16 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 CÓ ĐÁP ÁN16 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 CÓ ĐÁP ÁN16 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 CÓ ĐÁP ÁN16 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 CÓ ĐÁP ÁN16 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 CÓ ĐÁP ÁN16 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 CÓ ĐÁP ÁN16 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 CÓ ĐÁP ÁN16 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 CÓ ĐÁP ÁN16 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 CÓ ĐÁP ÁN
BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LẦN 1( GỒM 16 ĐỀ) ĐỀ SỐ Bài 1: (2 điểm) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) 5x2 - 26x + 24 c) x2 + 6x + 3 b) x x x d) x4 + 2015x2 + 2014x + 2015 Bài 2: (1,5 điểm) a) Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào biến: � 7� 3x � (6 x + 7)(2 x – 3) – (4 x + 1) � � 4� x y b) Tính giá trị biểu thức P = Biết x – y = x y (x + y ≠ 0, y ≠ 0) x y c) Tìm số dư phép chia biểu thức x x x x 2015 cho đa thức x 10 x 21 Bài (1,25 điểm): Cho biểu thức A 4xy y x2 � � :� 2 � y xy x � �y x a) Tìm điều kiện x, y để giá trị A xác định b) Rút gọn A c) Nếu x; y số thực làm cho A xác định thoả mãn: 3x + y2 + 2x – 2y = 1, tìm tất giá trị nguyên dương A? Bài : (2 điểm) Giải phương trình sau: a) x3 - 2x2 - 5x + = c) x x x 10 x 24 x x 18 b) 3x 3 x d, x2 – y2 + 2x – 4y – 10 = với x,y nguyên dương Bài : (2,75 điểm) Cho hình vng ABCD Qua A vẽ hai đường thẳng vng góc với cắt BC P R, cắt CD Q S a) Chứng minh AQR APS tam giác cân b) QR cắt PS H; M, N trung điểm QR PS Chứng minh tứ giác AMHN hình chữ nhật c) Chứng minh P trực tâm SQR d) Chứng minh MN đường trung trực AC e) Chứng minh bốn điểm M, B, N, D thẳng hàng Bài : (0,5 điểm) a) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A = 13x2 + y2 + 4xy - 2y - 16x + 2015 b) Cho hai số a,b thỏa mãn điều điều kiện a + b = Chứng minh a3 + b3+ ab HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI NỘI DUNG Bài a) 5x2 - 26x + 24 = 5x2 - 6x - 20x + 24 = x(5x - 6) - 4(5x - 6) = (5x - 6)(x - 4) 3 (2 điểm) 3 1 1 1 1 b) x x x = x 3. x 3. x .12 13 = x 1 2 2 2 2 c) x2 + 6x + = x2 + x + 5x + = x(x + 1) + 5(x + 1) = x 1 x 5 d) x4 + 2015x2 + 2014x + 2015 = x4 + x3 + x2 – x3 – x2 – x + 2015x2 + 2015x +2015 = x2 (x2 + x + 1) – x(x2 + x + 1) + 2015(x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)(x2 – x + 2015) THANG ĐIỂM 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm Bài (1,5 điểm) � 7� x �= 12x2 – 18x + 14x - 21 – 12x2 + 7x – a) ( x + 7)(2 x – 3) – (4 x + 1) � � 4� 77 3x + = 4 2 b) x – 2y = xy x2 – xy – 2y2 = (x + y)(x – 2y) = 2y y y Vì x + y ≠ nên x – 2y = x = 2y Khi A = y y 3y c) P( x) x x x x 2015 x 10 x 16 x 10 x 24 2015 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm Đặt t x 10 x 21 (t �3; t �7) , biểu thức P(x) viết lại: P( x ) t t 3 2015 t 2t 2000 Bài (1,25 điểm) Do chia t 2t 2000 cho t ta có số dư 2000 a) Điều kiện: x ��y; y �0 b) A = 2x (x+y) c) Cần giá trị lớn A, từ tìm tất giá trị nguyên dương A Từ (gt): 3x2 + y2 + 2x – 2y = � 2x2 + 2xy + x2 – 2xy + y2 + 2(x – y) =1 � 2x(x + y) + (x – y)2 + 2(x – y) + = � A + (x – y + 1)2 = � A = – (x – y + 1)2 �2 (do (x – y + 1) �0 (với x ; y) � A �2 � x y 1 � x � � � 2x x y � � + A = � � � y x � � y;y � � � 0,25 điểm 0,5 điểm 0,25 điểm � (x y 1)2 � 2x x y Từ đó, cần cặp giá trị x + A = � 0,25 điểm � x � � y;y � � � 21 x � � y, chẳng hạn: � 2 � y � � + Vậy A có giá trị nguyên dương là: A = 1; A = Bài a) x3 - 2x2 - 5x + = x3 - x2 - x2 + x - 6x + = (x - 1)(x2 - x - 6) = (2 điểm) x 1 (x - 1)(x + 2)(x - 3) = x x 3 b) 3x 3 x 3x 3 x 3x 0 x 0,5 điểm 0,5 điểm c) ĐKXĐ: x ≠ -1; -4; -6; 3 � x 1 x