PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ LÍ THUYẾT CHUỖI BÀI 10 §3 Phương trình vi phân cấp hai (TT) Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai có hệ số không đổi y py qy f ( x ), p, q (1) a) Phương trình y py qy (2) Cách giải Giải phương trình đặc trưng k pk q (3) (3) có hai nghiệm thực k1 k (2) có nghiệm tổng quát y C1e k1x C2e k2 x (3) có nghiệm kép k1 (2) có nghiệm tổng quát y e k1x (C1x C2 ) (3) có nghiệm phức k1,2 i (2) có nghiệm tổng quát y e x (C1 cos x C2 sin x ) Ví dụ a) y 3y 2y b) y y y c) y y y d) y 4y 5y e) y y y f) y 4y y Giải a) k 3k k1 1, k2 Nghiệm tổng quát y C1e x C2e2 x b) +) k 4k (k 2)2 k1 k2 2 c) +) k k k1,2 1 i +) y e +) y e 2 x (C1x C2 ) x (C cos b) Phương trình không y py qy f ( x ) 3 x C2 sin x) 2 (1) 1/ Khi f ( x ) e xPn ( x ), Nếu không nghiệm (3) nghiệm riêng (1) có dạng Y e xQn ( x ) , Qn ( x ) đa thức bậc n x Nếu nghiệm đơn (3) nghiệm riêng (1) có dạng Y xe xQn ( x ) Nếu nghiệm kép (3) nghiệm riêng (1) có dạng Y x 2e xQn ( x ) Ví dụ a) y 3y 4y x y c1e x c2e 4 x Giải k 3k k1 1, k2 4 Y Ax B , thay vào ta có 4 Ax A 4B x, x A ; B 16 66 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo Y thao.nguyenxuan@hust.edu.vn x 16 Nghiệm tổng quát y c1e x c2e 4 x b) y 2y y xe c) y y e x x x 16 x3 x ( y C1e C2 xe e ) x x y d) y y 3e , y(0) 0, y(0) y C1e x C2e x Giải k k 1 nghiệm đơn Y xe x A , A( xe x 2e x ) Axe x e x 1 A Y xe x 2 x Nghiệm tổng quát y C1e x C2e x e x x x x d) y y y xe x e 4 x ( y C1e x C2e 4 x e 4 x e ) 36 e) y y 2e x x ( y C1e x C2e x xe x x ) f) y 2y 3y x(1 e3 x ) ( y C1e3 x C2e x 1 (2 x ) (2x x )e3 x ) 16 2/ Khi f ( x ) Pm ( x )cos x Qn ( x )sin x Nếu i không nghiệm (3) nghiệm riêng (1) có dạng Y Ql ( x )cos x Rl ( x )sin x, l max( m, n ) Nếu i nghiệm (3) nghiệm riêng (1) có dạng Y x Ql ( x )cos x Rl ( x )sin x Ví dụ a) y y x sin x Giải k k i y c1 cos x c sin x i nghiệm phương trình đặc trưng nghiệm riêng có dạng Y x ( Ax B )cos x (Cx D)sin x Tính Y , Y thay vào có 4Cx 2( A D ) cos x 4 Ax 2(C B ) sin x x sin x, x A 4C A D x B Y sin x x cos x C 4 A C B D 67 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn x sin x cos x b) y y cos x ( y C1 cos x C2 sin x x sin x ) c) y y 2y x cos x Nghiệm tổng quát y c1 cos x c2 sin x ( y C1e x C2e x (0,1x 0,12)cos x (0,3 x 0,34)sin x ) d) y 9y cos2 x Giải k k 3i y C1 cos3 x C2 sin3 x Y A cos 2x B sin2 x Y 4 A cos 2x 4B sin2 x 1 A cos 2x 5B sin2 x cos 2x A B y cos x 5 Nghiệm tổng quát y C1 cos3 x C2 sin3 x cos x e) y 2y y sin x sh x ( y (C1 xC2 )e x x 3 x 2x x cos x e x e ) 10 25 f) y y 