TUYỂN TẬP 40 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 CÓ ĐÁP ÁN

C xuống đường thẳng AB và AD.a Tứ giác BEDF là hình gì?. Cho hình vuông ABCD, M là một điểm tuỳ ý trên đường chéo BD.. Xác định vị trí của điểm M để diện tích tứ giác AEMF lớn nhất... Ch

Trang 1

C xuống đường thẳng AB và AD.

a) Tứ giác BEDF là hình gì ? Hãy chứng minh điều đó ?

Trang 2

Tuyển tập đề thi HSG Toán 8 Năm học: 2011-2012

Trang 4

Câu1

a Phân tích các đa thức sau ra thừa số:

4

x  4  x 2 x    3 x    4 x    5   24

d Tìm các giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên.

Câu 3 Cho hình vuông ABCD, M là một điểm tuỳ ý trên đường chéo BD Kẻ MEAB, MFAD.

a Chứng minh: DECF

b Chứng minh ba đường thẳng: DE, BF, CM đồng quy.

c Xác định vị trí của điểm M để diện tích tứ giác AEMF lớn nhất.

= (x 2 + 7x + 11) 2 - 5 2 = (x 2 + 7x + 6)( x 2 + 7x + 16) = (x + 1)(x + 6) )( x 2 + 7x + 16)

Trang 5

M F

E

B A

c Có Chu vi hình chữ nhật AEMF = 2a không đổi

Trang 6

Tuyển tập đề thi HSG Toỏn 8 Năm học: 2011-2012

(1 điểm)

Đề thi SỐ 3

Câu 1 : (2 điểm) Cho P=

8 14 7

4 4

2 3

a

a a a

b) Tìm các giá trị của x để biểu thức :

P=(x-1)(x+2)(x+3)(x+6) có giá trị nhỏ nhất Tìm giá trị nhỏ nhất đó

Câu 3 : (2 điểm)

a) Giải phơng trình :

18

1 42 13

1 30

11

1 20

9

1

2 2

b a c b a

b) DM,EM lần lợt là tia phân giác của các góc BDE và CED.

c) Chu vi tam giác ADE không đổi.

Trang 7

b) (0,5®) P=

2

3 1 2

3 2

a)(1®) Gäi 2 sè ph¶i t×m lµ a vµ b , ta cã a+b chia hÕt cho 3 0,25

Ta cã a 3 +b 3 =(a+b)(a 2 -ab+b 2 )=(a+b)(a2 2ab b2 ) 3ab

6 (

1 )

6 )(

5 (

1 )

5 )(

4 (

1 6

1 5

1 4

; 2

y x c z x b z

1 2 2

z z

y x

z z

x y

x x

y z

y x y

z x x

z y

A

Trang 8

Chứng minh BMD ∾ CEM (1) 0,5

Suy ra

CE

CM BM

BD



Từ đó suy ra D ˆ1 Dˆ2 , do đó DM là tia phân giác của góc BDE

Chứng minh tơng tự ta có EM là tia phân giác của góc CED 0,5

c) (1đ) Gọi H, I, K là hình chiếu của M trên AB, DE, AC

xy=2(x+y+x+y-4) xy-4x-4y=-8 (x-4)(y-4)=8=1.8=2.4 0,25

phaõn tớch thaứnh tớch cuỷa moọt ủa thửực baọc nhaỏt coự caực heọ soỏ nguyeõn

Caõu 3( 1 ủ): tỡm caực soỏ nguyeõn a vaứ b ủeồ ủa thửực A(x) = x4  3x3 ax b chia heỏt cho ủa

thửực B x( ) x2  3x 4

Gv: Nguyễn Văn Tỳ Trường THCS Thanh Mỹ8

Trang 9

Câu 4( 3 đ): Cho tam giác ABC, đường cao AH,vẽ phân giác Hx của góc AHB và phân giác Hy của góc

AHC Kẻ AD vuông góc với Hx, AE vuông góc Hy.