x x x 3 x 0,25 điểm ��1 � �1 � �1 �� � � � � � �x x � �x x � �x x � x 3 x 1 x 3 x 1 � � x 1 x 3 x 1 x x 1 x x 1 x � x2 8x � 4x x 2 Bài (2,75 điểm Bài (0,5 điểm x = x = (thỏa mãn điền kiện) Vậy tập nghiệm phương trình: S = d, x2 – y2 + 2x – 4y – 10 = với x,y nguyên dương x2 - y2 + 2x - 4y - 10 = (x2+2x+1) - (y2+4y+4) – = (x+1)2 - (y+2)2 = (x – y - 1)(x + y + 3) = Vì x, y nguyên dương Nên x + y + > x – y – > x + y + = x – y – = x = 3; y = Phương trình có nghiệm dương (x , y) = (3 ; 1) Vẽ hình, cân đối đẹp a) a) ADQ = ABR chúng hai tam giác vng (2 góc có cạnh t.ư vng góc) DA = BD (cạnh hình vng) Suy AQ=AR, nên AQR tam giác vuông cân Chứng minh tương tự ta có: ABP = ADS AP =AS APS tam giác cân A b) AM AN đường trung tuyến tam giác vuông cân AQR APS nên AN SP AM RQ 0,25 điểm 0,5 điểm 0,25 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm � PAM � = 450 nên góc MAN vng Vậy tứ giác AHMN có ba Mặt khác : PAN góc vng, nên hình chữ nhật c) Theo giả thiết: QA RS, RC SQ nên QA RC hai đờng cao SQR 0,25 điểm Vậy P trực tâm SQR d) Trong tam giác vng cân AQR MA trung điểm nên AM = QR MA = MC, nghĩa M cách A C 0,25 điểm Chứng minh tương tự cho tam giác vuông cân ASP tam giác vng SCP, ta có NA = NC, nghĩa N cách A C Hay MN trung trực AC 0,5 điểm e) Vì ABCD hình vng nên B D cách A C Nói cách khác, bốn điểm M, N, B, D cách A C nên chúng phải nằm đường trung trực AC, nghĩa chúng thẳng hàng a) A = 13x2 + y2 + 4xy - 2y - 16x + 2015 = y2 + 4xy - 2y + 13x2 - 16x + 2015 = y2 + 2y(2x - 1) + (2x -1)2 + 9x2 - 12 x + 2015 = (y + 2x - 1)2 + (3x - 2)2 + 2010 0,25 điểm Chứng tỏ A 2010, dấu " =" xảy (x = ; y = ) 3 Vậy A = 2010 (x = ; y = ) 3 b) Ta có a3+ b3 + ab 1 (1) a3+b3+ab - 0 (a+b)(a2+ b2-ab) + ab- 0 2 0,25 điểm 0 (vì a + b =1) 2a2+2b2-1 0 2a2+2(1-a)2-1 0 (vì b = 1- a) 2 1 2 2a +2 - 4a + 2a - 0 4(a - a + ) 0 4 a 0 a (2) 2 đpcm a2+b2- ĐỀ SỚ Bài 1: (4,0 điểm) Phân tích thành nhân tử: a/ a2 – 7a + 12 b/ x4 + 2015x2 + 2014x + 2015 c/ x3 + y3 + z3 – 3xyz d/ (x2 - 8)2 + 36 Bài 2: (4,0 điểm) Tìm x, biết: a/ x 12 ; c/ x ; : x 3 ; 4 x x x x 1 d/ 2011 2012 2013 2014 b/ Bài 3: (2,0 điểm) a 4a Tìm a �Z để A số nguyên a 2a 4a b/ Tìm số tự nhiên n để n5 + chia hết cho n3 + Bài 4: (2,0 điểm) a 1 b c a/ Tìm a, b, c biết 5a - 3b - 4c = 46 b/ Tìm số hữu tỉ a b biết: a + b = ab = a : b (b �0) Bài 5: (2,0 điểm) 1 a/ Cho a + b + c = = Tính a b c a b c 1 1 b/ Cho a + b + c = 2014 a b a c b c 2014 a b c Tính: S = bc ac ab Câu 6: (3,0 điểm) Cho tam giác ABC có góc A nhỏ 90 Trên nửa mặt phẳng không chứa điểm C, bờ đường thẳng AB vẽ AF vng góc với AB AF = AB Trên nửa mặt phẳng không chứa điểm B, bờ đường thẳng AC vẽ AH vng góc với AC AH = AC Gọi D trung điểm BC Trên tia đối tia DA lấy điểm I cho DI = DA Chứng minh rằng: a/ AI = FH ; b/ DA FH Bài 7: (2 điểm)Cho hình bình hành ABCD có E, F thứ tự trung điểm AB, CD a/ Chứng minh đường thẳng AC, BD, EF cắt trung điểm đường b/ Gọi giao điểm AC với DE BF theo thứ tự M N Chứng minh EMFN hình bình hành Bài 8: (1 điểm) Tìm giá trị nhỏ của: A x x 1 x 3 x x 10 a/ Cho A = HƯỚNG DẪN CHẤM Bài 1: (4 điểm) a/ a2 – 7a + 12 = a2 – 3a – 4a + 12 = a(a – 3) – 4(a – 3) = (a – 3)(a – 4) b/ x + 2015x + 2014x + 2015 = x4 + x3 + x2 + 2014x2 + 2014x + 2014 – x3 + = x2(x2 + x + 1) + 2014(x2 + x + 1)–(x – 1)(x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)(x4 + 2014 – x + 1) = (x + x + 1)(x4– x + 2015) c/ x3 + y3 + z3 – 3xyz = (x + y)3 – 3xy(x + y) + z3 – 3xyz = = (x + y + z)3 – 3z(x + y)(x + y + z) – 3xy(x + y + z) = (x + y + z)[(x + y + z)2 – 3z(x + y) – 3xy] = (x + y + z)[x2 + y2 + z2 + 2xy + 2yz + 2zx – 3zx – 3zy – 3xy] = (x + y + z)(x2 + y2 + z2 – xy – yz – zx) d/ (x2 - 8)2 + 36 = (x2+ 6x+10)(x2 -6x +10) Bài 2: (4 điểm) 2 a/ x 12 � x 16 � x 24 Vậy x = -24 3 1 15 � 15 � 1 �� x Vậy x = b/ : x 3 � : x � x : � 4 4 � 4� 15 15 c/ x Xét trường hợp: * Nếu x �5/3 ta có: 3x - = � 3x = � x = (t/m ĐK trên) * Nếu x < 5/3 ta có: 3x-5 = - � 3x = � x = 1/3 (t/m ĐK xét) Vậy x = ; x = 1/3 x x x x 1 �x � �x � �x � �x � �� 1� � 1� � 1� � 1� d/ 2011 2012 2013 2014 �2011 � �2012 � �2013 � �2014 � x 2015 x 2015 x 1015 x 2015 � 2011 2012 2013 2014 1 � �1 � x 2015 � � �2011 2012 2013 2014 � 1 1 � x 2015 � x 2015 �0 2011 2012 2013 2014 Vậy x = - 2015 Bài 3: (2,0 điểm) a/ Rút gọn A = a2 � a = 1; a = Để A nguyên � nguyên � M a2 b/ n5 + Mn3 + � n2 (n3 + 1) - (n2 - 1) M(n3 + 1) � (n + 1)(n - 1) M(n3 + 1) � (n + 1)(n - 1) M(n + 1)(n2 – n + 1) � (n - 1) M(n2 – n + 1) (vì n + �0) + Nếu n = M1 + Nếu n > (n - 1) < n(n - 1) + < n2 – n + nên xảy n - Mn2 – n + Vậy giá trị n tìm n = Bài 4: (2,0 điểm) a/ Ta có: a b c 5a 3b 4c 20 10 12 24 a b c 5a 3b 4c 20 � 10 12 24 Vì 5a - 3b - 4c = 46 nên: a b c 46 52 2 26 26 Suy a - = - � a = -3; b + = - � b = -11; c - = -12 � c = - Vậy a = -3; b = - 11 ; c = - b/ Ta có a + b = ab � a = ab - b = b(a-1) Do đó: a : b = b(a - 1) = a - nên a + b = a - � b = -1 a = -1(a - 1) � a = -a + � 2a = � a = 0,5 Vậy a = 0,5 ; b = -1 Bài 5: (2,0 điểm) a/ Phân tích giả thiết để suy đfcm 1 Phần có a+b+c thay = a b c 1 1 b/ Ta có: a b a c b c 2011 a + b + c = 2014 � a = 2014- (b + c); b = 2014-(a + c); c = 2014 - (a + b) Do đó: 2014 b c 2014 a c 2014 a b S bc ac ab 2014 2014 2014 1 1 1 bc ac a b 1 � �1 2014 � � �b c a c a b � 2 = 2014 2014 Vậy S = - Câu 6: (3,0 điểm) H K Phân tích A F B D C a/ - Xét BDI CDA có: DB = DC (gt), I � CDA � (đối đỉnh), DA = DI (gt) BDI � BDI = CDA (c.g.c) � BI = CA (2 cạnh tương ứng), � CAD � (2 góc tương ứng) Mặt khác góc vị trí so le nên suy BI//AC BID - Xét ABI FAH có: � ), � (cùng bù với BAC AB=AF (gt), � ABI FAH BI = AH (cùng = AC) � ABI = EAH (c.g.c) � AI = FH (2 cạnh tương ứng) b/ Gọi K giao điểm DA FH ta có: � FAK � 900 , mà � � BAI AFH BAI � 900 � nên � hay � AFH FAK AFK BAI � 900 - Xét AFK có � AFH FAK � 900 � AK FK � AI FH � FKA A (vì I, K thuộc đường thẳng AD, K thuộc EH) Bài 7: (2 điểm) a/ - Hình vẽ: E // // B M O N D // F // C - Gọi O giao điểm hai đường chéo hình bình hành ABCD, ta có O trung điểm BD - Chứng minh BEDF hình bình hành - Có O trung điểm BD nên O trung điểm EF - Vậy EF, BD, AC đồng quy O b/ Xét ABD có M trọng tâm, nên OM OA - Xét BCD có N trọng tâm, nên ON OC - Mà OA = OC nên OM = ON - Tứ giác EMFN có OM = ON OE = OF nên hình bình hành Bài 8: (1 điểm) A x x x x x 12 10 Đặt x x = t � A t t t 10 t 6t t 3 �1 A t Min đạt t = -3 � A x Min đạt x x = -3 � x2 - 7x + = � x = 13 ; x = 13 2 ĐỀ SỐ Bài (3,5 điểm) Phân tích đa thức thành nhân tử: x 1) 18x3 25 2) a(a + 2b)3 - b(2a + b)3 3) (x – 2)(x – 3)(x – 4)(x – 5) + Bài (2,5 điểm) x 1 x3 � �3 Cho biểu thức: A = � �: �x x 2 x �4 x 1) Hãy tìm điều kiện x để giá trị biểu thức A xác định 2) Chứng minh giá trị biểu thức xác định khơng phụ thuộc vào giá trị biến x Bài (3,0 điểm) 1) (1,5 điểm) Cho a, b, c đôi khác thoả mãn: ab + bc + ca = 2 a b b c c a Tính giá trị biểu thức: A = a b2 c2 �x y a b 2) (1,5 điểm) Cho � 2 2 �x y a b Chứng minh với số nguyên dương n ta có: xn + yn = an + bn Bài (3,0 điểm) 1) Tìm x: a) x x x x b) (x2 – 5x + 6) x = 2) Tìm x, y biết: 7x2 + y2 + 4xy – 24x – 6y + 21 = Bài (3,0 điểm) 1) (1,5 điểm) Tìm dư chia x2015 + x1945 + x1930 - x2 - x + cho x2 - 2) (1,5 điểm) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A = (x2 + 3x + 4)2 Bài (5,0 điểm) Cho hình bình hành ABCD Gọi E, F theo thứ tự trung điểm cạnh AD, BC Đường chéo AC cắt đường chéo BD O đoạn BE, DF P, Q 1) Chứng minh rằng: P trọng tâm tam giác ABD 2) Chứng minh rằng: AP = PQ = QC 3) Lấy M thuộc đoạn DC