talet và tam giác đồng dạng

Mục lục LỜI CẢM ƠN Trước hết, em xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới giảng viên – ThS Đào Thị Hoa Mai, người trực tiếp hướng dẫn giảng dạy học phần Hình học cho Trung học Phổ thông Xin cảm ơn thầy cô giáo trường ĐH Giáo dục- ĐH Quốc gia Hà Nội cung cấp kiến thức tổ chức cho sinh viên học phần Hình học cho Trung học Phổ thơng Xin chân thành cảm ơn bạn lớp giúp đỡ tơi q trình học tập, thu thập tài liệu đóng góp ý kiến giúp tơi làm tốt tiểu luận Trong trình viết khơng thể tránh khỏi sai sót, mong đóng góp ý kiến thầy để tiểu luận em hoàn thiện Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 27/12/2018 Tác giả Vũ Anh Thư CHUYÊN ĐỀ: ĐỊNH LÝ TALET VÀ TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG Chủ đề 1: ĐỊNH LÝ TALET I – KIẾN THỨC CƠ BẢN Đoạn thẳng tỉ lệ a Tỉ số hai đoạn thẳng CD AB - Tỉ số hai đoạn thẳng tỉ số độ dài chúng theo đơn vị đo AB CD - Ký hiệu: - Nhật xét: Tỉ số hai đoạn thẳng không phụ thuộc vào đơn vị mà chọn b Đoạn thẳng tỷ lệ CD C 'D' AB A' B ' - Hai đoạn thẳng gọi tỉ lệ với hai đoạn thẳng AB A ' B ' = CD C ' D ' có tỉ lệ thức: - Tỉ lệ thức đoạn thẳng có tính chất tỉ lệ thức số: o Tích trung tỉ tích ngoại tỉ AB A ' B ' = ⇔ AB.C ' D ' = A ' B '.CD CD C ' D ' o Có thể hốn vị trung tỉ, ngoại tỉ AB A ' B ' AB CD A' B ' C ' D ' C ' D ' CD = ⇔ = ⇔ = ⇔ = CD C ' D ' A' B ' C ' D ' AB CD A ' B ' AB o Có tính chất dãy tỉ số AB A ' B ' AB ± CD A ' B '± C ' D ' AB ± A ' B ' = ⇒ = = (CD ≠ C ' D ') CD C ' D ' CD C 'D' CD ± C ' D ' Định lý Talet tam giác a Định lý thuận - Nếu đường thẳng song song với cạnh tam giác cắt hai cạnh cịn lại định hai cạnh đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ B ' C '/ / BC ⇔ AB ' AC ' BB ' CC ' AB ' AC ' = , = , = AB AC AB AC BB ' CC ' b Định lý đảo - Nếu đường thẳng cắt hai cạnh tam giác định hai cạnh đoạn thẳng tương ứng đường thẳng song song với cạnh cịn lại tam giác - Trong tam giác ABC nếu: AB ' AC ' BB ' CC ' AB ' AC ' = , = , = ⇔ a / / BC AB AC AB AC BB ' CC ' c Hệ - Nếu đường thẳng cắt hai cạnh (hoặc cắt hai phần kéo dài hai cạnh) tam giác song song với cạnh lại tạo thành tam giác có ba cạnh tương ứng tỉ lệ với ba cạnh tam giác cho AB ' AC ' B ' C ' ⇒ = = AB AC BC Định lý Talet cho hình thang - Nếu đường thẳng song song với hai đáy hình thang cắt hai cạnh bên định hai cạnh bên đoạn thẳng tỉ lệ E, F ABCD - Hình thang , hai điểm AD, BC thuộc AE BF = EF / / AB / /CD DE CF - Nếu AE BF = EF / / AB / / CD DE CF - Ngược lại II – BÀI TẬP Ví dụ ∆ABC AB < AC AC = 36(cm) Ví dụ 1: nhọn ( ), BC AH đường cao Trung trực cắt AC CK