểm) Chứng minh rằng: A = n (n − 7) − 36n chia hết cho 5040 với số tự nhiên n. Bài 3: (2 điểm) a) Cho ba máy bơm A, B, C hút nước giếng. Nếu làm máy bơm A hút 12 giờ, máy bơm B hút hếtnước 15 máy bơm C hút 20 giờ. Trong đầu hai máy bơm A C làm việc sau dùng đến máy bơm B. Tính xem giếng hết nước. b) Giải phương trình: x + a − x − 2a = 3a (a số). Bài 4: (3 điểm) Cho tam giác ABC vuông C (CA > CB), điểm I cạnh AB. Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa điểm C người ta kẻ tia Ax, By vuông góc với AB. Đường thẳng vuông góc với IC kẻ qua C cắt Ax, By điểm M, N. a) Chứng minh: tam giác CAI đồng dạng với tam giác CBN. b) So sánh hai tam giác ABC INC. c) Chứng minh: góc MIN = 900. d) Tìm vị trí điểm I cho diện tích ∆IMN lớn gấp đôi diện tích ∆ABC. Bài 5: (1 điểm) Chứng minh số: 11 Giáo viên Trần Văn Đồng(b) * Trường THCS Thạch Kim 22499     9100      .09 n-2 sè n sè số phương. ( n ≥ ). Đề 11: Câu : ( ñieåm ) Phân tích biểu thức sau thừa số M = xyz + x ( y2 + z2 ) + y ( x2 + z2 ) + z ( x2 + y2 ) Câu : ( ñieåm ) Định a b để đa thức A = x4 – x3 + ax2 + bx + bình phương đa thức khác . Câu : ( ñieåm ) Cho biểu thức :  x2   10 − x      + + : x − + P=    x +   x − x − 3x x +   a) Rút gọn p . b) Tính giá trị biểu thức p /x / = c) Với giá trị x p = d) Tìm giá trị nguyên x để p có giá trị nguyên . Câu : ( ñieåm ) Cho a , b , c thỏa mãn điều kiện a2 + b2 + c2 = Chứng minh : abc + ( + a + b + c + ab + ac + bc ) ≥ Câu : ( 3ñieåm) Qua trọng tâm G tam giác ABC , kẻ đường thẳng song song với AC , cắt AB BC M N . Tính độ dài MN , biết AM + NC = 16 (cm) ; Chu vi tam giác ABC 75 (cm) Câu : ( ñieåm ) Cho tam giác ABC . M, N điểm chuyển động hai cạnh BC AC cho BM = CN xác định vị trí M , N để độ dài đoạn thẳng MN nhỏ . 12 [...]... 5: (1điểm) Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì : 52n+1 + 2n+4 + 2n+1 chia hết cho 23 §Ò thi hsg líp 8 SỐ 10 MÔN TOÁN Thời gian: 120 phút Bài 1: (2 điểm) a) Phân tích thành thừa số: (a + b + c) 3 − a 3 − b 3 − c 3 b) Rút gọn: 2 x 3 − 7 x 2 − 12 x + 45 3 x 3 − 19 x 2 + 33x − 9 Bài 2: (2 điểm) Chứng minh rằng: A = n 3 (n 2 − 7) 2 − 36n chia hết cho 5040 với mọi số tự nhiên n Bài 3: (2 điểm) a) Cho ba... MIN = 900 d) Tìm vị trí điểm I sao cho diện tích ∆IMN lớn gấp đôi diện tích ∆ABC Bài 5: (1 điểm) Chứng minh rằng số: 11 Giáo viên Trần Văn Đồng(b) * Trường THCS Thạch Kim 22499 9100         09 n-2 sè 9 n sè 0 là số chính phương ( n ≥ 2 ) Đề 11: Câu 