Gọi I, K theo thứ tự điểm đối xứng M qua tâm E, F Chứng minh I, K thuộc đường thẳng AB 4) Chứng minh: AI + AK không đổi M thuộc đường thẳng AB Bài Câu Nội dung � � 9x � x = 2x � 25 � 25 � � 2� � 2� 2x � 3x � 3x � � � 5� � 5� a(a + 2b)3 - b(2a + b)3 = a[(a + b) + b]3 - b[a + (a + b)]3 = a[(a + b)3 + 3(a + b)2b + 3(a + b)b2 + b3] - b[a3 + 3a2(a + b) + + 3a(a + b)2 + (a + b)3 = a(a + b) + 3ab(a + b)2 + 3ab2(a + b) + ab3 - a3b - 3a2b(a + b) – - 3ab(a + b)2 - b(a + b)3 = a(a + b)3 + 3ab2(a + b) + ab3 - a3b - 3a2b(a + b) - b(a + b)3 = (a + b)[a(a + b)2 + 3ab2 -ab(a - b) - 3a2b -b(a + b)2] = (a + b)(a3 + 2a2b + ab2 + 3ab2 - a2b + ab2 - 3a2b - a2b - 2ab2 - b3] = (a + b) (a3 - 3a2b + 3ab2 - b3) = (a + b)(a - b)3 Đặt A = (x – 2)(x – 3)(x – 4)(x – 5) + A = (x – 2)(x – 5)(x – 4)(x – 5) + = (x2 – 7x + 10)(x2 – 7x + 12) + = (x2 – 7x + 11 – 1)(x2 – 7x + 11 + 1) + = (x2 – 7x + 11)2 – + = (x2 – 7x + 11)2 18x3 - Biểu điểm 0,5 0,5 0,5 0,5 1,0 �7 � 49 x2 – 7x + 11 = x2 – 2x � � 11 �2 � 2 � 7� �5� = �x � � � �= � 2� � �2 � � 7 � � 7 � � � �x � � �x � � � � � � 2 � �� � Vậy A = � �x �� ��x � � � �� � a) Giá trị biểu thức A xác định với điều kiện: �x �0 �x �1 � x �0 � � ۹۹� x � �x x �0 � �x �1 � � x �0 � 0,5 0,5 Với x ��1 , ta có: � x 1 x �4 x A= � ( x 1)( x 1) 2( x 1) 2( x 1) � � � ( x 1) ( x 3)( x 1) 4( x 1)( x 1) = 2( x 1)( x 1) 2 (6 x x x x 3).2 = =4 Vậy giá trị biểu thức xác định khơng phụ thuộc vào giá trị biến Ta có: + a2 = ab + bc + ca + a2 = a(a + b) + c(a + b) = (a + b)(c + a) Tương tự: + b2 = (b + a)(b + c) + c2 = (c + a)(c + b) Nếu b – y = � y b � x a y a b �x y b a �x b �� Nếu x + a = y + b � � �x y a b �y a Do đó: xn + yn = bn + an = an + bn Vậy trường hợp, ta có: xn + yn = an + bn 1.a) 1.b) 0,5 0,5 0,5 (b c) (c a) 1 (a b)( a c)(b a)(b c )(c a )(c b) Từ x2 + y2 = a2 + b2 � (x2 – a2) + (y2 – b2) = � (x – a)(x + a) + (y – b)(y + b) = Bởi vì: x + y = a + b � x – a = b – y, vào ta có: (b – y)(x + a) + (y – b)(y + b) = � (b – y)[(x + a) – (y + b)] = b y 0 � �� xa yb � Do đó: A = a b 1,0 n n n n x x x x (1) Vế trái luôn không âm với x nên 4x �0 ۳ x x �0 nên x + > 0, x + > 0, x + > � x x 1, x x 3, x x Do đó: (1) � x + + x + + x + = 4x � x = Vậy x = (x2 – 5x + 6) x = (1) Điều kiện: – x 0 x 1 (*) (1) x2 – 5x + = x = (x – 2)(x – 3) = – x = x = x = x = Các giá trị x = 2, x = không thỏa mãn điều kiện (*) Vậy x = 7x2 + y2 + 4xy – 24x – 6y + 21 = � y2 + 4xy – 6y + 7x2 – 24x + 21 = � y2 + 2y(2x – 3) + (2x – 3)2 + 3x2 – 12x + 12 = � (y + 2x – 3)2 + 3(x2 – 4x + 4) = � (y + 2x – 3)2 + 3(x – 2)2 = �y x �� (vì (y + 2x – 3)2 �0 3(x – 2)2 �0) x � 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 0,25 0,5 0,25 0,5 0,5 �x �� Vậy x = 2; y = -1 �y 1 Đặt f(x) = x2015 + x1945 + x1930 - x2 - x + cho x2 – Gọi thương chia f(x) cho x2 – Q(x), dư ax + b Ta có: f(x) = (x2 – 1).Q(x) + ax + b Đẳng thức với x nên: - Với x = ta được: f(1) = a + b � a + b = (1) - Với x = -1 ta được: f(-1) = -a + b � -a + b = (2) Từ (1) (2) suy ra: a = 1, b = Dư phải tìm x + 0,5 0,25 0,25 0,25 0,5 0,25 3 3 Ta có: A = x + 3x + = x + 2x = x 2 2 2 0,25 3 3 7 Với x, ta có: x 0 x > 2 2 4 2 49 7 A 12,25 2 3 Dấu “=” xảy x 0 x 2 Vậy minA = 12,25 x = 0,25 0,5 0,5 1 Vì ABCD hình bình hành nên hai đường chéo AC, BD cắt O trung điểm đường Ta có: AO, BE trung tuyến ABD Mà: AO cắt BE P nên P trọng tâm ABD 2 1 Theo câu 1) P là trọng tâm ABD � AP AO AC AC 3 Tương tự, ta có: CQ AC Do đó: PQ = AC – AP – CQ = AC Vậy AP = PQ = QC Vì I đối xứng với M qua E nên EI = EM Ta có: AE = ED, EI = EM � AMDI hình bình hành � AI // MD (1) Chứng minh tương tự, ta có: BK // MC (2) Từ (1), (2) (3) suy I, A, B, K thẳng hàng hay I, K thuộc đường thẳng AB 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 10 Câu : Cho tam giác ABC, điểm D nằm cạnh BC cho điểm O nằm đoạn AD cho DB ; DC OA Gọi K giao điểm BO AC OD Tính tỉ số AK : KC Câu : Cho tam giác ABC có góc nhọn, trực tâm H Một đường thẳng qua H cắt AB, AC thứ tự P Q cho HP = HQ Gọi M trung điểm BC Chứng minh tam giác MPQ cân M Hướng dẫn giải Câu 2: Từ x + y + z = � x2 + y2 + z2 = - 2(xy + yz + zx) (1) Ta có: (x - y)2 + (y - z)2 + (z - x)2 = 2(x2 + y2 + z2 ) - 2(xy + yz + zx) (2) Từ (1) (2) suy ra: (x - y)2 + (y - z)2 + (z - x)2 = - 6(xy + yz + zx) (3) Thay (1) (3) vào biểu thức A ta có: A= - 2(xy + yz + zx) - 6(xy + yz + zx) Câu 3: 17 25 ) = � 2(x4 - x + ) + =0 2 9 � 2(x2 - )2 + = Vì 2(x2 - )2 + > với x nên không tồn x để 2 2 a) 2x4 - 10x2 + 17 = � 2( x4 - 5x2 + 2x4 - 10x2 + 17 = b) x4 - x3 + 2x2 - x + = � (x2 + 1)(x2 - x + 1) = Vì vế phải ln dương với x nên không tồn x để x4 - x3 + 2x2 - x + = Câu 4: Từ D kẻ DM // BK áp dụng định lí Talét vào AOK ta có: AK AO KM OD A (1) KM CD (2) CK DB AK Nhân (1) với (2) vế theo vế ta có: CK K Tương tự, CKB thì: M O B D Câu Gọi giao điểm AH BC I Từ C kẻ CN // PQ (N � AB), Tứ giác CNPQ hình thang, có H trung điểm N PQ, hai cạnh bên NP CQ đồng quy A nên K trung điểm CN � MK đường trung bình BCN � MK // CN � MK // AB (1) H trực tâm ABC nên CH A B (2) Từ (1) (2) suy MK CH � MK đường cao M B CHK (3) Từ AH BC � MC HK � MI đường cao CHK (4) Từ (3) (4) suy M trực tâm CHK � MH CN � MH PQ MPQ có MH vừa đường trung tuyến vừa đường cao nên cân M C A P H Q K I C Đề 12 n2 n 1 Câu 1: a) Tìm số nguyên m, n thoả mãn m n 1 23 b) Đặt A = n3 + 3n2 + 5n + Chứng minh A chia hết cho với giá dương n c) Nếu a chia 13 dư b chia 13 dư a2+b2 chia hết cho 13 Câu 2: Rút gọn biểu thức: a) A= trị nguyên bc ca ab + + (a b)(a c ) (b c)(b a ) (c a )(c b) � � � � � �� � 1� � x x : x B= � � � � � � x � � �� x � � x � � x � �� � x� � b) Câu 3: Tính tổng: S = 1 1 + + +…+ 2009.2011 1.3 3.5 5.7 Câu 4: Cho số x, y, z, thoả mãn điều kiện xyz = 2011 Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào biến x, y, z : 2011x y z xy 2011x 2011 yz y 2011 xz z Câu 5: Giải phương trình: 69 x 67 x 65 x 63 x 61 x 5 1942 1944 1946 1948 1950 � = 600 quay quanh Câu 6: Cho ABC tam giác đều, gọi M trung điểm BC Một góc xMy điểm M cho cạnh Mx , My cắt cạnh AB AC D E Chứng minh : BC2 a) BD.CE= � b) DM, EM tia phân giác � BDE CED c) Chu vi ADE khơng đổi Giải 1) a, Thùc hiƯn chia m n2 n 1 =n+ n 1 n Để m nguyên với n nguyên n + lµ íc cđa Hay n + 1; -1 Khi ®ã : n + = n = Z ( t/m) n + = -1 n = -2 Z (t/m) Víi n = m = Víi n = -2 m = - VËy b, A = n3 + 3n2 + 3n +1 + 2n +2 = (n+ 1) +2(n+1) = … = n ( n +1) (n+ 2) + 3( n+1) Khi ®ã : 3(n+1) M3 n( n +1) (n+ 2) lµ tích số nguyên dơng liên tiếp nên tồn số bội c, a = 13k +2, b = 13q +3 a2 + b2 = ( 13k +2 )2 + ( 13q + 3) = = 13( 13k2 +4k +13 q2 + 4q +1) M13 2) a) A= (a b)(a c)(b c) bc ca ab = … = =1 (a b)(a c) (b c)(a b) (a c)(b c) (a b)(a c)(b c) 2 2 � 1 � � 1� � �1 � � b) Ta cã: � x �= � (x ) 3(x ) � ; x x � � �x � x x � x � x� � �x � � x � 2 � �3 � � � �6 � � Tö thøc: � x � �x � = � (x ) 3(x ) �- �x � x x � � x � � x� � x � � � � x = 3� 1� �� � � � � �x � �x � � � � x� �� x � � x � � �3 � � � � 1� MÉu thøc: � x � x = �x � �x � x � x � � x� � x� 24 Rót gän ta cã: B = 3( x ) x 1 1 1 1 1005 (1 ) (1 ) 3 2009 2011 2011 2011 2011x y z xy.xz y z 4) = xyz x yz xy xyz y yz z zx 2011 2011x xy xyz y yz z zx xy.xz z z xz = + + = = không đổi xy ( xz z 1) z zx z zx z zx �69 x � �67 x � �65 x � �63 x � �61 x � 1� � 1� � 1� � 1� � 1� x = 2011 5) � �1942 � �1944 � �1946 � �1948 � �1950 � CEM 6) a,Chøng minh BMD BC BC A � BD.CE = V× BM = CM = x b, Chøng minh BMD MED E 3) S = D B y 2 C M ˆ D ˆ , ®ã DM tia phân giác góc BDE Từ suy D Chøng minh t¬ng tù ta cã EM tia phân giác góc