Chứng minh rằngtứ giác ADHE là hình vuông

Câu 5( 2 đ): Chứng minh rằng

Đáp án và biểu điểm

0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 3

3 đ

Tứ giác ADHE là hình vuông

Hx là phân giác của góc AHB ; Hy phân giác của góc AHC mà AHB

0,25 đ

0,25 đ 0,25 đ

Trang 10

Tuyển tập đề thi HSG Tốn 8 Năm học: 2011-2012

và AHC là hai góc kề bù nên Hx và Hy vuông góc

Hay DHE = 90 0 mặt khác  ADH AEH   = 90 0

Nên tứ giác ADHE là hình chữ nhật ( 1)

0 0

90 45

AHB AHD

AHC AHE

AHD AHE

Hay HA là phân giác DHE (2)

Từ (1) và (2) ta có tứ giác ADHE là hình vuông

0,25 đ 0,25 đ 0,5 đ 0,5 đ

0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ

Trang 11

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A 2010x 26802

a) Xác định vị trí của điểm D để tứ giác AEDF là hình vuông

b) Xác định vị trí của điểm D sao cho 3AD + 4EF đạt giá trị nhỏ nhất

Trang 12

Để tứ giác AEDF là hình vuông thì AD là tia phân

giác của BAC

b) Do tứ giác AEDF là hình chữ nhật nên AD = EF

Suy ra 3AD + 4EF = 7AD

 OFD OED ODF 90    o(1)

Ta có OFD   OED   ODF   270o(2)

Trang 13

b) Chứng minh tương tự câu a) ta có:

21 x 1990

1 x

Bài 3 (1,5 điểm): Tìm tất cả các số chính phương gồm 4 chữ số biết rằng khi ta thêm 1 đơn

vị vào chữ số hàng nghìn , thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng trăm, thêm 5 đơn vị vào chữ sốhàng chục, thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng đơn vị , ta vẫn được một số chính phương

Bài 4 (4 điểm): Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AA’, BB’, CC’, H là trực tâm

) CA BC AB (

Trang 14

 Bài 2 (1,5 điểm):

0 z

x2+2yz = x2+yz–xy–xz = x(x–y)–z(x–y) = (x–y)(x–z) ( 0,25điểm )

Tương tự: y2+2xz = (y–x)(y–z) ; z2+2xy = (z–x)(z–y) ( 0,25điểm )

Do đó: m2–k2 = 1353

 (m+k)(m–k) = 123.11= 41 33 ( k+m < 200 ) (0,25điểm) m+k = 123 m+k = 41

m–k = 11 m–k = 33

m = 67 m = 37

k = 56 k = 4 (0,25điểm) Kết luận đúng abcd = 3136 (0,25điểm)

AA 2 1

BC '.

HA 2 1 S

S

S S

S ' CC

' HC ' BB

' HB

HAB ABC

BI

AI NB

AN

.

BI

1 BI

IC AC

AB AI

IC BI

AI AC

AB MA

hoặc hoặc

B

A

C I

B’

H N

A

C I

B’

H N

Trang 15

c)Vẽ Cx CC’ Gọi D là điểm đối xứng của A qua Cx (0,25điểm)-Chứng minh được góc BAD vuông, CD = AC, AD = 2CC’ (0,25điểm)

) CA BC AB

(

2 2

1

1 : 1

1

x x x

x x

Giải bài toán bằng cách lập phương trình.