K Tính độ dài biết HB = 10(cm); HC = 18(cm) Giải BC I Gọi trung điểm BC ⇒ KI trung trực AH ⊥ BC Mà ⇒ KI / / AH KC IC = ⇒ AC HC AC = 36(cm), HC = 18(cm), IC = Trong BH + HC = 14(cm) ⇒ KC = 28(cm) ABCD Ví dụ 2: Cho hình thang MA = ( AB / / CD ) M ∈ AD MD , cho , MN / / DC ( N ∈ BC ) MN vẽ Tính AB = 18(cm), CD = 21(cm) Biết Giải P = AC ∩ MN Gọi MN / / DC ⇒ MP / / DC - Có MP AP AM = = = ⇒ DC AC AD Mà - CD = 21(cm) MP = 14(cm) nên AB / / DC Có mà ⇒ MN / / AB ⇒ PN / / AB MN / / DC PN CP AP = = (1 − ) = (1 − ) = ⇒ AB AC AC 3 - AB = 18(cm) ⇒ PN = 6(cm) Mà MN = MP + PN = 14 + = 20(cm) Bài tập tự giải AM = AB AM AB , MB MB AB M ∈ AB Bài 1: Cho đoạn thẳng , cho Tính tỉ số ABC BC A Bài 2: Cho tam giác , nửa mặ phẳng có chứa bờ kẻ tia EF / / BC ( F ∈ AC ) EF ∩ Cx = { I } Cx / / AB AB F trung điểm Kẻ , BI ∩ AC = { H } HC = HA.HF a Chứng minh: HF HC b Tính { I , K } ∈ AH ABC AH Bài 3: Cho tam giác có đường cao Lấy cho DE / / BC ( D ∈ AB , E ∈ AC ) AI = IK = KH I K Qua kẻ Qua kẻ MN / / BC ( M ∈ AB, N ∈ AC ) a Chứng minh b Cho DE AI = BC AH BC = 30(cm) MN AK = BC AH DE , MN Tính đoạn ABCD ( AB / / CD) Q CD Bài 4: Cho hình thang , trung điểm , { M } = AQ ∩ BD { N } = BQ ∩ AC , MN / / AB a Chứng minh { E} = AD ∩ MN { F } = BC ∩ MN EM = NF b , Chứng minh ABCD ( AB / / CD)( AB < DC ) { M } = AD ∩ BC I Bài 5: Cho hình thang , Lấy DC { H } = BI ∩ AD DN / / BH ( N ∈ AB ) P điểm thuộc , , Gọi đỉnh ICPH thứ tư hình bình hành M , N, P Chứng minh thẳng hàng CHỦ ĐỀ 2: TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG I – KIẾN THỨC CƠ BẢN Định nghĩa hai tam giác đồng dạng - Hai tam giác đồng dạng chúng có góc tương ứng cạnh tương ứng tỉ lệ - Tam giác tam giác A ' B 'C ' ABC gọi đồng dạng với nếu: µ µ'= B µ ,C µ'=C µ A ' = µA, B A ' B ' A 'C ' B ' B ' = = AB AC BC - Ký hiệu tam giác đồng dạng : ∆A ' B ' C ' ∽∆ABC A ' B ' A 'C ' B 'C ' = = =k AB AC BC - Tỉ số: gọi tỉ số đồng dạng Tính chất hai tam giác đồng dạng Hai tam giác - A ' B 'C ' ABC đồng dạng có số tính chất: ∆ABC ∽∆A ' B ' C ' - Nếu ∆A ' B ' C ' ∽∆ABC ∆A ' B ' C ' ∽∆A '' B '' C '' ∆ABC ∽∆A ' B ' C ' ∆A '' B '' C '' ∽∆ABC ∆A ' B ' C ' ∽∆ABC - Nếu Định lí hai tam giác đồng dạng - Một đường thẳng cắt hai cạnh tam giác song song với cạnh lại tạo thành tam giác với tam giác cho - Chú ý : Định lý cho trường hợp đường thẳng a cắt phần kéo dài hai cạnh tam giác song song với cạnh lại Các trường hợp chứng minh hai tam giác đồng dạng a Trường hợp góc – góc: - Hai tam giác có hai cặp góc hai tam giác đồng dạng với - Ví dụ : ABC µA = µ A' A' B 'C ' µ =B µ' B ∆ABC ∽∆A ' B ' C ' Hai tam giác có b Trường