CED c, Gọi H, I, K hình chiếu M AB, DE, AC Chøng minh DH = DI, EI = EK Chu vi b»ng 2.AH ĐỀ SỐ 13 Câu (4,0 điểm) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x 2013x 2012 x 2013 �x x � x2 � 2� A � Rút gọn biểu thức sau: � � � � x x � �2 x 8 x x x � Câu (4,0 điểm) Giải phương trình sau: (2 x x 2013)2 4( x x 2012)2 4(2 x x 2013)( x x 2012) Tìm số nguyên x, y thỏa mãn x 2x 3x y3 Câu (4,0 điểm) Tìm đa thức f(x) biết rằng: f(x) chia cho x dư 10, f(x) chia cho x dư 24, f(x) chia cho x thương 5x dư Chứng minh rằng: a(b c)(b c a )2 c (a b)(a b c)2 b(a c )(a c b) Câu (6,0 điểm) Cho hình vuông ABCD, cạnh AB lấy điểm E cạnh AD lấy điểm F cho AE = AF Vẽ AH vng góc với BF (H thuộc BF), AH cắt DC BC hai điểm M, N Chứng minh tứ giác AEMD hình chữ nhật Biết diện tích tam giác BCH gấp bốn lần diện tích tam giác AEH Chứng minh rằng: AC = 2EF 25 Chứng minh rằng: 1 = + 2 AD AM AN Câu (2,0 điểm) Cho a, b, c ba số dương thoả mãn abc Chứng minh : 1 � a (b c) b (c a ) c ( a b) -Hết Câu Hướng dẫn giải Ta có x 2013 x 2012 x 2013 (4.0 điểm) 0,5 x x 2013x 2013x 2013 x x 1 x x 1 2013 x x 1 (2.0 điểm) x x 1 x x 2013 0.5 0.5 2 Kết luận x 2013 x 2012 x 2013 x x x x 2013 �x �0 ĐK: � �x �2 0.25 �x x � x2 � � 1 � Ta có A � � � � x x � �2 x 8 x x x � 0.25 �x x � �x x � 2x2 � � � � �2( x 4) 4(2 x) x (2 x) � � x � (2.0 điểm) 2 �x x � 2x2 �( x 1)( x 2) � �x( x 2) x � �( x 1)( x 2) � � � � � � � � � 2 x x2 � � �2( x 2)( x 4) � � � �2( x 4) ( x 4)(2 x) � x3 x x x x x ( x 4)( x 1) x 2( x 4) x x ( x 4) 2x �x �0 x 1 Vậy A với � 2x �x �2 Câu 0.25 0.5 0.5 0.25 (4.0 điểm) �a x x 2013 Đặt: � b x x 2012 � Phương trình cho trở thành: (2.0 điểm) 0.5 a 4b 4ab � (a 2b) � a 2b � a 2b Khi đó, ta có: x x 2013 2( x x 2012) � x x 2013 x 10 x 4024 2011 � 11x 2011 � x 11 2011 Vậy phương trình có nghiệm x 11 0.25 0.5 0.5 0.5 0.25 26 � 3� Ta có y x 2x 3x �x � � 4� 3 �xy (1) 0.5 2 (2.0 điểm) � 15 � (2) (x 2)3 y3 4x 9x � 2x � � y x � 16 � Từ (1) (2) ta có x < y < x+2 mà x, y nguyên suy y = x + Thay y = x + vào pt ban đầu giải phương trình tìm x = -1; từ tìm hai cặp số (x, y) thỏa mãn toán là: (-1 ; 0) KL Câu 0.5 0.25 0.5 0.25 (4 điểm) Giả sử f(x) chia cho x thương 5x dư ax b Khi đó: f ( x) ( x 4).(5 x ) ax+b Theo đề bài, ta có: � a b 24 a �f (2) 24 � � �� �� � 2 a b 10 �f (2) 10 � � b 17 � Do đó: f ( x) ( x 4).(5x ) x+17 47 x 17 Vậy đa thức f(x) cần tìm có dạng: f ( x) 5 x 2 (2.0 điểm) Ta có: a(b c)(b c a ) c(a b)(a b c) b(a c )(a c b) (1) � xz a � abc x � � � � x y b c a y � b Đặt: � � � acb z � � yz c � � Khi đó, ta có: (2.0 điểm) Câu x z �x y y z � y z �x z x y � y x ( x y )( x y ).z � � � � �2 � �2 � xz xz yz z y 2 y x ( x y ) z 2 2 1 ( x z ) y ( z y ).x ( x y ).z 4 ( x y ).z ( x y ) z VP(1) (đpcm) 4 KL:… VT(1) 0.5 0.5 0.5 0.5 0.25 0.5 0.5 0.25 0.25 0.25 (6 điểm) 27 E A B H F D C M N � � (cùng phụ BAH � ) (2.0 điểm) Ta có DAM = ABF AB = AD ( gt) � � BAF = ADM = 900 (ABCD hình vng) � ΔADM = ΔBAF (g.c.g) => DM=AF, mà AF = AE (gt) Nên AE = DM Lại có AE // DM ( AB // DC ) Suy tứ giác AEMD hình bình hành � = 900 (gt) Mặt khác DAE 0.75 0.5 0.5 Vậy tứ giác AEMD hình chữ nhật (2.0 điểm) 0.25 Ta có ΔABH : ΔFAH (g.g) AB BH BC BH = = hay ( AB=BC, AE=AF) AF AH AE AH � = HBC � � ) Lại có HAB (cùng phụ ABH 0.5 0.5 � ΔCBH : ΔEAH (c.g.c) 2 SΔCBH SΔCBH �BC � �BC � = � = � �, mà (gt) � � �= nên BC2 = (2AE)2 SΔEAH SΔEAH �AE � �AE � � BC = 2AE � E trung điểm AB, F trung điểm AD 0.5 Do đó: BD = 2EF hay AC = 2EF (đpcm) (2.0 điểm) Câu 0.5 Do AD // CN (gt) Áp dụng hệ định lý ta lét, ta có: AD AM AD CN � = � = CN MN AM MN Lại có: MC // AB ( gt) Áp dụng hệ định lý ta lét, ta có: MN MC AB MC AD MC � = � = = hay AN AB AN MN AN MN 2 0.5 0.5 AD � �AD � �CN � �CM � CN + CM MN � � = =1 � �+ � �= � �+ � �= MN