Nội dung định lý: “Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và định ra trên hai cạnh này những đoạn thẳng tỷ lệ thì hai đường thẳng đó song song với cạnh còn lại của tam giác” V[r]
(1)PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG BẰNG ĐỊNH LÝ TALET ĐẢO A MỞ ĐẦU Môn toán là môn học bản, không thể thiêú nhà trường phổ thông, nó còn là môn học trở thành công cụ cho số môn học khác Bởi Toán học chiếm vị trí quan trọng lĩnh vực khoa học kỷ thuật sống hàng ngày Thế không phải học sinh nào say mê và hứng thú học Toán.đặc biệt phân môn Hình học lại có cái khó mà nhiều học sinh thường không dám tiếp cận và đối mặt với việc giải các bài tập hình học Bởi cái khó các em là không biết vận dụng lý thuyết vào làm bài tập nào? Chưa hình dung giải bài tập hình là làm nào? Tư hình học còn nhiều hạn chế Chính vì mà số học sinh yêu thích học hình còn ít so với số học sinh thích học đại số Đứng trước thực trạng đòi hỏi giáo viên dạy môn Toán cần biết giúp các em tháo gỡ khó khăn phần nào học hình học Tạo niềm hưng phấn cho học sinh làm bài toán Hình Muốn giáo viên phải sớm hình thành phương pháp giải bài toán, cần giúp học sinh biết định hướng tìm lời giải theo phương pháp phân tích lên, phương pháp phân tích xuống (Tuỳ bài toán) Tuy với loại bài toán lại có thể có nhiều cách giải khác Chẳng hạn để chứng minh hai đường thẳng song song chương trình Hình học cấp có nhiều phương pháp, riêng Hình học lớp 8, định lý Talet đảo đã giúp chúng ta có thêm phương pháp để chứng minh hai đường thẳng song song Trong thực tế nhiều bài tập chứng minh hai đường thẳng song song cần phải nhờ vào định lý Talét đảo Trong bài viết này, tôi xin đưa cách hướng dẫn học sinh giải số bài tập chứng minh hai đường thẳng song song dựa vào định lý Ta lét đảo B.NỘI DUNG I Cơ sở lý luận: Xuất phát từ nội dung định lý Ta lét đảo sau: Lop7.net (2) Nội dung định lý: “Nếu đường thẳng cắt hai cạnh tam giác và định trên hai cạnh này đoạn thẳng tỷ lệ thì hai đường thẳng đó song song với cạnh còn lại tam giác” Vì đọc đến dạng toán có chứng minh hai đường thẳng song song hình học 8, tôi thường hướng cho học sinh nội dung định lý Talét đảo cách phát các đoạn thẳng tỉ lệ các tam giác II Cơ sở thực tiễn Trong thực tế giảng dạy tôi thấy đa số học sinh tuý luý làm bài toán hình, phải các em không định hướng phương pháp chứng minh bài toán đó, các em chưa biết vận dụng lý thuyết vào giải toán Tức là bài toán đó ta nên vận dụng định nghĩa hay tính chất hay định lý nào cụ thể vào bài tập đó Muốn cho các em định hướng đúng bài toán chứng minh hai đường thẳng song song dựa vào định lý Talét đảo trước hết các em phải nắm vững định lý Từ giả thiết định lý, nghĩa là phải tìm các đoạn thẳng tỉ lệ gắn vào tam giác nào từ đó kết luận hai đường thẳng song song Trong quá trình định hướng để tìm lời giải, giáo viên cần kết hợp thêm lược đồ phân tích, để qua đó học sinh hình dung các bước giải và từ đó các em có thể trình bày lời giải bài toán III Quá trình thực hiện: Sau đây là số ví dụ cụ thể mà tôi đã hướng dẫn học sinh giải bài tập chứng minh hai đường thẳng song song nhờ vận