Định lý talet và tam giác đồng dạng

Định lý thuận đảo và hệ quả của định lí Talet. Định nghĩa, tích chất, định lý và hệ quả liên quan đến các tam giác đồng dạng và các trường hợp của nó: góc góc, cạnh cạnh, cạnh góc cạnh , các bài tập ví dụ kèm theo.

Mục lục

LỜI CẢM ƠN 3

Chủ đề 1: ĐỊNH LÝ TALET 4

I – KIẾN THỨC CƠ BẢN 4

1 Đoạn thẳng tỉ lệ 4

2 Định lý Talet trong tam giác 4

3 Định lý Talet cho hình thang 5

II – BÀI TẬP 5

1 Ví dụ 5

2 Bài tập tự giải 5

CHỦ ĐỀ 2: TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG 7

I – KIẾN THỨC CƠ BẢN 7

1 Định nghĩa hai tam giác đồng dạng 7

2 Tính chất của hai tam giác đồng dạng 7

3 Định lí hai tam giác đồng dạng 7

4 Các trường hợp chứng minh hai tam giác đồng dạng 7

II – Bài tập 8

1 Các bài toán về tính toán 8

2 Các bài toán chứng minh 9

CHUYÊN ĐỀ: ĐỊNH LÝ TALET VÀ TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG

Chủ đề 1: ĐỊNH LÝ TALET

I – KIẾN THỨC CƠ BẢN

1 Đoạn thẳng tỉ lệ

a Tỉ số hai đoạn thẳng

- Tỉ số của hai đoạn thẳngAB và CD là tỉ số độ dài của chúng theo

cùng một đơn vị đo

- Ký hiệu:

AB CD

- Nhật xét: Tỉ số hai đoạn thẳng không phụ thuộc vào đơn vị mà

chúng ta chọn

b Đoạn thẳng tỷ lệ

- Hai đoạn thẳngAB và CD gọi là tỉ lệ với hai đoạn thẳng A B' 'và ' 'C D nếu có tỉ lệ thức:

' ' ' '

AB A B

CD C D

- Tỉ lệ thức giữa các đoạn thẳng cũng có các tính chất cũng như của

tỉ lệ thức giữa các số:

o Tích các trung tỉ bằng tích các ngoại tỉ

' '

' ' ' '

' '

AB A B

AB C D A B CD

CD C D  

o Có thể hoán vị các trung tỉ, ngoại tỉ

AB A B AB CD A B C D C D CD

CD C D  A B C D  AB  CD  A B AB

o Có các tính chất của dãy tỉ số bằng nhau

( ' ')

AB A B AB CD A B C D AB A B

CD C D



2 Định lý Talet trong tam giác

a Định lý thuận

- Nếu một đường thẳng song song với

một cạnh của tam giác và cắt hai cạnh còn lại thì nó định ra trên hai cạnh đó những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ

AB AC BB CC AB AC

B C BC

AB AC AB AC BB CC

b Định lý đảo

- Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của

một tam giác và định ra trên hai cạnh này những đoạn thẳng tương ứng bằng nhau thì đường thẳng đó song song với cạnh còn lại của tam giác

- Trong tam giác ABC nếu:

AB AC BB CC AB AC

a BC

AB AC AB AC BB CC 

c Hệ quả

- Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh (hoặc

cắt hai phần kéo dài của hai cạnh) của một tam giác và song song với cạnh còn

lại thì nó tạo thành một tam giác mới có ba cạnh tương ứng tỉ lệ với

ba cạnh của tam giác đã cho

AB AC B C

AB AC BC

3 Định lý Talet cho hình thang

- Nếu một đường thẳng song song với hai

đáy của hình thang và cắt hai cạnh bên thì nó định ra trên hai cạnh bên đó những đoạn thẳng tỉ lệ

- Hình thang ABCD , hai điểm E F, lần lượt

thuộcAD BC,

- Nếu EF / /AB CD thì / /

AE BF

DE CF

- Ngược lại nếu

AE BF

DE CF thì EF / /AB CD / /

II – BÀI TẬP

1 Ví dụ

Ví dụ 1: ABC nhọn ( AB AC ), AC36(cm) AH là đường cao Trung trực của BC cắt AC tại K Tính độ dài của CK

biết HB10(cm HC); 18(cm).