hợp cạnh – cạnh – cạnh : - Hai tam giác có ba cặp cạnh tương ứng tỉ lệ với hai tam giác đồng dạng - Ví dụ : ABC A ' B 'C ' AB AC BC = = A' B ' A'C ' B 'C ' A' B 'C ' µA = µ A' ∆ABC ∽∆A ' B ' C ' Hai tam giác có c Trường hợp cạnh – góc – cạnh : - Hai tam giác có hai cặp cạnh tương ứng tỉ lệ góc xen hai cặp cạnh hai tam giác đồng dạng với - Ví dụ ABC AB AC = A' B ' A'C ' ∆ABC ∽∆A ' B ' C ' Hai tam giác có d Các trường hợp đồng dạng tam giác vng - Hai tam giác vng có hai góc nhọn tương ứng chúng đồng dạng - Hai tam giác vng có hai cặp cạnh góc vng tương ứng tỷ lệ với hai tam giác đồng dạng với - Cạnh huyền cạnh góc vng tam giác vng tỉ lệ với cạnh huyền cạnh góc vng tam giác vng hai tam giác đồng dạng với II – Bài tập Các toán tính tốn a Ví dụ : Ví dụ : Tam giác Giải Trên tia đối tia ABC MA có AB = 5(cm), BC = 8(cm) D lấy điểm cho ⇒ BD = BC BCD B Tam giác cân · · = DCB ⇒ BDC µA ∆ABC ∆ACD Mà có chung ⇒ ∆ABC ∽∆ACD (g.g) AC AB = ⇔ AC = AB AD = AB ( AB + BC ) ⇒ AD AC ⇒ AC = 65(cm) Ví dụ : Cho tam giác A vng có AB = 12(cm), BC = 20(cm) đối CD = AC AB ABC lấy điểm Tính · BCD D Trên tia cho Tính AC Giải: AB 12 AC = = = BC 20 CD Ta có: AB BC = ⇒ AC CD mà ∆ABC ⇒ ∆ABC ∽∆ACD Mà · · BAC = CAD = 90° ∆ACD có · · ⇒ BCA = CDA (c.g.c) · · · CDA + ·ACD = 90° ⇒ BAC + ·ACD = 90° ⇔ BCD = 90° ABC Ví dụ 3: Cho tam giác hình bình hành AMNP ( M ∈ AB, N ∈ BC , P ∈ AC ) AMNP Tính diện tích biết: 2 S MBN = 3(cm ), S PNC = 12(cm ) - Ta có: Giải · · AM / / PN ⇒ BMN = MNP · · AP / / MN ⇒ MNP = NPC · · ⇒ BMN = NPC Mà · · AB / / PN ⇒ MBN = PNC (so le trong) (so le trong) (đồng vị) ⇒ ∆MBN ∽∆PNC ( g g ) ⇒ ⇒ BM = S MBN MB MN = = = = PN PC S PNC 12 PN AM AM = ⇒ S AMN = S BMN = 2.3 = 6(cm ) 2 BM PC = MN = AP ⇒ S ANP = Vậy AP S PNC = 12 = 6(cm ) PC S AMNP = S AMN + S ANP = + = 12(cm ) b Bài tập luyện tập ABC D BC M AD Bài 1: Cho tam giác , trung điểm , trung điểm BM ∩ AC = { P} , P ' P M a điểm đối xứng qua PA = P ' D CMR : b Tính tỷ số PA PC Bài 2: Cho tam giác ABC AP AC có AB : AC : BC = : : chu vi tam giác 54(cm) DE = 3(cm); DF = 4,5(cm); EF = 6(cm) DEF Cho tam giác có a CM tam giác đồng dạng µA = 105°; D µ = 45° b Biết tính góc cịn lại tam giác ABC A AH AM Bài Cho tam giác vuông có đường cao trung tuyến BH = 4(cm0), CH = 9(cm) AMH Tính diện tích tam giác Bài 4: Cho tam giác , biết ABC phân giác góc a Tính độ dài vng A có A DE ⊥ AC = { E} AB = 15(cm), AC = 20(cm) AD tia BD, CD, DE b Tính diện tích ∆ABD, ∆ACD ( AB / / CD ) ABCD BC , CD Bài 5: Cho hình thang Tính · · AB = 5(cm); AD = 7(cm); BD = 10(cm), DAB = DBC biết Các toán chứng minh a Ví dụ Ví dụ 1: Cho hình thang