dụng định lý Talét đảo nào Ví dụ 1: Cho ABC, trung tuyến AM, đường phân giác góc AMB cắt cạnh AB D Đường phân giác góc AMC cắt cạnh AC E Chứng minh rằng: ED// BC A Cho ABC GT MB=MC, BMD = AMD, D AB E D AME = CME, E AC KL ED //BC B M Hướng dẫn cách tìm lời giải: C Giả sử có DE// BC Lop7.net (3) Thì đoạn thẳng tỉ lệ có thể là: AD AE AD AE DB EC = ; = ; = DB EC AB AC AB AC Sơ đồ phân tích Để chứng minh DE// BC - Các đoạn thẳng này có tam giác nào? - Hơn giả thiết cho đường phân giác Phải có: AD AE DB EC góc để làm gì? - Trong ABC có D AB; E AC Và AD AE = Sẽ suy điều gì? DB EC AD MA (gt) DB MB Mà Từ đây các em dễ dàng trình bày lời giải và AE MA (gt) EC MC Và MB// MC (Gt) Giải: Trong ABM có MD là phân giác AMB nên ta có: AD MA = (1) (Định lý) DB MB Trong AMC có ME là phân giác AMC nên ta có: AE MA = (2) (Định lý) EC MC Vì MB= MC (giả thiết) Nên từ (1) và (2) suy : AD AE = DB EC Trong ABC có DE định cạnh AB, AC đoạn thẳng tỉ lệ nên DE // BC Ví dụ : Cho tứ giác ABCD, gọi K, L là trọng tâm các tam giác ABC và tam giác BCD Chứng minh KL // AD Cho tứ giác ABCD (AB//CD) A GT K là trọng tâm tam giác ABC B K L là trọng tâm tam giác BCD M L Lop7.net D C (4) KL KL//AD Hướng dẫn cách tìm lời giải: - Gọi M là trung điểm BC Sơ đồ phân tích: Cho K, L là trọng tâm ABC, BCD cho ta Để chứng minh KL //AD nghĩ tới tính chất nào ? (T/ c trọng tâm tam giác) - Muốn chứng minh KL// AD thì phải có điều gì ? - Từ giả thiết suy Ta phải có: MK ML = MA MD MK ML = vì sao? MA MD - Từ kết luận trên rút điều gì? Tại sao? Mà : - KL // AD theo định lý Talét đảo Và MK = MA ML = MD (Tính chất trọng tâm tam giác) Giải : Gọi M là trung điểm BC vì K là trọng tâm ABC nên MK= chất trọng tâm tam giác) , hay MK = (1) MA 3 Và L là trọng tâm BCD nên ML = MD hay Từ (1) và (2) suy MA ( Tính ML = (2) MD MK ML nên KL //AD ( Định lý Talét đảo) MA MD Do AMD có KL định trên cạnh MA, MD đoạn thẳng tỷ lệ nên KL // AD ( Định lý Talét đảo) Ví dụ : Cho Hình thang ABCD (AB //CD), M là trung điểm CD Gọi I là giao điểm AM và BC và K là giao điểm BM và AC CMR : IK //AB GT Cho hình thang ABCD (AB //CD) B A DM = MC AM BD = I K I D Lop7.net C M (5) BM AC = K KL IK //AB Hướng dẫn tìm lời giải: Sơ đồ phân tích lên IK nằm tam giác nào? IK //AB AMB, AMC, BMD, AIK, IM KM IA KB BIK tam giác AIK, BIK các em không khai thác gì? - Xét các tam giác còn lại đó là IM MD IA AB AMC, BMD ; AMB tìm xem có KM MC KB AB đoạn thẳng tỉ lệ nào ? và - Đối với tam giác trên xét tam giác nào Mà MD = MC để chứng minh IK //AB thì nên xét AMB ( Vì IK, AB có AMB) Đến đây học sinh dễ dàng thấy lời giải Giải: Ta có: Và IM MD ( Do AB // MD hay AIB : MID) IA AB KM MC ( Do AB // MC) Mà MD = MC ( Giả thiết) KB AB Nên: IM KM Suy IK // AB( Điều phải chứng minh) IA KB Vì AMB có IK định trên cạnh MA, MB đoạn thẳng tỷ lệ nên IK// AB ( định lý Talét đảo) Ví dụ 4: Cho hình thang ABCD (AB // CD, AB< CD) Kẻ AK // BC , AK BD = E ; Kẻ BI //AD; BI AC = F ( K, I CD) Chứng minhn EF// AB Lop7.net (6) Hình thang ABCD (AB//CD; AB< CD) GT B A AK //BC, K CD BI //AD; I CD O E AK BD = (E) BI AC = (F) KL D F K EF //AB C I H Hướng dẫn học sinh