De olympic bac trung bo 2014

KỲ THI OLYMPIC TOÁN BẮC TRUNG BỘ LẦN NĂM 2014 HỘI TOÁN HỌC BẮC TRUNG BỘ ĐỀ THI CHÍNH THỨC Thời gian: 180 phút (không kể thời gian phát đề) Ngày thi: 13/04/2014 Câu (4 điểm) Giải hệ phương trình (x + 2)(y + 2) = 3( xy + x + y )   4(x + y ) = ( x + y )3  Câu (4 điểm) Tìm tất hàm số f : ℝ → ℝ thỏa mãn f [(x − 1)f (y )] = y[f (x ) − 1]; ∀x ; y ∈ ℝ Câu (4 điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Gọi P, Q hai điểm thuộc cung BC không chứa A cho PQ BC tia AP nằm tia AQ tia AB Gọi K, L hình chiếu B, C lên AP, AQ a) Chứng minh đường trung trực KL qua trung điểm M BC b) Chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác KLM qua hình chiếu H A cạnh BC c) Giả sử AP cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác KLM N khác K Chứng minh đường thẳng NL qua điểm cố định P, Q di chuyển Câu (4 điểm) Cho dãy số (x n )n≥1 thỏa mãn x = 0; x =   x = n x + n − x + ; ∀n ≥ n +1 n +1 n n + n−1 n +  Tìm tất giá trị nguyên dương n cho x n số phương Câu (4 điểm) Cho đoạn thẳng gồm cạnh đường chéo hình bình hành Ta chia đoạn thành hai nhóm rời (mỗi nhóm đoạn) a) Chứng minh với cách chia, có nhóm gồm đoạn thẳng độ dài cạnh tam giác b) Kết không thay hình bình hành hình thang bất kỳ? -HẾT • Thí sinh không sử dụng máy tính cầm tay • Cán coi thi không giải thích thêm