Giải

Gọi I là trung điểm của BC

 KI là trung trực của BC

Mà AH BC

 KI/ /AH



KC IC

AC HC

BH HC

AC cm HC cm IC    cm

 KC28(cm)

Ví dụ 2: Cho hình thang ABCD

(AB CD/ / ), MAD sao cho

2 3

MA

MD ,

vẽ MN/ /DC N( BC) Tính MN

BiếtAB18(cm CD), 21(cm)

Giải

Gọi P AC MN 

- Có MN/ /DC MP DC/ /



2 3

MP AP AM

DC AC AD 

Mà CD21(cm) nên MP14(cm)

- Có MN/ /DC mà AB DC / /

 MN/ /AB PN/ /AB

2 1 (1 ) (1 )

3 3

AB AC   AC   

Mà AB18(cm) PN 6(cm)

- MN MP PN 14 6 20(  cm)

2 Bài tập tự giải

Bài 1: Cho đoạn thẳng AB , MAB sao cho

5 8

AM

AB  Tính tỉ số ,

AM AB

MB MB

Bài 2: Cho tam giác ABC , trong nửa mặ phẳng có chứa A bờ BC kẻ tia

/ /

Cx AB F là trung điểm AB Kẻ EF/ /BC F( AC), EFCx I

 

BIAC H

a Chứng minh: HC2 HA HF.

b Tính

HF

HC

Bài 3: Cho tam giác ABC có AH là đường cao LấyI K,  AH sao cho

AI IK KH  Qua I kẻ DE/ /BC D AB E(  , AC) Qua K kẻ

MN BC MAB NAC

a Chứng minh

DE AI

BC AH và

MN AK

BC AH

b Cho BC 30(cm) Tính 2 đoạn DE MN,

Bài 4: Cho hình thang ABCD(AB CD/ / ),Q là trung điểm của CD ,

M AQ BD , N BQAC

a Chứng minhMN/ /AB

b  E ADMN, F BCMN Chứng minh EM NF

Bài 5: Cho hình thang ABCD(AB CD AB DC/ / )(  ),M AD BC Lấy I là điểm bất kì thuộc DC ,  H BIAD,DN/ /BH N( AB) Gọi P là đỉnh thứ tư của hình bình hành ICPH

Chứng minh rằng M N P, , thẳng hàng

CHỦ ĐỀ 2: TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG

I – KIẾN THỨC CƠ BẢN

1 Định nghĩa hai tam giác đồng dạng

- Hai tam giác đồng dạng nếu chúng có các

góc tương ứng bằng nhau và các cạnh tương ứng tỉ lệ.

- Tam giácA B C' ' 'được gọi là đồng dạng với

tam giácABC nếu:

A' A B, 'B C , 'C và

' ' ' ' ' '

A B A C B B

AB  AC  BC

- Ký hiệu tam giác đồng dạng :

' ' '

A B C ABC

- Tỉ số:

' ' ' ' ' '

A B A C B C

k

AB  AC  BC  gọi

là tỉ số đồng dạng.

2 Tính chất của hai tam giác đồng dạng

Hai tam giácA B C' ' 'và ABC đồng dạng có 1 số tính chất:

- ABC∽A B C' ' '

- Nếu A B C' ' '∽ABC thì ABC∽A B C' ' '

- NếuA B C' ' '∽A B C'' '' '' vàA B C'' '' ''∽ABC thìA B C' ' '∽ABC.

