Định lý talet và tam giác đồng dạng

Định lý thuận đảo và hệ quả của định lí Talet. Định nghĩa, tích chất, định lý và hệ quả liên quan đến các tam giác đồng dạng và các trường hợp của nó: góc góc, cạnh cạnh, cạnh góc cạnh , các bài tập ví dụ kèm theo.

Mục lục LỜI CẢM ƠN .3 Chủ đề 1: ĐỊNH LÝ TALET I – KIẾN THỨC CƠ BẢN Đoạn thẳng tỉ lệ Định lý Talet tam giác .4 Định lý Talet cho hình thang II – BÀI TẬP Ví dụ Bài tập tự giải .5 CHỦ ĐỀ 2: TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG I – KIẾN THỨC CƠ BẢN Định nghĩa hai tam giác đồng dạng Tính chất hai tam giác đồng dạng .7 Định lí hai tam giác đồng dạng Các trường hợp chứng minh hai tam giác đồng dạng II – Bài tập Các tốn tính tốn Các toán chứng minh CHUYÊN ĐỀ: ĐỊNH LÝ TALET VÀ TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG Chủ đề 1: ĐỊNH LÝ TALET I – KIẾN THỨC CƠ BẢN Đoạn thẳng tỉ lệ a Tỉ số hai đoạn thẳng - - Tỉ số hai đoạn thẳng AB CD tỉ số độ dài chúng theo đơn vị đo AB Ký hiệu: CD Nhật xét: Tỉ số hai đoạn thẳng không phụ thuộc vào đơn vị mà chọn b Đoạn thẳng tỷ lệ - Hai đoạn thẳng AB CD gọi tỉ lệ với hai đoạn thẳng A ' B ' C ' D ' AB A ' B '  có tỉ lệ thức: CD C ' D ' Tỉ lệ thức đoạn thẳng có tính chất tỉ lệ thức số: o Tích trung tỉ tích ngoại tỉ AB A ' B '  � AB.C ' D '  A ' B '.CD CD C ' D ' o Có thể hoán vị trung tỉ, ngoại tỉ AB A ' B ' AB CD A' B ' C ' D ' C ' D ' CD  �  �  �  CD C ' D ' A' B ' C ' D ' AB CD A ' B ' AB o Có tính chất dãy tỉ số AB A ' B ' AB �CD A ' B '�C ' D ' AB �A ' B '  �   (CD �C ' D ') CD C ' D ' CD C 'D' CD �C ' D ' Định lý Talet tam giác a Định lý thuận - Nếu đường thẳng song song với cạnh tam giác cắt hai cạnh lại định hai cạnh đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ AB ' AC ' BB ' CC ' AB ' AC ' B ' C '/ / BC �  ,  ,  AB AC AB AC BB ' CC ' b Định lý đảo - Nếu đường thẳng cắt hai cạnh tam giác định hai cạnh đoạn thẳng tương ứng đường thẳng song song với cạnh lại tam giác - Trong tam giác ABC nếu: AB ' AC ' BB ' CC ' AB ' AC '  ,  ,  � a / / BC AB AC AB AC BB ' CC ' c Hệ - Nếu đường thẳng cắt hai cạnh (hoặc cắt hai phần kéo dài hai cạnh) tam giác song song với cạnh lại tạo thành tam giác có ba cạnh tương ứng tỉ lệ với ba cạnh tam giác cho AB ' AC ' B ' C ' �   AB AC BC Định lý Talet cho hình thang - Nếu đường thẳng song song với hai đáy hình thang cắt hai cạnh bên định hai cạnh bên đoạn thẳng tỉ lệ - Hình thang ABCD , hai điểm E , F thuộc AD, BC - - AE BF  Nếu EF / / AB / /CD DE CF AE BF  Ngược lại DE CF EF / / AB / / CD II – BÀI TẬP Ví dụ Ví