Một phân số có tử số bé hơn mẫu số là 11 Nếu bớt tử số đi 7 đơn vị và tăng mẫu lên 4 đơn vị thì sẽ được phân số nghịch đảo của phân số đã cho Tìm phân số đó

a, Tứ giác AMNI là hình gì? Chứng minh

b, Cho AB = 4cm Tính các cạnh của tứ giác AMNI

Bài 6 (5 điểm)

Hình thang ABCD (AB // CD) có hai đường chéo cắt nhau tại O Đường thẳng qua O

và song song với đáy AB cắt các cạnh bên AD, BC theo thứ tự ở M và N

a, Chứng minh rằng OM = ON



Trang 16

b, Chứng minh rằng

MN CD AB

2 1 1

x x x x x

x x x

x x x x

5 (

3

5 1

Bài 2 (3 điểm)

Biến đổi đẳng thức để được

bc ac ab c b a ac a c bc c b ab

Gv: Nguyễn Văn Tú Trường THCS Thanh Mỹ16

Trang 17

Chứng minh được AN=MI, từ đó suy ra tứ giác AMNI là hình thang cân 0,5đ

M

B A

Trang 18

Lập luận để có

AC

OC DB

1 1

AD

AD AD

DM AM

S

DOC

BOC S

S

 S AOB.S DOC S BOC.S AOD 0,5đ

 S AOB.S DOC  (S AOD) 2

Thay số để có 20082.20092 = (SAOD)2  SAOD = 2008.2009

Cho ABC; AB = 3AC

Tính tỷ số đường cao xuất phát từ B và C

Trang 19

S Ố 9 B

b/ Tìm các giá trị của x để A<1

c/ Tìm các giá trị nguyên của x để Acó giá trị nguyên

Cho đa thức P(x) = x2+bx+c, trong đó b và c là các số nguyên Biết rằng đa thức

x4 + 6x2+25 và 3x4+4x2+28x+5 đều chia hết cho P(x) Tính P(1)

Bài 4 (3,5 điểm):

Cho hình chữ nhật có AB= 2AD, gọi E, I lần lượt là trung điểm của AB và CD Nối D với

E Vẽ tia Dx vuông góc với DE, tia Dx cắt tia đối của tia CB tại M.Trên tia đối của tia CE lấy điểm K sao cho DM = EK Gọi G là giao điểm của DK và EM

c) Với giá trị nào của x thì A nhận giá trị nguyên

Bài 2: (2 điểm) Giải phương trình:

a)

y y

2 1 9

6 3 10 3

1

2 2

Trang 20

Một xe đạp, một xe máy và một ô tô cùng đi từ A đến B Khởi hành lần lượt lúc 5 giờ,

6 giờ, 7 giờ và vận tốc theo thứ tự là 15 km/h; 35 km/h và 55 km/h

Hỏi lúc mấy giờ ô tô cách đều xe đạp và xe đạp và xe máy?

1 : (2điểm)

a) Cho x2  2xy 2y 2  2x 6y 13 0   Tính

2

3x y 1N

4xy



b) Nếu a, b, c là các số dương đôi một khác nhau thì giá trị của đa thức sau là số

Tính thời gian ô tô đi trên quãng đường AB biết người đó đến B đúng giờ

Bài

4 : (3 điểm)

Cho hình vuông ABCD trên cạnh BC lấy điểm E Từ A kẻ đường thẳng vuông góc vơi AE cắt đường thẳng CD tại F Gọi I là trung điểm của EF AI cắt CD tại M Qua E dựng đường thẳng song song với CD cắt AI tại N

a) Chứng minh tứ giác MENF là hình thoi

b) Chứng minh chi vi tam giác CME không đổi khi E chuyển động trên BC

Trang 21

a, Cho a, b, c thoả mãn: a+b+c = 0 và a2 + b2 + c2= 14.