MN �AM � �AN � �MN � �MN � (Pytago) 2 1 AD � �AD � � � � �+ � �= (đpcm) 2 AM AN AD �AM � �AN � 0.5 0.5 điểm 28 Trước tiên ta chứng minh BĐT: Với a, b, c �R x, y, z > ta có a2 b2 c2 a b c � x y z x yz a b c Dấu “=” xảy � x y z Thật vậy, với a, b �R x, y > ta có a b2 a b � x y x y � a 2 (*) (**) y b x x y �xy a b 0.75 � bx ay �0 (luôn đúng) a b x y Áp dụng bất đẳng thức (**) ta có Dấu “=” xảy � a b2 c2 a b c2 a b c � � x y z x y z x yz a b c Dấu “=” xảy � x y z 1 2 1 Ta có: a b c2 a (b c ) b (c a ) c (a b) ab ac bc ab ac bc Áp dụng bất đẳng thức (*) ta có 2 �1 1 � �1 1 � 1 � � � � a b2 c � �a b c � �a b c � (Vì abc ) ab ac bc ab ac bc 2(ab bc ac ) �1 1 � 2� � �a b c � 1 2 �1 1 � Hay a b c � � � ab ac bc ab ac bc �a b c � 2.0 điểm 1 Mà �3 nên a b c Vậy 1 2 a b c � ab ac bc ab ac bc 1 � a (b c ) b (c a ) c (a b) (đpcm) Điểm toàn 0.5 0.25 0.25 0.25 (20 điểm) ĐỀ SỐ 14 Bài 1) (2 điểm) a) Phân tích đa thức thành nhân tử: (x2 -2x)( x2 -2x- 1) - b) Đa thức f(x) = 4x3 +ax +b chia hết cho đa thức x-2; x+1 Tính 2a-3b Bài 2) (2 điểm) a) Cho an = 1+2+3+…+ n Chứng minh an + an+1 số phương 10n 9n b) Chứng minh với số tự nhiên n phân số tối giản 20n 20n Bài 3) (3 điểm) 29 a) Cho x3 +y3+z3 =3xyz Hãy rút gọn phân thức P 17 � � � � � 34 74 114 194 4 b) Tìm tích: M= Bài 4) (4 điểm) x y xyz y z z x 4 a) Cho x = by +cz; y = ax +cz; z = ax+by x +y + z �0; xyz �0 CMR: b) Cho 1 yz xz xy , tính giá trị biểu thức: P x y z x y z 1 2 1 a 1 b 1 c �x x2 x x2 � :� Bài 5: (3 điểm).Cho biểu thức: P � x 2x 1 � x x x2 x � a) Rút gọn biểu thức P b) Tìm x để P1 Bài 6: (3 điểm).Cho hình vng ABCD, gọi E, F thứ tự trung điểm AB, BC a) CMR: CE vng góc với DF b) Gọi M giao điểm CE DF Chứng minh AM = AD Bài 7: (3 điểm).Cho tam giác ABC Vẽ ngồi tam giác hình vng ABDE, ACFH a) Chứng minh EC = BH; EC BH b) Gọi M, N thứ tự tâm hình vng ABDE, ACFH Gọi I trung điểm BC Tam giác MNI tam giác gì? Vì sao? Bài Ý a b a b Hết ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM Nội dung (x+1)(x-3)(x -2x +2) Điểm điểm điểm Đa thức f(x) = 4x3 +ax +b chia hết cho đa thức x-2; x+1 nên: f(2) = => 32+2a+b =0(1) f(-1) = => -4 –a +b = (2) Từ (1) (2) ta tìm a = -12; b = -8 Vậy 2a-3b = Ta có an+1= +2 +3 +…+ n + n + an+ an+1 = 2(1+ + +…+ n) + n + n(n 1) = +n+1 = n2 +2n+1=(n+1)2 số phương Gọi d ƯCLN 10n2 +9n+4 20n2 +20n+9 � � 10n 9n 4Md 20n 18n 8Md � � �� �� � 2n 1Md 20n 20n 9Md 20n 20n 9Md � � => d số tự nhiên lẻ Mặt khác 2n+1 Md => 4n2 +4n +1 Md => 20n2 +20n+5 Md=> Md mà d lẻ nên d = Vậy phân số tối giản điểm điểm 30 a b Từ x3 +y3+z3 =3xyz x + y +z = x=y=z TH1: x + y +z =0=> x+y = -z; x+z= -y; y +z = -x Khi P = -1 TH2: x=y=z Khi P = Nhận xét n4 +4 = [(n-1)2 +1][(n+1)2 +1] Do đó: 22 62 162 182 1 �2 � � � M= 2 2 1 1 1 1 18 20 20 401 1.5 điểm Từ gt => 2cz+z = x +y => 2cz = x+y –z => điểm c a 1.5 điểm x yz x yz 2z � c 1 � 2z 2z c 1 x y z Tương tự 2x 2y ; 1 a x y z 1 b x y z Khi 1 2 1 a 1 b 1 c 1 1 1 Từ => x y z x y z xyz điểm Khi đó: b �1 1 � yz xz xy xyz xyz xyz xyz � � xyz 3 x y z x y z y z � xyz �x ĐKXĐ: x �0 x �1; x �-1 P a Với x �0 x �1; x �-1, rút gọn P ta có P = P ĐPCM Lại có : C 2 Gọi K trung điểm CD c/m Tứ giác AECK hbh suy 1.5 điểm AK // CE Goi N giao điểm AK DF Tam giác DCM có DK = KC b KN //CM nên N trung điểm DM Vì CM DM (câu a), KN //CM nên KN DM Tam giác ADM có AN đường cao đồng thời trung tuyến nên tam giác cân A => AM = AD a 1.5 điểm H E A N F K M O D B I C C/m EAC= BAH(c-g-c) => EC = BH, � AEC � ABH Gọi K O thứ tự giao điểm EC với BA BH � ;� � nên EAK � BOK � Xét AEK OBK có � AEK OBK AKE OKB � 900 Vậy EC BH => BOK 32 Ta có MI//EC, MI = 1/2EC 1.5 điểm IN//BH ; IN=1/2 BH b Mà EC BH EC = BH nên MI = IN MI IN Vậy MIN vuông cân I ĐỀ SỐ 15 Câu 1: (2,5 điểm ) a) Phân tích đa