dụ 1: ABC nhọn ( AB  AC ), AC  36(cm) AH đường cao Trung trực BC cắt AC K Tính độ dài CK biết HB  10(cm); HC  18(cm) Giải Gọi I trung điểm BC � KI trung trực BC Mà AH  BC � KI / / AH KC IC  � AC HC AC  36(cm), HC  18(cm), IC  Trong � KC  28(cm) Ví dụ 2: Cho hình thang ABCD MA  ( AB / / CD ) , M �AD cho MD , vẽ MN / / DC ( N �BC ) Tính MN Biết AB  18(cm), CD  21(cm) Giải Gọi P  AC �MN - Có MN / / DC � MP / / DC BH  HC  14(cm) - MP AP AM    � DC AC AD Mà CD  21(cm) nên MP  14(cm) Có MN / / DC mà AB / / DC � MN / / AB � PN / / AB PN CP AP   (1  )  (1  )  � AB AC AC 3 Mà AB  18(cm) � PN  6(cm) - MN  MP  PN  14   20(cm) Bài tập tự giải AM AM AB  , Bài 1: Cho đoạn thẳng AB , M �AB cho AB Tính tỉ số MB MB Bài 2: Cho tam giác ABC , nửa mặ phẳng có chứa A bờ BC kẻ tia Cx / / AB F trung điểm AB Kẻ EF / / BC ( F �AC ) , EF �Cx   I  BI �AC   H  a Chứng minh: HC  HA.HF HF b Tính HC  I , K  �AH cho Bài 3: Cho tam giác ABC có AH đường cao Lấy AI  IK  KH Qua I kẻ DE / / BC ( D �AB, E �AC ) Qua K kẻ MN / / BC ( M �AB, N �AC ) DE AI MN AK   a Chứng minh BC AH BC AH b Cho BC  30(cm) Tính đoạn DE , MN Bài 4: Cho hình thang ABCD ( AB / / CD) , Q trung điểm CD ,  M   AQ �BD ,  N   BQ �AC a Chứng minh MN / / AB  E  AD �MN ,  F   BC �MN Chứng minh EM  NF  M   AD �BC Lấy I Bài 5: Cho hình thang ABCD ( AB / / CD)( AB  DC ) ,  H   BI �AD , DN / / BH ( N �AB) Gọi P đỉnh điểm thuộc DC , b thứ tư hình bình hành ICPH Chứng minh M , N , P thẳng hàng CHỦ ĐỀ 2: TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG I – KIẾN THỨC CƠ BẢN Định nghĩa hai tam giác đồng dạng - Hai tam giác đồng dạng chúng có góc tương ứng cạnh tương ứng tỉ lệ - Tam giác A ' B ' C ' gọi đồng dạng với tam giác ABC nếu: � �'  B �, C �'  C � A'  � A, B A' B ' A'C ' B ' B '   AB AC BC - - Ký hiệu tam giác đồng dạng : A ' B ' C ' ∽ABC A' B ' A'C ' B 'C '   k AC BC Tỉ số: AB gọi tỉ số đồng dạng Tính chất hai tam giác đồng dạng Hai tam giác A ' B ' C ' ABC đồng dạng có số tính chất: - ABC ∽A ' B ' C ' Nếu A ' B ' C ' ∽ABC ABC ∽A ' B ' C ' Nếu A ' B ' C ' ∽A '' B '' C '' A '' B '' C '' ∽ABC A ' B ' C ' ∽ABC Định lí hai tam giác đồng dạng - Một đường thẳng cắt hai cạnh tam giác song song với cạnh lại tạo thành tam giác với tam giác cho - Chú ý : Định lý cho trường hợp đường thẳng a cắt phần kéo dài hai cạnh tam giác song song với cạnh lại Các trường hợp chứng minh hai tam giác đồng dạng a Trường hợp góc – góc: - Hai tam giác có hai cặp góc hai tam giác đồng dạng với - Ví dụ : �B �' A ' B Hai tam giác ABC A ' B ' C ' có �A  � ABC ∽A ' B ' C ' b Trường hợp cạnh – cạnh – cạnh : - Hai tam giác có ba cặp cạnh tương ứng tỉ lệ với hai tam giác đồng dạng - Ví dụ : AB AC BC   Hai tam giác ABC A ' B ' C ' có A ' B ' A ' C ' B ' C ' ABC ∽A ' B ' C ' c Trường hợp cạnh – góc – cạnh : - Hai tam giác có hai cặp cạnh tương ứng tỉ lệ góc xen hai cặp cạnh hai tam giác đồng dạng với Ví dụ AB AC  A ' A ' B ' A ' C ' ABC ∽A ' B ' C ' Hai tam giác ABC A ' B ' C ' có �A  � d Các trường hợp đồng dạng tam giác vng - Hai tam giác vng có hai góc nhọn tương ứng chúng đồng dạng - Hai tam giác vng có hai cặp cạnh góc vng tương ứng tỷ lệ với hai tam giác đồng dạng với - Cạnh huyền cạnh góc vng tam giác vng tỉ lệ với cạnh huyền cạnh góc vng tam giác vng hai tam giác đồng dạng với II – Bài tập Các tốn tính tốn a Ví dụ : Ví dụ : Tam giác ABC có AB  5(cm), BC  8(cm) Tính AC Giải Trên tia đối tia MA lấy điểm D cho BD  BC � Tam giác BCD cân B �  DCB � � BDC A Mà ABC ACD có chung � � ABC ∽ACD (g.g) AC AB  � AC  AB AD  AB ( AB  BC ) � AD AC � AC  65(cm) Ví dụ : Cho tam giác ABC vuông A có AB  12(cm), BC  20(cm) Trên tia đối AB lấy điểm D cho CD  � AC Tính BCD Giải: AB 12 AC    Ta có: BC 20 CD AB BC  �  CAD �  90� � AC CD mà ABC ACD có BAC �  CDA � � ABC ∽ACD (c.g.c) � BCA � � � � � Mà CDA  ACD  90�� BAC  ACD  90�� BCD  90� Ví dụ 3: Cho tam giác ABC hình bình hành AMNP ( M �AB, N �BC , P �AC ) Tính diện tích AMNP biết: S MBN  3(cm ), S PNC  12(cm ) Giải � � - Ta có: AM / / PN � BMN  MNP (so le trong) �  NPC � AP / / MN � MNP (so le trong) � � � BMN  NPC � � Mà AB / / PN � MBN  PNC (đồng vị) � MBN ∽PNC ( g g ) � � BM  MB MN   PN PC S MBN   S PNC 12 PN AM AM  � S AMN  S BMN  2.3  6(cm ) 2 BM PC  MN  AP � S ANP  AP S PNC  12  6(cm ) PC 2 Vậy S AMNP  S AMN  S ANP    12(cm ) b Bài tập luyện tập Bài 1: Cho tam giác ABC , D trung điểm BC , M trung điểm AD BM �AC   P , P ' a điểm đối xứng P qua M CMR : PA  P ' D PA AP b Tính tỷ số PC AC Bài 2: Cho tam giác ABC có AB : AC : BC  : : chu vi tam giác 54(cm) Cho tam giác DEF có DE  3(cm); DF  4,5(cm); EF  6(cm) a CM tam giác đồng dạng � �  45� ;D tính góc lại tam giác b Biết A  105� Bài Cho tam giác ABC vuông A có đường cao AH trung tuyến AM Tính diện tích tam giác AMH , biết BH  4(cm0), CH  9(cm) Bài 4: Cho tam giác ABC vng A có AB  15(cm), AC  20(cm) AD tia A DE  AC   E phân giác góc  Tính độ dài BD, CD, DE  Tính diện tích ABD, ACD Bài 5: Cho hình thang ABCD ( AB / / CD) Tính BC , CD biết �  DBC � AB  5(cm); AD  7(cm); BD  10(cm), DAB Các toán chứng minh a Ví dụ Ví dụ 