8y e2 x sin 2x ( y e x (C1 cos 2x C2 sin2 x ) 0,25e2 x 0,1cos 2x 0,5 sin2 x ) g) y 4y sin 2x 3cos 2x x ( y C1 cos2 x C2 sin 2x (3 sin2 x 2cos2 x ) ) 4 h) y y 2x cos x cos2 x x x2 x cos x sin x cos3 x sin3 x ) 4 32 i) xy 2(1 x )y ( x 2)y e x , cách đặt z xy C x ( y C1e x e x e ) x 4x k) y y ( y C1 cos x C2 sin x x cos x sin x ln sin x ) sin x ex l) y 2y y ( y (C1 C2 x )e x xe x ln x ) x x m) y y tan x ( y C1 cos x C2 sin x cos x ln cot ) 2 4 ( y C1 cos x C2 sin x n) y y x ( y C1e x C2e x (e x e x )arctan e x ) o) x y xy 2y x 2, x , cách đặt x et ( y x (C1 C2 ln x ) 68 2 x ln x ) PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn Chú ý 1/ Khi f ( x ) e x Pm ( x )cos x Pn ( x )sin x , đặt y e x z để đưa 2/ biện luận theo i sau : Nếu i không nghiệm (3) nghiệm riêng (1) có dạng Y e x [Ql ( x )cos x Rl ( x )sin x ], l max( m, n ) Nếu i nghiệm (3) nghiệm riêng (1) có dạng Y xe x Ql ( x )cos x Rl ( x )sin x 2/ Vế phải tổng dạng 1/ 2/ 3/ f ( x ) dùng phương pháp biến thiên số Lagrange 4/ Vế phải tổng 1/ (hoặc 2/) Ví dụ a) b) c) d) x ex 1) y y xe cos x ( y C1 cos x C2 sin x sin x ( x 1) ) 2 x 2) y y sin x e x x ( y C1 cos x C2 sin x cos x e x ( x 1) ) 2 3) y y ( y ( x K1)cos x (ln sin x K )sin x ) sin x 4) y y ( y (K1 ln cos x )cos x (K x )sin x ) cos x ( y (e x e 2 x )ln(e x 1) C1e x C2e 2 x ) y y 2y x e 1 x 1) y y y x 8e3 x ( y (C1 C2 x x )e3 x ) e x x2 2) y 2y y e x ( y e x C1 C2 x x x ln x ) x x 3) y y cot x ( y C1 cos x C2 sin x sin x ln tan ) x 4) y y tan x ( y C1 cos x C2 sin x cos x ln cot ) 2 4 x 1) y y 2y 3e x 2e x cos x x ( y C1e x C2e x xe x e x (sin 2cos ) ) 2 x 2) y y 2y e (3 x ) sin2 x ( y C1e x C2e x (2 x 1)xe x (3cos x sin2 x ) ) x e 3) y 2y y xe x x x 69 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn ( y C1e x C2 xe x ( x 1)e x xe x xe x ln x ) 4) y y xe x cot x ( y C1 cos x C2 sin x e) 1) y y y x e cos x x e5 f) g) h) (y x x e ( x 1) 2cos x ln tan ) x e C1 cos 3 x e5 x x C2 sin x e cos x ) 5 4 x 2) y 6y y (y sin x C1 cos x C2 sin x e sin x ) 5 x 1) y y 2cos x cos2 x ( y C1 cos x C2 sin x cos3 x sin x ) x 2) y 9y sin2 x cos x ( y C1 cos3 x C2 sin3 x cos3 x sin x ) x cos x sin x 3) y y cos x tan x ( y K1 cos x K sin x sin x ln ) 2 sin x x sin x cos x 4) y y sin x cot x ( y K1 cos x K sin x cos x ln ) 2 cos x 2 x 1) y y xe x cos x (C1e2 x C2e 2 x e x cos x ) 9 3 x x 2) y 4y xe x sin x (C1 cos2 x C2 sin2 x e sin x ) 25 x x x 1) y y 2y x cos x (C1e x C2e2 x cos x s inx ) e 36 10 e 2) y y 2y x 1 cos x s inx ) sin x (C1e x C2e x e x 4 10 10 e x x HAVE A GOOD UNDERSTANDING! 70