Bài giảng giải tích bài 4

PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ LÍ THUYẾT CHUỖI BÀI § Chuỗi luỹ thừa  Định nghĩa  Đặt vấn đề  Các tính chất  Khai triển thành chuỗi luỹ thừa Định nghĩa a0  a1x  a2 x    an x n   (1)  Ký hiệu  an x n , an số thực, x biến số n 0  Ta bảo chuỗi luỹ thừa hội tụ (phân kỳ) x0  chuỗi số  an x n hội tụ (phân kỳ),  an x0n hội tụ, x0 tuỳ ý n 0   chuỗi  an x0n hội tụ khoảng  a ; b   chuỗi số n 0 n 0  (a; b )   xn  1 x  x2   Ví dụ n 0  Đã biết hội tụ x  1, có  xn  1 x n 0 Phân kỳ x   Định lí (Abel)  an x n hội tụ x0   hội tụ tuyệt đối x : x  x0 n 0  Chứng minh +) an x0n   an x0n  M,  n  N0  an x0n hội tụ  nlim  n 1 +) an x n  x +) 1 x0 n x  x  M  x0  x0   an x0n   x M x0 n 1  n n  hội tụ (Định lí so sánh 1)   an x n n 0 Nhận xét Từ định lí Abel suy ra:   Nếu  an x n phân kỳ x0  phân kỳ x : n 0  Tập hội tụ khác rỗng 20 x  x0 hội tụ tuyệt đối PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn an 1   (hoặc lim n an   ) bán kính hội tụ R chuỗi n  an Định lý Nếu lim n  1  ,  luỹ thừa an x n xác định R   0, n 1 , Nhận xét  Quy ước viết R  khẳng định 2),   0      0 R   khẳng định 3), từ  phát biểu gọn định lý sau: Mọi chuỗi luỹ thừa  an x n có bán kính hội n 0 tụ R với  R   , chuỗi hội tụ tuyệt x  R phân kỳ với x  R  Cách tìm bán kính hội tụ R : R  lim n   Ví dụ Tìm khoảng hội tụ chuỗi an R  lim n  n a an 1 n xn  n2 n 1 an 1  n  1  2:    an 1 n  n  12  n  an lim 1 n  an 1 R  1, chuỗi hội tụ với x  1, phân kỳ với x  x2 Tại x  có n2   n , mặt khác  n2 hội tụ, chuỗi luỹ thừa hội tụ x  n 1 Khoảng hội tụ  1; 1  Ví dụ Tìm khoảng hội tụ chuỗi luỹ thừa  n 0 n2 n an n2 n 3 n2  n : n 1  an 1 n 3 3 an lim 3 n  an 1 R  , chuỗi hội tụ x  , phân kỳ x   Tại x  có  n  an x    n  2 phân kỳ n 0  Tại x  3 có n 0   an x n    1 n 0 n  n  2 phân kỳ n 0 Khoảng hội tụ:  3 ;  21 xn PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn  xn Ví dụ Tìm khoảng hội tụ chuỗi luỹ thừa n 1 n 0  1 n2  an   a   n 1: n   n 1  n 1   a  lim  n   n   an 1  R  1, chuỗi hội tụ với x  1, phân kỳ với x   phân kỳ n  n 1  Khi x  có  Khi x  1 có  1n  n 1 chuỗi đan dấu hội tụ n 1 Khoảng hội tụ [1; 1)  x 2n Ví dụ Tìm khoảng hội tụ chuỗi luỹ thừa:  1 n !   n 0 n  Không thể dùng công thức nửa hệ số chuỗi : a2n+1 = n 1 n  Đặt y = x có chuỗi luỹ thừa:  y n !   n 0 n n 1   n  1!   2n  1 2n  2 an  1 :  1 Có   an 1  2n  !   n  1  !  2n !  lim n  an  an 1 Khoảng hội tụ:  ,   Ví dụ Tìm miền hội tụ chuỗi luỹ thừa  n  15 2n a) x ( 1  x  1) n  n 1    d)  n 1  n ! n x ( 4  x  )  2n  ! 1  f) 1    n n 1 n2    n! x n 1  i)   1 n 0 b) n!   x n! ( x  1)c)  n 1   g)  e) n 1 nn ( 3  x  1) 2n  x  3 (2  x  4)  n  1 ln  n  1 n 1   x  1n (   x   ) e e  ( 1  x  1) n 1  x  n h)   1 n 1 2n  3n  4n  x 2n ( x  ) 22 n 1 2n  3n  4n  x 2n 1 ( x  1) PGS TS Nguyễn Xuân Thảo  n n 1    x  12n k) 1 n 1 n 1   x  12n l)  n  1 ln  n  1 n 1 thao.nguyenxuan@hust.edu.vn 1   (  1  ;  1 ) 3      1  m) 1    n n 1 n2 (0  x  2)  x  n ( 2   x  2  ) e e   x  4n n) (2  x  4)  n  2 ln  n  1 n 1    p 1)  n 1  3)  x   2n o) (3  x  )  n  1 ln  n   n 1    n ! 2  x  12n 1 (-1