Tính giá trị của A = a4+ b4+ c4

b, Cho a, b, c 0 Tính giá trị của D = x2011 + y2011 + z2011

Biết x,y,z thoả mãn: x22 y22 z22

a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử:

a(bc) 2 (b c) b(ca) 2 (c a) c(ab) 2 (a b)

b) Cho a, b, c khác nhau, khác 0 và 111 0

c b a

Rút gọn biểu thức:

ab c ca b bc a

N

2

1 2

1

2 2

Một người đi xe máy từ A đến B với vận tốc 40 km/h Sau khi đi được 15 phút, người

đó gặp một ô tô, từ B đến với vận tốc 50 km/h ô tô đến A nghỉ 15 phút rồi trở lại B và gặp người đi xe máy tại một một địa điểm cách B 20 km

Tính quãng đường AB

Bài 4: (3điểm)

Cho hình vuông ABCD M là một điểm trên đường chéo BD Kẻ ME và MF vuông góc với AB và AD

Trang 22

a) Chứng minh hai đoạn thẳng DE và CF bằng nhau và vuông góc với nhau

b) Chứng minh ba đường thẳng DE, BF và CM đồng quy

c) Xác định vị trí của điểm M để tứ giác AEMF có diện tích lớn nhất

Bài 5: (1điểm)

Tìm nghiệm nguyên của phương trình:3 2 5 2 345



 y x

§Ề S Ố 14 Bài 1: (2,5điểm)

Phân tích đa thức thành nhân tử

a) x5 + x +1b) x4 + 4c) x x- 3x + 4 x -2 với x  0

Bài 2 : (1,5điểm)

Cho abc = 2 Rút gọn biểu thức:

2 2

2 1

c b

bc

b a

ab

a A

Bài 3: (2điểm)

Cho 4a2 + b2 = 5ab và 2a  b  0

Tính: 4a2 b2

ab P

a) Tính chu vi tứ giác AEMF Biết : AB =7cm

b) Chứng minh : AFEN là hình thang cân

c) Tính : ANB + ACB = ?

d) M ở vị trí nào để tứ giác AEMF là hình thoi và cần thêm điều kiện của  ABC

để cho AEMF là hình vuông

Bài 5: (1điểm)

Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì :

52n+1 + 2n+4 + 2n+1 chia hết cho 23

§Ò S Ố 15 Bài

1 : (2 điểm)

a) Phân tích thành thừa số: 3 3 3 3

) (abc  a  b  c

b) Rút gọn:

9 33 19

3

45 12 7

2

2 3

x

x x

Trang 23

Tính xem trong bao lâu thì giếng sẽ hết nước.

a) Chứng minh: tam giác CAI đồng dạng với tam giác CBN

b) So sánh hai tam giác ABC và INC

09

00 1 9

99 224

9 sè 2 -

1 3 6

6 4

2 3

2

x

x x

x x x

x x

a) Rút gọn p

b) Tính giá trị của biểu thức p khi /x / = 43

c) Với giá trị nào của x thì p = 7

d) Tìm giá trị nguyên của x để p có giá trị nguyên

Câu 4 : ( 3 ñieåm ) Cho a , b , c thỏa mãn điều kiện a2 + b2 + c2 = 1

Chứng minh : abc + 2 ( 1 + a + b + c + ab + ac + bc ) ≥ 0

Câu 5 : ( 3ñieåm)

Qua trọng tâm G tam giác ABC , kẻ đường thẳng song song với AC , cắt AB và BC lầnlượt tại M và N Tính độ dài MN , biết AM + NC = 16 (cm) ; Chu vi tam giác ABC bằng 75(cm)

Câu 6 : ( 4 ñieåm ) Cho tam giác đều ABC M, N là các điểm lần lượt chuyển động trên hai

cạnh BC và AC sao cho BM = CN xác định vị trí của M , N để độ dài đoạn thẳng MN nhỏnhất

Trang 24

3 Tìm số d trong phép chia của biểu thức x 2 x 4 x 6 x 8 2008 cho đa thức x2  10x 21.

Bài 4: (4 điểm)Cho tam giác ABC vuông tại A (AC > AB), đờng cao AH (HBC) Trên tia HC lấy điểm D sao cho HD = HA Đờng vuông góc với BC tại D cắt AC tại E.