thức a (b c) b (c a) c ( a b) thành nhân tử 3 b) Cho số nguyên a, b, c thoả mãn (a b) (b c) (c a ) 210 Tính giá trị biểu thức Câu 2: (2,5 điểm) a) Giải phương trình nghiệm nguyên: x y xy 2 b) Giải phương trình: (6 x 8)(6 x 6)(6 x 7) 72 Câu 3: (2,5 điểm) a) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P ( x 2012) ( x 2013) 2 b) Cho số thực dương x, y , z thỏa mãn x y z Chứng minh rằng: 1 � x x y y z z Câu 4: (2,5 điểm)Cho tam giác ABC vuông A Lấy điểm M cạnh AC Từ C vẽ đường thẳng vuông góc với tia BM, đường thẳng cắt tia BM D, cắt tia BA E a) Chứng minh: EA.EB = ED.EC b) Chứng minh điểm M di chuyển cạnh AC tổng BM.BD+CM.CA có giá trị không đổi c) Kẻ DH BC H �BC Gọi P, Q trung điểm đoạn thẳng BH, DH Chứng minh CQ PD Câu Nội dung a) Ta có a (b c) b (c a ) c (a b) a (b c) b (c a ) c (b c c a ) 2 2 2 (b c )(a c ) (c a )(b c ) (b c)(a c)(a c) (c a )(b c )(b c ) (b c)( a c)(a c b c) (b c)(a c)(a b) (2,5đ) b) Đặt a b x; b c y ; c a z � x y z � z ( x y ) Ta có: x3 y z 210 � x3 y ( x y )3 210 � 3xy ( x y ) 210 � xyz 70 Do x, y , z số nguyên có tổng xyz 70 ( 2).(5).7 nên x, y , z � 2; 5;7 � A a b b c c a 14 Điểm 0,5 0,5 0,25 0,25 0,5 0,5 33 a) x y xy ��� y )2 0��� x y 2 xy xy xy xy Ta có: ( x 2 y ) 0�� x �y۳ xy xy xy xy Lại có: ( x �� Suy 3 �xy �1 Mà x, y �Z � xy � 3; 2; 1;0;1 0,25 0,5 0,5 Lần lượt thử ta ( x, y ) � (2;1);(1; 2);(2; 1);( 1; 2);(1;1) nghiệm phương trình (2,5đ) b) (6 x 8)(6 x 6)(6 x 7) 72 Đặt x t Ta có (t 1)(t 1)t 72 � (t 1)t 72 � t t 72 � t 9t 8t 72 � t (t 9) 8(t 9) � (t 9)(t 8) 2 Mà t nên t � t � t �3 � x x 3 �2 5 � PT có nghiệm x �� ; � �3 a) Ta có: 0,5 0,5 0,25 0,5 P ( x 2012) ( x 2013) x 4024 x 4048144 x 4026 x 4052169 � 1� x x 8100313 �x � 8100312,5 �8100312,5 x � 2� 0,5 Vậy Min P 8100312,5 � x 1 1 1 b) Đặt P x x y y z z x ( x 1) y ( y 1) z ( z 1) �1 1 � � 1 1 1 1 � � � � � x x y y z z �x y z � �x y z � 1 �1 � 1 � � �với a, b, c dương, dấu xảy Áp dụng BĐT � a b �a b � a b c abc (2,5đ) � a b c 1 �1 � 1 �1 � 1 �1 � � � 1� ; � � 1� ; � � 1� Ta có x �x �y �y �z �z � �1 1 � � 1 � �1 1 � �1 1 � Bởi P � � � ��� � � 1� y z � �x y z � �x y z � �x y z � �x �1 1 � 3 9 3 (ĐPCM) = � � � �x y z � 4 x y z 4 0,25 0,25 0,25 0,5 0,25 E D A M Q B P I H C a) Chứng minh EA.EB = ED.EC Chứng minh EB ED � EA.EB ED.EC - Từ suy EC EA EBD đồng dạng với ECA (g-g) 0,25 0,25 34 b) Kẻ MI vng góc với BC ( I �BC ) Ta có BM BI � � BM BD BI BC (1) BC BD BIM đồng dạng với BDC (g-g) 0,5 CM CI � CM CA CI BC (2) BC CA Từ (1) (2) suy BM BD CM CA BI BC CI BC BC ( BI CI ) BC (không đổi) c) Chứng minh BHD đồng dạng với DHC (g-g) Tương tự: � ACB đồng dạng với ICM (g-g) � BH BD BP BD BP BD � � DH DC DQ DC DQ DC 0,25 0,25 0,25 0,25 � DCQ � - Chứng minh DPB đồng dạng với CQD (c-g-c) � BDP � PDC � 90o � CQ PD � PDC � 90o � DCQ mà BDP 0,25 0,25 ĐỀ 16 Bài (2 điểm): Tìm x biết: a) | x – |< 3 b) – 3x = – 6561 c) (2x – 1)2012 = (2x – 1)2010 2012 Bài (2 điểm): a) Số tự nhiên A = 1 23 số nguyên tố hay hợp số? Giải thích b) Tìm giá trị nhỏ B = 2x2 + y2 +2xy – 8x + 2028 c) Tìm x, y, z biết : 10x2 + y2 + 4z2 + 6x – 4y – 4xz + = Bài (1,5 điểm ): Một khối có số học sinh đội tuyển Tốn số học sinh đội tuyển Anh 4 số học sinh đội tuyển Văn Đội tuyển Văn có số học sinh tổng số học sinh hai đội tuyển 38 học sinh Tính số học sinh đội tuyển Bài (1,5 điểm): Cho x(m + n) = y(n + p) = z(p + m) x, y, z số khác khác , chứng minh rằng: m n n p p m x(y z) y(z x) z(x y) Bài (3điểm ): Cho tam giác ABC vuông cân A Gọi M điểm nằm A B Trên tia đối tia AC lấy điểm I cho AI = AM a) Chứng minh : CM BI b) Trên BC lấy điểm P cho BP = 2CP Trên nửa mặt phẳng bờ đường thẳng BC có chứa điểm A, vẽ tia Px cho góc xPB 600 Tia Px cắt tia CA D Tính số đo góc CBD ĐÁP ÁN Bài 1(2 điểm): a) | x 1 2