3 Định lí hai tam giác đồng dạng

- Một đường thẳng cắt hai cạnh của tam giác và song song với cạnh còn lại tạo thành một tam giác với tam giác đã cho.

- Chú ý : Định lý đúng cho trường hợp đường thẳng a cắt phần kéo dài của

hai cạnh tam giác và song song với cạnh còn lại.

4 Các trường hợp chứng minh hai tam giác đồng dạng

a Trường hợp góc – góc:

- Hai tam giác có hai cặp góc bằng nhau là hai tam giác đồng dạng với nhau.

- Ví dụ :

Hai tam giácABC và A B C' ' ' cóA A ' vàB B ' thì ABC∽A B C' ' '.

b Trường hợp cạnh – cạnh – cạnh :

- Hai tam giác có ba cặp cạnh tương ứng tỉ lệ với nhau là hai tam giác đồng dạng

- Ví dụ :

Hai tam giácABC và A B C' ' ' có ' ' ' ' ' '

AB AC BC

A B A C B C thì ABC∽A B C' ' '.

c Trường hợp cạnh – góc – cạnh :

- Hai tam giác có hai cặp cạnh tương ứng tỉ lệ và góc xen giữa hai cặp cạnh này bằng nhau thì đó là hai tam giác đồng dạng với nhau.

- Ví dụ

Hai tam giácABC và A B C' ' ' cóA A ' và ' ' ' '

AB AC

A B A C thì ABC∽A B C' ' '.

d Các trường hợp đồng dạng của tam giác vuông

- Hai tam giác vuông có hai góc nhọn tương ứng bằng nhau thì chúng đồng dạng.

- Hai tam giác vuông có hai cặp cạnh góc vuông tương ứng tỷ lệ với nhau thì hai tam giác đó đồng dạng với nhau.

- Cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông này tỉ lệ với cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác đó đồng dạng với nhau.

II – Bài tập

1 Các bài toán về tính toán.

a. Ví dụ :

Ví dụ 1 : Tam giácABC có AB5(cm BC), 8(cm) Tính AC

Giải

Trên tia đối tia MA lấy điểmDsao choBD BC

 Tam giác BCD cân tại B

 BDC DCB

Mà ABC và ACD có chungA

 ABC∽ACD (g.g)



2

AC AB

AC AB AD AB AB BC

 AC 65(cm)

Ví dụ 2 : Cho tam giác ABC

vuông tại A có

12( ), 20( )

AB cm BC  cm Trên tia

đối củaAB lấy điểm D sao cho

5 3

CD

AC  Tính BCD.

Giải:

Ta có:

12 3

20 5

BC   CD



AB BC

AC CD mà ABC và ACD có BAC CAD  90

 ABC∽ACD (c.g.c)  BCA CDA

Mà CDA ACD    90 BAC ACD 90  BCD 90

Ví dụ 3: Cho tam giác ABC và hình bình hành

AMNP MAB N BC P AC  .

Tính diện tích AMNP biết:

3( ), 12( )

S  cm S  cm

Giải

- Ta có: AM / /PN BMNMNP (so le trong)

/ /

AP MN MNP NPC (so le trong)

BMN NPC

Mà AB PN/ /  MBN PNC (đồng vị)

( )

3 1

12 2

MBN PNC

MBN PNC g g

S

MB MN

∽

2

2.3 6( )

BM

2

1

2

AP

PC

Vậy S AMNP S AMNS ANP   6 6 12(cm2)

b Bài tập luyện tập

Bài 1: Cho tam giác ABC,Dlà trung điểm BC,M là trung điểm AD.

a BMAC P P, 'là điểm đối xứng của P qua M

CMR : PA P D '

b Tính tỷ số

PA

PC và

AP AC

Bài 2: Cho tam giác ABCcóAB AC BC : : 2 : 3: 5 và chu vi của tam giác là 54(cm).