1 Chứng minh rằng hai tam giác BEC và ADC đồng dạng Tính độ dài đoạn

Trang 25

   

x  x x  x x x x  x x 1 x 6

0.5 0,5

 x 1; x 3 (cả hai đều không bé hơn 1, nên bị loại)

Vậy: Phơng trình (1) có một nghiệm duy nhất là x  1

0,5 0,5 2.2

c c

b a

b c

a b

a c

b a c b a

c

b b

c a

c c

a a

b b

CE CB (Hai tam giác

vuông CDE và CAB đồng dạng)

Do đó, chúng dồng dạng

1,0

0,5

Trang 26

(c.g.c)

Suy ra: BEC ADC  135 0(vì tam giác AHD vuông cân tại H theo giả thiết).

Nên AEB 45 0 do đó tam giác ABE vuông cân tại A Suy ra:

BC  BC  AC (do BECADC)

mà AD AH 2 (tam giác AHD vuông vân tại H)

BC  AC   AC AB BE (do ABH CBA)

Do đó BHM  BEC (c.g.c), suy ra:   0  0

BHM BEC  AHM 

0,5 0,5

0,5 4.3 Tam giác ABE vuông cân tại A, nên tia AM còn là phân giác góc BAC.

Bài 3( 2 điểm): Giải bài toán bằng cách lập phơng trình:

Một ngời đi xe gắn máy từ A đến B dự định mất 3 giờ 20 phút Nếu ngời ấy tăng vận tốc thêm 5 km/h thì sẽ đến B sớm hơn 20 phút Tính khoảng cách AB và vận tốc dự định đi của ngời đó

Trang 27

c) Chøng minh r»ng tØ sè c¸c c¹nh cña h×nh ch÷ nhËt MEAF kh«ng phô thuéc vµo vÞ trÝ cña ®iÓm P.

d) Gi¶ sö CP  BD vµ CP = 2,4 cm, 9

16

PD

PB  TÝnh c¸c c¹nh cña h×nh ch÷ nhËt ABCD.

Bµi 5(2 ®iÓm): a) Chøng minh r»ng: 20092008 + 20112010 chia hÕt cho 2010

b) Cho x, y, z lµ c¸c sè lín h¬n hoÆc b»ng 1 Chøng minh r»ng:

1 2 1 2 2

1  x  1  y  1  xy

Trang 28

Gọi khoảng cách giữa A và B là x (km) (x > 0) 0,25đ

Vận tốc dự định của ngời đ xe gắn máy là:

Trang 29

Vận tốc của ngời đi xe gắn máy khi tăng lên 5 km/h là:

a) Gọi O là giao điểm 2 đường chéo của hình chữ nhật ABCD

 PO là đường trung bình của tsm giác CAM

 AM//PO

 tứ giác AMDB là hình thang 1đ

b) Do AM //BD nên góc OBA = góc MAE (đồng vị)

Tam giác AOB cân ở O nên góc OBA = góc OAB

Gọi I là giao điểm 2 đường chéo của hình chữ nhật AEMF thì tam giác AIE cân ở I nên góc IAE = góc IEA

Từ chứng minh trên : có góc FEA = góc OAB, do đó EF//AC (1) 1đ

Mặt khác IP là đường trung bình của tam giác MAC nên IP // AC (2)

O M

P

I E

F

Trang 30

Bài 1: (3đ) a) Phân tích đa thức x3 – 5x 2 + 8x – 4 thành nhân tử

b) Tìm giá trị nguyên của x để A  B biết

5 2005

4 2006

3 2007

2 2008

Bài 3: (2đ) Cho hình vuông ABCD; Trên tia đối tia BA lấy E, trên tia đối tia CB lấy F sao cho AE = CF

a) Chứng minhEDF vuông cân

b) Gọi O là giao điểm của 2 đường chéo AC và BD Gọi I là trung điểm EF Chứng minh O, C, I thẳng hàng.

