Hình học lớp 9 chuyên đề cực trị

CỰC TRỊ HNH HỌC A-Phng php giải bi ton cực trị hnh học 1- Hớng giải bi ton cực trị hnh học : a) Khi tm vị tr hnh H trn miền D cho biểu thức f c gi trị lớn ta phải chứng tỏ ợc : +Với vị tr hnh H trn miền D f ≤ m ( m l số ) +Xc ịnh vị tr hnh H trn miền D cho f = m b) Khi tm vị tr hnh H trn miền D cho biểu thức f c gi trị nhỏ ta phải chứng tỏ ợc : +Với vị tr hnh H trn miền D f ≥ m ( m l số ) +Xc ịnh vị tr hnh H trn miền D ể f = m - Cch trnh by lời giải bi ton cực trị hnh học + Cách1 :Trong cc hnh c tnh chất ề bi,chỉ ồi chứng minh hnh khc ều c gi trị ại lợng phải tm cực trị nhỏ hn ( lớn hn ) gi trị ại lợng  hnh  + Cách2 :Biến ổi tng ng iều kiệ ng ny ạt cực trị ại lợng khc ạt cực trị cho ến trả lời ợc c m ề bi yu cầu V dụ : Cho ờng trn (O) v iểm P ong ờng tròn( P khng trng với O).Xc ịnh vị tr dy i qua iểm P s dy  c ộ di nhỏ Giải : +Cách : Gọi AB l dy vung gc vớ P , v dy CD l dy i qua P khng trng với AB ( h.1) Kẻ OH  CD C OHP vung tạ < OP  CD > AB O Nh vậ c dy i qua P , dây vuông góc H với OP P c hỏ B A P +Cách D Xt dy AB i qua P ( h.2) Kẻ OH  AB h Theo lin hệ dy v khoảng cch ến tm: A AB nhỏ  OH lớn O Ta lại c OH ≤ OP H OH = OP  H ≡ P Do  maxOH = OP P B Khi  dy AB vung gc với OP P h B-Cc kiến thức thờng dng giải bi ton cực trị hnh học 1- Sử dụng quan hệ ờng vung gc , ờng xin , hnh chiếu a-Kiến thức cần nhớ: www.Vuihoc24h.vn – Kênh học tập Online  Page 1  A B A C h.3 K A a a b H B H h.5 C h.4 B a1) ABC vung A (c thể suy biến thnh oạn thẳng)  AB ≤ BC Dấu “=” xảy  A ≡ C ( h.3 ) a2) ( h.4 ) + AH  a  AH ≤ AB + AB < AC  HB < HC Dấu “=” xảy  B ≡ H a3)( h.5 ) A,K a; B, H b; a // b ; HK  a  HK ≤ AB Dấu “=” xảy  A ≡ K B ≡ H b-Cc v dụ: V dụ 1: Trong cc hnh bnh hnh c hai no c diện tch lớn ? Tnh diện tch lớn nh Giải : B A C H O cm v cm ,hnh B O≡H C D D h.6 h.7 Xét hình b có AC = cm; BD = cm ( h.6) Gọi O l g ờng cho Kẻ BH  AC Ta có : SA ABC = AC.BH Ta có AC = 8cm, BH ≤ BO = 3cm Do  : SABCD ≤ 8.3 = 24 (cm2) SABCD = 24 cm2  BH ≡ BO  H ≡ O  BD AC Vậy max SABCD = 24 cm2 Khi ó hình bình hành ABCD hình thoi (h.7) c diện tích 24cm2 V dụ 2: Cho hnh vung ABCD Trn cc cạnh E K B AB,BC ,CD,DA ta lấy theo thứ tự cc iểm E,F,G,H A cho AE = BF = CG = DH Xc ịnh vị tr F cc iểm E, F,G,H cho tứ gic EFGH có chu vi nhỏ O Giải : H HAE = EBF = FCG = GHD  HE = EF = FG = GH C D G www.Vuihoc24h.vn – Kênh học tập Online  h.8 Page 2   EFGH hình thoi AHE  BEF  AHE  AEH  900  BEF  AEH  900  HEF  900  EFGH hình vuông Gọi O l giao iểm AC v EG Tứ gic AECG c AE = CG, AE //CG nên hình bình hành suy O l trung iểm AC v EG ,  O l tm hai hnh vuông ABCD EFGH HOE vuông cân : HE2 = 2OE2  HE = OE Chu vi EFGH = 4HE = OE Do  chu vi EFGH nhỏ  OE nhỏ Kẻ OK AB  OE ≥OK ( OK khng ổi ) OE = OK  E ≡ K Do  minOE = OK Nh , chu vi tứ gic EFGH nhỏ v kh rung iểm AB , BC, CD, DA V dụ 3: Cho oạn thẳng AB c ộ dài 2a V pha AB cc tia Ax By vung gc với AB Qua trung iểm M hai ờng thẳng thay ổi lun vung gc với v cắt Ax, By theo thứ D xc ịnh vị tr cc iểm C,D cho tam gic MCD c diện t Tnh diện tch tam gic  Giải: x y Gọi K l giao iểm CM v DB D MA = MB ; A  B  900 , AMC 12  MAC = MBK  MC = M Mặt khc DM  CK H  DCK cân  D1 Kẻ MH  CD C MHD = = MB = a  SMCD = H ≥ 1 AB.MH = 2a.a= a2 2 SMCD = a2  CD  Ax  AMC = 450 ; BMD =450 Vậy SMCD = a2 Cc iểm C,D ợc xc ịnh Ax; By cho AC = BC =a A V dụ 4: Cho tam giác ABC có B góc t , iểm D di chuyển trn cạnh BC Xc ịnh vị tr iểm D cho tổng cc khoảng cch từ B v C ến ờng thẳng AD c gi trị lớn H Giải: Gọi S l diện tch ABC Khi D di chuyển www.Vuihoc24h.vn – Kênh học tập Online  A B M K h.9 E B C D F h.10 Page 3  trn cạnh BC ta c : SABD + SACD = S Kẻ BE AD , CF  AD 2  AD.BE + AD.CF = S 2S AD Do  BE + CF lớn  AD nhỏ hình chiếu HD nhỏ Do HD ≥ HB ( ABD >900 ) HD = HB  D ≡ B Vậy Khi D ≡ B th tổng cc khoảng cch từ B v C ến AD c gi trị lớn 2- Sử dụng quan hệ ờng thẳng v ờng gấp khc a-Kiến thức cần nhớ: Với ba iểm A,B,C ta c : AC +CB ≥ AB AC +CB = AB  C thuộc oạn thẳng AB b-Các v dụ: V dụ 5:Cho góc xOy v iểm A nằm   Xc ịnh iểm B thuộc tia Ox, iểm C thuộc tia Oy cho OB = OC v tổ l nhỏ Giải: m Kẻ tia Om nằm ngoi gc xOy y yOm  xOA Trn tia Om lấy iểm D D cho OD = OA Cc iểm D v A cố ịn OD =OA, OC = OB , COD  BO C  DOC = AOB  C A Do  AC +AB = AC Mà AC +CD ≥ AD O AC +AB AD B x Xảy ẳ ỉ C AD h.11 Vậy min( =AD Khi  C l giao iểm y , B thuộc tia Ox cho OB = OC V dụ 6:Cho hnh chữ nhật ABCD v iểm E thuộc cạnh AD Xc ịnh vị tr cc iểm F thuộc cạnh AB , G thuộc cạnh BC , H thuộc cạnh CD cho tứ gic EFGH c chu vi nhỏ Giải :  BE +CF = F A B I K E M D F A B I G E K G C H h.12 www.Vuihoc24h.vn – Kênh học tập Online  M D H C h.13 Page 4  Gọi I ,K, L theo thứ tự l trung iểm EF, EG , EH (h.12) AEF vung A c AI l trung tuyến  AI =1/2EF CGH vung C c CM l trung tuyến  CM =1/2GH IK l ờng trung bnh  EFG  IK = 1/2FG KM l ờng trung bnh EGH  KM = 1/2EH Do  : chu vi EFGH = EF +FG +GH +EH =2(AI + IK + KM + MC) Ta lại c : AI + IK + KM + MC ≥ AC Suy chu vi EFGH ≥ 2AC ( ộ di AC khng ổi ) Chu vi EFGH nhỏ 2AC  A,I,K,M,C thẳng hàng Khi  ta c EH//AC,FG//AC, AEI  EAI  ADB nn EF//DB , tng tự GH//DB Suy tứ gic EFGH l hnh bnh hnh c cc cạnh song song với cc ờng cho hnh chữ nhật ABCD (h.13) 3- Sử dụng cc bất ẳng thức ờng trn a-Kiến thức cần nhớ: C D A H A C O B O C K h.14 B B A D h.15 D C D B A h.16 h.17 a1) AB l ờng knh , CD l d bấ  CD ≤ AB (h.14) a2) OH,OK l cc khoảng cch t ến dy AB v CD : AB ≥ CD  OH ≤ O a3) AB,CD l cc cun ) : AB ≥ CD  AOB  COD (h.16) a4) AB,CD (O) : AB ≥ CD  AB  CD (h.17) b-Cc v d V dụ 7: Cho hai ờng trn (O) v (O’) cắt A v B ct tuyến chung CBD (B nằm C v D) cắt cc ờng trn (O) v (O’) C v D Xc ịnh vị tr ct tuyến CBD ể ACD c chu vi lớn Giải: 1 A s C = s AmB ; s D = s AnB 2 D  số o cc gc ACD khng ổi O O’  ACD c chu vi lớn n m cạnh n lớn , chẳng hạn AC l lớn D’ C’ B AC l dy ờng trn (O) ,  AC lớn AC l ờng knh ờng C www.Vuihoc24h.vn – Kênh học tập Online  h.18 Page 5  trn (O),  AD l ờng knh ờng trn (O’) Ct tuyến CBD vị tr C’BD’ vung gc với dy chung AB V dụ 8: Cho ờng trn (O) v iểm P nằm ờng trn Xc ịnh dy AB i qua P cho OAB c gi trị lớn Giải: Xt tam gic cn OAB , gc y OAB lớn gc ỉnh AOB nhỏ B’ O AOB  s AB ) B Góc AOB nhỏ  Cung AB nhỏ  dây A H P AB nhỏ  Khoảng cch ến tm OH lớn Ta c OH ≤ OP OH =OP  H ≡ P nn max OH = OP  AB  OP h.19 Suy dy AB phải xc ịnh l dy A’B’ vung gc với OP P 4- Sử dụng bất ẳng thức ly thừa bậc h a-Kiến thức cần nhớ: Cc bất ẳng thức ly thừa bậc hai ợc g i dạng : 2 A ≥ ; A ≤ Do  với m l số , ta c : f =A2 + m ≥ m ; f = m với A f =  A2 + m ≤ m ; max f = m ới b-Cc v dụ: 4-x V dụ 9: Cho hnh v c cạnh 4cm B A x E Trn cc cạnh AB, BC CD eo thứ tự cc iểm E, F, G, H ch AE = D Tnh ộ di AE 4-x F cho tứ gic EF hỏ Giải: AHE = BE C G = DGH H  HE = EF = FG = GH , HEF = 90  HEFG hình vuông nên chu vi EFGH nhỏ C HE nhỏ D G ặt AE = x th HA = EB = 4-x h.20 HAE vung A nn : HE = AE2 +AE2 = x2 + (4  x)2 = 2x2  8x +16 = 2(x  2)2 +8 ≥ HE = =2  x = Chu vi tứ gic EFGH nhỏ cm ,  AE = cm V dụ 10: Cho tam gic vung ABC c ộ di cc cạnh gc vung AB = cm, AC = 8cm.M l iểm di chuyển trn cạnh huyền BC.Gọi D v E l chn cc ờng vung gc kẻ từ M ến AB v AC Tnh diện tch lớn tứ gic ADME www.Vuihoc24h.vn – Kênh học tập Online  Page 6  Giải: ADME hình chữ nhật A ặt AD = x th ME = x x EM CE x CE D 8- x ME //AB      CE  x AB CA E  AE =  x B C M h.21 4 Ta có : SADME = AD AE = x (  x ) = 8x  x 3 =  (x  3)2 +12 ≤ 12 SADME = 12 cm  x =3 Diện tch lớn tứ gic ADME 12 cm2 ,khi  rung iểm AB , M l trung iểm BC v E l trung iểm AC 5- Sử dụng bất ẳng thức C-si a-Kiến thức cần nhớ: Bất ẳng thức C-si :Với x ≥ ; y ≥ ta có Dấu “=” xảy hi x = y Bất ẳng thức C-si thờng ợc sử x  y  2 + Dạng 1: x  y   + Dạng 2:  x  y  xy  i cc dạng sau : Dấu “=” xảy v x = y y   x  y ;   2 x2  y2  x  y xy Dấu “=” xảy v x = y + Dạng 3:Với x ≥ ; y ≥ ; x +y khng ổi th xy lớn v x = y + Dạng4: Với x ≥ ; y ≥ ; xy không ổi th x+y nhỏ v x = y b-Cc v dụ: V dụ 11: Cho oạn thẳng AB, iểm M di chuyển trn oạn thẳng Vẽ cc ờng trn c ờng knh MA v MB Xc ịnh vị tr iểm M ể tổng diện tch hai hnh trn c gi trị nhỏ O O’ M A B Giải :   ặt MA =x , MB = y y x Page 7  www.Vuihoc24h.vn – Kênh học tập Online  h.22 Ta có : x + y =AB (0 < x,y < AB) Gọi S v S’ theo thứ tự l diện tch hai hnh trn c ờng knh l