1 : ( 2 ñieåm ) Phân tích biểu thức sau ra thừa số M = 3 xyz + x ( y2 + z2 ) + y ( x2 + z2 ) + z ( x2 + y2 ) Câu 2 : ( 4 ñieåm ) Định a và... ñieåm ) Cho biểu thức :  x2 6 1   10 − x 2   3 :x−2+  + + P=    x+2   x − 4 x 6 − 3x x + 2    a) Rút gọn p b) Tính giá trị của biểu thức p khi /x / = 3 4 c) Với giá trị nào của x thì p = 7 d) Tìm giá trị nguyên của x để p có giá trị nguyên Câu 4 : ( 3 ñieåm ) Cho a , b , c thỏa mãn điều kiện a2 + b2 + c2 = 1 Chứng minh : abc + 2 ( 1 + a + b + c + ab + ac + bc ) ≥ 0 Câu 5 : ( 3ñieåm) Qua... nước b) Giải phương trình: 2 x + a − x − 2a = 3a (a là hằng s ) Bài 4: (3 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại C (CA > CB), một điểm I trên cạnh AB Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa điểm C người ta kẻ các tia Ax, By vuông góc với AB Đường thẳng vuông góc với IC kẻ qua C cắt Ax, By lần lượt tại các điểm M, N a) Chứng minh: tam giác CAI đồng dạng với tam giác CBN b) So sánh hai tam giác ABC và INC c) Chứng... Đồng(b) * Trường THCS Thạch Kim Cho 4a2 + b2 = 5ab và 2a > b > 0 ab Tính: P = 4a 2 − b 2 Bài 4 : (3điểm) Cho tam giác ABC cân tại A Trên BC lấy M bất kì sao cho BM < CM Từ N vẽ đường thẳng song song với AC cắt AB tại E và song song với AB cắt AC tại F Gọi N là điểm đối xứng của M qua E F a) Tính chu vi tứ giác AEMF Biết : AB =7cm b) Chứng minh : AFEN là hình thang cân c) Tính : ANB + ACB = ? d) M ở... + bc ) ≥ 0 Câu 5 : ( 3ñieåm) Qua trọng tâm G tam giác ABC , kẻ đường thẳng song song với AC , cắt AB và BC lần lượt tại M và N Tính độ dài MN , biết AM + NC = 16 (cm) ; Chu vi tam giác ABC bằng 75 (cm) Câu 6 : ( 4 ñieåm ) Cho tam giác đều ABC M, N là các điểm lần lượt chuyển động trên hai cạnh BC và AC sao cho BM = CN xác định vị trí của M , N để độ dài đoạn thẳng MN nhỏ nhất 12 . x(x–y)–z(x–y) = (x–y)(x–z) ( 0,25điểm ) 1 Giáo viên Trần Văn Đồng(b) * Trường THCS Thạch Kim Tương tự: y 2 +2xz = (y–x)(y–z) ; z 2 +2xy = (z–x)(z–y) ( 0,25điểm ) Do đó: )yz)(xz( xy )zy)(xy( xz )zx)(yx( yz A −− + −− + −− = . điểm ) c) 4 x – 12.2 x +32 = 0 ⇔ 2 x .2 x – 4.2 x – 8. 2 x + 4 .8 = 0 ( 0,25điểm ) ⇔ 2 x (2 x – 4) – 8( 2 x – 4) = 0 ⇔ (2 x – 8) ( 2 x – 4) = 0 ( 0,25điểm ) ⇔ (2 x – 2 3 )( 2 x –2 2 ). A= )1 ()1 )( 1( )1 )( 1( : 1 1 2 23 xxxxx xx x xxx +−+−+ +− − +−− 0,5đ = )2 1)( 1( )1 )( 1( : 1 )1 )( 1( 2 2 xxx xx x xxxx +−+ +− − −++− 0,5đ = )1 ( 1 :)1 ( 2 x x − + 0,5đ = )1 )( 1( 2 xx −+ 0,5đ b, (1 điểm) Tại x = 3 2 1− = 3 5 − thì