tìm lời giải: - Xét EF nằm tam giác nào? ( AKC , BDI , AEF , B EF) - Nếu gọi thêm O là giao điểm hai đường chéo AC và BD - Giả sử AK và BI cắt H thì có thêm OEF, AHB có chứa EF - Tuy vậy: OEF , AEF , BEF , ABH ta không khai thác gì? Ta xét các còn lại AKC , BDI muốn chứng minhEF // AB thì ta phải chứng minh EF // KC ( Vì KC // AB) Gỉa sử ta chứng minh EF // KC nghĩa là phải có điều gì? ( Các đoạn thẳng tỉ lệ nào?) - Phải chứng tỏ AE AF = cách nào ? EK FC - Từ giả thiết bài toán em rút điều gì ? - ( Vì I, K CD suy AB// DK nên AB // CI => AE AB EK DK AE AF thì ta phải chứng minh điều gì ?Vì sao? EK FC AB AB Hay DK= CI DK CI Mà DK= DI- IK => DK = CI Vì DI = CK = AB CI = CK- IK Sau phân tích hướng giải bài toán giáo viên lập sơ đồ chứng minh sau: Để chứng minh EF // AB Lop7.net (7) Ta phải chứng minh AE AF mà EK FC AE AB AF AB , ( Do AB // DK, AB //CI) EK DK FC CI Vì DI = CK ( Cùng AB) Đến đây học sinh có thể trình bày lời giải dễ dàng Vì DK // AB nên CI //AB nên AE AB EK DK AF AB FC CI Mà DK = CI (vì cùng AB) nên AE AF EK FC Trong AKC có EF định trên hai cạnh AK và AC đoạn thẳng tỷ lệ nên EF //CK suy EF // AB Ví dụ 5: Cho tứ giác ABCD Qua B vẽ Bx // CD cắt AC E Qua C vẽ Cy // BA cắt BD F, chứng minh EF // AD Tứ giác ABCD GT C BE // CD , E AC CF // AB, F BD KL EF // AD B O ̀ E Hướng dẫn tìm lời giải: Gọi giao điểm AC và BD là O F A D Để chứng minh EF // AD ta cần phải chứng minh các tỷ lệ thức nào? OE OF OE OF AE DF , , ( Chỉ cần chứng minh các tỉ lệ thức) EA FD OA OD OA OD Vậy hướng giải bài toán đã có, bây ta khai thác giả thiết nào? Lop7.net (8) Từ BE // CD ta rút điều gì? OE OB (1) OC OD Sơ đồ phân tích Từ CF // AB rút điều gì ? Để EF //AD OC OF (2) OA OB OE OF EA FD Từ (1) và (2) ta rút điều gì ? Hoặc OE OC OB OF (3) OC OA OD OB Hoặc AE DF OA OD EF //AD vì sao? Hoặc OE OF OA OD Từ (3) ta có : OE OF suy EF //AD OA OD Không có OE OC OB OF OC OA OD OB OE OB OC OF , OC OD OA OB BE //CD CF//AB (Gt) Từ đó học sinh có thể trình bày lời giải cách dễ dàng theo sơ đồ phân tích lên Kết luận: Trong tam giác AOD có EF định trên hai cạnh OA, OD đoạn thẳng tỷ lệ nên EF //AD (ĐPCM) Ví dụ 6: Cho hình bình hành ABCD đường phân giác góc BAD cắt BD M, đường phân giác góc ADC cắt AC N Chứng minh MN //AD ABCD (AB//CD, BC//AD), M BD, N AC GT C M BAM = MAD AND = CDN KL B N O MN//AD A Lop7.net D (9) Hướng dẫn học sinh tìm lời giải: Ta nghĩ tới MN nằm BOC, M, N thuộc đường thẳng chứa cạnh tam giác AOD, đó các đoạn thẳng tỷ lệ có thể là OM ON OM ON , MB NC OB OC Hoặc OM ON MN = = OD OA AD Gỉa thiết bài toán là gì ? Từ AM, DN là các đường phân giác BAD , ADC cho ta tỉ lệ thức nào? + AM là phân giác BAD => + DN là phân giác DAC nên MD AD MB AB NA AD NC CD Vì ABCD là hình bình hành nên AB = CD đó Tỷ lệ thức MD NA MB NC MD NA ta suy điều gì ? Bằng cách nào ? MB NC Vận dụng tính chất tỷ lệ thức, tính chất đường chéo hình bình hành cắt trung điểm đường ta có : MD NA MD NC NA NC BD AC hay Suy : MB NC MB NC MB NC OB OC 2 ( Do BD = 2OB, AC = OC) MB NC Suy OB OC suy ra: MN //BC( định lý Talét đảo) MB NC Suy ra: MN //AD ( Vì BC // AD) Trong BOC có MN định