MA v MB Ta có : 2 x2  y2  x  y S +S’ =        =   2  2 2 Ta c bất ẳng thức : x  y  x  y S +S’    x  y  2 nên : AB2 =  8 Dấu ẳng thức xảy v x = y AB2 Do  (S+S’) =  .Khi  M l trung iểm củ A V dụ 12: Cho iểm M nằm trn oạn thẳng AB Vẽ pha AB cc tia Ax v By vung gc với AB Qua M c hai ờng ẳ ay ổi lun vung gc với v cắt Ax, By theo thứ tự C v D Xc cc iểm C,D cho tam gic MCD c diện tch nhỏ Giải : y Ta có : SMCD = MC.MD D x  ặt MA = a , MB = b AMC  BDM  C a MC = , MD = cos s A a ( B b M SMCD = h.23 Do a,b l n SMCD nhỏ  2sin.cos lớn Theo bất ẳng thức 2xy  x2 +y2 ta có : 2 2sin.cos  sin  +cos  = nên SMCD ≥ ab SMCD = ab  sin = cos  sin = sin(900)   = 900   = 450  AMC BMD vuông cân Vậy SMCD = ab Khi  cc iểm C,D ợc xc ịnh tia Ax ; By cho AC = AM , BD = BM V dụ 13: Cho ABC , iểm M di ộng trn cạnh BC Qua M kẻ cc ờng thẳng song song với AC v với AB , chng cắt AB v AC theo thứ tự D v E.Xc ịnh vị tr iểm M cho hnh bnh hnh ADME c diện tch lớn Giải : A www.Vuihoc24h.vn – Kênh học tập Online  D K Page 8  SADME lớn SABC Kẻ BK  AC cắt MD H SADME = MD HK SABC = AC BK SADME MD HK  SABC AC BK ặt MB = x , MC = y , MD BM x MD//AC ta có :   AC BC x  y xy Theo bất ẳng thức    x  y SADME lớn  HK MC y   BK BC x  y SADME 2xy   SABC ; Dấu ẳng thức xảy x = y Vậy maxSADME = SABC  M l trun BC V dụ 14: Cho  ABC vuông cân c cạnh = a Gọi D l trung iểm AB iểm E di chuyển trn cạnh AC theo thứ tự l chn cc ờng vung gc kẻ từ D, E ến BC Tnh diện hnh thang DEKH Khi  hnh thang trở thnh hnh g ? Giải: Ta có : 2SDEKH = (DH +EK).HK KC ) HK M (BH + KC) +HK ng ổi a Nên (BH KC) H t BH + KC) = HK = Do  : a2 B max SDEKH =  2 H a Khi  ờng cao HK = suy : D a a a K KC = BC BH –HK = a   = 2 a a Do  DH = HB = , EK = KC = 4 C A E Hnh thang DEKH l hnh chữ nhật , E l trung h.25 iểm AC www.Vuihoc24h.vn – Kênh học tập Online  Page 9  6- Sử dụng tỉ số lợng gic a-Kiến thức cần nhớ: Hệ thức cạnh v gc tam gic vung B a c + b = a.sinB = a.cosC + b = c.tgB = c.cotgC A b h.26 C b-Cc v dụ: V dụ 15: Chứng minh cc tam gic cn c cng diện tch tam gic c cạnh y nhỏ hnlà tam gic c gc ỉnh nhỏ hn Giải: A Xt cc tam gic ABC cn A c cng diện tch S Kẻ ờng cao AH ặt BAC =  AHC vung H, ta c :  HAC  , B C H h.27   AH = HC cotg = BC.cotg 2 1  Do  : S = BC.AH = BC BC.c C 2cotg 2 4S   BC =  S.t g  cot g Do S khng ổi nn :   BC nhỏ  tg nhỏ   nhỏ  BAC nhỏ V dụ 16: hật ABCD Trn cc cạnh BC,CD lần lợt lấy cc iểm K,M cho B = : 1, CM : MD = : 1.Tm tỉ số AB : BC ể số o góc KAM lớn t gx  t gy B ( Cho cng thức biến ổi tg( x +y )= ) A x  t gx.t gy y Giải: ặt BAK  x , DAM  y ( x + y < 900 ) K KAMlớn  BAK + DAM nhỏ  x + y nhỏ  tan (x + y) nhỏ Giả sử AB : BC = : m ( m> 0) BK BK BC 4m   tg x = AB BC AB www.Vuihoc24h.vn – Kênh học tập Online  D C M h.28 Page 10