ĐỊNH lý TALET đảo và hệ QUẢ TALET

ÔN TẬP ĐỊNH LÝ TALÉT ĐẢO, HỆ QUẢ ĐỊNH LÝ TALET A Lý thuyết Định lý Ta-lét đảo: Nếu ột đường thẳng cắt hai cạnh tam giác định hai cạnh cặp đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ đường thẳng song với cạnh lại tam giác ABC ( D  AB, E  AC )   AD AE   DE / / BC   BD EC Hệ định lý Ta-Lét: Nếu đường thẳng cắt hai cạnh cảu tam giác song song với cạnh cịn lại tạo thành tam giác có ba cạnh tương ứng tỉ lệ với ba cạnh tam giác cho ABC ( D  AB, E  AC )  AD AE DE    DE / / BC AB AC BC  *) Chú ý: Hệ tường hợp đường thẳng d song song với cạnh AD AE DE   tam giác cắt phần kéo dài hai cạnh lại: AB AC BC a c a c a c    ;  Tính chất tỉ lệ thức: Nếu b d a  b c  d a  b c  d a c e ace a c e     Tính chất dãy tỉ số nhau: b d f b  d  f b  d  f B Bài tập Dạng 1: Sử dụng hệ định lý TaLet để tính độ dài đoạn thẳng, chứng minh hệ thức, đoạn thẳng Cách giải: Thực theo bước sau Bước 1: Xét đường thẳng song song với cạnh tam giác, sử dụng hệ để lập đoạn thẳng tỉ lệ Bước 2: Sử dụng tỉ số có, tính chất tỉ lệ thức, tỉ số trung gian (nếu cần) để tính độ dài đoạn thẳng chứng minh hệ thức có từ hệ quả, từ suy đoạn thẳng Bài 1: Cho tam giác ABC có cạnh BC  m Trên A cạnh AB lấy điểm D, E cho M D AD  DE  EB Từ D, E kẻ đường thẳng N E song song với BC , cắt cạnh AC theo thứ tự M N Tính độ dài đoạn thẳng B C DM EN theo m Lời giải Xét ABC có Tương tự: Cho DM / / BC  EN / / BC  hình DM AD m   DM  BC AB (Ta-lét) EN AE   EN  m BC AB thang ABCD Bài 2: (với A AB / / CD, AB  CD ) Gọi trung điểm B đường chéo BD M Qua M kẻ đường M thẳng song song với DC cắt AC N N Q Chứng minh: a) N trung điểm AC b) MN  D CD  AB Lời giải a) Gọi Q giao điểm MN với BC ( Q  BC ) Xét BCD  MQ / / DC  BM  MD  BQ  QC ; NQ / / AB 1 CD  AB MQ  CD; NQ  AB  MN  MQ  QN  2 b) Ta có: C Bài 3: Cho hình thang ABCD có AB / / CD E thuộc A AE  AD cho AD Qua E kẻ đường thẳng E song song với CD , cắt BC F Tính EF , I F 12 30 D biết AB  10cm, CD  30cm B 10 C Lời giải EI AE FI CI DE    EI  12(cm);    AB CA DA Ta có: DC AD  FI  6(cm); EF  18(cm) Bài 4: Cho tam giác ABC vuông A, BC  53cm , B D thuộc AC , AD  20cm, CD  8cm Đường vuông góc với AC C cắt đường thẳng 53 45 BD E Tính CE ? 