1: Cho hình thang ABCD ( AB / / CD ) AC �BD   M  ; AD �BC   P N , Q trung điểm AB, DC - CM: M , N , P, Q thẳng hàng Giải: Nối NP, PQ ta AB AP AN AP AN AP  �  �  CD CP 2CQ CP CQ CP � � � � Mà NAP  QCP � NAP ∽QCP(c.g.c) � APN  CPQ � N , P, Q thẳng hàng (1) ABP ∽CDP ( g g ) � - Nối MN , MQ ta chứng minh tương tự ta chứng minh M , N , Q thẳng hàng (2) Từ (1) (2) ta chứng minh M , N , P, Q thẳng hàng Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có ba đường cao AD, BE , CF đồng quy H Chứng minh rằng: AH DH  BH EH  CH FH Giải - Ta có: � �  90� � � AFH  CDH AHF  CHD (đối đỉnh) � FAH ∽DCH ( g g ) FH AH �  � FH CH  AH DH DH CH (1) - Tương tự ta có: � EAH ∽DBH ( g.g ) � - EH AH  � EH BH  AH DH DH BH (2) Từ (1) với (2) ta có AH DH  BH EH  CH FH Ví dụ 3: Cho tam giác ABC Lấy điểm D, E , F , I , K cho BD AE AF DP DQ      ( D �BC , E �AC , F �AB, P �DF , Q �DE ) DC EC FB PF QE Chứng minh PQ / / BC Giải: Gọi M trung điểm AE Gọi N giao điểm FM DE - Xét AFM ABC có : AF AM   AB AC � A :chung - � AFM ∽ABC (c.g.c) �� AFM  � ABC mà góc vị trí đồng vị � FN / / BC (1) Xét MEN CED có : �  CED � MEN (đ.đ) � � EMN  EDC (s.l.trong) � MEN ∽CED � � EN EM   � EN  ED ED EC DQ DQ DE 1 DP     DN DE DN 3 DF �  DFN � � FN / / PQ � PDQ ∽FDN (c.g c) � DPQ (2) Từ (1) (2) suy PQ / / BC b Bài tập luyện tập Bài 1: Cho ABC có D, E , F trung điểm BC , AC , AB BM  MN  NC ( M , N �BC ) AM �BE   P , AN �CF   Q CMR: a F , P, D thẳng hàng b D, Q, E thẳng hàng c ABC ∽DQP Bài 2: Lấy O điểm nằm ABC AO, BO, CO cắt OA OB OC   2 BC , AC , AB P, Q, R CMR: AP BQ CR Bài 3: Cho điểm A, E , F , B theo thứ tự đường thẳng Trên nửa mặt phẳng bờ AB vẽ cá hình vng ABCD; FGHE AG �BH   O a CMR: OHE ∽OBC b CMR: O �CE , O �DF Bài 4: Cho hình bình hành ABCD tâm O Lấy M , N trung F �AB; FM �BC   E ; FN �AD   K  điểm BO, AO CMR BA BC  4 a BF BE b BE  AK �BC Bài 5: Cho ABC , M �BC CMR: MA.BC  MC AB  MB AC 10 ... 2: TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG I – KIẾN THỨC CƠ BẢN Định nghĩa hai tam giác đồng dạng - Hai tam giác đồng dạng chúng có góc tương ứng cạnh tương ứng tỉ lệ - Tam giác A ' B ' C ' gọi đồng dạng với tam giác. .. - Ký hiệu tam giác đồng dạng : A ' B ' C ' ∽ABC A' B ' A'C ' B 'C '   k AC BC Tỉ số: AB gọi tỉ số đồng dạng Tính chất hai tam giác đồng dạng Hai tam giác A ' B ' C ' ABC đồng dạng có số... Các trường hợp đồng dạng tam giác vng - Hai tam giác vng có hai góc nhọn tương ứng chúng đồng dạng - Hai tam giác vng có hai cặp cạnh góc vng tương ứng tỷ lệ với hai tam giác đồng dạng với - Cạnh