Cho tam giác DEF có DE3(cm DF); 4,5(cm EF); 6(cm)

a CM 2 tam giác trên đồng dạng

b Biết A105 ; D45  tính các góc còn lại của 2 tam giác trên

Bài 3 Cho tam giác ABC vuông tại A có đường caoAH và trung tuyến AM Tính diện tích tam giácAMH , biếtBH 4(cm0),CH 9(cm).

Bài 4: Cho tam giácABC vuông tại A có AB15(cm AC), 20(cm) AD là tia phân giác trong của góc A.DEAC E .

a Tính độ dài củaBD CD DE, ,

b Tính diện tích của ABD ACD,

Bài 5: Cho hình thang ABCD(AB CD/ / ) Tính BC CD, biết

  5( ); 7( ); 10( ),

AB cm AD cm BD cm DAB DBC

2 Các bài toán chứng minh

a Ví dụ

Ví dụ 1: Cho hình thang ABCD(AB CD/ / )

ACBD M AD BC  P N Qlần lượt là

trung điểm củaAB DC,

CM: M N P Q, , , thẳng hàng

Giải:

- NốiNP PQ, ta được

2 ( )

2

ABP CDP g g

Mà NAP QCP   NAP∽QCP c g c( ) APN CPQ

, ,

N P Q

- NốiMN MQ, ta chứng minh tương tự ta chứng minh được M N Q, , thẳng hàng (2)

- Từ (1) và (2) ta chứng minh được M N P Q, , , thẳng hàng

Ví dụ 2: Cho tam giác ABCcó ba đường cao

, ,

AD BE CF đồng quy tại H. Chứng minh

rằng:

AH DH BH EH CH FH

Giải

- Ta có:

AFH CDH   và 90 AHF CHD (đối đỉnh)

( )

FAH DCH g g

  ∽

FH AH

FH CH AH DH

DH CH

(1)

- Tương tự ta có:  EAH∽DBH g g( )

EH AH

EH BH AH DH

DH BH

(2)

- Từ (1) với (2) ta có AH DH. BH EH CH FH.  .

Ví dụ 3: Cho tam giác ABC Lấy các điểmD E F I K, , , , sao cho

1

2

D BC E AC F AB P DF Q DE

Chứng minh PQ BC/ /

Giải:

Gọi M là trung điểm của AE

Gọi N là giao điểm của FM vàDE

- Xét AFM và ABC có :

1 3

AF AM

AB AC  và A :chung

 AFM ∽ABC(c.g.c)

AFM ABC

  mà 2 góc ở vị trí đồng vị

/ /

FN BC

- Xét MEN và CED có :

MEN CED (đ.đ)

EMN EDC (s.l.trong)

1

EN EM

ED EC

2 1 1

3 2 3

PDQ FDN c g c DPQ DFN FN PQ

Từ (1) và (2) suy ra PQ BC/ /

b Bài tập luyện tập

Bài 1: Cho ABC có D E F, , là trung điểm của BC AC AB, ,

BM MN NC M NBC AMBE P AN, CF  Q CMR:

a F P D, , thẳng hàng

b D Q E, , thẳng hàng

c ABC∽DQP

Bài 2: Lấy O là một điểm nằm trong ABC AO BO CO, , lần lượt cắt

, ,

BC AC AB tại P Q R, , CMR: 2

OA OB OC

AP BQ CR  Bài 3: Cho 4 điểm A E F B, , , theo thứ tự trên một đường thẳng Trên cùng nửa mặt phẳng bờ AB vẽ cá hình vuông ABCD FGHE;

a AG BH  O CMR: OHE ∽OBC

b CMR: O CE O DF , 

Bài 4: Cho hình bình hành ABCD tâm O Lấy M N, lần lượt là trung điểm BO AO, FAB FM; BC E FN; AD K

CMR

BA BC

BF  BE 

b BE AK BC 

Bài 5: Cho ABC , M BC CMR: MA BC MC AB MB AC.  .  .