Bài 4: (2)Cho tam giác ABC vuông cân tại A Các điểm D, E theo thứ tự di chuyển trên AB, AC sao cho

BD = AE Xác địnhvị trí điểm D, E sao cho:

a/ DE có độ dài nhỏ nhất

b/ Tứ giác BDEC có diện tích nhỏ nhất.

Híng dÉn chÊm vµ biÓu ®iÓm Bài 1: (3 điểm)

Trang 31

  

  =  4 4

x y x y x y (x y) xy(x y y x y yx xy y x x 1)

        (0,25đ) =  

 (0,25đ) =   

2009 2005

2009 2006

2009 2007

2009 2008

1 2005

1 2006

1 2007

1 2008

1 )(

1 2005

1 2006

1 2007

1 2008

Chứng minh EDF vuông cân

Ta có ADE =CDF (c.g.c)  EDF cân tại D

1 2

Trang 32

Mà Eˆ 1Eˆ 2Fˆ 1 = 90 0  Fˆ2 Eˆ2 Fˆ1= 90 0

 EDF = 90 0 VậyEDF vuụng cõn

b) (1đ) Chứng minh O, C, I thẳng

Theo tớnh chất đường chộo hỡnh vuụng  CO là trung trực BD

MàEDF vuụng cõn  DI = 1

2EFTương tự BI = 1

2 

2 a

4 ) +

2 AB

8 (0,25đ)Vậy S BDEC = S ABC – S ADE 

2 AB

2 –

2 AB

2

Bài 3: Cho phân thức:

x x

x

2 2

5 5 2



a) Tìm điều kiện của x để giá trị của phân thức đợc xác định

Gv: Nguyễn Văn Tỳ Trường THCS Thanh Mỹ32

A D B

C E

Trang 33

b) Tìm giá trị của x để giá trị của phân thức bằng 1.

Bài 4: a) Giải phơng trình : 22 1  ( 2 2)





x x x x

x

b) Giải bất phơng trình: (x-3)(x+3) < (x=2)2 + 3

Bài 5: Giải bài toán sau bằng cách lập phơng trình:

Một tổ sản xuất lập kế hoạch sản xuất, mỗi ngày sản xuất đợc 50 sảnphẩm Khi thực hiện, mỗi ngày tổ đó sản xuất đợc 57 sản phẩm Do đó đã hoàn thànhtrớc kế hoạch một ngày và còn vợt mức 13 sản phẩm Hỏi theo kế hoạch tổ phải sảnxuất bao nhiêu sản phẩm và thực hiện trong bao nhiêu ngày

Bài 6: Cho ∆ ABC vuông tại A, có AB = 15 cm, AC = 20 cm Kẻ đờng cao AH và

trung tuyến AM

a) Chứng minh ∆ ABC ~ ∆ HBA

2 (

) 2 ( 2 ).

2 ( 2 )

2 (

) 4 2 )(

4 2 ( 2

4 ) 2 [(

x x

x

x x

x x x

x

x x

x

2

5 ) 1 ( 2

) 1 ( 5

2 )

2 (

2) - (x - 2) x(x

Trang 34

Tuyển tập đề thi HSG Toỏn 8 Năm học: 2011-2012 Bài 5: – Gọi số ngày tổ dự định sản xuất là : x ngày

Điều kiện: x nguyên dơng và x > 1

Vậy số ngày tổ đã thực hiện là: x- 1 (ngày)

 x = 10 (thoả mãn điều kiện)

Vậy: số ngày dự định sản xuất là 10 ngày

Số sản phẩm phải sản xuất theo kế hoạch là: 50 10 = 500 (sản phẩm)

0,5 đ0,5 đ0,5 đ0,5 đ

hay BA

BC HA

AC HB AB

25

05 20

21 x 1990

1 x

Định dạng
Số trang	40
Dung lượng	2,72 MB