ABCD ( AB / / CD ) AC ∩ BD = { M } ; AD ∩ BC = { P} N , Q AB, DC trung điểm M , N , P, Q CM: thẳng hàng Giải: NP, PQ - Nối ta AB AP AN AP AN AP ∆ABP ∽∆CDP( g g ) ⇒ = ⇔ = ⇔ = CD CP 2CQ CP CQ CP · · · NAP = QCP ⇒ ∆NAP ∽∆QCP (c.g c) ⇒ ·APN = CPQ Mà ⇒ N , P, Q - thẳng hàng (1) MN , MQ M , N,Q Nối ta chứng minh tương tự ta chứng minh thẳng hàng (2) 10 - Từ (1) (2) ta chứng minh M , N , P, Q thẳng hàng ABC Ví dụ 2: Cho tam giác có ba đường cao AD, BE , CF H đồng quy Chứng minh rằng: AH DH = BH EH = CH FH Giải - Ta có: ·AFH = CDH · = 90° ⇒ ∆FAH ∽∆DCH ( g g ) ⇒ (đối đỉnh) FH AH = ⇔ FH CH = AH DH DH CH - Tương tự ta có: ⇒ ·AHF = CHD · (1) ⇒ ∆EAH ∽∆DBH ( g g ) EH AH = ⇔ EH BH = AH DH DH BH (2) AH DH = BH EH = CH FH - Từ (1) với (2) ta có D, E , F , I , K ABC Ví dụ 3: Cho tam giác Lấy điểm cho BD AE AF DP DQ = = = = = ( D ∈ BC , E ∈ AC , F ∈ AB, P ∈ DF , Q ∈ DE ) DC EC FB PF QE Chứng minh PQ / / BC Giải: Gọi Gọi M N trung điểm giao điểm AE FM DE ∆ABC có : AF AM = = µA AB AC :chung ⇒ ∆AFM ∽∆ABC (c.g.c) · · ⇒ AFM = ABC mà góc vị trí đồng vị ⇒ FN / / BC (1) - Xét ∆AFM 11 - Xét ∆MEN ∆CED có : ·MEN = CED · (đ.đ) ·EMN = EDC · (s.l.trong) ⇒ ∆MEN ∽∆CED ⇒ ⇒ EN EM = = ⇒ EN = ED ED EC DQ DQ DE 1 DP = = = = DN DE DN 3 DF · · ⇒ ∆PDQ ∽∆FDN (c.g c) ⇒ DPQ = DFN ⇒ FN / / PQ Từ (1) (2) suy (2) PQ / / BC b Bài tập luyện tập Bài 1: Cho ∆ABC có D, E , F BM = MN = NC ( M , N ∈ BC ) a b c F , P, D trung điểm BC , AC , AB AM ∩ BE = { P} , AN ∩ CF = { Q} CMR: thẳng hàng D, Q, E thẳng hàng ∆ABC ∽∆DQP ∆ABC AO, BO, CO điểm nằm cắt OA OB OC + + =2 BC , AC , AB P , Q, R AP BQ CR CMR: A, E , F , B Bài 3: Cho điểm theo thứ tự đường thẳng Trên ABCD; FGHE AB nửa mặt phẳng bờ vẽ cá hình vng AG ∩ BH = { O} ∆OHE ∽∆OBC a CMR: O ∈ CE , O ∈ DF b CMR: M,N ABCD O Bài 4: Cho hình bình hành tâm Lấy trung Bài 2: Lấy O BO, AO F ∈ AB; FM ∩ BC = { E} ; FN ∩ AD = { K } điểm CMR BA BC + =4 BF BE a 12 b BE + AK ≥ BC Bài 5: Cho ∆ABC M ∈ BC MA.BC < MC AB + MB AC , CMR: 13 ... 2: TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG I – KIẾN THỨC CƠ BẢN Định nghĩa hai tam giác đồng dạng - Hai tam giác đồng dạng chúng có góc tương ứng cạnh tương ứng tỉ lệ - Tam giác tam giác A ' B 'C ' ABC gọi đồng dạng. .. Ký hiệu tam giác đồng dạng : ∆A ' B ' C ' ∽∆ABC A ' B ' A 'C ' B 'C ' = = =k AB AC BC - Tỉ số: gọi tỉ số đồng dạng Tính chất hai tam giác đồng dạng Hai tam giác - A ' B 'C ' ABC đồng dạng có... Hai tam giác có d Các trường hợp đồng dạng tam giác vuông - Hai tam giác vng có hai góc nhọn tương ứng chúng đồng dạng - Hai tam giác vng có hai cặp cạnh góc vng tương ứng tỷ lệ với hai tam giác