trên cạnh OB và OC đoạn thẳng tỷ lệ nên MN// BC mà BC // AD Vậy MN //AD Lop7.net (10) - Sau phân tích tìm hướng giải giáo viên có thể phân tích theo sơ đồ xuống để học sinh thấy rõ Sơ đồ xuống: Từ giả thiết ABCD là hình bình hành suy ra, và giả thiết AM, DN là các đường phân giác góc BAD, ADC ta có : MD AD NA AD ; ; AB CD MB AB NC CD MD NA MB NC Áp dụng tỷ lệ thức MD MB NA NC BD AC hay MB NC MB NC Suy ra: OB OC MB NC ( Do BD= 2OB; AC= OC, ABCD là hình bình hành) Nên MN // BC suy rs MN// AD (do BC//AD) Từ cách hướng dẫn và sơ đồ phân tích các em có thể trình bày lời giải cách dễ dàng Lời giải: Gọi O là giao điểm AC và BD Vì ABCD là hình bình hành nên ta có: AB= CD, BC= AD; BC// AD Vì AM là phân giác góc BAD : DN là phân giác góc ADC nên : Mà AB= CD nên: MD AD MB AB NA AD NC CD MD NA MB NC MD MB NA NC BD AC hay MB NC MB NC 10 Lop7.net (11) Do BD= OB; AC= 2OC nên: OB OC MB NC MN//BC Mà BC// AD => MN// AD (Điều phải chứng minh) Ví dụ 7: Cho ABC Lấy điểm M tuỳ ý trên cạnh BC Lây N tuỳ ý trên cạnh AM Đường thẳng DE//BC(D AB, E AC) Gọi P là giao điểm DM và BN và Q là giao điểm CN và EM Chứng minh PQ// BC GT Tam giácABC, M BC A N AM, DE//BC D AB, E AC BN DM= P H D K E N CN EM = Q KL I P Q PQ//BC C M B Hướng dẫn lời giải: Xét xem đoạn PQ nằm tam giác nào( DAE, NBC) - Phân tích để học sinh lựa chọn để ý DME - Muốn chứng minh PQ // BC thì ta cần có tỷ lệ thức nào ? PD EQ DP EQ PM QM Hoặc Hoặc PM QM DM EM MD ME - Các tỷ lệ trên đã có thể có chưa? - Ta phải khai thác các giả thiết bài toán nào - Từ DE// BC suy điều gì ? DI EI AI (1) ( Cùng ) BM CM AM 11 Lop7.net (12) KI IH NI (2) ( Cùng ) BM CM NM Lấy (1) cộng (2) theo vế có : DK HE BM CM Để ý BPM và QMC có DK//BM và HE//CM Các em thu kết gì ? DP EQ => PQ//DE => PQ//BC PM QM Lập sơ đồ phân tích xuống DE //BC(gt) DK//BM; DI//BM IE //CM; KI// BM; IH//CM; HE//CM DI AI IE AI BM AM CM AM KI NI BM MN IH NI CM NM DI IE BM CM KI IH BM CM DI KI IE IH BM BM CM CM DK// BM DK HE HE //CM BM CM DP EQ PM QM 12 Lop7.net (13) PQ //DE PQ//BC (Điều phải chứng minh) C KẾT LUẬN: Trên đây là số ví dụ giải bài tập cụ thể đã vận dụng định lý Talét đảo để chứng minh hai đường thẳng song song Trong các định lý mà các em đã học thì định lý này là tượng khó khăn quá trình học vận dụng vào giải bài tập song nó lại vận dụng nhiều các bài tập Nhưng việc hướng dẫn học sinh cách tìm tòi lời giải, bài toán chứng minh hai đường thẳng song song hình học lớp mà tôi đã làm trên qua thực tế nhiều năm giảng dạy thì hầu hết các em tìm hướng để giải bài toán đó Và hiệu cho thấy với cách giải bước đã làm cho học sinh không ngại ngần gặp bài tập chứng minh hai đường thẳng song song hình học Qua quá trình thực tôi đã cho học sinh làm bài kiểm tra để đánh giá mức độ hiểu bài thì trên 80% đã biết giải bài toán này Bên cạnh đó còn củng cố kiến thức việc áp dụng các tính chất tỷ lệ thức không kém phần quan trọng Ngoài còn cho các em thấy định lý Ta lét đảo còn áp dụng nhiều vào các loại bài toán khác thú vị hơn, chẳng hạn vận dụng tính song song để chứng minh các điểm thẳng hàng (Tiên đề Ơclít) toán tìm tập hợp… 13 Lop7.net (14)