20 A D C E Lời giải Xét ABC vuông A , áp dụng định lý Pytago  AB  45cm Xét ABC , ta có: AB / / CD  CE   CE  18(cm) 45 20 Bài 5: Cho hình thang ABCD  AB / / CD  , có O A x=3 B giao điểm hai đường chéo AC BD , O OA  , CD  6cm biết AC Tính AB 6cm D C Lời giải Xét OCD , có AB / / CD ( A  OC , B  OD )  OA OB AB OA AB   ( HQ.TaLet )   OC OD CD OC CD  OA AB OA x x      OA  OC AB  CD AC x  x6  x  x   x   x  3(cm)  AB  3cm Bài 6: Cho hình bình hành ABCD Trên cạnh CD A DE  lấy điểm E cho DC Gọi I giao I D DI điểm AE BD Tính DB Lời giải Xét IAB , có: DE / / AB( D  IB, E  IA)  DI DE  IB AB (Hệ TaLet)  DI DE DI DI DI        IB DC IB DI  IB  IB B Bài 1: E C Cho hình thang ABCD  AB / / CD  , có O A giao điểm đường chéo Đường thẳng E qua O song song với hai đáy cắt AD BC B F O E F Chứng minh a OE  OF D C 1   b AB CD OE * Lời giải a Xét ABD, OE / / AB( E  AB, O  BD)  OE DO  AB DB (Hệ TaLet) (1) Xét ABC , có OF / / AB ( F  BC , O  AC )  OF CO  AB CA (Hệ TaLet) (2) Xét OCD, AB / / CD ( A  OC , B  OD )  Từ (1)(2)(3)  OE OF   OE  OF AB AB b Xét ABC , có Xét DO CO DO CO DO CO      (3) OB AO DO  OB CO  OA DB CA EF / / AB  BCD, OF / / CD  OF CF  AB CB (Hệ Ta-lét) (4) OF BF OF OF CF BF 1  ( HQ.TaLet )(5)       OF (  ) 1 CD CB AB CD BC BC AB CD 1   Hay AB CD OF Bài 7: Cho tam giác ABC , đường trung tuyến AM K A Trên cạnh AC lấy điểm D Gọi I giao điểm AM BD Qua C kẻ đường D thẳng song song với AB , cắt BD K I Chứng minh rằng: IB  ID.IK B M C Lời giải Từ D kẻ DH / / AM ( H thuộc BC ) Xét BDH , có IM / / DK  Xét ACM , có DH // AM   MC AC  MH AD (Hệ TaLet) MB AC  ( MB  MC )(2) MH AD Xét ABD , có CK / / AB  IB MB  ID MH (Hệ TaLet) (1)  AD BD AD  DC BD  DK AC BK      DC DK (Hệ TaLet) DC DK DC DK AC BK IB AC  (3)   (4) AD BD ID AD Từ (3)(4)  IB BK   IB.BD  ID.BK  IB( IB  ID)  ID( IB  IK )  IB  IB.ID  ID.IB  ID.IK ID BD  IB  ID.IK (dpcm) Bài 7: Cho tam giác ABC , I điểm tam A giác IA, IB, IC cắt BC , CA, AB E F N P M , N , P Qua A kẻ đường thẳng song song I với BC cắt BN , CM E F Chứng B minh rằng: AE AF  a BM MC M C NA PA IA   b NC PB IM Lời giải AE / / BM  a) Ta có: Lại có: FA / / MC  AI AE  IM BM AI FA AI AF    IM MC IM MC b Cách 1: Xét NBC , có: AE // BC Xét PBC , có: AF / / BC Xét IBC , có: EF / / BC Xét IBM , có: AE / / BM Từ (3)(6) Cách 2:   NA AE  NC BC (hệ Ta-lét) (1)  PA AF NA PA AE AF EF  ( HQ.TaLet )(2)      (3) PB BC NC PB BC BC BC  EF IE  ( HQ.TaLet )(4) BC IB  IE IA EF IA  ( HQ.TaLet )(5)   (6) IB IM BC IM NA PA IA   (dpcm) NC PB IM AE AF AE  AF EF AI     (1) Ta có: MB MC MB+MC BC IM AP AF AN AE AN PA IA  (2);  (3)    NC BC NC PB IM Ta chứng minh được: PB BC Dạng 2: Sử dụng định lý TaLet để chứng minh đường thẳng song song Cách giải: Thực theo hai bước sau - Xác định cặp đoạn thẳng tỉ lệ tam giác - Sử dụng định lý đảo định lý TaLet để chứng minh đoạn thẳng song song Bài 1: Cho tứ giác ABCD Đường thẳng qua A B song song với BC cắt BD E Đường A thẳng qua B song song với AD cắt AC O G Chứng minh EG / / CD E G D C Lời giải Xét OAD , có: BG / / AD Xét OBC , có: AF / / BC Từ (1)(2)   OA OD  ( HQ )(1) OG OB  OB OC  ( HQ)(2) OE OA OA OC OD OB OC OD    OG OA OB OE OG OE Xét OCD , có: E  OD, G  OC , co ' : OC OD   EG / / CD OG OE (Ta-lét đảo) Bài 2: Cho tam giác ABC có điểm M cạnh A BC cho BC  4CM Trên cạnh AC lấy N CN  điểm N cho AN Chứng minh MN / / AB B Lời giải M C Ta có: BC  4CM  BM  3CM  CM CN    MN / / AB BM AN Bài 3: Cho tam giác ABC , điểm I thuộc cạnh AB , A điểm K thuộc cạnh AC Kẻ IM / / BK ( M thuộc AC ), kẻ KN / / CI ( N thuộc AB ) M N K I Chứng minh MN / / BC C B Lời giải Ta có: IM / / BK , KN / / IC  AI AM AN AK AN AM  ,    AB AK AI AC AB AC Bài 4: Cho tam giác ABC , đường trung tuyến AM , A H K điểm I thuộc đoạn thẳng AM Gọi E giao điểm BI AC , F giao điểm E F CI AB Chứng minh EF / / BC I B M C Lời giải Cách 1: Qua A vẽ đường thẳng song song với BC cắt tia CF H cắt tia BE K Xét AIH , AIK  HA / / BM ; AK / / MC   AH  AK AH AF AK AE AF AE  ;     EF / / BC Lại có: BC FB BC EC FB EC Cách 2: Áp dụng định lí Xê-va, ta có: AM , BE , CF đồng quy I  MB EC FA FB EC 1   EF / / BC MC EA FB , mà FA EA BÀI TẬP VỀ NHÀ Bài 1: Cho tam giác AOB có AB  18cm, OA  12cm , F OB  9cm Trên tia đối tia OB lấy điểm D cho OD  3cm Qua D kẻ đường D thẳng song song với AB cắt tia AO C C O Gọi F giao điểm AD BC Tính a Độ dài OC , OD B A FD b Tính tỉ số: FA Lời giải a AB / / CD , áp dụng định lý TaLet, OC  4cm, CD  6cm FD DC   b Áp dụng hệ định lý TaLet cho ABF , ta được: FA AB Bài 2: Cho hình thang ABCD có hai đáy AB, CD A B Gọi M trung điểm CD, E giao điểm MA BD, F giao điểm H F E N MB AC D a Chứng minh EF / / AB b Đường thẳng EF cắt AD, BC H N Chứng minh HE  EF  FN c Biết AB  7,5cm, CD  12cm Tính độ dài HN Lời giải a Từ b AB / / DM , AB / / MC  HF / / DC  AE BF   EF / / AB EM FM HE EF   HE  EF(1) DM MC 10 M C Tương tự: FE  FN (2)  HE  FE  FN (dpcm) c Chứng minh được: AE AE AE HE AE 10      ;   HE  (cm)  HN  10cm EM AE  EM  AM DM AM 11 ... BC Dạng 2: Sử dụng định lý TaLet để chứng minh đường thẳng song song Cách giải: Thực theo hai bước sau - Xác định cặp đoạn thẳng tỉ lệ tam giác - Sử dụng định lý đảo định lý TaLet để chứng minh... OC , OD B A FD b Tính tỉ số: FA Lời giải a AB / / CD , áp dụng định lý TaLet, OC  4cm, CD  6cm FD DC   b Áp dụng hệ định lý TaLet cho ABF , ta được: FA AB Bài 2: Cho hình thang ABCD có hai... // AM   MC AC  MH AD (Hệ TaLet) MB AC  ( MB  MC )(2) MH AD Xét ABD , có CK / / AB  IB MB  ID MH (Hệ TaLet) (1)  AD BD AD  DC BD  DK AC BK      DC DK (Hệ TaLet) DC DK DC DK AC BK